Формулы приведения
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Казанское  суворовское  военное  училище

ФОРМУЛЫ    ПРИВЕДЕНИЯ

                                                                                                Разработал

                                                                                       преподаватель математики

                                                                             Гиниятуллин А.М.

Казань

Это одно из    важнейших  преобразований  тригонометрических функций, имеющее огромное значение при решении разного рода задач с применением тригонометрии и дающее возможность при вычислении тригонометрических функций любых углов  пользоваться таблицами  значений  или  логарифмов их, составленными   только   для   углов,   не   больших 90° (и   даже иногда не больше 45°).

Для выполнения этих преобразований нужно составить соответствующие формулы приведения, из которых выводятся правила приведения (иногда с привлечением тех или иных мнемонических приёмов для лучшего их запоминания). Надо иметь в виду, что как формулы приведения, так и правила усваиваются и осознаются учащимися с большими затруднениями; при использовании их в процессе решения задач они часто совершают ошибки двух родов: дают неверное название новой функции и неверно указывают её знак. Поэтому при выводе формул приведения и при составлении вытекающих из них правил надо принять меры к предупреждению этих возможных ошибок.

Как известно, наибольшее практическое значение и особенно частое применение имеют те формулы приведения, в которых аргументы — углы тригонометрических функций — заданы такими числами:         или 90°,  или 270° , или 180°,  или 360°. Для решения геометрических задач этих формул вполне достаточно, так как в геометрии углы обычно не превышают 2 (или 360°). Зато задачи с физическим содержанием, в частности задачи по механике, сплошь и рядом включают углы свыше 2 (или 360°). Поэтому учащиеся должны уметь пользоваться и более сложными формулами, когда аргументы тригонометрических функций имеют вид:  или или

Эти формулы имеют не только практическое применение, но и большое образовательное значение, как обобщение простейших формул. К ним можно   отнести и те формулы, в которых  аргумент-угол задан числом    или  . Но следует иметь в виду, что обобщённые формулы приведения, в которых аргументы-углы  заданы  числами   или  и , при решении задач встречаются редко, а потому можно их и не касаться в классной работе, тем более что в таких случаях всегда можно предварительно в аргументе выделить слагаемое вида 2k или 360°•k и свести работу к применению   простейших   формул.   Однако обобщение формул приведения в той или иной степени можно поставить темой по факультативной работе или поручать отдельным суворовцам — любителям математики.

Формулы приведения (2 урока)

Учебные и методические цели уроков:

1. Ознакомить суворовцев с мнемоническим правилом для запоминания формул приведения.
2. Вывод некоторых формул приведения.
3. Развитие математического мышления у суворовцев.

Урок 1

1. Суворовцы, совместно с преподавателем, вспоминают ранее изученные формулы. На доске записана левая часть формулы. Нужно записать правую часть:

1. sin( + t) = -sint;                                     6. cos( - t) = -cost;

2. cos( + t) = -cost;                                   7. sin(2 - t) = -sint;

3. sin = cost;                                   8. cos(2 - t) = cost;

4. cos = -sint;                                        9. tg( + t) = tgt;

5. sin( - t) = sint;                                             10. ctg( + t) = ctgt.

2. На доске даны три окружности. Необходимо определить знаки тригонометрических функций sint, cost, tgt, ctgt по четвертям.

3. Возвращаемся к нашим десяти формулам. Оказывается, если под знаком тригонометрической функции содержится выражение  вида и вообще любое выражение вида, где n  Z, то такое выражение всегда можно привести к более простому виду, при котором под знаком тригонометрической функции будет содержаться только аргумент t. Соответствующие формулы обычно называются формулами приведения. 

Формул приведения очень много. Выводить их каждый раз довольно утомительно. Составить таблицу формул приведения и постоянно ею пользоваться можно, но не удобно, т.к. она громоздка. Был придуман простой и удобный способ их запоминания.

Суворовцы пытаются сами вывести правило, проводя анализ наших формул. Мы видим, во-первых, что в некоторых формулах название осталось прежним, а в некоторых изменилось; во-вторых, что некоторые выражения «начинаются» со знака минус.

4. Преподаватель, выслушав суворовцев (в случае необходимости поправляя их ответы), дает под запись правило вывода формул приведения:

Если под знаком тригонометрической функции содержится выражение и любое выражение вида , где n  Z, то можно применить следующее правило:

1. определить знак преобразуемой функции при условии, что  и поставить этот знак перед получаемой функцией;
2. если в записи аргумента данной функции имеются слагаемые  и т.д. (соответствующие точкам В и D), то наименование тригонометрической функции следует изменить (на родственное).

                                                                 Преподавателю необходимо указать на

                                                                 две точки В и D на числовой окружности.

3. если в записи аргумента данной функции имеются слагаемые -, 2 и т.д., (соответствующие точкам А и С), то наименование тригонометрической функции следует сохранить.

                                                                 Преподаватель указывает, что данное

                                                                 правило используется и в тех случаях,

                                                                 когда аргумент задан в градусах, т.е.

                                                                 когда под знаком тригонометрической

                                                                 функции содержится сумма вида 90о+,

                                                                  90о-, 180о+ и т.д.

5. Суворовцы проверяют данное правило на формулах, проговаривая каждый пункт правила.

1) sin( +t);                                4) sin(360o - );

2) cos;                            5) cos;

3) ctg;                           6) tg(90o+).

В пятом примере использовать наше правило нельзя. Преподавателю необходимо подвести суворовцев к этому выводу, разъясняя, почему нельзя использовать данное правило.

Разумеется, формулы приведения можно применять и в тех случаях, когда место аргумента t занимает более сложное выражение.

Пример: 1.    2.

Урок 2

6. Целесообразно начать с актуализацией опорных знаний, умений и навыков, получивших на предыдущем уроке:

На доске записаны примеры, ставится задача самостоятельно в тетради преобразовать данную функцию к функции от t ().

sin(2 + t)              sin(90o + )               sin(180o + )               sin

cos(2 - t)              cos(90o - )               cos(180o - )               cos

tg(2 + t)               tg(90o + )                 tg(180o + )                tg

ctg(2 - t)              ctg(90o - )                ctg(180o - )               ctg

Дается 4 – 5 минут времени. При ответе суворовцев уделить внимание на произношение каждого пункта правила

7. Самостоятельная работа суворовцев.

1. Вычислите с помощью формул приведения:

а) cos630o – sin1470o - -ctg1125o;   б) sin(-7) + 2cos.

2. Упростите выражение:

а) sin(90o - ) + cos(180o + ) + tg(270o + ) + ctg(360o + );

б) .

3. Доказать тождество

4. Вычислите:

а) ;

б) .

5. Решить уравнение:

а)

б)

8. Задания на самоподготовку даются аналогичные тем, что решали на уроке (с учетом проблем, возникших при решении задач на уроке).

Литература

1. В.Г. Чичигин. Методика преподавания тригонометрии. Пособие для учителей средних школ.
2. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. Часть 1. Учебник.
3. П.В.Стратилатов. Сборник задач по геометрии. 9-10 классы.
4. П.Я.Кожеуров. Курс тригонометрии.