Методическая разработка на тему: "Разноуровневое обучение на уроках алгебры"
методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….4-7

ГЛАВА I. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ И ИНДИВИДУАЛИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

§1. Понятие дифференциации в обучении математике……………………8-11

§2. Влияние психолого-педагогических особенностей на дифференциацию обучения ……………………………………………………………………..11-18

§3. Дифференциация и индивидуализация в обучении математике …….18-23

§4. Уровневая дифференциация ……………………………………………23-28

§5. Профильная дифференциация ………………………………………….28-32

§6. Индивидуализация обучения математике ……………………………..32-41

§7. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференциации обучения математике в средней школе ……………….41-45

 Глава II.  МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ И ИНДИВИДУАЛИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

§8. Из опыта работы учителей по исследуемой проблеме

8.1. О дифференцированной помощи учащимся при решении задач……46-51

8.2. Дифференцированный контроль знаний …………………………….. 51-55

8.3. Индивидуальные задания для устранения ошибок  ………………….55-59

8.4. Организация дифференциального обучения в непрофильных

кассах………………………………………………………………………….59-61

§9.Дифференцированные задания для учащихся 7 класса………………...62-82

§10.Дифференцированные задания для учащихся 8 класса……………….82-92

§11.Дифференцированная задания для учащихся 9 класса……………….92-96

§12.Описание педагогического эксперимента и его результаты …………97-99

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………….100-101

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………102-104

ВВЕДЕНИЕ

В обучении математике дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой этого учебного предмета. Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает субъективные трудности у многих школьников. В то же время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв  в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух "полюсах", весьма велик.

         Под дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторыми минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначительной и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонности.[9 с.15]

Основные направления реформы общеобразовательной школы предусматривали увеличение числа часов, выделяемых на факультативные занятия, благодаря более раннему их введению (с VII класса одиннадцатилетней школы). Предусматривалось создание школ и классов с углубленным изучением предметов с двухлетним (X – XI). трехлетним (IX – XI) или с четырехлетним (VIII – XI) сроком обучения.

С учетом как отечественного, так и зарубежного опыта в нашей стране создаются классы с углубленным изучением математики, начиная с IX (продолжительностью обучения – 3 года) или даже с VIII класса (продолжительностью обучения – 4 года).

Обучение математике в VIII – IX классах должно способствовать зарождению у учащихся интереса к математике на первичном уровне, поддерживать его развитие до познавательного уровня и тем самым

создавать основы для выбора математики как предмета для последующего углубленного изучения. В этих классах можно эффективно использовать факультативные занятия, самостоятельные работы учащихся и индивидуальные занятия со школьниками. А на второй ступени (X – XI) можно осуществить полноценное дифференцированное обучение математике. [16 с.15]

Школа сегодняшнего дня делает попытку повернуться к личности ребенка, к его индивидуальности, создать наилучшие условия для развития и максимальной реализации его склонностей и способностей в настоящем и будущем. Одним из путей решения проблемы индивидуализации обучения является его дифференциация.

В соответствии с предлагаемой НИИ СиМО концепцией школьного математического образования в основной школе (I - IX классы) предлагается осуществление уровневой дифференциации: по одним и тем же программам и учебникам учащиеся достигают разных конечных целей, соответствующих их возможностям и склонностям. При этом предполагается, что все учащиеся должны достичь установленного сверху обязательного уровня подготовки, а затем уже решать, обучаться дальше или остановиться на достигнутом.

           Итак, в теории и методике обучения математике основную цель дифференциации видят в развитии личности ученика с учетом его индивидуальных особенностей. Такая широкая трактовка понятия дифференциации охватывает понятие индивидуализации, которое трактуется как такая организация учебного процесса, при которой выбор  способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия учащихся, уровень развития их способностей к учению.

          Все выше сказанное определило актуальность исследования.

                  Объектом исследования является процесс преподавания алгебры в 7-9 классах средней школы.

          Предметом исследования является дифференциация и индивидуализация в обучении математике.

                  Научная проблема исследования состоит в выявлении возможности дифференциации и индивидуализации, как средства повышения качества обученности алгебре учащихся 7-9 классов.

                   Целью исследования является разработка методики преподавания темы "Уравнения" для учащихся 7-9 классов с применением дифференцированного и индивидуального подхода.

        В связи с целью были выдвинуты задачи:

• рассмотреть понятие дифференциации;
• определить понятие уровневой дифференциации;
• определить понятие профильной дифференциации;
• рассмотреть индивидуализацию обучения математике;
• рассмотреть практическое применение дифференциации обучения у педагогов - новаторов;
• разработать по теме "Уравнения" разноуровневые задания для каждой группы учащихся;
• провести педагогический эксперимент;

Гипотеза исследования состоит в том, что, если применять дифференцированный и индивидуальный подход и на их основе разработать соответствующие им систему задач, то это позволит повысить качество обученности учащихся 7-9 классов.

Практическая значимость исследования состоит в том, что в ней составлены системы заданий по теме "Уравнения" для учащихся 7- 9 класса, рекомендуемые для работы учителя.

Во введении обоснована актуальность исследования.

В Главе 1 рассматриваются вопросы:

• понятие дифференциации в обучении математике;
• влияние психолого-педагогических особенностей на дифференциацию обучения;
• дифференциация и индивидуализация в обучении математике;
• уровневая и профильная дифференциация
• индивидуализация обучения математике.

В Главе 2:

• рассматривается  опыт работы учителей по исследуемой работе;
• приводятся результаты педагогического эксперимента;
• приводятся конспекты уроков с применением дифференциации и индивидуализации обучения по теме: "Уравнения с одной переменной";
• предлагаются дифференцированные задания  по теме: "Уравнения" для учащихся 7-9 классов.    

В заключении работы приведены основные выводы и результаты проведения исследования.

Список литературы содержит 36 книг.

ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ И ИНДИВИДУАЛИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

 §1. Понятие дифференциации в обучении математике

        Под дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторыми минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначительной и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонности.[9 с.15]

Заметим, что в преподавании математики накоплен определенный опыт дифференцированного обучения. Он относится в основном к обучению сильных школьников (в стране имеется широкая сеть школ и классов с углубленным изучением математики, практикуются также факультативные занятия). Однако дифференциацию обучения нельзя рассматривать исключительно с позиций интересующихся математикой учащихся и по отношению лишь к старшему звену школы. Ориентация на личность ученика требует, чтобы дифференциация обучения математике учитывала потребности всех школьников - не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом или чьи интересы лежат в других областях.

         Дифференциация затрагивает все компоненты методической системы обучения и все ступени школы. Она может проявляться в двух основных видах. Первый выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усваивать материал на различных уровнях. Определяющим при этом является уровень обязательной подготовки. Его достижение свидетельствует о выполнении учеником минимально необходимых требований к усвоению содержания. На его

основе формируется более высокие уровни овладения материалом. По отношению к этому виду дифференциации в последнее время получил распространение термин "уровневая дифференциация".[9 с.15]

Второй вид дифференциации - это дифференциация по содержанию. Она предполагает обучение разных групп школьников по программам, отличающимся глубиной изложения материала, объемом сведений и даже номенклатурой включенных вопросов. Этот вид дифференциации иногда называют профильной дифференциацией. Разновидностью профильного обучения является углубленное изучение математики, которое отличает достаточно продвинутый уровень математической подготовки, что позволяет добиваться высоких результатов. Одновременно высокий уровень учебных требований естественным образом ограничивает число учащихся, охваченных этой формой обучения. Профильное же обучение является более демократичной и широкой формой фуркации школы на старшей ступени.

Оба вида дифференциации - уровневая и профильная - сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного математического образования, однако в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением дифференциации  является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов. Вместе с тем дифференциация по содержанию может проявляться уже и в основной школе, где она осуществляется через систему кружковых занятий (во всех классах) и факультативных курсов в (VIII - IX классах). Эти формы предназначены для школьников, проявляющих повышенный интерес к математике, имеющих желание и возможность работать больше отводимого расписанием времени. Кроме того, начиная с VIII могут формироваться классы углубленным изучением математики.  

         Надо сказать, что существуют разные точки зрения на содержание понятий дифференциации и индивидуализации и на отношение между ними. Так, одни соотносят дифференциацию с образованием, а индивидуализацию с обучением, другие дифференциацию рассматривают как одну из форм индивидуализации. Ряд авторов понятие дифференциации подчиняют понятию индивидуализации, другие полагают, что индивидуализация - частный случай дифференциации. [29 с. 198]

         Эффективность дифференциации (индивидуализации) в обучении зависит от того, насколько удачно сформированы типологические группы школьников. Последнее понимается в контексте адекватности оснований деления на группы математическим способностям. Заметим, что в дидактическо - методической  литературе предлагается более 20 критериев деления учащихся на группы. Так, Е.С.Рабунский предлагает объединять учащихся в группы по успеваемости, устойчивости интереса и уровню познавательной самостоятельности, А.А.Кирсанов исходит из устойчивости восприятия, уровня развития памяти, соотношения наглядно-образного и словесно-логического компонентов мышления, уровня выполнения мыслительных операций. И.Э.Унт предлагает в качестве критериев деления обученность, обучаемость, умение самостоятельно работать, умение читать текст с пониманием и нужной скоростью, специальные способности, познавательные интересы, отношение к труду. Х.И.Лиймете называет следующие признаки: успеваемость по предмету, темп работы, информированность по предмету, способности, взаимоотношения учащихся. А.З.Макоев, Р.А.Утеева делят учащихся на группы исходя из фактического уровня знаний и умений по разделу, теме, курсу. В.Ф.Чучуков в качестве основных параметров деления предлагает: уровень знаний, умений, навыков; уровень развития способностей; уровень работоспособности.

        В практике обучения дифференциация реализуется в основном посредством специальных дифференцированных заданий. Примеры таких заданий найти в методических рекомендациях для учителя.

§2.Влияние психолого-педагогических особенностей на дифференциацию обучения

В данном параграфе описывается методика, основанная на принципе развития математических способностей. Она применялась в непрофилированных классах и создавалась постепенно на протяжении работы в V - XI. Т.е. применение данной методики возможно при уровневой дифференциации.

Подчеркнем, что встречающиеся в настоящее время в педагогической литературе заявления о дифференциации детей по интересам чуть ли не с детского сада являются, по нашему мнению, ошибочным. Психологические исследования показали, что ребенок должен сначала пройти этап всесторонних "атак" на активизацию его задатков. Только после этого, в подростковом возрасте, наступает период отпочковывания специальных способностей. Поэтому в описываемом опыте имел место довольно длительный период наблюдений за учащимися (V - VI), во время которого дополнительные задания по математике предлагались в различных формах всем учащимся, но их содержание не выходило за рамки школьной программы и классических тем занимательной математики. Только с VII класса стали появляться более сложные задания, но предлагались они не всем, а только тем учащимся, которые нуждались в дополнительной работе, выявлявшей (для них же самих) их способности. В этом следуем утверждению Б.М.Теплова: «способность не может возникать вне соответствующей конкретной деятельности».[15 с.5]

Диагностические способности метода. В основу работы закладывается изучение способностей личности. В структуре математических способностей в педагогической литературе выделяются более десяти групп компонентов. Но в работе анализировали две основные: быстроту усвоения и активность мышления.

1 группа – быстрота усвоения. Характеризуется следующими категориями:

• Дословное повторение текста.
• Частичное повторение.
• Воспроизведение 50% текста.
• Самостоятельное воспроизведение ранее изученного текста.
• Воспроизведение материала с помощью учителя.
• Воспроизведение с ошибками, но основная нить вопроса удерживается.
• Замедленное, невнятное воспроизведение текста.
• Умственная отсталость (затухание развития).

2 группа – активность мышления. Характеризуется пятью категориями:

• Плодотворная  работа на протяжении всего урока.
• Работа со «вспышками».
• Неполная работоспособность.
• Быстрая утомляемость.
• Игнорирование заданий.

Материал для анализа указанных компонентов давали прежде всего наблюдения, по результатам которых заполнялась диагностическая таблица. В ней фиксировались различные комбинации из 13 категорий, которые позволили выделить три уровня математических способностей:

уровень А- учащиеся, имеющие хорошие математические способности

(1 группа, категории (1) – (4); 2 группа, категории (1) –(2));

уровень В – учащиеся, имеющие средние математические способности

(1 группа, категории (4) – (6); 2 группа, категории (2) –(3));

уровень С – учащиеся, имеющие низкие математические способности

( 1группа, категории (7) –(8); 2 группа, категории (4) – (5)).

Период разделения класса по уровням приходится на VII класс. Два предыдущих года обучения в средней школе учащиеся подвергались наблюдениям и диагностике. Для получения большей информации о каждом ребенке учитель предлагает всем учащимся заполнить разного рода анкеты. Одна из них приводится ниже.

Анкета

1. Класс…
2. Фамилия, имя…
3. Где и кем работают родители?
4. Отношение родителей к математике? (Имеют математическое образование; применяют математику в своей  работе; увлечены математикой, не любят математику, совсем не интересуются ею). Подчеркнуть нужное.
5. Есть ли в домашней библиотеке математические книги, но не учебники по математике для средней школы? (ДА, нет). Подчеркнуть нужное.
6. Кто больше всего помогает готовить уроки по математике?
7. Сколько времени занимает подготовка к математике?
8. Почему ты учишь математику?
9. Хочешь ли ты знать больше, чем дают на уроке? (Да, нет). Подчеркнуть нужное.
10. Как дается тебе математика? (Легко, много надо заучивать, трудно), подчеркнуть нужное.
11. Твое отношение к математике? (Люблю; учу, чтобы получить хорошую оценку; чтобы не ругали дома; скучно на уроках; не хочу ее учить).  Подчеркнуть нужное.

1. Какими знаниями по математике ты владел до прихода в школу? (Счет до 10 и обратно; сложение в пределах десятка; решение простых задач). Подчеркнуть нужное.
2. Какого вида задания по математике тебе нравятся больше? (Задачи, примеры, задачи и примеры). Подчеркнуть нужное.
3. Мечтаешь ли ты связать свою жизнь с математикой? (Буду математиком; хочу поступить в вуз, где нужно будет сдавать математику; хочу знать как можно больше о разном, не только о математике.) Подчеркнуть нужное.

Итак, в одном  классе сформировались три группы учащихся, по-разному относящихся к математике. О том, в какую группу попал данный ученик, обязательно сообщить его родителям. Беседа с родителями должна проходить в доброжелательном тоне. И родители и учащиеся должны понять, что состав группы не закреплен раз и навсегда. Впоследствии можно перейти из одной группы в другую в соответствии с результатами обучения и желанием учащегося. Период неустойчивого состояния групп продолжается в VIII – IX классах. В Х классе наступает стабилизация, а в XI классе в группах наблюдается процесс, который можно охарактеризовать как «устойчивое развитие».

Методика дифференцированной работы на уроке. Итак, дифференциация начинается в VII классе. Перед учителем уже не класс в общем, а три отдельных группы, объединенные отношением к математике. Фактически это три класса в одном и три плана в одном плане урока. На первых порах трудно всем: учителю, ученикам, предметникам, работающим в этом классе.

Но впоследствии эти трудности исчезают, а умение класса организовываться для многоплановой работы на уроке окупает все издержки.

Начинается поэтапное дифференцирование.

Первый этап – дифференцированная домашняя работа. Трем группам определяются три разных задания. Группе С на дом предлагаются задания, точно соответствующие обязательным результатам обучения. Группа В выполняет такие же задания и плюс более сложные задачи и упражнения из учебника. Для группы А задания из учебника дополняются задачами из различных пособий, в особенности из пособий для поступающих в вузы.

Второй этап – учет знаний учащихся на уроке. На этом этапе работу учителя облегчает так называемый планшет учета знаний. Он изготавливается очень просто: к куску фанеры прикрепляют «окно» из оргстекла. В «окно» вставляется список класса, а рядом с ним закрепляется список класса, а рядом с ним закрепляется начерченная на пластике таблица, в которой предусмотрены следующие графы: уровень учащегося; повторение (П); домашнее задание (Д); положительные ответы; ошибки; недочеты; общий итог, оценка.

Перед уроком каждый ученик, подойдя к планшету, заполняет в строке возле своей фамилии клетки в графах «П» и «Д». остальные клетки таблицы заполняет учитель во время урока. Причем он пользуется специальной символикой, чтобы учащиеся не отвлекались на занятии обсуждением оценок. Подчеркнем, что на таких уроках учитель не занимается непосредственной  проверкой того, как учащиеся повторили теоретический материал или выполнили домашнее задание. Он также не привлекает консультантов – контролеров из числа учащихся. Его выводы основаны на полном доверии тому, что написано в графах «П» и «Д» в планшете учета знаний, и на том, как отвечали на вопросы во время урока.

При подведении итога урока учитель выставляет оценки за работу в классе. Среди обычных оценок выделяется одна нетрадиционная. Это оценка – реабилитация, ее значение располагается между значениями оценок «2» и

 «3». Выставляет ее, учитель как бы говорит: «Первый раз ты действовал неудачно, но второй раз наметилось изменение к лучшему».

Третий этап – организация базового повторения. Что включается в такое повторение? Заполнение выявленных пробелов в теоретическом материале, разъяснение недочетов и ошибок в самостоятельных и контрольных работах. Материал, который учитель планирует повторить, он записывает в виде таблицы на доске или на транспаранте для кодоскопа. При разборе каждого упражнения из таблицы учитель предлагает такие, например, задания:

«Выберите из данных ответов верный», «Исправьте ошибку в данном равенстве» (для уровня С).

«Назовите правило, по которому выполнялось действие», «Закончите упражнение» (для уровня В).

«Поясните причину ошибки», «Дайте определение основным понятиям, использующимся в данной задаче» (для уровня А). учащимся уровня А можно предложить самим придумать задания и вопросы по таблице.

Четвертый этап – проверка усвоения пройденного материала. Она может проводиться в четырех режимах.

1. Режим «самоконтроль» предлагается учащимся из группы А.

2. Учащиеся из группы В и С поочередно работают у доски.

3. В течение урока к работе у доски привлекаются все учащиеся класса.

4. К доске никого не вызывают, но учащиеся рассаживаются по группам: первые две парты в каждом ряду – группа С, затем – В и последние – группа А; члены групп опрашивают друг друга по заранее составленным вопросам.

Пятый этап – изучение нового материала. Каждая тема требует особого подхода к ее объяснению. Но в организационном плане выделяют 4 урока, так называемую «кварту», в течение которой должна быть усвоена тема.

        Каждый урок «кварты» имеет свой девиз: «Изучаем», «Усваиваем», «Закрепляем», «Углубляем». Первый урок «кварты» («Изучаем») обращен одинаково ко всем учащимся. На следующих уроках появляется дифференциация. Задания для группы А быстро переходят от обязательных к творческим («Думай и дерзай!»). Группа В сосредоточивается на упражнениях, которые требуют старания, хорошего понимания основных положений темы и умений сделать 1-2 логических шага в направлении развития этих положений («Старайся!»). Задания для группы С снова и снова возвращают учащихся к основным моментам объясненной темы («Повторяй и запоминай!»).

Шестой этап – самостоятельные и контрольные работы. Самостоятельные работы обычно разделяются на три вида: решение по образцу (для группы С); выделение нужного ответа из нескольких (для группы В); работа с дополнительным материалом (для группы А).

Во время самостоятельных работ практикуется следующий прием. Учащийся, выполнивший задания уровня С, молча поднимает левую руку и продолжает работать над заданием следующего уровня. Учитель подходит к ученику, поднявшему руку, просматривает его тетрадь и отмечает на планшете, верно ли выполнено задание. Этот прием позволяет в течение урока проверить и оценить большинство работ.[15 с.6]

Контрольные работы разделяются по содержанию на базовые (когда проверяется обязательный материал) и так называемые объемные, в которые входят задания по всему материалу изученного курса. На одной и той же контрольной работе учащимся из группы А предлагаются задания, хоть и соответствующие программе, но повышенной сложности. Группа В обычно получает варианты №5 и №6 из «Дидактических материалов» для данного класса, а группа С – варианты №1 и №2 из того же источника.

        Как показал многолетний опыт работы, внедряемые элементы дифференцированного подхода активизирует стремление детей к знаниям. С уроков ушло списывание и ничегонеделание. Ученики чувствуют себя ответственными за процесс обучения, приучаются к самоорганизации учебного труда.

§ 3.Дифференциация и индивидуализация в обучение математике

             По мнению исследователей, феномен дифференциации возник во Франции в 1852 г. (П.Руднев), однако Н.К.Гончаров утверждает, что он появился значительно раньше. В России попытка дифференциации была предпринята в 1864 г. В то время это явление обозначалось термином фуркация и означало разделение учебных планов в старших классов по циклам знаний. В Педагогической энциклопедии (1964г.) приведено следующее пояснение: "Дифференцированное обучение применительно к  образовательной школе представляет собой разделение учебных классов и профилей средней школы". Цели дифференциации были направлены на: 1) выбор учащимися профессии в соответствии с их склонностями и интересами; 2) удовлетворение интереса учащихся к определенному циклу предметов; 3) повышение эффективности учебно-воспитательного процесса в школе; 4) подготовку к продолжению образования в высшей школе.[29 с.197]

             В 1963 г. при  университетах открываются специальные школы - интернаты физико-математического профиля, а в 1966 г. в средних школах вводятся факультативные занятия с целью углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, развития разносторонних интересов и способностей учащихся. В последнее время появились школы разного типа: лицеи, колледжи, гимназии, частные школы. Значительно шире стал спектр профилей школ: физико-математический, гуманитарный, технический, педагогический, экологический и т.д.

Многообразие профилей и типов школ естественно ведет к изменению целей дифференциации. Концепция развития школьного математического образования формулирует их так: "Дифференциация способствует более полному учету индивидуальных запросов учащихся, развитию их интересов и способностей, достижению целей образования. В условиях дифференцированного обучения ученик реализует право выбора предмета или уровня обучения в соответствии со своими склонностями: известная однородность интересов и уровня подготовленности учащихся облегчает и делает более эффективной работу учителя". В настоящее время широкое распространение получила уровневая дифференциация, которую связывают с планированием обязательных результатов обучения.[29 с.198]

Индивидуализация обучения в старшем звене средней школы предполагается предоставление учащимся возможности получить образование в различных направлениях, по разным учебным планам и программам, т.е. осуществление профильной дифференциации на базе фуркации. (Фуркация - построение учебного плана старших классов средней общеобразовательной школы по уклонам (гуманитарным, естественно-математическим и др.) с преимущественным вниманием к определенной группе учебных предметов// СЭС). Но при условии обучения учащихся по выбранным ими направлениям, учитывая возможности каждого подростка, предполагается обеспечить достижение каждым из них некоторого обязательного (базового) уровня знаний по тому или иному предмету.

Попытаемся осмыслить отечественный и зарубежный опыт прошлого и настоящего, связанный с профильной дифференциацией школьного обучения.

         В школе дореволюционной России проблема профильной дифференциации решалась своеобразно. В определенной степени она обеспечивалась наличием различных типов учебных заведений, дающих

среднее образование: гимназий, реальных училищ (технических и коммерческих), кадетских корпусов и др. Каждый тип учебного заведения имел свой учебный план и свои программы, посредством которых и осуществлялась дифференциация обучения. Более того, в начале XX в. обсуждалось несколько различных проектов типологии учебных заведений. Так, проектом министра просвещения того времени Н.П.Боголепова предлагалась следующая типология: гимназия с двумя древними языками (латинским и греческим); гимназия с одним латинским языком; гимназия, допускающая принцип индивидуализации (для учащихся, обнаруживших успехи по тому или иному предмету, разрешалось усиление занятий по этому предмету, т.е. педагогический совет располагал большей свободой в распределении занятий с учащимися); реальное училище; так называемая школа нового типа (здесь предусматривались дополнительные занятия для детей, проявивших интерес и склонности к изучению языков или естественных наук; на старшей ступени предполагались фуркация по трем направлениям; классическому, естественному и гуманитарному); средняя школа с бифуркацией (гуманитарным отделением и реальным отделением) - по существу, предполагалось соединение в одной школе двух типов учебных заведений: гимназии и реального училища.[17 с.22]

Следует отметить, что и в советской школе накоплен определенный опыт обучения учащихся по различным учебным планам и программам, т.е. определенный опыт дифференциации обучения.

Так, в примерных учебных планах для I и II ступеней единой трудовой школы 1920 г. допускалось различное содержание обучения (правда, тесно связанное с географическим местом положения и условиями работы школы): городская школа с промышленной ориентацией; сельская школа с ориентацией на сельское хозяйство.[17 с.22]

Несколько позже на северо-западе России в школах было организовано и обучение по уклонам. Так, в 1924 г. 69 школ II ступени Ленинграда (42 % всех школ города) перешли на обучение детей по следующим уклонам: индустриальному (5 ч математики в неделю); промышленно-экономическому ( 4ч математики в неделю); педагогическому (3 ч математики в неделю).

[17 с.22]

В других городах и селах северо-запада школы  имели также уклоны сельскохозяйственный, экономический, кооперативный.

Однако в отмеченных случаях профильная дифференциация школьного обучения более походила на профессионализацию, так как основывалась на соображениях скорейшей подготовки специалистов среднего звена для быстро развивающейся промышленности и для сельского хозяйства.

Вряд ли такую профильную дифференциацию можно считать серьезным средством индивидуализации обучения, так как особенности личности ученика, его склонности не всегда могли проявиться при выборе из узко ограниченного набора профилей обучения, который определялся, прежде всего, потребностями государства в специалистах. Может быть, поэтому попытка профессионализации старшего концентра средней школы фактически себя не оправдала. Кроме того, предлагаемая интеграция общеобразовательной и профессиональной подготовки школьников оказалась недостаточной и для успешного обучения в вузе (здесь сказалось и обилие программ,  не подкрепленных необходимыми учебными пособиями, и отсутствие достаточного количества квалифицированных преподавательских кадров).

Однако государство остро нуждалось в специалистах высокой квалификации, особенно в индустрии. Такому социальному заказу не способствовал ни разнобой в программах, ни уровень и в связи с усиливающейся централизацией всего народного хозяйства в 1934г. вышло

постановление ЦК ВКП (б) и Совета Народных Комиссаров СССР «О структуре начальной и средней школы в СССР». С тех пор в школе жестко стабилизировались учебные программы по всем предметам. В частности, в 1935 г. была разработана программа по математике, которая просуществовала 20 лет. По существу, школа вернулась к дореволюционным традициям. За основу был взят тип русской школы с бифуркацией, в котором единственное и гуманитарное отделение слились. Казалось бы, произошла весьма негативное событие. Однако установившаяся затем стабильность содержания обучения. Использование советской школой многих высококачественных учебников  (по математике широко использовались учебники А.П.Киселева, задачники Н.А.Рыбкина) сыграли весьма позитивную роль. Фактически поколение, обученное в то время, открыло космическую эру развития техники. [17 с. 23]

В послевоенные годы стало шириться движение за реформу школьного образования в самых различных аспектах (совместное или разделенное обучение мальчиков и девочек, одиннадцатилетнее или десятилетнее обучение, появление факультативных занятий и т.д.).

В последние годы требование индивидуализации обучения в какой-то мере реализовывалось через сеть специализированных школ, ПТУ, классов с углубленным изучением отдельных предметов. Но и здесь формально расширялись лишь программы по определенному предмету, по существу, не отражаясь на комплексе программ по другим предметам.

Анализ опыта работы русской и советской школ показывает:

1. Профильная дифференциация обучения может осуществляться благодаря наличию различных типов учебных заведений, при этом каждый тип заведения имеет свой учебный план и свои программы (в частности, по математике).

1. Профильная дифференциация, основанная на чисто прагматических началах, без учета склонностей и способностей учащихся, не приводит к позитивным результатам.
2. Частичная фуркация, т.е. изменение учебного плана и программ только в отношении одного предмета, без коренной перестройки всего учебного плана и всех учебных программ, нецелесообразна.

§4. Уровневая дифференциация

Термин "уровневая дифференциация" вошел в педагогический лексикон недавно, взамен термина "внутренняя дифференциация", что обусловлено некоторыми особенностями нового подхода. Традиционно дифференцированный подход основывался на психолого-педагогических различиях школьников, при этом конечные учебные цели остаются для всех учащихся едиными, а для многих заведомо непосильными. Сущность дифференциации состояла в поиске приемов и способов обучения, которые индивидуальными путями вели бы всех школьников к одинаковому овладению программой. А эта задача не всегда разрешима. Необходимо также отметить отсутствие адекватных механизмов дифференцированного подхода в традиционном его понимании, которые позволяли бы объективно формировать группы учащихся в зависимости от особенностей их развития и психики. Поэтому оценка индивидуальных возможностей школьников целиком зависит об субъективного мнения учителя, что часто ведет к методическим ошибкам и снижает эффективность дифференцированной работы. [9 с.16]

Принципиальное отличие нового подхода состоит в том, что уровневая дифференциация основывается на планировании результатов обучения: явном выделении уровня обязательной подготовки и формировании на этой основе повышенных уровней овладения материалом. Сообразуясь с ними и

учитывая свои способности, интересы, потребности, учение получает право и возможность выбирать объем и глубину усвоения учебного материала, варьировать свою учебную нагрузку. [9 с.16]

Достижение обязательных результатов обучения становится при таком подходе тем объективным критерием, на основе которого может видоизменяться ближайшая цель в обучении каждого ученика и перестраиваться в соответствии с этим содержание его работы: или его усилия направляются на овладение материалом на более высоких уровнях, или продолжается работа по формированию важнейших опорных знаний и умений. Именно такой подход приводит к тому, что дифференцированная работа получает прочный фундамент, приобретает реальный, осязаемый и для учителя, и для ученика смысл. Резко увеличивается возможности работы с сильными учениками, так как учитель уже не связан необходимостью спросить все, что он давал на уроке, со всех школьников. И, наконец, отпадает необходимость постоянно разгружать программы и снижать общий уровень требований, оглядываясь на слабых школьников.

Необходимо отметить, что принцип выделения уровня обязательной подготовки как основы дифференциации обучения находит поддержку в мировом опыте. В настоящее время во многих странах идет процесс расширения списка обязательных школьных предметов и установления минимальных обязательных требований, представляющих собой государственный стандарт образования, соответствие которому дает школьнику право на получение документа о среднем образовании. При этом требования к усвоению математики в той или иной форме задаются, в конечном счете, в виде конкретных задач.

 Перечислим ряд важных условий, выполнение которых необходимо для успешного и эффективного осуществления уровневой дифференциации. Первое состоит в том, что выделенные уровни усвоения материала, и в

первую очередь обязательные результаты обучения должны быть открытыми для учащихся. Как и успех учебного процесса в целом, успех дифференцированного подхода в обучении существенно зависит от познавательной активности школьников, от того, насколько они будут заинтересованы в своей деятельности. Ясное знание конкретных целей при усвоении их посильности, возможность выполнить требования учителя активизируют познавательные способности школьников, причем на разных уровнях. Если цели известны и посильны ученику, а их достижение поощряется, то для подростка нет ничего естественнее, как стремиться к их выполнению. Поэтому открытость уровней подготовки является механизмом формирования положительных мотивов учения, сознательного отношения к учебной работе, позволяет привлечь самооценку ученика при организации дифференцированной работы.

Следующее важнейшее условие - это наличие определенных ножниц между уровнем требований и уровнем обучения. Не следует отождествлять уровень, на котором ведется преподавание, с обязательным уровнем усвоения материала. Первый должен быть в целом существенно выше, иначе и уровень обязательной подготовки не будет достигнут, а учащиеся, потенциально способные усвоить больше, не будут двигаться дальше. Каждый ученик должен пройти через полноценный учебный процесс. Так, он должен в полном объеме услышать предлагаемый материал со всеми доказательствами,  обоснованиями, ознакомиться с образцами рассуждений, на каких-то этапах участвовать в решении более сложных задач. Иными словами, уровневая дифференциация осуществляется не за счет того, что одним ученикам дают меньше, а другим больше, а в силу того, что, предлагая ученикам, одинаковый объем материала, мы устанавливаем различные уровни требований к его усвоению. С этой точки зрения представляются несостоятельными предложения о создании для основной школы разных

учебников, отвечающих разным уровням требований. Ученик должен иметь в руках учебник, в котором были бы предусмотрены (и явно выделены)  все уровни усвоения материал.

Еще одно важнейшее условие, дополняющее предыдущее, состоит в том, что в обучении должна быть обеспечена последовательность в продвижении ученика по уровням. Это означает, что в ходе обучения не следует предъявлять более высоких требований тем учащимся, которые не достигли уровня обязательной подготовки. Надо, чтобы трудности в учебной работе были для таких школьников посильными, соответствующими индивидуальному темпу овладения материалом на каждом этапе обучения. В то же время если для одних учащихся необходимо продлить этап отработки  основных, опорных знаний и умений, то других не следует необоснованно задерживать на этом этапе.

Содержание контроля и оценка должна отражать принятый уровневый подход. Контроль должен предусматривать проверку достижения всеми учащимися обязательных результатов обучения как государственных требований, а также дополняться проверкой усвоения материала на более высоких уровнях. При этом достижение уровня обязательных требований целесообразно оценивать альтернативной оценкой (например: "зачтено" - "не зачтено"), для более высоких уровней целесообразно разработать соответствующую шкалу оценивания (например, отметки "4" и "5").

        И наконец, еще одно условие, реализация которого существенно усиливает эффективность дифференцированного обучения, - добровольность в выборе уровня усвоения и отчетности. В соответствии с ним каждый ученик имеет право  добровольно и сознательно решать для себя, на каком уровне ему усваивать материал. Именно такой подход позволяет формировать у школьников познавательную потребность, навыки самооценки, планирования и регулирования своей деятельности.

Уровневую дифференциацию можно организовать в разнообразных формах, которые существенно зависят от индивидуальных подходов учителя, от особенностей класса, от возраста учащихся и др. В качестве основного пути осуществления дифференциации обучения предлагается формирование мобильных групп. Деление на группы осуществляется, прежде всего на основе критерия достижения уровня обязательной подготовки. Работа этих групп может проходить в рамках обычных уроков. Их можно также временно выделить для отдельных занятий. В первом случае целесообразно не ограничиваться дифференцированным подходом в процессе самостоятельной деятельности учащихся, а варьировать характер работы групп (самостоятельная или фронтальная под руководством учителя) в зависимости от этапа изучения темы, от потребности в помощи учителя. Во втором случае целесообразно предусмотреть работу и с группами выравнивания, и с группами повышенного уровня, создать соответствующие программы  и методику обучения.

Деление учащихся на группы в зависимости от достижения ими уровня обязательной подготовки носит объективный характер. Организуемая учителем дифференцированная работа выглядит объективной и в глазах ученика и поэтому не создает почвы для обид. Важно, что ученик может самостоятельно оценить свои возможности и выбрать для себя тот уровень целей, который соответствует его возможностям и потребностям в данный момент времени. Ориентация на обязательные результаты обучения постоянно поддерживает подготовку ученика на опорном уровне. Это позволяет ученику при возможности и возникшем интересе перейти на более высокие уровни на любом этапе обучения. Все это является гарантией оперативности, гибкости, мобильности дифференциации, создает в классе атмосферу взаимного доверия между учителем и учениками, способствует активному введению положительных мотивов учения для разных категорий

учащихся. Именно такой подход к дифференциации обучения является существенным условием демократизации и гуманизации образования.

§ 5. Профильная дифференциация

На старшей ступени (X - XI классы) дифференциация образования приобретает систематический характер. В соответствии с Государственным базисным учебным планом она осуществляется через курсы по выбору и профильное обучение. Математика входит в число обязательных учебных предметов, однако она может иметь разный удельный вес в общеобразовательной подготовке ученика по времени, отводимому на ее изучение, а также по глубине и охвату рассматриваемого материала. [9 с. 18]

Специфика математики позволяет утверждать, что теоретический уровень мышления в его чистом виде, максимально удаленном от конкретной эмпирики, наиболее естественно формируется именно при изучении математики, хотя и остальные школьные предметы, безусловно, могут внести в его формирование определенный вклад. Прерогатива и обязанность математики - развитие абстрактного и логического мышления, т.е. качества личности, необходимых для освоения новых областей знаний, для облегчения адаптации к постоянно меняющимся условиям жизни. Безусловно, ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, в воспитании умений действовать в соответствии с заданными алгоритмами, а также конструировать новые, т.е. тех умений, которые необходимы для свободной ориентации в "компьютеризированном мире". Однако развитие мышления - от эмпирического к теоретическому, от конкретного к абстрактному, от синкретического к логическому - длительный процесс, темпы и эффективность которого определяются в целом возрастными особенностями человека. По данным некоторых психологических исследований, логическое

мышление ребенка формируется не ранее, чем к 14-15 годам, а в большинстве случаев - к более позднему возрасту. Поэтому прекратить "питание" интеллекта математикой, оборвать математическую деятельность у значительной части учащихся на выходе из основной школы было бы неверным. Правильным решением вопроса становится резкая дифференциация обучения математике в старшем звене, введение курсов разного объема и уровня.

В зависимости от той роли, которую математика может играть в образовании человека, выделяются два типа школьных курсов для завершающей ступени школы: курс общекультурной ориентации (назовем его курсом А), рассчитанный на учащихся, склонных рассматривать математику только как элемент общего образования и не предполагающих использовать ее непосредственно в своей будущей профессиональной деятельности, и курсы повышенного типа, обеспечивающие дальнейшее изучение математики и ее применение в качестве элемента профессиональной подготовки. [9 с. 18]

Целесообразно выделить два основных курса повышенного типа. Первый из них (курс В) предназначен для учащихся, выбравших для себя те области деятельности, в которых математика играет роль аппарата, специфического средства для изучения закономерностей окружающего мира. Второй (курс С) ориентирован на тех учащихся, для которых собственно математика является одной из основных целей познания.

Таким образом, для старшей ступени школы целесообразно наличие трех основных математических курсов - А, В и С, которые призваны предоставить каждому ученику возможность изучать математику на уровне, соответствующем его интересам, способностям, склонностям. Этих трех курсов в целом достаточно для преподавания математики по профилю любого направления. [9 с. 19]

Курс А может быть выбран теми учащимися, которых интересует,  например, языки, искусство, художественное творчество, спорт или предметно-практическая деятельность. Его специфической особенностью должна быть явно выраженная гуманитарная направленность, т.е. специальная ориентация на умственное развитие человека, на знакомство с математикой как с областью человеческой деятельности, на формирование тех знаний и умений, которые необходимы для свободной ориентации в современном мире.

Однако при этом курс А не должен сводиться к "прогулкам по саду математики", но, безусловно, опираться на традиционные для школьного курса разделы. Обязательные требования по условию курса А фактически должны совпадать с базовым уровнем математической подготовки выпускников средней школы.

Курс В ориентирован на учащихся с научным стилем мышления, выбравших для себя профили естественнонаучных и научно-гуманитарных направлений: химический, биологический, географический, исторический, экономический и др. Заметим, что математизация соответствующих наук касается лишь отдельных их областей, в основном наиболее современных, тогда как другие области практически не используют математических знаний. Поэтому курс В должен быть построен с учетом того, что математика для учащихся указанной категории является хотя и необходимым, но не самым важным предметом. Этот курс должен обеспечивать овладение конкретными математическими знаниями, позволяющими, в частности, выработать представления о применении математики в профилирующей науке и достаточными для изучения математики в вузе соответствующего направления. Однако в не меньшей степени необходимо и специальное внимание к гуманитарной направленности этого курса, обеспечивающей общекультурное развитие школьников.

Курс С - наиболее строгий и полный курс математики - ориентирован на учащихся, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой, и - как следствие - какой-то профиль из группы профилей "математического направления". В эту группу вместе с математическим мы объединяем такие профили, как физический, компьютерный. Дело в том, что процесс математизации знаний исторически начался с математизации физики, а современное состояние и развитие физики, как и всего физического цикла наук, неразрывно связано с математическим аппаратом и математическим мышлением. Современная наука информатика, обязанная своим происхождением вычислительной математике и математической логике, целиком основана на математическом стиле мышления, в том числе и в разделах, которые содержательно с математикой не связаны. Эти особенности физики и информатики и позволяют объединить их в одну группу с математическим профилем с точки зрения целей обучения математике.

Отсюда следует, что программу по каждому из курсов А, В и С целесообразно строить по "модульному" принципу. Каждая программа должна состоять из двух частей: инвариантной (обязательной для изучения всеми, кто выбрал этот курс) и вариативной. Вариативная представляет собой набор разделов, из которых учитель может составить материал, дополняющий основную часть курса. Соответственно "модульный" принцип должен быть положен и в основу создания учебников.

Необходимо сказать специально о возможности профильного обучения в основной школе, которое может осуществляться в рамках углубленного изучения математики начиная с VIII класса. Важно правильно понимать роль и место этих классов в системе профильного обучения, различие целей углубленного изучения в VIII - IX классах и в старшем звене школы.

К VIII классу некоторые учащиеся уже имеют возможность оценить привлекательность математики, ее интеллектуальную эстетику, широкое разнообразие интересных математических задач. Развитие их интереса к математике до познавательного уровня дает им возможность в этом возрасте выбрать математику как предмет для последующего углубленного изучения.

Разумеется, выбор учащегося может оказаться ошибочным, неадекватным его истинным склонностям и возможностям, и поэтому организация углубленного изучения математики в VIII - IX  классах, содержание обучения и требования, предъявляемые на этой ступени, должны быть максимально гибкими. Они должны обеспечивать возможность исправления допущенной ошибки. В не меньшей степени это касается и учащихся, которые осознали свои склонности к изучению математики в более поздней период, так что возможность интеграции в систему углубленного изучения и этих учащихся должна быть обеспечена.

Факультативные занятия являются наиболее массовой формой дифференцированного обучения. Разработана система факультативных курсов, среди которых условно можно выделить следующие:

1. Предметные факультативы, углубляющие и расширяющие знания учащихся по предметам, входящим в учебный план школы.
2. Межпредметные факультативы, интегрирующие знания учащихся о природе и обществе.
3. Факультативы по предметам, не входящим в учебный план, например по дисциплинам психолого–педагогического цикла.

[16 с.14]

§6. Индивидуализация обучения математике

Проблема оптимальной индивидуализации обучения явилась одной из основных причин возникновения специального учебного метода – метода программированного обучения. Поэтому вопросы, связанные с индивидуализацией обучения, стали в первую очередь предметом внимания лиц, занимающихся разработкой программированного обучения.

Поначалу под индивидуализацией обучения понимали лишь обеспечение различного темпа учебной работы школьников в соответствии с их способностями. При этом подчеркивалось, что индивидуализация обучения состоит в том, что сильному учащемуся нужно значительно меньше, а слабому значительно больше упражняться.

Однако в дальнейшем проблема индивидуализации обучения вышла за рамки исследований по программированному обучению, и сформировалось как самостоятельная и важная проблема, связанная с повышением эффективности обучения вообще.[27 с.246]

Было установлено, что недостаточная индивидуализация учебной работы школьников препятствует оптимальному развитию их способностей, влечет за собой снижение уровня знаний.

Понятно, что для осуществления эффективного обучения математике эта проблема имеет особое значение как в силу тех трудностей, которые обычно возникают у учащихся при ее изучении, так и в силу возросшего значения математического образования в системе общего среднего образования.

Индивидуализация обучения математике предполагает и обязательную его дифференциацию, которую следует понимать как всестороннюю доступность и результативность обучения для всех учащихся и для каждого из них в отдельности.[27 с.247]

Отметим, что индивидуализация обучения математике не означает отказ от коллективной деятельности учащихся в процессе обучения; она означает лишь органическое единство индивидуальной и коллективной учебной деятельности школьников.

Основными целями индивидуализации обучения любому учебному предмету, и в частности математике, следует считать:

1. Развитие и использование в обучении индивидуальных качеств личности школьника.
2. Развитие и использование в обучении познавательных интересов каждого школьника.
3. Развитие и использование в обучении интеллектуальных способностей и талантов каждого школьника.
4. Оптимальное развитие способностей к обучаемости у каждого школьника.
5. Подготовка к сознательному выбору профессии.
6. Развитие у каждого школьника навыков самостоятельной учебной деятельности. [27 с.247]

В связи с этим учителю математики необходимо хорошо изучить каждого из своих учащихся с точки зрения уровня знаний, обучаемости, действенности интересов и способностей.

Для того чтобы успешно это осуществить, полезно применять определенную систему тестовых упражнений, имеющих целью проверить:

1. Уровень обученности.
2. Умение самостоятельно работать.
3. Умение читать с пониманием и нужной скоростью учебный текст.
4. Способность к сообразительности.
5. Уровень развития того или иного компонента математического мышления.
6. Познавательные интересы и т.п.

Приведем в качестве примера несколько заданий для учащихся VII класса, имеющих целью проверить уровень развития логического мышления.

1. В следующих примерах число х  принадлежит множеству действительных чисел.

1. Какое из нижеприведенных утверждений справедливо для следующего равенства:

                    (х+3)2 = х2 + 6х + 9.

 а) для всех значений х;

б) только для двух значений х;

в) только для одного значения х;        

г) ни для одного значения х?

2) Ответьте на те же вопросы относительно равенства

                      (х + 3)2 = х2 + 4х + 6

2. Разносторонний треугольник АВС повернут по часовой стрелке вокруг вершины В на величину угла А. Какие из следующих утверждений справедливы:

а) угол между старым и новым направлением [ АС) есть       А;

б) угол между старым и новым направлением [ВС) есть        В;

в) если А1 новое положение вершины А, то биссектриса угла АВА1 перпендикулярна (АА1);

г) ни одна из сторон нового треугольника не параллельна какой-либо стороне данного треугольника.

Применение таких тестов дает учителю возможность изучить динамику развития каждого школьника и подобрать затем систему конкретных заданий для его индивидуальной работы.

Существуют три основных направления для индивидуализации обучения математике:

1. создание относительно однородных по составу классов или учебных групп учащихся;

1. прохождение курса математики в ускоренном или замедленном темпе;
2. внутриклассная индивидуализация учебных заданий в обычном разнородном классе.

             Первое из этих направлений реализуется, например, в создании классов с углубленным изучением математики или учебных групп при проблемной форме организации обучения математике.

             Второе из этих направлений реализуется, например, в школах дефектологического типа.

             Третье, самое действенное направление реализуется при обучении математике в массовой школе посредством дифференцированных учебных заданий для самостоятельной работы.

              При этом наиболее общепринятой является дифференциация упражнений (особенно тех, которые предназначены для домашней работы) по трем уровням трудности. Например:

Задание 1. а) Какое первое слагаемое, если сумма двух чисел равна 10, а второе слагаемое равно 6?

             б) Какие числа следует сложить, чтобы в результате получить число 10?

             в) Какое одно арифметическое действие, и над какими числами следует провести, чтобы в результате получить число 10?

Задание 2. Вычислите устно (объясните способ  вычисления):

            а) 15 ∙ 8 + 26;

             б) 13 ∙ 8 + 26;

             в) 28 ∙ 18 + 54;

В отличие от традиционной постановки учебных заданий по математике на отдельных этапах урока в числе заданий для домашней работы, в различного

вида проверочных работах можно рекомендовать и постановку заданий следующего типа:

          а) учащийся сам выбирает, какую из предложенных ему задач он будет решать (например, требование – из 5 задач решить любые 3);

          б) учащемуся предлагаются дополнительные задачи, решать которые он может лишь добровольно.

Кроме того, при дифференциации обучения математике предполагается, что:

           а) имеют место постоянный контроль и помощь со стороны учителя каждому из учащихся в процессе изучения им программного материала, особенно на начальной стадии изучения темы;

            б) учителем учитываются индивидуальные различия школьников (в способности к обучаемости, в темпе обучения, интеллектуальных способностей и т.п.) при изучении каждой темы школьного курса математики;

             в) резко возрастает «удельный вес» самостоятельной работы учащихся в процессе обучения математике; предлагается, что учитель использует самые разнообразные и содержательные формы этого вида учебной деятельности школьников, отдавая предпочтение тем из них, которые способствуют развитию интереса школьников к изучению математики и творческой инициативы;

              г) оптимально используются различные дидактические пособия и различные технические средства обучения.

            В заключении отметим, что наиболее полно отвечают задаче индивидуализации обучения математике использование учителем такой формы обучения, какой является проблемное обучение, и такого метода изучения, какой является проблемное обучение, и такого метода изучения, как метод обучения на моделях.

Кроме того, в определенной степени индивидуализации обучения математике реализуется и при использовании метода программированного обучения.

             Индивидуальный подход – важнейший психолого-педагогический принцип, согласно которому в учебно-воспитательной работе с детьми должны учитываться все индивидуальные особенности каждого ребенка, поскольку без их учета любое педагогическое воздействие может иметь совсем не тот эффект, на который оно было рассчитано. В последние десятилетия психологи все больше склоняются к мысли, что в основе индивидуальных особенностей лежат физиологические особенности мозга и нервной системы человека.

             Вопрос о реализации индивидуального подхода к ребенку в процессе обучения  представляет собой не только психолого-педагогическую, но и серьезную методическую проблему практически для всех учителей. Даже если допустить, что учитель хорошо разбирается в индивидуально-типологических особенностях всех своих учеников (типы нервной системы, восприятия, памяти, мыслительной деятельности), ему придется самостоятельно решать проблему ограниченности учебных средств, позволяющих реализовать индивидуальный подход к детям; проблему, связанную с жесткими временными рамками изучения темы; проблему обязательности стандартного контроля (уровень сформированности ЗУНов в пятибалльной оценочной системе).

            В педагогической науке индивидуализация  определяется как «организация учебного процесса, при которой выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия учащихся, уровень развития их способностей к учению».

             К основным параметрам нервных процессов, на которые учитель может ориентироваться, следует отнести такие природные индивидуально-типологические свойства, как степень выносливости, работоспособности

нервной системы, ее подвижность - инертность (т.е. скорость смены и скорость протекания процессов возбуждения и торможения).        Подвижность или инертность нервных процессов также является характерной индивидуальной чертой личности человека. Этот параметр, как правило, с возрастом практически не меняется.

             Рассмотрим положительные стороны нейродинамики детей со слабой нервной  системой и инертных детей, позволяющие им стать не только хорошо успевающими учениками, но и порой добиваться гораздо больших успехов в учебной деятельности, чем многим сильным и подвижным детям, которые эти успехи даются гораздо легче от природы.

            Дети со слабой нервной системой любят работать обстоятельно, шаг за шагом выполняя задания, поэтому для них благоприятны ситуации, требующие последовательности, планомерности, когда расписаны каждый этап и их очередности. Они эффективно и с удовольствием действуют по шаблону, алгоритму, единой схеме, правилу.

Такие дети склонны к планированию предстоящей деятельности, за счет чего, как показывают исследования, им удается оптимально организовать ее и рассчитать свои силы таким образом, чтобы их хватило на всю работу.

            Поскольку умение систематизировать учебный материал, работа по образцу, проверка выполненной работы являются необходимыми учебными действиями, можно считать, что это и есть основа самостоятельной учебной деятельности ученика. При этом внешние условия учебной деятельности, организации обучения, методы преподавания часто ставят учеников со слабой нервной системой в трудовое положение. Применение адекватных методических приемов и средств обучения необходимо детям с такими нейродинамическими особенностями. В этом случае они учатся с большой эффективностью использовать в учении положительные стороны своей нейродинамики и добиваются хороших и отличных учебных успехов.

         Дети с инертной нервной организацией находятся в еще более сложном положении в школе, так как требуют, в сущности, значительно больших затрат времени и иной тактики обучения от учителя по сравнению с удобными для большинства. Однако такие дети обладают положительными чертами психики, позволяющими использовать и более эффективные, пусть и совершенно иные стратегии обучения.

            Дети с инертными нервными процессами способны работать долго, не отвлекаясь. Как показывает психологические исследования, для них характерно медленное нарастание активности, но и долгое ее сохранение. Свойство долгого сохранения умственной активности как одно из проявлений саморегуляции человека отражается и на ходе учебной деятельности, и на уровне достижений.

         Такие дети, как и дети со слабой нервной системой, успешно  справляются с однообразной работой на протяжении длительного времени. Они предпочитают иметь дело  с уже освоенным, пройденным материалом. Именно эти дети на уроке терпеливо выслушивают объяснения учителя, стараясь уяснить суть задания и способы его выполнения, а затем способны приступить к его выполнению и в процессе работы уже не обращаться к учителю за дополнительными разъяснениями.

            У них лучше развита долговременная память, чем кратковременная. Уже по самой своей природе инертность характеризует способность нервной системы сохранять следы раздражения. Поэтому инертность, по сути, является основной памяти, приобретения привычек, стереотипов, т.е. лежит в основе научения любого живого существа.

             Достоинством учеников с инертными нервными процессами является и присущая им высокая степень самостоятельности в выполнении учебных заданий. Они предпочитают индивидуальную не зависящую от класса и учителя работу потому, что в таком случае у них есть возможность

произвольно ее организовать. Им тяжела работа в заданном для всего класса темпе. Работая же в своем темпе, они способны сделать ничуть не меньший объем работы, чем подвижные ученики, хотя и за больший отрезок времени. Испытывая меньше неудобств, при индивидуальной самостоятельной работе, школьники с нервными процессами приобретают вкус к самостоятельности и умение действовать в одиночку, рассчитывая на свои силы и способности. Это способствует саморазвитию, самовоспитанию, формированию умения без посторонней помощи приобретать знания, творчески их преобразовывать, открывать новое. Углубленная самостоятельная работа, склонность к которой имеют учащиеся с инертной нервной системой, - важный этап умственного развития, а также формирования личности.

Сравнительный анализ положительных черт нейродинамики детей со слабой нервной системой и инертными нервными процессами позволяет выделить три общие процессуальные динамические характеристики учебной деятельности этих учеников:

1. Медленный темп умственной работы.
2. Необходимость работать в своем темпе, самостоятельно организовывая режим перерывов и переключений.
3. Необходимость четкого планирования объема работы («откуда и докуда»), что позволяет ребенку заранее настроить себя и на определенный темп, и реализовать оптимальный для себя режим перерывов.

§ 7.Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе

            Решение проблемы дифференциации обучения часто видят в открытии школ и классов с углубленным изучением математики. Это, конечно, очень интересное и важное направление, но оно не решает

поставленной проблемы. Во-первых, начинать такую дифференциацию целесообразно с VIII – IX классов (в нашей стране она часто начинается и с X класса), а интерес учащихся к математике должен формироваться значительно раньше. Во-вторых, далеко не во всех районах и поселках нашей страны можно открыть «математические» классы и школы. В-третьих, специализированные школы и классы тоже нуждаются в дифференциации, соответствующей способностям учащихся.[8 с. 27]

            Сказанное заставляет думать о методах обучения математике, учитывающих задачи развития личностных качеств, всех учащихся, а также получения ими необходимого базового математического образования. Эти методы должны также способствовать выявлению и развитию математических способностей тех учащихся, для которых математика стала сферой их основных интересов. Эти методы и приемы могут разрабатываться, опираясь на индивидуальный подход к учебной математической деятельности учащихся или групп учащихся.

Что же можно и нужно делать сейчас, не дожидаясь новой модели школы.  

            I.Отсутствие вариативности, обсуждения возможных путей поиска решения, сравнения полученных результатов ведет к потере интереса к предмету и учебному процессу в целом. Необходимо учиться помогать учащимся делать «математические открытия» для себя, максимально повышая вклад самого ученика в это «открытие».

              В школе много времени уходит на вывод формул площадей фигур, а результат обучения крайне скуден: школьники знакомятся с формулами, которые могли бы узнать из любого справочника и без помощи учителя. Главная идея о возможности вычисления площади фигуры путем ее достраивания и перекраивания остается неразвитой.

            При изучении темы «Площадь треугольника» учитель должен, прежде всего, поставить перед классом такие вопросы: «Чем вызвана потребность

дополнения треугольника до параллелограмма? Почему дополнять следует именно так, как показано на рис.1, а не иначе?». Здесь именно появляется возможность индивидуального подхода к учащимся. Некоторые из них достроят треугольник до параллелограмма так, как на рис.2, другие так, как на рис.3. Большая группа учащихся обычно предлагает другое построение, а именно дополнение до прямоугольника.

            Здесь может возникнуть интересная идея «перекроить» данный треугольник в прямоугольник или параллелограмм. Такой вопрос можно поставить как проблему для домашней самостоятельной работы, если нет времени разбирать его на уроке.

            Перекрой связан с проведением средней линии. Если никто из учеников не догадался, то учитель может сам предложить провести среднюю линию треугольника. Помощь существенная, но все же не прямая подсказка, так как после проведения средней линии «перекрой» еще нужно придумать, причем возникают четыре варианта (рис.5). После выполнения чертежей получение самой формулы не вызывает труда.

Этот пример заставляет задуматься еще над одним вопросом, который психологи называют дозой помощи. Учитель должен уметь оказать ученику

помощь, которая не является командой, а служит направлением к действию, к поиску.

             II. Необходимо перевести обучение математике на деятельный подход. Очень часто ученик просто не понимает, что следует делать, когда ему дают те или иные задания: «докажи», «подумай», «выдели главное», «прочти внимательно» и т.п. Мало того, что эти задания сформулированы в командном стиле,  особая сложность заключается в том, что деятельность ученика в таких случаях не адекватна его возможностям и он не понимает сути этой деятельности.

             В учебном пособие, Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика» 5класс, учащимся, только пришедшим в V класс, предлагается п.1.1 («Чтение и запись натуральных чисел»), который требует выполнить в системе упражнений пять видов действий: [8 с. 29]

1. Прочти следующие числа…
2. Запиши следующие числа цифрами…
3. Запиши число в виде суммы разрядных слагаемых…
4. Запиши числа…
5. Составь многозначное число…

Про все эти действия в тексте пункта практически ничего не сказано. Отметим, что объяснить сущность определенного вида деятельности бывает иногда труднее, чем дать определение математического понятия.

             III Для обеспечения всех видов и форм дифференцированного обучения необходимо иметь полную ясность по отношению к предметному содержанию курса обучения. Как же понять, какой  материал нужен для всех учащихся, какой – для углубленного обучения. С этой целью вводятся так называемые цепочки новой информации, которые или помогают прослеживать последовательность изучения какого-то понятия, способы

представления изучаемых фактов в задачах, или дают дополнительную занимательную информацию, обеспечивающую мотивацию обучения математике.

Наиболее существенную роль в организации дифференцированного обучения играют цепочки задач, несущих новую информацию.

Задачи, составляющие основу обязательного теоретического материала.

1. Докажите, что сумма углов прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1800.

2. Докажите, что сумма углов параллелограмма равна 3600.

3. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Задачи, результаты которых используются постоянно в дальнейшем учебном материале.

1. Докажите, что если у четырехугольника противолежащие стороны равны или противолежащие углы равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2. Докажите, что если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.

Задачи, находящие применение при решении более сложных задач, или задач, содержащие интересные факты.

1. Докажите, что если в четырехугольнике ABCD  = 1800 и ВС || AD, то ABCD – параллелограмм.

2. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится в этой точке пополам.

3. В выпуклом четырехугольнике ABCD  средняя линия содержит точку пересечения диагоналей и делится этой точкой пополам. Докажите, что четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Глава II.  МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ И ИНДИВИДУАЛИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

§ 8. ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЕЙ ПО ИССЛЕДУЕМОЙ ПРОБЛЕМЕ

8.1. О дифференцированной помощи учащимся при решении задач. (Данная методика описана из опыта работы Тимощук М.Е. )

            В методической литературе разработаны критерии для определения уровня развития и уровня обучаемости учащихся. Учитель-практик, хорошо знающий индивидуальные особенности каждого учащегося в своем классе, может разбить класс на группы в соответствии с уровнем сформированности их умений по решению задач. Чаще всего учителя выделяют в классе три группы учащихся, так как работа с большим числом групп приводит к чрезмерной интенсификации труда.

             Учащиеся первой группы имеют пробелы в знаниях программного материала, искажают содержание теорем в применении их к решению задач, самостоятельно могут решить задачи в один - два шага, решение более сложных задач начинают со слепых проб, не умеют вести целенаправленный поиск решения, не могут найти связи между данными и искомыми величинами, часто пропускают обоснования гипотез, сформированных в ходе попыток решения, и не понимают необходимости их проведения, не видят существенных зависимостей и ключевых моментов в решении задач.

            Учащиеся второй группы имеют достаточные знания программного материала, могут применить их при решении стандартных задач. Затрудняются при переходе к решению задач нового типа, но, овладев методами их решения, справляются с решением аналогичных задач; не справляются самостоятельно с решением сложных задач. У этих учащихся не сформированы эвристические приемы мышления, они с большим трудом

могут сформулировать гипотезу относительно конечной цели промежуточных подцелей в процессе поиска решения задачи.

            Третью группу составляют учащиеся, которые могут сводить сложную задачу к цепочке простых подзадач, выдвигать и обосновывать гипотезы в процессе поиска решения задач, переносить прежние знания в новые условия. Эти учащиеся быстро и легко обобщают методы решения классов однотипных задач, совершенно отчетливо выделяют ключевую подзадачу (направляющую дальнейший поиск решения исходной задачи на определенных этапах решения) в решенной, могут сформулировать ее в ходе поиска решения самостоятельно или с небольшой помощью учителя, находят несколько способов решения одной задачи, используют различные эвристические приемы, но обычно неосознанно.

            Знание уровня сформированности у школьников умений по решению задач позволяет учителю при подготовке к уроку заранее спланировать все виды дифференцированных воздействий, подобрать соответствующие задачи и продумать формы помощи для каждой группы учащихся, ориентируясь на зону их ближайшего развития.

            Остановимся на одной из таких форм: дифференцированной помощи учителя непосредственно в ходе поиска решения стереометрических задач.

        Мнение отдельных учителей, что учащиеся первой группы должны решать только простые задачи, является неверным. В психологических исследованиях показано, что привычные способы решения у слабых учащихся навязчиво воспроизводятся, мешают вести поиск в разных направлениях, сковывают мышление, в конечном счете тормозят развитие. Поэтому и с учащимися этой группы, как и при работе с учениками второй и третьей групп, следует наряду с простыми задачами решать сложные.   Учащимися всех трех групп может быть решена одна и та же сложная задача, но мера помощи учителя каждой из групп будет разной.

            Эта мера определяется спецификой каждого из пяти этапов решения задач: 1) подготовки к решению; 2) поиска плана решения; 3) составления плана решения; 4) осуществления решения; 5) обсуждения найденного решения.

             Учащимся третьей группы возможно оказание помощи лишь на втором и пятом этапах. Для учащихся второй группы может быть организована помощь на первом, втором и пятом этапах. Учащиеся первой группы нуждаются в помощи на всех этапах решения задачи, лишь постепенно помощь и контроль учителя ослабляются последовательно на четвертом, затем на третьем этапе решения.

             На некоторых этапах должна быть организована помощь учащимся разных групп, например на первом этапе – учащимся первой и второй групп. С учащимися первой группы можно вспомнить необходимый теоретический материал, прорешать подзадачи, к которым сводится исходная задача, как самостоятельные, решить аналогичную, более простую задачу с целью выявления метода решения.

            Учащиеся второй группы могут предварительно решить ключевую подзадачу в процессе подготовки к решению основной задачи. Затем учитель поможет им свести исходную задачу к уже решенной продуманной системой вопросов.

         Задача. Доказать, что данный тетраэдр можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится ромб.

        Учащихся первой группы нужно подготовить к решению этой задачи. С этой целью можно предварительно решить следующие задачи.

            Задача 1. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через внутреннюю точку Q ребра BD и параллельной прямым BC и AD (рис.1).

Задача 2. Доказать, что можно построить сечение тетраэдра плоскостью так, что в сечении получится параллелограмм.

Если учащиеся не могут самостоятельно решить задачу 2, учитель может помочь постановкой вопроса: какая фигура получится в сечении при решении задачи 1? Или сформулировать подсказку в более явном виде: доказать, что при решении задачи 1 в сечении получится параллелограмм.

            Задача 3. Преобразовать ромб, построенный на одной из сторон параллелограмма, являющегося сечением тетраэдра, в такой ромб, каждая вершина которого являлась бы внутренней точкой одного из ребер тетраэдра.

При решении задачи 3 можно дать учащимся указание воспользоваться гомотетией с центром в вершине А и коэффициентом k = AQ         (рис.2), где

                                                                                                   AQ'

 Q' – вершина параллелограмма, Q – точка пересечения луча AQ' с ребром BD.

        Учащимся второй группы можно предложить предварительно решить задачу 2, затем предложить основную задачу и помочь свести ее к элементарным подзадачам.

        После подготовки учащихся первой и второй групп к решению основной задачи они работают вместе под руководством учителя.

        Выясняется, что задача 2 является частью решения исходной задачи: плоскость сечения должна проходить через внутреннюю точку ребра BD и быть параллельной прямым AD и BC.

            В условиях проблемной ситуации формулируется новая подзадача, к которой теперь сводится исходная задача: доказать существование такой точки Q на ребре BD тетраэдра ABCD, чтобы сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через эту точку и параллельной прямым AD и BC, было ромбом.

        Поставленная подзадача в свою очередь сводится к подзадаче 3, которая уже решена учащимися первой группы. Учащиеся обеих групп должны выделить ее из исходной. Формулированием элементарной задачи 3 завершается поиск решения исходной задачи.

            Учащиеся третьей группы, воспользовавшись общим приемом проведения нисходящего анализа, могут начать решение исходной задачи с рассуждений: пусть сечение, удовлетворяющее условию задачи, существует, т.е. четырехугольник  MNPQ – ромб (рис.2). Уже при попытках выполнения чертежа у учащихся может возникнуть предположение, что смежные стороны ромба параллельны двум противоположным ребрам тетраэдра. Если чертеж не привел к выдвижению гипотезы, учитель может продвинуть поиск решения постановкой вопроса: «Как расположена плоскость сечения относительно ребер тетраэдра?».

            В ходе отыскания ответа на поставленный вопрос учащиеся доказывают, что если сечение тетраэдра некоторой плоскостью есть ромб, то эта плоскость параллельна двум противоположным  ребрам тетраэдра.

Учитель ставит следующий вопрос: «Если пересечь тетраэдр плоскостью, параллельной двум его противоположным ребрам, то всегда ли сечение будет представлять собой ромб? Найти условие, при котором в сечении получится ромб»».

             Далее учитель может подсказать, что при решении поставленной задачи можно использовать метод подобия: сначала показать существование ромба, подобного искомому, затем показать, как преобразовать его в искомый ромб.

             Полезно рассмотреть с учащимися и второй способ решения последней задачи. Для доказательства существования точки Q на ребре BD тетраэдра ABCD достаточно получить формулу для выражения расстояния от вершины D до точки Q через длины ребер данного тетраэдра. Введем обозначения:

BC=a, AD =b, BD=c, PQ=x – и составим систему уравнений из рассмотрения пар подобных треугольников MBQ и ABD, QDP и BDC:

        Из последнего равенства найдем                                       , откуда х=

Тогда BD =

        В практике работы школы учитель может подобрать сложные задачи с учетом подготовки класса и оказывать дифференцированную помощь учащимся, используя предложенную методику.

8.2. Дифференцированный контроль знаний. (Предлагаемый опыт работы Воробьевой Л.А. по теме: "Параллелограмм").

            Приведенный пример осуществления дифференцированного контроля при изучении темы «Параллелограмм».

Прежде всего, рассмотрим свойства параллелограмма и задачи на применение этих свойств. Учитель попадет в трудное положение, так как параллелограмм хотя и имеет конечное число свойств, но их достаточно много. Перечислим некоторые из них по мере усложнения задач.

1. Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
3. В параллелограмме противолежащие стороны и противолежащие углы равны.
4. Сумма величин углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1800.
5. Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

             Если работать по учебникам А.В.Погорелова, Л.С.Атанасян, то свойства 2 и 3 выделены в теоретическом материале жирным шрифтом. Свойство пересечения диагоналей параллелограмма у А.В.Погорелова дано в более сложном виде, поэтому учитель в зависимости от индивидуальных особенностей класса может его доказывать. Остальные свойства не выделены ни в одном из этих учебников. А ведь среди них есть такие, без понимания которых невозможно дальнейшее продвижение вперед. Например, свойство 4. В практической работе только опытные учителя дают учащимся представление о том, что параллелограмм имеет большее количество свойств, чем предложено в учебниках.

            Проанализировав задачи на применение свойств параллелограмма, распределим их таким образом, что задачи групп с первой по пятую направлены на применение соответствующих свойств, предложенных выше.         В шестую группу входят комбинированные задачи и задачи, в которых выражены свойства параллелограмма, не предложенные в учебниках ни в теоретическом материале, ни в задачах. Причем задачи на прямое применение свойств и соответствующие обязательным результатам обучения обозначены значком – 0, а задачи, требующие дополнительных основных знаний из изученного ранее и также являющиеся обязательными результатами обучения, -   . Свойства, выраженные в задачах, выделены курсивом. Очень жаль, что в планируемых результатах обучения нет

разделения задач на прямое применение свойств и задач, требующих дополнительных элементарных знаний.

        I. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.

1.   В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины B на сторону AD, делит ее пополам. Докажите, что: а) треугольник ABD – равнобедренный; б) треугольник BDC – равнобедренный.

2. Четырехугольник ABCD делится диагональю AC на два равных треугольника. Будет ли ABCD всегда параллелограммом?

        II. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1.0 Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 и 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух других вершин?

2.0 ABCD – параллелограмм, О – точка пересечения диагоналей.  

а) Диагональ АС = 12см. Чему равен отрезок АО?  б) Отрезок ВО =3см. Чему равна диагональ BD?

3.   Сторона АВ параллелограмма ABCD равна 7 см, диагонали AC и BD равны 6 и 10 см, О –точка пересечения диагоналей. Определите периметр треугольника AOB.

4.    ABCD –параллелограмм. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Докажите, что отрезок ВО является медианой треугольника АВС.

5. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок прямой, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.

        III. Докажите, что в параллелограмме противолежащие стороны равны.

1.0 В параллелограмме ABCD AB=10 см, BC =15 см. Чему равны стороны AD и CD?

2. Стороны параллелограмма равны 3 и 6 см. Чему равен периметр параллелограмма?

3.   Периметр параллелограмма 18 см. Чему равна сумма двух соседних сторон?

4. Через производную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника:

а) Докажите, что периметр получившегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника. б) Найдите периметр получившегося четырехугольника, если боковая сторона равнобедренного треугольника 5м.

        IV. Докажите, что в параллелограмме сумма величин углов, прилежащих к одной стороне, равна 1800.

1.0 Докажите, что сумма углов параллелограмма равна 3600.

2.   Могут ли углы треугольника быть равными каким-либо трем углам параллелограмма.

3.0 Может ли только один угол параллелограмма быть прямым?

4.   Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 250 и 350. Найдите углы параллелограмма.

5. Найдите углы параллелограмма, если: а) сумма двух из них равна: 1000; 1600; 1800; б) разность двух из них равна: 700; 1100; 1400.

        VI. Докажите, что биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

1.   В параллелограмме проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. а) Чему равны отрезки ВЕ и ЕС, если АВ=9 см, AD =15 см; б) Найдите периметр параллелограмма, если ВЕ =7 см, ЕС =14 см.

2.0 Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, лежит на противоположной стороне. Какому условию удовлетворяют стороны параллелограмма?

3. Стороны параллелограмма равны 10 и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

        VI. 1.Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри параллелограмма, до прямых, на которых лежат его стороны, - величина постоянная для данного параллелограмма.

2 . Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, разбивает его на два равных четырехугольника.

3. Докажите, что биссектриса двух противолежащих углов параллелограмма параллельны.

4. Докажите, что в параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.

5. Докажите, что в параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ.

6. Докажите, что противоположные параллельные стороны параллелограмма отсекают на прямой, параллельной его диагонали, равные отрезки.

7. Докажите, что в параллелограмме угол между высотами, проведенными из вершины его тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

8. Середины (точки E и F) параллельных сторон ВC и AD параллелограмма ABCD соединены с вершинами D и B. Докажите, что полученные отрезки BF и DE делят диагональ АС на три равные части.

9. В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону AD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника ABD равен 3м.

10. Параллелограмм, периметр которого 50 см, разделен диагоналями на четыре треугольника. разность периметров двух из них равна 5 см. Найдите стороны параллелограмма.

8.3.Индивидуальные задания для устранения ошибок (Предлагаемый опыт работы Азиева И.К.)

         Индивидуальные задания должны быть составлены методически правильно и четко направлены на преодоление конкретных ошибок. Чтобы справиться с такого рода методической задачей, учителю необходимо постоянно вести учет основных затруднений учащихся. Для этого можно

использовать специальную тетрадку, разграфленную так, как показано ниже.

         Все графы таблицы, кроме первой, заполняются карандашом, чтобы можно было стирать записи и заменять их другими по мере преодоления ошибок. Список ошибок пополняется во время проверки домашних заданий, самостоятельных и контрольных работ и при проведении зачета, хотя ошибки в своем большинстве неоригинальны. По каждой теме они повторяются из года в год. Молодому учителю будет полезно ознакомиться с ошибками, которые учащиеся допускают при изучении математики в V-VI классах.

При выполнении действий над десятичными дробями учащиеся допускают ошибки в выделении целой части результата, например: 3,4+5,3=87;  

4,2-1,8=24; 4,1∙1,1=451; 2,4:2=12.

         При беседе с учащимися, допустившими такую ошибку, выясняется, что они просто забыли поставить запятую. Эта  ошибка устраняется в результате длительных тренировок.

Самая типичная ошибка допускается при делении десятичной дроби на десятичную: делят, не обращая внимание на запятые, например, так: 2,576:11,2=23. Обычно учащиеся знают правило деления, но затрудняются различить делимое и делитель.

        Для устранения этих ошибок практикуются задания на карточках, в которых каждый пример сопровождаются тем или иным правило, сформулированным полностью или с пропусками.

        Карточка №1.  Чтобы сложить две десятичные дроби, надо:

а) уравнять число знаков… в слагаемых;

б) записать слагаемые друг под другом так, чтобы запятая…;

в) сложить получившиеся числа, как складывают…;

г) в полученной сумме поставить запятую под…

Задания.

1. Уравняйте число знаков после запятой в следующих числах: 2,5; 0,25; 43,1256; 325.1.

2. Сложите дроби 12,7 и 3,442; 0,237 и 10,44.

         Карточка№2. Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение, не обращая внимание на…, а затем в результате отделить запятой… столько цифр, сколько их стоит после запятой…

Задания.

1. В записи 1234567 отделите запятой справа: а) одну цифру; б) две цифры; в) шесть цифр; г) семь цифр.

В каком случае в результате получается число, которое больше 1, но меньше 2? Больше 0, но меньше 1?

2. Перемножьте числа 2,7 и 1,32.

Карточка №3. Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести… вправо на столько цифр, сколько их после…в…, а потом выполнить деление на натуральное число.

Задания.

1. В записи 2,88:0,8 подчеркните одной чертой делимое, а двумя - делитель.

2. В числах 1; 0,05; 3,25 перенесите запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в числе 0,5.

3. Разделите 2,576 на 1,12.

  Наиболее распространены ошибки в действиях с обыкновенными дробями. Так, при сложении (вычитании) дробей складывают (вычитают) числители и знаменатели:

Складывая (вычитая) дроби, забывают умножить их числители на дополнительные множители:

Целую часть прибавляют к числителю без приведения к общему знаменателю:

От целой части отнимают числитель без приведения к общему знаменателю:

          Учащимся, допускающим такого рода промахи, можно предложить индивидуальные задания, которые побуждают к поиску ошибок и установлению парадоксальности  неверных результатов.

        Карточка №4. Сумма положительных чисел не может быть равна одному из слагаемых. Не может она, и быть меньше какого-либо слагаемого.

        1. Учитывая эти свойства положительных чисел, объясните, в чем кроется ошибка следующего действия:

а)   б)

        2. Среди данных действий подчеркните верные, а неверные выпишите отдельно и исправьте:

а)  б)  в)

        Карточка №5. Известно, что вычитание проверяется сложением. Но можно для проверки воспользоваться и тем, что разность двух положительных чисел не может быть больше уменьшаемого.

        1. Учитывая сказанное выше, установите, верен ли результат вычитания:

а)  б)

        2. В данных ниже равенствах поставьте вместо точек такие числа, чтобы равенства стали верными:

а)   б)  в)

          Ошибки при умножении и делении смешанных чисел связаны с неумением превращать их в неправильную дробь.

        Умножают отдельно целые и отдельно дробные части, например:

        Делят целые части чисел, а дробную часть первого числа просто переписывают:

          При умножении (делении) смешанного числа на десятичную дробь умножают (делят) отдельно целые части и отдельно дробные, а результаты записывают  рядом, например:    

        Для устранения этих ошибок практикуются задания, в которых от учащихся требуются доказательства ложности некоторых выводов.

          Карточка №6. Известно, что деление проверяется умножением, а умножение – делением. Существуют и другие способы проверки. Они основаны на том, что, например, произведение двух чисел, больших 1, не может быть меньше 1, а частное от деления двух неравных чисел не может быть равно 1.

        1. Пользуясь этими правилами, докажите, что в следующих действиях допущены ошибки, Исправьте результаты.

а)   б)  в)

        2. В данных ниже равенствах вместо точек вставьте нужные числа и объясните, как они найдены:

а)  б)

8.4. Организация дифференцированного обучения в непрофильных классах (Предлагаемый опыт работы Юркина С.Н.)

             Предлагается опыт организации дифференцированного обучения в непрофилированных классах. Этот опыт накапливается постепенно, на протяжении четырех лет работы - с 4 по 7 класс и, возможно, он будет обогащаться новыми деталями и дальше.

        Каждый класс в начале года учитель разбивает на 6 групп по результатам успеваемости и отношению к делу в прошлом учебном году, при этом учитывается и психологическая совместимость учеников. Это разбиение будет стабильным в течение учебного года, хотя частные переходы из группы в группу возможны в случае, если ученик стал заниматься лучше, или, наоборот, хуже. На разных этапах учебной работы

для каждой группы учеников используются варианты заданий различной сложности.

        Так, при работе в классе дифференцированное обучение можно провести следующим образом. После того как учитель объяснит всему классу новый материал и проведет первоначальное формирование умений по данной теме, следует перейти к закреплению умений, доведению их до навыков. Именно здесь можно использовать варианты различной сложности. Существует несколько способов их применения:

        а) 1, 2 , 3 группы решают общее задание фронтально под наблюдением учителя, а 4, 5, 6 группы выполняют общее или индивидуальные задания самостоятельно. Для них предусмотрен какой-либо вариант проверки;

        б) 1, 2, 3, 4, группы работают самостоятельно, а 5 и 6 группы вместе с учителем разбирают задания повышенной трудности;

        в) учащиеся, хорошо усвоившие материал, работают самостоятельно, а те, у кого возникли затруднения, выполняют задания под руководством учителя;

        г) ученики четырех групп работают самостоятельно, а одна группа получает более трудное задание, другая - более простое; для каждой группы предназначен способ проверки.

        Такая организация формирования и закрепления умений позволяет заботиться о развитии сильного ученика, предупредить отставание слабого, дает возможность основной массе класса получить достаточно прочные знания по теме.

        Наличие вариантов различной сложности позволяет легко организовать самостоятельную или контрольную работу. Каждый учитель знает, как трудно справиться с выдачей 35-40 карточек, особенно если самостоятельная работа проводится в середине урока. Мы складываем

карточки с заданиями на учительском столе в 6 стопок. Члены каждой группы по очереди подходят к столу и берут нужную карточку. Это занимает 1-2 мин и не нарушает порядок на уроке.

         Зачеты (в основном по геометрии) учитель также может принимать, используя варианты различной сложности. Если в параллели три класса, то для 18 групп составляется график приема зачета. Сначала учитель принимает зачет у учащихся 6 группы, затем вместе с помощниками из этой группы - у ребят 5 и 4 групп, и, в свою очередь, с помощниками из 5 и 4 групп - у членов 1-3 групп. Такую работу можно проводить либо после уроков, либо, предварительно прослушав и проконсультировав учащихся 5 и 6 групп, на уроке.

        На уроках-отчетах класс отчитывается в своих знаниях перед родителями, учителями своей школы или соседних школ. Ребята рассаживаются в классной комнате так, чтобы в первом ряду сидели члены 1 и 2 групп,  во втором ряду - ученики 3 и 4 групп, в третьем ряду - ребята 5 и 6 групп.

        Так как на уроках - отчетах идет в основном проверка знаний, умений и навыков, можно предложить ребятам использовать элементы самоконтроля, особенно важные при выполнении экзаменационных работ.

§9. Дифференцированные задания для учащихся 7 класса.

Тематическое тестирование № 1 для 7 класса по теме: "Уравнения с одной переменной"

Цель: проверка умений применить теоретические знания на практике

Тестирование разбито на 2 уровня. Первый уровень содержит задания, позволяющие проверить, насколько учащийся может повторить  информацию. При  правильном выполнении первого уровня ставится оценка "3". Задания второго уровня позволяют проверить, насколько учащийся понял и научился применять новые задания. Оценка "4" ставится при правильном выполнении 1 уровня и 4-х заданий второго уровня, оценка "5" ставится при правильном выполнении всех заданий.

Дифференциация данного тематического тестирования связана с делением заданий на уровни сложности, индивидуализация связана с тем, что каждый ученик выполняет поильный уровень.

Вариант 1

Уровень 1.

1. Заполните пропуски.

Уравнения – это…, содержащее переменную. Корнем уравнения называется….., при котором уравнения обращается в…..                                          

2. Выбрать записи, являющиеся уравнением:

5 ∙ 1/5 – 7 = - 6;          (х – 1)(х + 5) = 0;              4х – 9;        2х – 15 = 3.

3. Выбрать уравнения, корнем которых является число 5:

               3х + 1 = 16;                          5(2 – х) = 4 + х;

               7 + х = 2х – 22;                    (х + 2)(х – 2) = 21.

4. Выбрать число, которое является корнем уравнения х2 – х = 6.

Выбрать ответы:

 а) 3;   б) – 1;    в) 0;   г) – 3;   д) – 2.

5. Заполните пропуски.

Уравнения, имеющие…..корни, называются равносильными. Уравнения, которые ….. корней, также считаются равносильными.

6. Отметить знаком « + » пары равносильных уравнений:

 а) 3х – 6 = 0; 3х = 6;               б) 5(х + 2) = 20; х + 2=5;

  в) 7х/9 = 4; 5 + 2х = 5;           г) 2х + 4 = 7; 5 + 2х = 2.

7. Заполните пропуски.

При решении уравнений используются следующие свойства:

- если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, ….его знак, то получится уравнение, …..данному;

- если обе части уравнения умножить или разделить на ….число,….., то получится уравнение……..данному.

8. В приведенном ниже решении уравнения дайте описание каждому действию.

9. Заполните пропуски в определении и завершите высказывания.

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида …., где……

Линейное уравнение:

 - имеет единственный корень, если……;

- не имеет корней, если …….;

- имеет бесконечное множество корней, если …….

10. Выбрать уравнения, являющиеся линейными.

2х = 5;       4х2 – 5 = 19;         – 4 = 0;

х ∙ (х + 3) = 0;    5х + 3 = 2х – 7

Уровень 2

11. После решения линейного уравнения коэффициент при х оказался стертым. Восстановить его.

а)  …х = 27:            б) …х = -15;       в) …х=;            г) …х = 0,04;

     х = 9;                       х = - 3;               х = - ;                х = 0,2.

12. Вписать пропущенные знаки и продолжить решение уравнения.

4(2х – 5) = - 3(-5х + 13)

8х …20 = …15х…39

8х …15х = …39 …20

13. Поставить знак «+» рядом с верным решением уравнения. В неверных решениях отметить ошибки.

        а) 6у – (у – 1) = 2(2у – 4)              б) 6у – ( у – 1) = 2(2у – 4)        

            6у – у – 1 = 4у – 8                                          6у – у + 1 = 4у - 4

            5у – 1 = 4у – 8                                                 5у + 1 = 4у - 4

            5у – 4у = - 8 + 1                                               5у – 4у = -4 - 1

             у = - 7                                                               у = - 5

         в) 6у – (у – 1) = 2(2у – 4)                             г) 6у – (у – 1) = 2(2у – 4)

              6у – у + 1 = 4у – 8                                        6у – у + 1 = 4у - 8

               5у + 1 = 4у – 8                                              5у + 1 = 4у - 8

               5у – 4у = - 8 – 1                                            5у – 4у = - 8 – 1

                у = - 9                                                            у = - 9

14. Составить выражение по условию задачи.

а) В одном классе х учеников, а в другом на 5 учеников больше. Значит, в другом классе ____________ учеников.

б) Турист шел 3 часа со скоростью х км/ч. Тогда он прошел расстояние равное ______________ км.

в) Скорость катера х км/ч. Скорость его движения против течения реки ________ км/ч, если скорость течения 3 км/ч.

15. В трех цехах завода работают 624 рабочих. Во втором цехе рабочих в 5 раз больше, чем в первом, а в третьем – столько, сколько в двух первых цехах вместе.

Поставить вопросы к выражениям, составленным по условию задачи.

Вариант 2

Уровень 1

1. Заполните пропуски, выбрав слова из приведенного списка:

выражение, равенство, значение переменной, верное равенство, тождество, запись.

Уравнение – это…., содержащее переменную. Корнем уравнения называется ….., при котором уравнение обращается в …...

2. Выбрать записи, являющиеся уравнениями:

5х – 8;          4у – 17 = 7;         (2х – 2)(х + 5) = 0;   4/8 – 4,5 = - 2.

3. Выбрать уравнения, корнем которых является число 7.

4х – 7 = 21;                                   3(х + 4) = 15 + 2х;

(4 + х)(х – 9) = - 22;                      3х – 2 = 2х – 33.

4. Выбрать число, являющееся корнем уравнения

х2 + х = 12

а) 3;      б) – 2;   в) 0;    г) 4;  д) – 4.

5. Заполнить пропуски.

Уравнения, имеющие…… корни, называются равносильными.

Уравнения, которые…. корней, также называются равносильными.

6. Отметить знаком «+» пары равносильных уравнений.

          а) 4(х – 3) = 20;  х – 3 = 4;                             б) 2х – 6 = 2; 2х = 8;

          в) 3х/5 = 7;  3х = 35;                                       г) 7х + 5 = 19; 17 + 7х = 3.

7. Заполнить пропуски.

При решении уравнений используются следующие свойства:

- если в уравнении перенести ….. из одной части в другую, поменяв его ….., то получится уравнение, равносильное данному.

-если обе части уравнения умножить или разделить на ….число,….., то получится уравнение……..данному.

8. В приведенном ниже решении уравнения дайте описание каждому действию.

9. Заполните пропуски.

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида …, где …….

Соединить соответствующие части утверждений.

10.Выбрать уравнения, являющиеся линейными.

а) 3х = 2;                  б) 2х2 – 8 = 4;

б)  – 9 = 0;           г) х(х – 2) = 0;

в) 7х + 2 = 4х – 10.        

Уровень2.

11. После решения линейного уравнения коэффициент при х оказался стертым. Восстановите его.

а) …х = 42;         б) …х = - 18;       в) …х = ;                 г) …х = 0,08;

        х = 6.              х = - 3.                  х = - .                      х = 0,2.

12. Вписать пропущенные знаки и продолжить уравнения.

3(6х – 7) = - 4(- 3х + 9)

18х…21 = …12х…36

18х…12х = …36…21

13. Отметить знаком «+» верное решение уравнения. В неверных решениях отметить ошибки.

                 а) 3х – (12 – х) = 4(5 –х);        б)3х – (12 – х) = 4(5 – х);        

                   3х – 12 + х = 20 – х;                                3х – 12 + х = 20 – 4х;

                   4х – 12 = 20 – х;                                      4х – 12 = 20 – 4х;

                    4х + х = 20 + 12;                                      4х + 4х = 20 - 12;

                      х = 6,4.                                                    8х = 8;

                                                                                      х = 1.    

                  в) 3х – (12 – х) = 4(5 –х);                        г) 3х – (12 – х) = 4(5 – х);

                       3х – 12 + х = 20 – 4х;                              3х – 12 – х = 20 – 4х;

                        4х – 12 = 20 - 4х;                                     2х – 12 = 20 – 4х;

                        4х + 4х = 20 + 12;                                    2х + 4х = 20 + 12;

                        8х = 32 ;                                                     6х = 32;

                        х = 4.                                                          х = .  

14. Составить выражения по условию задачи.

а) В одной коробке х карандашей, а в другой на 4 карандаша меньше. Значит, в другой коробке _________________- карандашей.

б) Велосипедист ехал t часов со скоростью 12 км/ч. Тогда он проехал расстояние, равное _________________ км.

в) Скорость катера 20 км/ч, Скорость его движения по течению реки равна _________________ км/ч, если скорость течения х км/ч.

15. Три цеха изготовили 2648 деталей. Второй цех изготовил деталей в 3 раза больше, чем третий, а первый – столько, сколько второй и третий вместе.

Поставить вопросы к выражениям, составленным по условию задачи.

Тематическое тестирование № 2 для учащихся 7 класса по теме: "Уравнения с одной переменной"

Цель: контроль изученного материала по теме: "Уравнения с одной переменной".

        Данное тематическое тестирование предлагается с целью: проверить знания учащихся по решению линейных уравнения. Работа рассчитана на 1 урок после изучения выше указанной темы.

        Тематическое тестирование состоит из 2 вариантов, каждый из которых содержит обязательную и дополнительную часть. Часть обязательная состоит из заданий первого уровня сложности и может оцениваться только оценкой "3" в результате правильного решения. Дополнительная часть состоит  из второго и третьего уровня сложности и может оцениваться оценкой "4" при  правильном выполнении первого уровня сложности и задания номер 5, а оценка "5" ставится при  правильном выполнении всех заданий.

Дифференциация в данном тематическом тестировании состоит в том, что работа состоит из двух вариантов сложности. Индивидуализация состоит в том, что каждый ребенок выбирает уровень сложности по своим силам.

Обязательная часть                        Вариант №1

1. Закройте «окошки» числами, восстановив пропущенную часть линейного уравнения:

а) 8х =       ,              б) - =       ,                 в)      ∙х = - 6,

    х = -3.                        х =0.                                х =3.

2. Являются ли корнями уравнения х2 + х =0 числа:

а) 2 (да/нет);    б) -1 (да/нет);  в)  0 (да/нет);  г) 3 (да/нет).

3. Решите уравнения и из предложенных ответов подчеркните верный:

  а)  3х  + 1 = -0,5                                                  б) 3 (у+6) – 5(у-1) = 4-у

Ответы: а)2;  б)-0,2; в)- 1,8.                     Ответы: а) – 19; б) 19;  в) 27.

4. Веревку длиной 84 м разрезали на две части, одна из которых в 3 раза длиннее другой. Найдите длину каждой части.

а) Выберите из составленных уравнений то, с помощью которого можно решить данную задачу:

1) 84:3 = х (да/нет);            2) х+3х=84 (да/нет);       3) х+х+3 =84 (да/нет)

б) Решите это уравнение: __________________.  

Дополнительная часть

5. При каком значении переменной у значение выражения у – 0,1 равно значению выражения 0,4∙ (у – 2,5)? Из предложенных ответов подчеркните верный.

Ответы: а) – 2/3; б) 1,5; в) – 1,5.

6. При каких значениях х равных -3; 12; 0 равенство верно?

        Вариант№2

Обязательная часть.

1. Закройте «окошки» числами, восстановив пропущенную часть линейного уравнения:

а) – 2х =      ,                   б) 0,3х =       ,                       в)       ∙ х =8,

       х =5.                               х = 0.                                     х = -4.

2. Являются ли корнями уравнения х2 – 4 =5 числа:

а) -3 (да/нет);                   б)0 (да/нет);          в) -1 (да/нет);        г) 3 (да/нет).

3. Решите уравнения и из предложенных ответов подчеркните верный:

а) 2х – 4,8 =1                                                               б) 3(2х -1) - 4(х+1) =3х - 7

Ответы а) – 2,9;б)1,9; в)2,9                                      Ответы: а) 14; б) 0; в) – 5;

4. Участок площадью 130 га разделен на два поля так, что одно из них на 20 га больше другого. Найдите площадь каждого поля.

а) Выберите из составленных уравнений то, с помощью которого можно решить данную задачу:

1) х + 20 = 130(да/нет);      2) х + х + 20 = 130(да/нет);  3) х – 20 = 130(да/нет).

б) Решите это уравнение: _______________________

Дополнительная часть

5. При каком значении переменной х значение выражения 0,5 ∙ (2х – 1) равно значению выражения 1,2х – 0,4? Из предложенных ответов подчеркните верный.

Ответы: а) – 0,5;                         б) – 2;                        в) 0,5.

6. При каких значениях х, равных – 10; 0; 6, равенство  верно?        

Контрольная работа № 3 для 7 класса по теме "Уравнения с одной переменной"

Цель: контроль знаний по изученному материалу      

Контрольная работа представлена по уровням А,В и С, различающихся по уровню сложности заданий.

        Уровень А рассчитан на слабо подготовленных учащихся. Главная задача учащихся, работающих по этому варианту, состоит в достижении обязательного уровня математической подготовки.

        Уровень В несколько усложнен по сравнению с уровнем А. Он ориентирован в основном на достижение учащимися обязательного уровня математической подготовки, но и в то же время создает для них условия для

овладения алгебраическими знаниями и умениями , в нем содержатся несложные задания, требующие проявления смекалки и сообразительности.

        Уровень С рассчитан на учащихся с хорошей математической подготовкой. Он дает им возможность достаточно интенсивно овладевать основными знаниями и умениями и научиться применять их в разнообразных усложненных ситуациях. Здесь встречаются задания, требующие не только свободного владения приобретенными знаниями и умениями, но  и творческого подхода.

Контрольная работа рассчитана на 1 урок, после изучения темы:"Уравнения с одной переменной" и "Решение задач с помощью уравнений".

Индивидуализация контрольной работы состоит в том, что в уровнях А и В 2 вариант содержит задания, где даются указания, пошаговые инструкции, данные для самоконтроля.

Уровень А.        вариант№1

1. Чтобы решить уравнение 5х = - 40, надо – 40 разделить на 5. Чему равен корень этого уравнения?

2. Подчеркните коэффициент при х и решите уравнения:

а) 7х = 49;        б) – 3х = 111;    в) 12х = 1.

3. Решая уравнение 12х = - 744, Коля нашел, что х = -62. Подставив вместо х число – 62, проверьте, правильно ли найден  корень уравнения.

4. Решите уравнения.

а) 6х = 24;              б) 13х = - 39;          в) 8х = 4;          г) 5х = 7,5;

5. Перенесите слагаемые, содержащие х в левую часть уравнения, а остальные в правую, изменив при этом их знаки на противоположные:

а) 2х – 3 = 5х + 8;      б) – 4х – 2 = - 13х + 21;

6. Доведите решение уравнения до конца:

а) 2х – 4 = - 8х + 12;                                     б) 3х – 2 = 7х – 14;

    2х + 8х = 12 + 4                                            3х – 7х = - 14 + 2

7. Решите уравнение:

а) 3х + 8 = х – 12;         б) – 2х + 9 – 8 = - х – 1.

8. За два дня мастер изготовил 172 детали, причем во второй день он изготовил в три раза больше деталей, чем в первый. Сколько деталей он изготовил в  первый день?

    Уровень А                                                            вариант №2

1. Решите уравнение:

а) 6х = 54;              б) 5х = - 17;          

2. Решите уравнение: 2(х – 1) – 3х = 5(2 – х).

Для этого:

а) раскройте скобки;

б) перенесите слагаемые, содержащие х, в левую часть, а свободные члены – в правую;

в) приведите подобные члены;

г) решите получившееся линейное уравнение.

3. Решите уравнение:

а) 5(2 – х) + 10х = 52 – х;

б) 15 + 3х + 6(1 – х) = 2х + 11;

Для самоконтроля: 1) после раскрытия скобок получается уравнение:

а) 10 – 5х + 10х = 52 – х;           б) 15 + 3х + 6 – 6х = 2х + 11;                        

2) решение данного уравнения сводится к решению уравнения:

а) 6х = 42;       б) – 5х = - 10;            

4. Решите уравнение:

а) = 9;      б) = 1;        

Указание: умножьте обе части уравнения а) на 4;   б) на 3.  

5. Решите уравнение:

а);                                          б);                                       Решение данного уравнения сводится к решению уравнения:

а) 5х + 4 (х + 1)  =40;                         в) 2х – 3 + 3х = 12;

б) 2(2 – х) – 5х = 60;                          г) 8х – (х – 3) = 4.

6. Решите уравнение и выполните проверку:

.

7. На пришкольном участке посадили 63 куста смородины, крыжовника и малины, причем крыжовника в 3 раза больше, чем смородины, а малины на 7 кустов больше, чем крыжовника. Сколько кустов смородины посадили на участке?

Указание: 1)обозначьте через х число кустов смородины; 2) выразите число кустов крыжовника; 3) выразите число кустов малины, учитывая, что в условии задачи оно сравнивается с крыжовником; 4) составьте уравнение.

Уровень В                                                                                 вариант №1

1. Для каждого уравнения вида ах = в запишите, чему равно а и чему равно в:

а) 2,3х = 6,9;      б) – = - 1;   в) – х = 6;    г) 1,2х = 0.

2. Решите уравнение:

1) а) 2х = 12;    б) – 5х = 15;  в) – х = 32;  г) – 11х = 0;

2) а) 5х =;    б) 4х = -;   в) х = 6;     г) –х = 14.

3. На доске было записано решение уравнения вида ах = в, но правую часть уравнения стерли. Восстановите ее:

а) 5х = …                б) 3х = …         в) 4х = …

    х = - 12;                  х = 1/6;             х = 0,8.

4. Найдите такое значение а, при котором уравнение ах = 114 имеет корень 6.

5. Решите уравнение:

а) 3х – 4 = 20;      б) 54 – 5х = - 6;     в) 16 – 7х = 0.                                                6. Решите уравнение:

а) 5х – 11 = 2х + 8;                          б) 6 – 7х = 11 – 6х.                              

7. Решите уравнение:

а) 15(х + 2) = 40;                   б) – 2(1 – х) = х.                  

8. На верхней полке в 3 раза больше книг, чем на нижней. После того, как на нижнюю полку поставили 16 книг, а с верхней сняли 20 книг, на полках стало книг поровну. Сколько книг стояло на нижней полке первоначально?

Уровень В                                                                             вариант №2

1. Решите уравнение 5(2х – 1) – 3(х + 5) = 2(1 + 3х). Для этого:

1) раскройте скобки;

2) перенесите члены, содержащие х, в левую часть уравнения, а свободные члены в правую, изменяя знак на противоположный;

3) приведите подобные члены;

4) решите получившееся линейное уравнение.

2. Решите уравнение:

а) 12х + 5(х – 2) = 6х – (16 – 17х);    б) 4х(3х – 1) – 6х(2х + 8) = 11х – 63.

Для самоконтроля:

1) после раскрытия скобок должно получиться уравнение:

а) 12х + 5х – 10 = 6х – 16 + 17х;   б) 12х2 – 4х – 12х2 – 48х = 11х – 63;

2) после переноса слагаемых и приведения подобных членов должно получиться уравнение:

а) – 6х = -6;                                 б) – 63х = - 63.

3. Решите уравнение:

а) 3х(х – 8) – 3х2 – 32 = 40;              б) 5х2 – 5х (- + 6) = х + 62.

Для самоконтроля: решение данного уравнения сводится к решению линейного уравнения:

а) – 24х = 72;                  б) – 31х = 62.

4. Решите уравнение:

а) 33х – 8(3х – 2) = - 7х – 5(12 – 3х);

Проверьте ответ: а) – 76;  

5. Решите уравнение: + = 8. Для этого:

1) умножьте обе части уравнения на наименьшее общее кратное  знаменателей дробей;

2) приведите получившееся уравнение к виду ах = в;

3) решите линейное уравнение.

6. Решите уравнение:

а) + = 19;                    

Для самоконтроля:

1) после умножения обеих частей уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей получается уравнение:

а) 4х + 15х = 114;            

2) данное уравнение сводится к линейному уравнению:

а) 19х = 114;            

7. Решите уравнение:

а) – = 1;                       б) – = - 1.

Для самоконтроля: данное уравнение сводится к линейному уравнению:

а) – х = 42;  б) – х = - 6.

8. За 8 клюшек и 15 теннисных мячей заплатили 4700 рублей. Клюшка дороже теннисного мяча на 300 рублей. Сколько денег заплатили за клюшки?

Уровень С.                                                                    Вариант №1

1. Решите уравнение:

а) 6х = 36;           б) – х = 18;          в) 49х = 0;           г) 21х = - 3;

2. Решите уравнение и выполните проверку:

а) 0,08х = 1;          б) – 0,1х = 1;           в) 0,6х = - 5;          г) – 0,3х = - 1,1;

3. Решив уравнение вида ах = в, ученик стер коэффициент а. Восстановите его, если это возможно:

а)  …х = 1/8                  б)  …х = - 4            в) …х = 0

      х = 4;                            х = -1;                    х = 0.

4. При каких целых значениях а корнем уравнения ах = 8 является целое число?

5. Решите уравнение:

а) 7х + 1 = 74;      б) 5,2 – х = 0;       в) 0,2 – 6х = 2;     г) 11 – 5/6х = 1.                    

6. Даны выражения 3а + 2 и а – 5. При каких значениях а

а) значения этих выражений равны;

б) значение первого выражения на 12 больше значения второго;

7. Решите уравнение:

а) 5(х – 18)–7х = 21 + х; б) 3х + 6(1 – х) = - 2(2 + х); в) 1,7– 8(х – 1) = 3,7 + 2х.                          

8. Можно ли разложить 252 детали в три ящика, так чтобы во втором ящике было вдвое больше, чем в первом, а в третьем было в три раза больше, чем во втором?

Уровень С                                                           вариант №2

1. Решите уравнение:

а) 2(х + 1,2) – 3(х – 2,3) = 9;

б) 4х – 11 = (33х – 27);

2. Решите уравнение:

а) 25х(3х + 1) – 15х(5х + 2) = 19 – 6х;

б) 0,15у(у – 4) – 0,3у(0,5 – 1) = 81;

3. При каком значении переменной с

а) значение выражения 8(2с – 1) на 6 больше значения выражения 3(5с + 8);

б) значение выражения – 4(5с + 2) равно удвоенному значению выражения

6 – с.

4. Решите уравнение:

а)– + = 22;                    б).                            

 5. Найдите корнем уравнения:

а);

б);

6. При каких значениях а:

а) значения дробей и являются противоположными числами;

7. Одна сторона прямоугольника больше стороны квадрата на 12 см, а другая равна ей. Площадь прямоугольника на 72 см2 больше площади квадрата. Найдите стороны прямоугольника.  

Тематическое тестирование № 1 для учащихся 7 класса по теме: "Линейные уравнения с двумя переменными"

Цель: проверка умений применить теоретические знания на практике.

Тестирование разбито на 2 уровня. Первый уровень содержит задания, позволяющие повторить насколько учащийся может повторить новую

информацию. При  правильном выполнении первого уровня ставится оценка "3". Задания второго уровня позволяют проверить, насколько учащийся понял и научился применять новые задания. Оценка "4" ставится при правильном выполнении 1 уровня и 4 заданий второго уровня, оценка "5" ставится при правильном выполнении всех заданий.

Дифференциация данного тематического тестирования связана с делением заданий на уровни сложности, индивидуализация связана с тем, что каждый ученик выполняет поильный уровень.

Вариант №1                                                                                  Уровень 1

1. Заполнить пропуски.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида …, где ….. - переменные, ….. - некоторые числа.

2. Выбрать из списка нужное: число, значение переменной, пара значений переменных.

Решением уравнения с двумя переменными называется …., обращающая уравнение в верное равенство.

3. Подчеркнуть линейное уравнение с двумя неизвестными.

а) 5х + у = 20;                            б) – х2 + 4у = 15;

б) 7х – 12у = 0;                          г) 3х – 4ху = 7.

4. Подчеркнуть пары чисел, являющиеся решениями уравнения 3х + 2у = 12.

а) (1;4);    б) (4;0);   в) (6;-3);   г) (-2;-3).

Указать еще два решения этого уравнения.

5. Продолжить утверждение.

Графиком  уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых …..

6. а) Указать, от чего зависит форма графика линейного уравнения с двумя переменными.

    б) Подчеркнуть одной чертой уравнения, графиком которых является прямая, и двумя чертами – графиком которых является плоскость.

4х – 3у = 5;                0 ∙ х = - 6;           - 7х = 14;        2у – 6 = 0;

0 ∙ х + 0 ∙ у = 0;          0 ∙ у = 10.

Уровень 2.

7. Составить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел: (2; - 3).

8. Из уравнения 5х – 7у = 35 выразить переменную х через у. Отметить знаком «+» верную формулу.

          а) х = 1,4у + 35;        в) х = 1,4у + 7;

          б)  свой ответ: …..;                                                      г) х = - 1,4у + 7;

9. Выбрать из предложенных чисел значение коэффициента а уравнения

ах – 3у = 11, если известно, что пара чисел (1;-2) является решением этого уравнения.

а) -7;  б) 17;  в) 5;  г) свой ответ: …...

10. Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения 2х + 5у = 12:

а) А (-1; -2);  б)В (2;1);  в) С(4; -4); г) D (11; -2).

11. Найти абсциссу точки М(х; -2), принадлежащей графику уравнения

12х – 9у = 30:

а) 4;   б) 1;  в) – 4;  г) – 1.

12.

а) Что является графиком уравнения 2х + 7у = 11?

б) Построить график этого уравнения, заполнив таблицу:

Вариант 2

Уровень 1.

1. Заполнить пропуски.

Уравнение вида ах + bу = с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа, называется …..

2. Продолжить утверждение.

Пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство, называется…….

3. Выбрать линейное уравнение с двумя переменными:

а) 3х – у = 14;                   б) х2 + 5у = 16;

в) 5х + 2у = 16;                 г) 7ху – 5у = 12.

4. Подчеркнуть пары чисел, являющиеся решением уравнения 2х + 5у = 25:

а) (0; -5);  б) (5;3);  в) (20; -3);  г) (9;-10).

Указать еще два решения этого уравнения:.

5. Заполнить пропуски.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество …., координаты которых являются решениями данного уравнения.

6. а) Указать, от чего зависит форма графика линейного уравнения с двумя переменными.

    б) Выбрать те уравнения, графиком которых является прямая и те, графиком которых является плоскость:

5х + 7у = 10;               0 ∙ х = 12;                    - 3у = 6;

3х – 9 = 0;                   0 ∙ х – 0 ∙у = 0;              0 ∙ х = 9.

Уровень 2

7. Составить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел (3;-2).

8. Из уравнения 5х – 13у = 65 выразить переменную х через у. Отметить знаком «+» верную формулу.

а) х = 2,6у + 65;                                            в) х = 2,6у + 13;

б) свой ответ: …..;                                      г) х = -2,6у + 13.

9. Из данных чисел выбрать значение коэффициента b уравнения 3х + bу = -13, если известно, что пара чисел (3;2) является его решением.

а) -2; б) 11; в) -11;  г) свой ответ: ……

10. Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения 3х + 7у = 20:

а) А(- 2; -2); б) В(4; -3); в) С (23; -7); D (5; -5).

11. Найти ординату точки N ( -3;у), принадлежащей графику уравнения

9х – 5у = 38:

а) 13; б) 2,2; в) – 13; г) – 2,2.

12.

а) Что является графиком уравнения 3х – 5у = 11?

б) Построить график этого уравнения, заполнив таблицу:

Тематическое планирование по алгебре для 7 класса.

Тема: "Уравнения с одной переменной" и "Решение задач с помощью уравнений"

        Урок 1.  Тема: "Уравнения и его корни" (урок изучения нового материала).

        Урок 2. Тема: "Линейные уравнения с одной переменной" (урок изучения нового материала).

        Урок 3. Обучающее тематическое тестирование №1.

        Урок 4.  Тема: "Линейные уравнения с одной переменной" (урок закрепление материала).

        Урок  5. Тематическое тестирование №2.

        Урок 6. Тема: "Линейные уравнения с одной переменной" (урок закрепление  материала).

        Урок 7.  Тема: "Решение задач с помощью уравнений"(урок изучения нового материала)

        Урок 8. Тема: "Решение задач с помощью уравнений"(урок закрепления материала)

        Урок  9.  Контрольная работа №3.

Тематическое планирование по алгебре для 7 класса.

Тема: "Уравнения с двумя переменными"

        Урок 1. Тема: "Линейные уравнения с двумя переменными" (урок изучения нового материала).

        Урок 2. Тема: "График линейного уравнения с двумя переменными" (урок изучения нового материала).

        Урок 3. Тема: "График линейного уравнения с двумя переменными" (закрепление изученного материала).

        Урок 4. Тематическое тестирование №1.

§10 Дифференцированные задания для учащихся 8 класса.

Тематическое тестирование №1 для учащихся 8 класса по теме: "Квадратное уравнение и его корни"

Цель: контроль изученного материала

Данное тематическое тестирование предлагается с целью: проверить знания учащихся по решению квадратного уравнения. Работа рассчитана на 1 урок после изучения выше указанной темы.

        Тематическое тестирование состоит из 2 вариантов, каждый из которых содержит обязательную и дополнительную часть. Часть обязательная состоит из заданий первого уровня сложности и может оцениваться только оценкой "3" в результате правильного решения. Дополнительная часть состоит  из

второго и третьего уровня сложности и может оцениваться оценкой "4" при  правильном выполнении первого уровня сложности и задания 3-4, а оценка "5" ставится при  правильном выполнении всех заданий.

Дифференциация в данном тематическом тестировании состоит в том, что работа состоит из двух вариантов сложности. Индивидуализация состоит в том, что каждый ребенок выбирает уровень сложности по своим силам.

Обязательная часть.                                                                        Вариант №1

1. Укажите в данных квадратных уравнениях коэффициенты:

а) х2 + х – 3=0;          б) 3х2 = 2;      в)  = 0;        г) – 7х + х2 = 0.

   а = _______               а = _____         а= _____            а = ________

   b = _______               b = _____         b = _____           b = _______

    с = _______               с = _____         c= ______           с =________

2. Найдите корни уравнений:

а) (х + 1)(х – 2) = 0                          б) х2 = 8

в) 5х2 – 2х = 0                                   г) 8х – 4х2 = 0                        

В квадратик  у данных ответов поставьте номер решенного уравнения.

Ответы:       ) – 1; 2;           );            ) – 2,5; 2,5;

        ) 0; 2;             ) – 6; 6;               ) 0; 0,4.

Дополнительная часть.

3. Решите уравнение и подчеркните верный из предложенных ответов:

(х + 3)(х – 2) + 5х2 = (х – 1)2 – 7                                         Ответы:

___________________________                         а) 3/5; 0;  б) 0; 8;  в) 0; - 0,6.

4. Решите уравнение х2 – 4х – 12 = 0 выделением квадрата двучлена. Подчеркните верный из предложенных ответов.

Ответы: а) – 2;6;  ,) 12;0;  в) 6; - 2.

5. Решите уравнение х2 + 18 = 10-6х  выделением квадрата двучлена.

Подчеркните верный из предложенных ответов.

Ответы: а) – 4; -2;  б) 8; 0;  в) 4; 2.

     Обязательная часть                                                            Вариант №2

1. Укажите в данных квадратных уравнениях коэффициенты:

а) – х2 = 5х;            б)– 4 = 0;             в) 11х2 = 0;     г) – 2х2 + 3х – 5 = 0.

а = __________        а = _________            а = ________       а = ___________

b = __________        b = _________            b = ________        b = ___________

с = __________         с = _________            с = ________        с = ___________

2. Найдите корни уравнений:

а) z2 – 49 = 0                                                  б) 0,64 – у2 = 0

в) у(у – 5) = 0                                                 г) х2 = 7

д) 4у2 + 3у = 0                                                е) 3х – 6х2 = 0

В квадратик у данных ответов поставьте номер решенного уравнения.

Ответы:          )         ) 0; - 3/4;           ) 0,5; 0;

                        )  0,8; 0,8;         ) 7; - 7;             ) 0; 5.

Дополнительная часть

3. Решите уравнение и подчеркните верный из предложенных ответов:

(х + 2)2 – 13 = (х – 1)(х + 9) + 3х2

Ответы: а) 0; 7;  б) 12; 1;    в) -; 0.

4. Решите уравнение х2 – 6х – 7 = 0 выделением квадрата двучлена. Подчеркните верный из предложенных ответов:

Ответы: а) 1; - 7;  б) 0; 8;  в) 7; - 1; г) нет решений.

5. Решите уравнение х2 + 4х = 15 + 6х выделением квадрата двучлена. Подчеркните верный из предложенных ответов:

Ответы: а) 3;5;  ,) – 5; - 3;  d) – 3; 5;  г) нет решений.

Контрольная работа №2 для учащихся 8 класса по теме: "Квадратное уравнение и его корни"

Цель: контроль знаний по изученной теме

        Каждый вариант контрольной работы составлен из трех частей. Они выделены специальными значками: ▲,■,●. Первая часть работы, обозначенная значком ▲, содержит материал, соответствующий базовому уровню. Все ученики должны уметь выполнять задания этой части работы. Здесь проверяется тот минимум знаний, без которого ученик не может успешно усваивать последующие разделы курса. При правильном выполнении этой части работы, ставится оценка "3".

        Вторая часть работы обозначена значком ■. Она состоит из более сложных заданий, которые выполняются в несколько этапов. При правильном выполнении первой и второй части ставится оценка "4".

        Последняя часть контрольной работы выделена значком ●. Эти задания позволяют ученикам проявить высокий уровень знаний, своего развития, интерес к предмету, способность применять знания в нестандартной ситуации. При  правильном выполнении всех заданий ставится оценка "5".

        Дифференциация контрольной работы состоит в том, что задания разделены по уровню сложности. Индивидуализация контрольной работы состоит в том, что каждый ученик выбирает посильные ему задания.

Вариант№1

▲ 1. Имеет ли корни уравнение:

     а)        б)

  (Ответ поясните).

     2. Решите уравнение:

     а)     б)  в)

     3. Найдите все значения х, при которых выражения х2+х и 3(1 – х2) принимают равные значения.

■ 4. Произведение двух натуральных чисел на 28 больше удвоенного большего числа. Найдите эти числа, если одно из них на 10 больше другого.

● 5. При каком значении m один из корней уравнения  равен 5?

Вариант №2

▲ 1. Имеет ли корни уравнение:

      а)     б)

2. Решите уравнение:

      а)     б)   в)

3. Найдите все значения х, при которых выражения х(3х-4) и 2-3х принимают равные значения.

■ 4. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 63 больше утроенного меньшего числа. Найдите эти числа.

● 5. При каком значении р один из корней уравнения  равен – 4?

Тематическое тестирование №1  для учащихся 8 класса по теме: "Дробные рациональные уравнения"

Цель: проверка умений применить теоретические знания на практике

Тестирование разбито на 2 уровня. Первый уровень содержит задания, позволяющие повторить насколько учащийся может повторить новую информацию. При  правильном выполнении первого уровня ставится оценка "3". Задания второго уровня позволяют проверить, насколько учащийся понял и научился применять новые задания. Оценка "4" ставится при правильном выполнении 1 уровня и 2 заданий второго уровня, оценка "5" ставится при правильном выполнении всех заданий.

Дифференциация данного тематического тестирования связана с делением заданий на уровни сложности, индивидуализация связана с тем, что каждый ученик выполняет посильный уровень.

Вариант 1                                                                          Уровень 1     

1. Заполнить пропуски.

а) Рациональным уравнением называется такое уравнение, в котором левая и правая части являются …..

б)  Для решения дробного уравнения надо:

1) Найти…..

2) Умножить обе части уравнения на ….

3) Решить получившееся…… уравнение;

4) Исключить из его корней те, которые …..

в) Уравнения, в которых левая и …. части являются дробными выражениями, называются …..                                  

2. Из представленного списка выбрать и записать корни уравнения.

                                              2; 0; -1; 3

3. Моторная лодка прошла по течению реки 25 км и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км в час? Отметить уравнение, которое соответствует условию этой задачи (х – скорость лодки в стоячей воде).

4. Отметить пары равносильных уравнений.

             и х2 = 25;                       и х-1 = 3;

              и х2 – 3х = 0;                 и х2 + 1 = 0.    

Уровень 2

5. Решить уравнения.

а) ;         б) ;        в);   г) .

6. Моторная лодка прошла 20 км против течения реки и 14 км по озеру, затратив на путь по озеру на 1 час меньше, чем на путь по реке. Скорость течения реки равна 4 км в час. Найти собственную скорость лодки.

а) Для решения этой задачи составлено уравнение

Ответить на вопросы:

1) Что принимается за х?

2) Что выражается разностью х-4?

3) Что выражается дробью

4) Что выражается дробью ?

5) Что выражается разностью

б) Решить уравнение и записать ответ:

7. Велосипедист проехал 15 км с одной скоростью и еще 6 км со скоростью, на 3 км в час меньшей первоначальной. На весь путь он затратил 1,5 часа. Составить уравнение и найти скорость, с которыми ехал велосипедист.                  

8. Решить графически уравнения.                              

а)                  

Вариант №2                                                                            

Уровень 1

1. Заполнить пропуски.

а) Дробным уравнением называется ………..уравнение, в котором левая и правая части являются ………

б) Для решения уравнения f(x) = g(x) графически надо:

1) построить график функций в ……..

2) решением уравнения является ……. точки пересечения графиков;

в) Уравнения, в которых левая и …….. части являются целыми выражениями, называются….

2. Из представленного списка выбрать и записать корни уравнения.

                       0; 2; -5; 1

;

3. Моторная  лодка, двигаясь по течению реки, проходит расстояние в 24 км на полчаса быстрее , чем то же расстояние против течения. Какую скорость развивает лодка в стоячей воде, если скорость течения равна 2 км в час? Отметить уравнение, составленное по условию задачи (х – скорость лодки в стоячей воде).

4. Отметить пары равносильных уравнений.

             и                 и

         и                          и .                      

Уровень 2.

5. Решить уравнения.

а) ;    б)  ;   в);   г) .

6. Лодка прошла 5 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 1 час. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки 3 км в час? За х  принята собственная скорость лодки.

а) Для решения этой задачи составлено уравнение

Ответить на вопросы:

1) Что выражается суммой х+3?

2) Что выражается разностью х-3?

3) Что выражается дробью

4) Что выражается дробью

5) Что выражается суммой

б) Решить уравнение, записать ответ.

7. Первые 8 км турист прошел с одной скоростью, а следующие 10 км со скоростью, на 1 км в час больше первоначальной. На прохождение 8 км турист затратил на 10 минут больше, чем на следующие 10 км. Составить уравнение и найти скорости, с которыми шел турист.

8. Решить графически уравнения.

а)      б)

Контрольная работа №2  для учащихся 8 класса по теме: "Дробные рациональные уравнения"

Цель: контроль знаний по изученной теме

Каждый вариант контрольной работы составлен из трех частей. Они выделены специальными значками: ▲,■,●. Первая часть работы, обозначенная значком ▲, содержит материал, соответствующий базовому уровню. Все ученики должны уметь выполнять задания этой части работы. Здесь проверяется тот минимум знаний, без которого ученик не может успешно усваивать последующие разделы курса. При правильном выполнении этой части работы, ставится оценка "3".

        Вторая часть работы обозначена значком ■. Она состоит из более сложных заданий, которые выполняются в несколько этапов. При правильном выполнении первой и второй части ставится оценка "4".

        Последняя часть контрольной работы выделена значком ●. Эти задания позволяют ученикам проявить высокий уровень знаний, своего развития, интерес к предмету, способность применять знания в нестандартной ситуации. При  правильном выполнении всех заданий ставится оценка "5".

        Дифференциация контрольной работы состоит в том, что задания разделены по уровню сложности. Индивидуализация контрольной работы состоит в том, что каждый ученик выбирает посильные ему задания.

Вариант №1

▲ 1. Решите уравнение:

          а)    б)    в)

■ 2. Решите графически уравнение .

● 3. Знаменатель несократимой дроби больше числителя на 5. Если ее числитель оставить без изменения, а знаменатель уменьшить на 2, то дробь увеличится на Найдите первоначальную дробь.

Вариант №2

▲1. Решите уравнение:

      а)   б)   в)

■ 2. Решите графически уравнение

● 3. Скорый поезд проходит в час на 10 км больше почтового. Известно, что скорый поезд пройдет 160 км на 2 часа быстрее, чем почтовый 180 км. Найдите скорость почтового поезда.

Тематическое планирование по алгебре для 8 класса.

Тема: "Квадратное уравнение и его корни"

        Урок 1. Тема: "Определение квадратного корня" (урок изучения нового материала).

        Урок 2. Тема: "Неполные квадратные уравнения" (урок изучения нового материала).

        Урок 3. Тема: Решение квадратных уравнений выделением квадрата двухчленна" (урок изучения нового материала).

        Урок 4. Тема: "Решение квадратных уравнений по формуле" (урок изучения нового материала).

Урок 5. Тема: "Решение квадратных уравнений по формуле" (урок закрепления материала).

Урок 6. Тема: "Решение квадратных уравнений по формуле" (урок закрепления материала).

        Урок 7. Тематическое тестирование №1.

        Урок 8. Тема: "Решение задач с помощью квадратных уравнений" (урок изучения нового материала).

        Урок 9. Тема: "Решение задач с помощью квадратных уравнений" (урок закрепления материала).

        Урок 10. Тема: "Теорема Виета" (урок изучения нового материала).

        Урок 11. Тема: "Теорема Виета" (урок закрепления материала).

        Урок 12. Контрольная работа №2.

Тематическое планирование по алгебре для 8 класса.

Тема: "Дробные рациональные уравнения"

        Урок 1. Тема: "Решение дробных рациональных уравнений" (урок изучения нового материала).

        Урок 2. Тема: "Решение дробных рациональных уравнений" (урок закрепления материала).

        Урок 3. Тема: "Решение дробных рациональных уравнений" (урок закрепления материала).

        Урок 4. Тема: Решение задач с помощью рациональных уравнений" (урок изучения нового материала).

        Урок 5. Тема: Решение задач с помощью рациональных уравнений" (урок закрепления материала).

        Урок 6. Тема: Решение задач с помощью рациональных уравнений" (урок закрепления материала).

        Урок 7. Тематическое тестирование №1.

        Урок 8. Тема: "Графический способ решения уравнений" (урок изучения нового материала).

        Урок 9. Тема: "Графический способ решения уравнений" (урок изучения нового материала).

        Урок 10. Контрольная работа №2.

§11. Дифференцированные задания для учащихся 9 класса.

Тематическое тестирование №1  для учащихся 9 класса по теме: "Уравнения с одной переменной"

Цель: проверка умений применить теоретические знания на практике

        Тестирование разбито на 2 уровня. Первый уровень содержит задания, позволяющие повторить насколько учащийся может повторить новую информацию. При  правильном выполнении первого уровня ставится оценка "3". Задания второго уровня позволяют проверить, насколько учащийся понял и научился применять новые задания. Оценка "4" ставится при правильном выполнении 1 уровня и 3 задания второго уровня, оценка "5" ставится при правильном выполнении всех заданий.

        Дифференциация данного тематического тестирования связана с делением заданий на уровни сложности, индивидуализация связана с тем, что каждый ученик выполняет посильный уровень.

Вариант №1                                                                       Уровень 1

1. Выбрать из числа приведенных те уравнения, которые являются целыми равнениями.

а)   б)  в)  г)

2. Выбрать правильное определение.

        а) Степенью уравнения называется степень первого члена уравнения.

        б) Уравнение можно привести к виду Р(х) = 0 , где Р(х) - многочлен стандартного вида. Степень этого многочлена называется степенью уравнения.

        в) Степенью уравнения называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

3. Записать формулу корней квадратного уравнения:…………………….

4. Завершить высказывание.

        Биквадратным называется уравнение вида …………………………

5. Решить квадратное уравнение.

Уровень 2

6. Привести уравнения  к виду Р(х) = 0, где Р(х) - многочлен стандартного вида.

        а)    б)

7. Определить степень уравнения.

        а)   б)

8. Решить уравнение методом разложения на множители.

        а)

Вариант №2                                                                       Уровень 1

1. Выбрать из числа приведенных те уравнения, которые не являются целыми равнениями.

        а)  б)  в)  г)

2. Заполнить пропуски, чтобы получилось правильное определение.

        Уравнение можно привести к виду Р(х) = 0 , где Р(х) - …..Степень….называется степенью уравнения.

3. Выбрать из списка формул корней квадратного уравнения.

        а)  б)  в)  г)

4. Из перечисленных уравнений выбрать биквадратное.

        а)  б)  в)

5. Решить квадратное уравнение.

Уровень 2

Привести уравнения  к виду Р(х) = 0, где Р(х) - многочлен стандартного вида.

а)   б)

7. Определить степень уравнения.

        а )   б)

8. Решить уравнение методом разложения на множители.

Контрольная работа № 2 для учащихся 9 класса по теме: «Уравнение с одной переменной»

Цель: контроль знаний, умений и навыков учащихся

Задания в самостоятельной работе разделены по уровню сложности. Уровень1 и уровень 2 предназначен для учеников группы А. Уровень 3 и уровень 4 предназначен для учеников группы В. Уровень 5 предназначен для учащихся группы С. Оценка "3" ставится при выполнении 1 и 2 уровня заданий; оценка "4" ставится при правильном выполнении 1,2 уровня и 3или 4 уровня заданий; оценка "5" ставится при правильном выполнении 1,2 уровня 3,4 уровня или 3,5 уровня заданий.

Дифференциация самостоятельной работы состоит в том, что задания разделены по уровню сложности; индивидуализация заданий состоит в том, что каждый ученик выполняет посильный ему уровень заданий.

Уровень 1

1. Является ли целым уравнение

2. Чему равна степень уравнения

3. Является ли число 2 корнем уравнения

Уровень 2

4. Решите уравнение

5. Решите уравнение

6. Решите уравнение

Уровень 3

7. Решите уравнение

8. С помощью замены решите уравнение

9. С помощью подходящей группировки решите уравнение

Уровень 4

10. Решите уравнение

11. При каких значениях параметра а уравнение  имеет два разных корня?

12. При каких значениях параметра а уравнение  имеет два разных корня?

Уровень 5

13. При каких значениях параметра а уравнение  имеет один единственный корень?

14. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций  и

Тематическое планирование по алгебре для 9 класса.

Тема: "Уравнения с одной переменной"

        Урок 1.  Тема: "Целое уравнение и его корни" ( урок изучения нового материала).

        Урок 2. Тема: "Целое уравнение и его корни" (урок закрепления материала).

        Урок 3. Тематическое тестирование №1.

        Урок 4. Тема: Уравнения, приводимые к квадратным" (урок изучения нового материала).

        Урок 5. Тема: "Уравнения, приводимые к квадратным" (урок закрепления материала).

        Урок 6. Тема: "Уравнения, приводимые к квадратным" (урок закрепления материала).

        Урок 7. Контрольная работа №2.

§ 12. Описание педагогического эксперимента и его результаты.

        Данный эксперимент был проведен в МОУ школе №63 в седьмых классах.

        На первом этапе эксперимента было проведено наблюдение за состоянием обучения, методикой преподавания и степенью усвоения материала учащимися 7"А" класса. Наблюдая за работой учащихся на уроке, выяснилось, что учащиеся испытывают массу затруднений при решении заданий, предложенных учителем в учебнике.

        Часть учащихся добросовестно стараются преодолевать возникшие проблемы, другая часть учащихся ждут готового решения и просто переписывают с доски, а третьи, явно не понимают материала и теряют всякий интерес к уроку.

        Поэтому возникает проблема разрешения данной ситуации и поиска оптимального ее решения. Так возникла идея проведения эксперимента в 7"А" классе при изучении темы "Уравнение с одной переменной", с целью индивидуализации и дифференциации обучения.

        В 7"А" классе было проведено 7 уроков по теме "уравнения с одной переменной" и "Решение задач с помощью уравнений", на которых были применены элементы дифференциации и индивидуализации.

        В процессе проведения уроков была дана самостоятельная и контрольная работа с целью выявления насколько хорошо учащиеся усвоили новый материал, при введении которого использовалось дифференцированное обучение.

        В 7"Б" классе была проведена также самостоятельная и контрольная работа, но материал был дан учащимся учителем математики без использования дифференцированного подхода.

Таким образом целью эксперимента является: выяснение, сравнение и анализ уровня усвоенных знаний по результатам самостоятельной и контрольной работы.

А задачи эксперимента такие:

• Провести цикл уроков в 7"А" классе по заданной теме с использованием дифференцированного и индивидуального подхода.
• Провести самостоятельную и контрольную работу.
• Сравнить и проанализировать результаты контрольной и самостоятельной работы; сделать вывод о преимуществе дифференцированного и индивидуального подхода.

        Была выдвинута гипотеза, что уровень усвояемости знаний учащимися при использовании дифференциального и индивидуального подхода должен быть выше знаний, полученных учащимися обычным способом, т.е. без применения дифференциального и индивидуального подхода.

        В приложении приведены 2 конспекта урока, которые использовались при введении и закреплении новой темы в эксперименте, а также тестирование и контрольная работа.

        В эксперименте принимало участие 25 учащихся 7 "А" класса и 25 учащихся 7"Б" класса.

        После проведения эксперимента и анализа результатов контрольной и самостоятельной работы были получены результаты, отображенные в таблице.

Таблица №1 Результаты тематического тестирования №1

Таблица №2 Результаты тематического тестирования №2

Таблица №2 Результаты контрольной работы № 3

Из результатов таблицы видно, что количество положительных оценок в процентном соотношении значительно больше в том классе, в котором использовался дифференцированный и индивидуальный подход обучения, нежели в классе, где дифференцированное обучение не использовалось. А количество оценок "удовлетворительно" значительно меньше в 7"А" классе, нежели в 7"Б". 

Таким образом можно сделать вывод о том, что преимущество дифференцированного и индивидуального подхода очевидно, и дело не только в результатах контрольной работы, но и в том, что учащимся интересны уроки, т.е. они заинтересованы в изучении нового материала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное теоретическое и экспериментальное исследование позволяет сделать следующие основные выводы:

1.Рассмотрено понятие  дифференциации в обучении математике.

Дифференциации - это поиск приемов и способов обучения, которые индивидуальными путями вели бы всех школьников к одинаковому овладению программой.

Под дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторыми минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначительной и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонности.

2.Рассмотрено влияние психолого-педагогических особенностей на дифференциацию обучения.

3. Рассмотрено понятие индивидуализация обучения.

Индивидуализация обучения математике предполагает и обязательную его дифференциацию, которую следует понимать как всестороннюю доступность и результативность обучения для всех учащихся и для каждого из них в отдельности.

4. Рассмотрено понятие уровневой и профильной дифференциации.

Уровневая дифференциация - это явное выделение уровня обязательной подготовки и формирование на этой основе повышенных уровней овладения материалом.

Профильная дифференциация - это обучение разных групп школьников по программам, отличающимся глубиной изложения материала, объемом сведений.

5. Проведен педагогический эксперимент. Эксперимент показал, что

уровень усвояемости знаний учащимися при использовании дифференциального и индивидуального подхода выше знаний, полученных учащимися обычным способом, т.е. без применения дифференциального и индивидуального подхода.

6. Разработаны дифференцированные здания для учащихся 7-9 классов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азиев И.К. Индивидуальные задания для устранения ошибок //Математика в школе. - №5. – С. 9-11.

2. Альхова З.Н. Алгебра. Проверочные работы с элементами тестирования.

7 класс. – Саратов:Лицей, 2003. – 64 с.

3. Альхова .Н. Алгебра. Проверочные работы с элементами тестирования

7 класс. – Саратов: Лицей, 2003.- 64 с.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., и др. Алгебра: Учеб. для 7 класса средней школы /Под. редакцией Тихонова А.Н. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1993, - 191 с.

5. Воробьева Л.А. Дифференцированный контроль знаний по теме: «Параллелограмм». – 1993. - №2. – С. 14-17.

6. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н. Алгебра: Для 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл.изуч. матем. /Под ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1995. – 256 с.

7. Виленкин Н.Я., Симонов А.С. и др. Алгебра для 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. матем. /Под ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1996. – 384 с.

8. Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе //Математика в школе. – 1990. - №4. – С. 27-32.

9. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. Дифференциация в обучение математике //Математика в школе, - 1990, - №4, - С. 15-21.

10. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. Контрольные работы по алгебре.

8 класс. – М.: НПО «Образование», 1997. – 92 с.

11. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. Контрольные работы по алгебре.

8 класс. – М.: НПО «Образование», 1997. – 92 с.

12. Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л. Контрольные работы по алгебре.

9 класс. – М.: НПО «Образование», 1997. – 92 с.

13. Жевлакова Л., Волошина О. Тесты к школьному курсу: Алгебра. 8 класс: Справочное пособие. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1998. – 320 с.

14. Злоцкий Г.В. Широкий спектр средств дифференциации //Математика в школе. – 1991. - №5. – С. 9-10.

15. Куприянович В.В. Изучение способностей направляет дифференциацию //Математика в школе. – 1991. - №5. – С. 4-7.

16. Келбакиани В.Н. Контуры дифференциации в преподавании математики //Математика в школе. – 1990. - №6. – С. 14-15.

17. Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Профильная дифференциация обучения математике //Математика в школе. – 1990. - №4. – С. 21-27.

18.Капиносов А.Н. Уровневая дифференциация при обучении математике в V – IX классах //Математика в школе. – 1990. – 5. – С. 16-19.

19. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений /Под. ред. Теляковского С.А. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998, - 239 с.

20. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений /Под. ред. Теляковского С.А. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998, - 239 с.

21. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений /Под. ред. Теляковского С.А. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1998, - 272 с.

22. Макарычев Ю. Н. Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1998. – 143 с.

23. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. 7 кл.: Учеб. для шк. и кл. с углубл. изуч. матем. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 272 с.

24. Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 7 кл.: Задачник для общеобраз. учреждений. – 2 –е изд. – М.: Мнемозина, 1998. – 171 с.

25. Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 8 кл.: Задачник для общеобраз. учреждений. – 2 –е изд. – М.: Мнемозина, 200,. – 247 с.

26. Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра.: 7 класс: Учебник для общеоб. учрежд. – М.: Издат. Отдел УНЦДОМГУ, 1997. – 288 с.

27. Оганесян В.А., Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. Пособие для студентов физ. – мат. фак. пед. ин-тов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1980, - 368 с.

28. Пирюткова О.Н., Рачковский Н.Н. Разноуровневые тесты. Математика.

9 класс: Справочное пособие. – Мн.: Книжный дом, 2004. – 128 с.

29. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. – Саранск: Тип. «Крас. Окт., 199. – 208 с.

30. Тимощук М.. О дифференцированной помощи учащимся при решении задач //Математика в школе. – 1993. №2. – С. 12-14.

31. Тапилина Л.А., Афанасьева Т.Л. Алгебра. 9 класс: Поурочные планы. – Волгоград: Учитель, 2003.- 128 с.

32. Утеева Р.А. Дифференцированные формы учебной деятельности учащихся //Математика в школе. – 1995. - №5. – С. 32-36.

33. Утеева Р.А. Дифференцированное обучение математике учащихся средней школы: Пособие по спецкурсу и спецсеминару для студентов мат. спец. педвузов – М.: Прометей. – 1996. – 118 с.

34. Фарков А.В. К проблеме профильной дифференциации в малокомплектной школе //Математика в школе. – 1991. - №5. – С. 7-8.

35. Чермошенцева О., Волошина О. Тесты к школьному учебнику: Алгебра.

7 класс: Справочное пособие. – М.: АСТ – ПРЕСС, 1998, - 384 с.

36. Шальнов И., Волошина О. Тесты к школьному учебнику: Алгебра.

 9 класс: Справочное пособие. – М.: АСТ – ПРЕСС, 1998. – 224 с.