Урок: Системы уравнений .
методическая разработка (алгебра, 10 класс) по теме

Введение

      Методическая разработка по проведению комбинированного урока по дисциплине «Математика» посвящена одному из разделов: «Системы уравнений». При решении многих прикладных задач приходится иметь дело с системами уравнений, которые составляются по условиям данной задачи. К решению систем линейных уравнений сводятся задачи по экономике, статистики и другим дисциплинам.

     Комбинированный урок – это один из самых распространенных типов поурочной формы проведения учебного процесса. На таких уроках студенты усваивают знания в системе. В процессе комбинированного урока интересны задания с творческим применением знаний, освоения способов деятельности.  При проведении такого урока достигается единство, согласованность и преемственность в формировании понятий и знаний по дисциплине.

     В результате проведения данного урока ученики должны знать:

• определение и общий вид линейного уравнения;
• определение и общий вид системы двух линейных уравнений ;
• способы решения систем линейных уравнений;
• определение решения системы линейных уравнений;
• геометрическую интерпретацию систем линейных уравнений;
• определение определителя второго порядка и его свойства;
• формулы Крамера;
• определение определителя третьего порядка.

уметь:

• решать системы линейных уравнений алгебраическим сложением, подстановкой;
• геометрически интерпретировать множество решений линейного уравнения, системы линейных уравнений;
• вычислять определитель второго порядка и третьего порядка;
• решать систему линейных уравнений с помощью определителей.

     Выбранный раздел имеет большое значение  в подготовки  к ЕГЭ в формировании мировоззрения учащихся, развития их логического мышления. Глубокому изучению темы. Опора на межпредметные и внутрипредметные связи имеет большое дидактическое и воспитательное значение: позволяет избежать дублирования при изложении некоторых аналогичных материалов.

1. Организационный момент.

В ходе организационного момента проверяется готовность  учеников к занятию и их посещаемость. За тем преподаватель сообщает тему урока.

1. Проверка домашнего задания.

       Прежде чем приступить к изучению нового материала, преподаватель проводит проверку домашнего задания в виде фронтального опроса учащихся .

1.Какое уравнение называется линейным ? Общий вид.

2.Что мы называем системой линейных уравнений ?

3.Что называется решением системы линейных уравнений ?

4.Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете ?

5.В чем суть графического способа решения системы линейных уравнений?

6.В чем суть метода подстановки  решения системы линейных уравнений ?

1. Проверка знаний и умений для подготовки к теме.

         Проводится самостоятельная работа учащимися по вариантам. (18 вариантов) с использованием компьютерных программ.

     Программированный контроль

1. Постановка целей урока перед учениками.

       Основной целью данного занятия является: познакомить учеников с еще одним способом решения систем линейных уравнений – методом Крамера.

        учебная: изучить системы линейных уравнений,

                          определители второго и третьего порядка,

                          формулы Крамера,  научиться решать системы двух (трех)

                          линейных уравнений с двумя (тремя) переменными

                          с помощью  формул Крамера

         воспитательная: стремиться к воспитанию чувства гуманизма,

                                        такта,  уважения к старшим, коллективизма,

                                        ответственности, взаимопомощи, аккуратности,

                                        самостоятельности.         

         развивающая: способствовать развитию логического мышления,

                                     развивать память, умение выделить главное, правильно

                                     сделать выводы, сравнивать, обобщать, анализировать,

                                     развивать наблюдательность, внимание, умение

                                     контролировать, оценивать свои действия.

         деятельностная: приобретение навыков решения систем двух (трех)

                                        линейных уравнений с двумя (тремя) переменными,

                                        вычисления определителей 2, 3 порядков

1. Сообщение новых знаний с показом слайдов

План

1. Общий вид систем двух и трех линейных уравнений с двумя и соответственно с тремя переменными.

    В общем виде система двух линейных уравнений с двумя переменными может быть записана в виде:

а 1 х + в 1 у = с 1,

а 2 х + в 2 у = с 2,

    Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (х; у), являющаяся решением каждого уравнения системы.

   Так как в прямоугольной системе координат на плоскости каждое уравнение системы задает прямую, то решением системы будут координаты общих точек этих прямых.

   Нам известно, что две прямые на плоскости могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. Отсюда следует, что система двух линейных уравнений с двумя переменными может либо иметь единственное решение, либо иметь бесчисленное множество решений, либо не иметь решений.

Система трех уравнений с тремя переменными имеет вид:

а 1 х + в 1 у + d 1 z = с 1,

а 2 х + в 2 у + d 2 z = с 2,

а 3 х + в 3 у + d 3 z = с 3,

        Решением системы трех линейных уравнений с тремя переменными называется упорядоченная тройка чисел (х; у; z), являющаяся решением каждого уравнения системы.

      Две системы называются равносильными, если все решения одной системы являются решениями другой, и наоборот.          

2. Ввести понятия определителей второго и третьего порядков.

     Определителем второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей

      а1      в1

∆ =  а2      в2 

∆ = а1 в2 – а2 в1

       Определителем третьего порядка называется число, которое определяется по правилу:

      а1      в1      d1

∆ = а2      в2    d2

        а3       в3    d3

∆ = а1  в2  d3   +  а2 в3  d1   +   в1   d2 a3   -   а3  в2  d1    -   а1 в3 d2   -    а1 в3 d2   -    а2 в1 d3

Свойства определителя

1. Определитель, у которого все элементы некоторой строки (столбца) состоят из нулей, равен нулю.

1. От перестановки строк (столбцов) определитель меняет знак.

1. Если элементы одной строки (одного столбца) определителя пропорциональны соответствующим элементам другой строки (другого столбца), то такой определитель равен нулю.

3. Решение систем двух и трех линейных уравнений соответственно с двумя и тремя переменными с помощью определителей второго и третьего порядков. Формулы Крамера.

        Для решения систем двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) переменными используются формулы Крамера:

На доске разбирается система:

5 х + у = 11,

3х – 2 у = 8.

Ответ: (30/13;  -7/13)

6. Закрепление материала

     Индивидуальная работа учеников при решении систем линейных уравнений. Далее решение систем рассматривается у доски.

Задания

для закрепления нового материала

7. Творческое применение знаний, освоение способов деятельности

      Ученикам предлагается исследовать систему уравнений в зависимости от значений параметра а: (работа в микрогруппах)

а х – у = 3,

                                                       - х + а у = - 3.

Ответ:

1) единственное решение:   (3/ (а+1); - 3/ (а+1)), при а ≠ ± 1;

2) Ø при а = - 1;

3) Б.М.Р. при а = 1.

8. Обобщение изучаемого материала на уроке

     Полезно составить с учащимися систематизирующие таблицы. (таблицы прилагаются)

9. Подведение итогов и результатов урока, задание на дом

      На данном этапе урока преподаватель оценивает деятельность учеников на уроке.

10. Домашнее задание

      Домашнее задание дается дифференцированное и по вариантам, таким образом студенты самостоятельно отслеживают уровень своей компетентности и им дается возможность самореализоваться.

Заключение

         Входе данного урока было достигнуто триединство целей: дидактической, развивающей и воспитательной.

          В ходе урока студенты повторили ранее изученный материал, а также материал полученный на уроке. В качестве закрепления нового материала были использованы дифференцированные задания, что позволило ученикам проверить свои силы и знания. Так же на уроке было использовано творческое применение знаний. В конце урока учащиеся полученные знания обобщили и систематизировали в виде таблицы.

        Занятие проходило в доброжелательной обстановке,  ученики не стеснялись выражать свои мысли, принимали активное участие в работе.

      Предлагаемая методическая разработка знакомит с методикой построения комбинированного урока по математике.  Дает возможность проверить знания и умения учеников для подготовки к новой теме, пронаблюдать за восприятием и усвоением нового материала, а так же дает возможность проследить за тем, как ученики обобщают и систематизируют полученные знания.

      В методической разработке представлена структура комбинированного урока по теме: «Системы уравнений. Методы решения».

      Положительные стороны урока – это не только сообщение нового материала, но и систематизация полученных знаний, их обобщение, проверка знаний и умений по предыдущим темам, творческое применение знаний, а так же дифференцированный подход к данной теме.