Решение задач на проценты.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ.

    Процент – 0,01 часть числа.

Основные задачи, которые мы решаем на уроках математики:

1.  Чтобы найти а% от числа b , надо b умножить на 0,01а, т.е. х= b ·0,01а.
2.  Если а% числа х равны b, то х =
3.  Чтобы найти процентное отношение чисел а и b, надо отношение этих чисел умножить на 100%

Хитрые задачи

Число увеличили на 10%, потом ещё на 10%. На сколько процентов увеличили число за два раза?

Только не торопитесь отвечать "на 20%" - здесь проценты считаются от разных количеств, поэтому их нельзя складывать. 

Решение: Пусть число было равно m . Сначала его увеличили на 10% , т. е. на 0,10m . Получили m+0,10m=1,10m=1,1m.
Теперь полученное число увеличим на 10%, умножив его на 1,1

 1,1·(1,1m)=1,21m.

Ответ: последний результат на 21% больше данного числа.

     Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов. Расчет сложных процентов производится по следующей формуле:

      К = а(1 ±0,p)n 

где а - начальное значение некоторой величины;

К- значение, которое получилось в результате нескольких изменений начальной величины;

     n - количество изменений начальной величины;

     р - процент изменения.

Знак «плюс» применяется в задачах при подсчете увеличения цены товара, а знак «минус» применяется при подсчете снижения цены.

Рассмотрим решение задач, применяя формулу сложного процента:

1. Пачка чая стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит пачка чая?

Решение: Так как повысили на 10%, значит нужно умножить первоначальную цену на 1,1 и при понижении на 10% нужно умножить на 0,9,

     100·(1+0,1) ·(1-0,1) =99 руб.

Ответ: 99 рублей стоит пачка чая.

2. В книжном магазине  энциклопедию по физике стоимостью 380 рублей  уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что после двойного снижения цен энциклопедия стоит 307 рублей 80 копеек.

Решение:

380(1-0,01р)2=307,8

(1-0,01 р)2=0,81

1-0,01 р =0,9

0,01 р =0,1

р=10

Ответ: энциклопедию уценивали на 10%.

3) Цену на автомобиль «Волга» снизили сначала на 20%, а затем еще на 15%. При этом он стал стоить 238000 рублей. Какова была

первоначальная цена автомобиля?

Решение: Пусть х рублей будет первоначальная стоимость автомобиля.

х(1-0,2)·(1-0,15)=238000

х·0,8·0,85=238000

х·0,68=238000

х= 238000:0,68

х=350000

Ответ: 350000 рублей первоначальная стоимость автомобиля.

4) Цену товара уменьшили на 50%, потом на 30%, потом на 20%. На сколько % уменьшилась цена товара?

 Решение: Пусть первоначальная цена  будет х рублей.

х(1 – 0,5)(1 – 0,3)(х – 0,2)=х·0,28=х·(1 – 0,72).

0,72=72%

Ответ: цена товара уменьшилась на 72%.

       Если первоначальная цена некоторого товара составляла Sо денежных единиц, то после ее повышения на р% она составит

Sо + Sо·р·0,01 = Sо (1 +p·0,01) (ден. ед.).

 Аналогично, если первоначальная цена Sо понизилась на р%, то она составит

 So (1 – р·0,01) (ден. ед.).

II. В результате повышения первоначальной цены Sо на р% и последующего понижения на q% окончательная цена равна

 Sо (1+р·0,01)(1 –q 0,01) (ден. ед.).

 Аналогично, если первоначальная цена Sо сначала понизилась на р%, а потом повысилась на q%, то окончательная цена равна ,    

Sо (1 – р·0,01)(1 + q·0,01) (ден. ед.).

Задача1.

До снижения цен книга в киоске стоила 120 рублей. Вычислите цену книги после двух последовательных снижений, если первое снижение было на 10%, а второе на 5%.

Решение: Пользуясь формулами, получаем:

120(1-0,1 )·(1-0,05) = 120·0,9·0,95= 102,6 (рубля) - цена книги после двух последовательных снижений.

Ответ: 102,6 рубля.

Задача2.

После снижения цен в магазине  на 30% свитер стал стоить 2100 рублей. Сколько стоил свитер до снижения цен?

Решение:

Воспользуемся формулами, получаем, что

Sо ·(1-30·0,01)=2100

Sо ·0,7=2100;

Sо=3000

3000 (рублей) - стоил свитер до снижения цен.

Ответ: 3000 рублей.

Задача 3.

Вкладчик положил некоторую сумму на вклад «Доверительный» в Сбербанк России. Через два года вклад достиг 16854 рубля. Каков был первоначальный вклад при 6% годовых?

Решение: Пусть х рублей первоначальный вклад.

16854 = х ( 1 + 6·0,01)(1 + 6·0,01)

16854 = х ·1,06·1,06

х = 15000

Ответ: первоначальный вклад составлял 15000 рублей.

Задача 4.

На сколько % 5 больше 4?

Решение:

=1,25;    5=4·1,25;     5=4·(1+0,25), значит 5 больше 4 на 25%

Ответ: на 25%.

Задача 5.

На сколько % 4 меньше 5?

Решение:

=0,8;    4=5·0,8;     4=5·(1 – 0,2), значит 4 меньше 5 на 20%

Ответ: на 20%.