Решение линейных уравнений с параметрами, содержащих модули.
план-конспект урока (алгебра, 11 класс) на тему

Решение линейных уравнений с параметрами,

содержащих модули.

Цели урока: закрепление навыков решения линейных уравнений с  

                     параметром при наличии модуля;

                     применение различных методов решения уравнений с модулем

                     при решении линейных уравнений с параметром.

Тип урока: закрепление материала.

Оборудование: ноутбук, проектор, экран.

План урока: 

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания (с помощью просмотра презентации).

3. Закрепление материала.

4.Физкультминутка.

5.Самостоятельная работа.

6. Задание на дом.

7. Подведение итогов.

Ход урока.

1. Организационный момент.

 Учитывая, что задания с модулями  и параметрами содержатся обычно в

 заданиях С 5 в ЕГЭ, вы понимаете важность темы «Решение линейных уравнений с параметром, содержащих модули».

    На предыдущих занятиях элективных курсов мы познакомились отдельно с решением линейных уравнений с параметрами и различными методами решения уравнений с модулями. На последнем уроке мы попробовали решать уравнения, содержащие модули и параметры одновременно. Цель сегодняшнего урока – закрепить полученные навыки  и применить их при решении более сложных задач.

2. Проверка домашнего задания.

    Просмотр презентации №1.

3. Закрепление материала.

    №1 Решите уравнение .

 (Три ученика у доски решают данное уравнение различными способами. Каждый ученик, сидящий за партой выбирает для решения любой  известный ему  способ).

Решение.    

1 способ.

При а < - 1  решений нет.

При а = -1 х = - 1 + 5 = 4 и х = - (- 1) +3 = 4.

При а > - 1 х  = а + 5 и  х = 3 – а.

Ответ. При а < - 1  решений нет.

            При а = -1  х = 4.

            При а > - 1 х  = а + 5 и  х = 3 – а.

2 способ.

Ответ. При а < - 1  решений нет.

            При а = -1  х = 4.

            При а > - 1 х  = а + 5 и  х = 3 – а.

3 способ.

1) х – 4 = 0

    х = 4

2) Область определения уравнения – все числа

3) I    

    II

   Ответ. При а < - 1  решений нет.

               При а = -1  х = 4.

               При а > - 1 х  = а + 5 и  х = 3 – а.

№2. Для каждого значения параметра а решить уравнения.

а) ;                      б) .

Решение.

а) 

Ответ: если а > 0, то решений нет;

            если а = 0, то х = - 3; 

            если а < 0, то х = - 3 – а; х =  а - 3.

б)

1)

      Если , то , решений нет.

      Если , то .

      Так как  , то  .

      Если  , то ;

      если  , то решений нет.

2)

      Если , то , решений нет.

      Если , то .

      Так как  , , т.е. .

      Если  , то решений нет;

      если , то .

Ответ: если , то ;

           если , то  и ;

           если , то решений нет.

№3. Решить уравнение  относительно х.

Решение.

 (В ходе решения можно использовать элементы презентации №3.)

  Построим график функции . Числа 1 и 3 разбивают числовую прямую ОХ на три полуинтервала: , на каждом из которых каждое слагаемое с модулями освобождается по – разному.

1)

2) 

3)  

Тогда :

Графики каждой из функций – части трёх прямых, которые вместе образуют ломаную. у = а – уравнения семейства  прямых параллельных оси ОХ.

  Если , то ни одна из семейства  прямых у = а с ломаной не имеет общих точек, а заданное уравнение решения не имеет.

  Если , то прямая у = 2 имеет множество общих точек с ломаной, абсциссы которых образуют . Решение уравнения - .

  Если  , то прямая у = а с ломаной имеет две общие точки. Абсциссы одной (левой) общей  точки  находим из уравнения: .

Для другой (правой0 точки: .

Ответ: если , то решений нет;

            если , то ;

            если , то  и .

№4. Найдите все значения параметра  а, при которых уравнение

1) имеет бесконечное множество решений,

2) не имеет решений.

Решение.

Исходное уравнение можно заменить совокупностью четырёх систем:

1)         2)

3)         4)

 Преобразуем систему 1):

Данная система совместна только при а = 0. При этом также х = 0.

Система 2) равносильна следующей системе:

И она разрешима тоже лишь при а = 0. Её единственное решение х = 0.

Система 3) сводится к системе:

Два последних её неравенства имеют общее множество решений .

Для каждого а из этого отрезка первое уравнение даёт единственное значение х.

Наконец, система 4) принимает вид

Два последних неравенства также имеют общее множество решений . При каждом значении а из первого уравнения находим единственное значение х.

Подведём итоги.

 При a < - 8  b  и при а > 0 ни одна из систем 1) - 4) не имеют решений и исходное уравнение тоже не имеет решений. При  имеют решение системы 3) и 4), а при а = 0  имеют решения все системы 1) -4). Но множество решений каждой из систем при фиксированном  конечное, поэтому исходное уравнение не может иметь бесконечного множества решений ни при каком значении а.

Ответ.1. Уравнение не имеет бесконечного множества решений ни при

               каком значении а.

           2. При  уравнение не имеет решений.

4.Физкультминутка

5. Самостоятельная работа.

№5. При всех значениях  параметра а решите уравнение .)  

Решение. (Проверку можно осуществить с помощью презентации №2)       1)x-1=0  и    x+2=0

   x=1            x=-2                

2)D(f)=R

 3)  Решим уравнение на каждом интервале                                        

I )  

Если а = 3 ,то  x – любое число;

если а ≠ 3 ,то нет решений.

II)   

III)  

Если а = - 3,то ;

если а ≠ - 3 ,то нет решений.

Ответ. При a < - 3 нет решений,

            при а = - 3  х ≥ 1,

            при  - 3 < a < 3   x = - 0,5а - 0,5,

            при а = 3  x < - 2,

            при a > 3  нет решений.

6. Задание на дом.

 №6 При всех значениях  параметра а решите уравнение .

Ответ. Если a < -1 , то х = 4;

            если а = - 1, то х ≥ 4;

            если , то х = 4, х = 4(а - 2)/(а + 1);

            если а = 1, то ;

            если а > 1, то х = 4.

№7. При каких значениях  параметра а  уравнение  имеет три решения?

Ответ. – 1 и – 0,5.

№8. При каких значениях параметра а  уравнение  имеет единственное решение?

Ответ. 0,5.

№9. Найдите все значения параметра а  при которых уравнение  имеет ровно три решения?

Ответ. -0,5 и 0,5.

7. Подведение итогов урока.