ОТКРЫТОЕ ЗАСЕДАНИЕ детского объединения «Эрудит» по теме «Звезды»
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) по теме

ОТКРЫТОЕ ЗАСЕДАНИЕ

детского объединения «Эрудит» по теме «Звезды».

Руководитель Панкова Нина Александровна.

Цели занятия:

1. Познакомить учащихся с новым типом геометрических выпуклых фигур – звездами, с их свойствами и классификацией.
2. Развивать познавательные и практические навыки. Активизировать мыслительную и проектную деятельность учащихся.
3. Воспитывать  гармонически развитую личность, убежденную, что природа написана математическим языком.

План занятия

I. Знакомство с новым материалом:

1. Определение звезды, как геометрической фигуры;

2. Способ построения звезд.

II. Практическая работа №1.

III. Сумма углов звезд.

IV. Пентаграмма.

V. Практическая работа №2.

VI. Звезды в жизни.

Ход занятия.

Учитель: Сегодня на очередном занятии клуба любителей математики мы поговорим об особых геометрических фигурах – о звездах: об их классификации и свойствах, о роли и применении этих геометрических фигур в жизни. Запишите тему сегодняшнего заседания: «Звезды». В ходе занятия повторим теорему о внешнем угле треугольника, вспомним тему «Выпуклые многоугольники».

I. Знакомство с новым материалом.

1. Определение звезды, как геометрической фигуры.

Учитель:  Звезда в планиметрии – это особый вид  невыпуклых многоугольников, не имеющих в математике однозначного определения. При подготовке к занятию вы должны были, работая с различными источниками информации, найти определение звезды как геометрической фигуры.                                                                                                                        Ответы учащихся:

1. Звезда – это плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, сходящихся в одной точке. По количеству лучей выделяют трехконечные, четырехконечные, пятиконечные и так далее звезды

     (слайд 1, 2).

1. Очевидно, что n-конечная звезда является невыпуклым 2n-угольником. Можно определить n-конечную звезду как 2n-угольник, у которого углы при вершинах поочерёдно то больше 180°, то меньше. Это другое определение звезды (более удачное определение).
2. Звезды бывают правильными и неправильными. Правильной называется звезда, у которой все внутренние углы равны и все внешние углы равны. На слайде представлены два вида правильных звезд:  восьмиугольные– октаграммы и десятиугольные– декаграммы (слайд 3).

2. Способы построения звезд.

а) Учитель: Рассмотрим вершины выпуклого n-угольника и будем соединять эти вершины между собой: каждая вершина n-угольника соединяется отрезком с m-ой точкой ().Такая звезда обозначается символом {n/m}.

Если при построении звезд рассматривать правильный n-угольник, то его можно вписать в некоторую окружность так, что его вершины будут располагаться на окружности и делить ее на равные дуги. В этом случае при построении получаются правильные звезды (слайд 3).

Рассмотрим конкретный пример. Возьмем шестиугольник с вершинами А1А2А3А4А5А6. Если мы каждую вершину будем соединять с первой точкой (m=1), то звезды не получим, получим шестиугольник (см. таблицу на доске).

Далее будем соединять каждую вершину со второй вершиной, т.е. отрезками будем соединять точки, находящиеся через одну. Получим два пересекающихся треугольника, которые образуют шестиугольную звезду типа {6/2}.

Звезда типа {6/3} вырождается в отрезок.

Звезда типа {6/4} совпадает  со звездой {6/2}.

Звезда типа {6/5} представляет собой шестиугольник.

Таким образом, существует только один тип шестиугольной звезды, которая представляет собой два пересекающихся треугольника. С этой звездой люди знакомы с древности –  это, так называемая звезда Давида.

б) Учитель: Предлагаю вам рассмотреть построение всех типов семиугольной звезды (учащиеся самостоятельно изучают построение семиугольной звезды по тексту).

Текст для самостоятельного изучения построения семиугольной звезды.

Возьмем  выпуклый семиугольник А1А2А3А4А5А6А7. Чтобы построить звезду, нужно определенным образом соединить отрезками  вершины этого семиугольника. Каждую вершину будем соединять со второй находящейся от нее вершиной. В результате получим замкнутую самопересекающуюся ломаную линию, которая образует звезду вида {7/2}.

Существует звезда, где каждая вершина соединяется с третьей вершиной, т.е. звезда типа {7/3}.

Звезда типа {7/4} совпадает со звездой типа {7/3}, отличаются они только порядком обхода – по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Звезда типа {7/5} совпадает со звездой {7/2}.

Звезд типа {7/1} и {7/6} не существует, т.к. в этом случае соединения вершин получается выпуклый семиугольник (слайд 4).    Учитель: Сколько семиугольных звезд существует? Какого они типа?                                                            

        II. Практическая работа №1.

Задание: Построить все типы восьмиконечной звезды (слайд 5).

Вывод: Можно построить две восьмиконечные звезды. Первая звезда состоит из двух пересекающихся квадратов. А другая представляет собой одну самопересекающуюся линию, которая рисуется без отрыва карандаша.

Учитель: При этом структура рисунка первой звезды содержится в структуре рисунка второй (слайд 6).

А вот девятиконечных звёзд существует три (слайд 7).  

При этом в структуре рисунка второй звезды содержится структура рисунка первой, а в структуру рисунка третьей звезды включены и первая, и вторая (слайд 8).

Оказывается, что число звезд зависит от числа вершин(n). Если число вершин  n - чётное, то существует  различных правильных звёздчатых многоугольников с n вершинами.

Если число вершин n - нечётное, то существует  различных звёздчатых многоугольников с n вершинами.

Звезда получается связанная (замкнутая самопересекающаяся ломаная линия), если m и n взаимно простые числа. Звезда получается не связанная (распадается на отдельные многоугольники), если m и n не взаимно просты (запись в тетрадь таблицы зависимости количества звезд от числа вершин).

Сколько существует десятиконечных и одиннадцатиконечных звезд? (Десятиконечных звёзд тоже три, как и девятиконечных, а одиннадцатиконечных звёзд существует четыре).

Учитель:  попрошу Вас изобразить дома все виды десятиконечных и одиннадцатиконечных звезд (записывается домашнее задание).

Все виды n-угольных звезд представлены в общей матрице, которая содержит все типы звезд (слайд 9).

III. Сумма углов звезд.

Учитель: Особый интерес представляет вопрос нахождения суммы внутренних углов при вершинах звезд. Заметим, что внутренние точки пересечения отрезков ломаной не рассматриваются как вершины звезды.

Сейчас обратимся к нашему пособию по планиметрии для  учащихся заочного отделения МММФ, где на странице 11 рассматриваются 2 способа нахождения углов пятиугольной звезды. Познакомьтесь этими двумя способами самостоятельно (самостоятельная работа с текстом с последующим обсуждением).

Заметим, что если Вы все привыкли к тому, что сумма углов любого треугольника равна 1800, то тот факт, что у любой пятиконечной звезды (независимо от расположения вершин) сумма углов постоянна и равна 1800 может показаться удивительным.

Задача №1. (№45 в пособии). Найти сумму углов звезды типа {7/3}.             (Ответ:360.)

IV. Пентаграмма.

Учитель: Особого внимания заслуживает звездчатый многоугольник, который мы называем звездой, а в науке пентаграммой. Пятиконечная звезда - это символ совершенства, ума, мудрости и красоты. Сообщение о пентаграмме подготовил один из учащихся (Ф.И).

Выступление учащегося:

Пентаграмма – звездчатый невыпуклый многоугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. Она известна, узнаваема и любима нами с детства (слайд 10). Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т.д. (слайд 11). Главные награды государства имеют формы пятиконечной звезды, т.е. пентаграммы (слайд 12). Человеческое тело также можно рассматривать как пятиконечную фигуру, где лучами служат голова, руги и ноги.

Первые упоминания о пентаграмме относятся в Древней Греции. В переводе с древнегреческого пентаграмма означает дословно пять линий (пента – пять, грума – черта, линия, слайд 13). В эллинском мире наука и искусство развивались в так называемых философских школах.

Одной из самых известных среди них была школа Пифагора (580-500 гг. до н.э.), где отличительным знаком ее членов была пентаграмма. Пифагорейцы отличались исключительной верностью своему братству. Сохранилась легенда, согласно которой один из пифагорейцев, тяжело заболев на чужбине и оставшись без средств, попросил у хозяина дома, приютившего его, нарисовать на воротах пентаграмму. Проходивший мимо дома другой пифагореец ее увидел и щедро расплатился с хозяином.

Конечно, пифагорейцы не случайно выбрали пентаграмму. Они считают, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Например, число лучей этой звезды представлялось пифагорейцами как число любви: 5=2+3; 2 – первое женское число, 3 – первое мужское число. Именно поэтому пентаграмма являлась символом жизни и здоровья, ей присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Самое замечательное свойство пентаграммы – ее связь с золотым отношением (золотой пропорцией).

V. Практическая работа №2.

Учитель: Мы поговорили с Вами о планиметрических звездах, но особый интерес представляют звезды в пространстве. Учащиеся 8-го класса приготовили Вам задачу практического содержания: из данных пространственных тел попробуйте сконструировать звезду – пространственный звездчатый многогранник (учащиеся разбиваются на три группы).

I группа: получает модели додекаэдра, 12-ти правильных пятиугольных пирамид и клей.

II группа: получает модели 5-ти тетраэдров и клей. Размеры 4-х из них в два раза меньше размеров первого.

III группа: получает модели октаэдра, 8-ми треугольных пирамид, основания которых в два раза меньше стороны октаэдра, а боковые грани являются прямоугольными равнобедренными треугольниками, и клей.(в ходе практической работы школьники должны построить звездчатый октаэдр, малый звездчатый додекаэдр и двойственный многогранник.)

Учитель: Вам удалось построить красивейшие звезды в пространстве. Сообщение о построенных Вами звездчатых многогранниках подготовила ученица (Ф.И.)

Выступление учащегося:

1. Звездчатый октаэдр (слайд 14).

Звездчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет в 1619 году переоткрыт и описан Иоганном Кеплером и назван Stella octangula» - звезда восьмиугольная. Эту звезду можно рассматривать как соединение как соединение 2-х пересекающихся тетраэдров (т.е. правильных треугольных пирамид), центры которых совпадают.

2. Малый звездчатый додекаэдр (слайд 15).

Малый звездчатый додекаэдр образован продолжением граней додекаэдра. Каждая грань выпуклого додекаэдра образует правильную пятиугольную звезду. Малый звездчатый додекаэдр – это 12 правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра.

1. Двойственные многогранники (слайд 16).

Некоторые звезды являются двойственными многогранниками. Куб и октаэдр составляют звезду и находятся в положении двойственности друг к другу.

Большой интерес к звездам вызывает большое число симметрии, которым они обладают.

Учитель: Хочется предложить Вашему вниманию книгу М. Веннинджера «Модели многогранников» (Издательство «Мир», Москва, 1974 г.), где описаны 75 моделей многогранников, среди которых есть и звезды, т.е. звездчатые многогранники. К сожалению, сегодня эта книга – большая редкость, познакомиться с ее содержанием можно либо в сети Интернет, либо библиотеке им. Асеева.

VI. Звезды в жизни.

Учитель: Члены кружка из 8-го класса вырастили для нашего заседания три звездных химических кристалла (демонстрация химических звездных кристаллов). Обратите внимание, что лучами этих неправильных звезд являются многогранные углы.

Это не единственный пример применения геометрических звезд в жизни. К этому занятию Вы  самостоятельно изучали вопрос о применении звезд в жизни.

 Сейчас мы посмотрим слайды, которые нам это продемонстрируют (учащиеся комментируют слайды 17-35).

1. Гексограмма или шестиконечная звезда названа звездой Давида. Ее первые изображения датируются концом четвертого тысячелетия. Этот знак изображался на христианских церквях, мусульманских мечетях и еврейских   синагогах. Гексограмма – это символ равновесия и статичности.
2. Звезда – это символ мудрости и устойчивости. На флагах многих стран присутствует изображение звезды. На флаге Австрии изображены семиконечные звезды, на флаге Израиля – шестиконечная, на флаге Боснии и Герцеговины – пятиконечные звезды, на флаге Чили тоже пятиконечная звезда.
3. Звездчатые многогранники очень декоративные, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.
4. Некоторые новогодние игрушки тоже имеют форму звездчатых многогранников.
5. Многие формы звезд подсказывает сама природа. Снежинки - звездчатые многогранники. Существует атлас всевозможных видов снежинок.
6. Карликовая лилия – это звезда. Игольчатый цветок имеют форму шестиугольной звезды.
7. Морские звезды имеют вид пентаграмм.
8. Особым шиком является шнуровка спортивной обуви в виде пятиконечной и шестиконечной звезд.
9. В музее нашей школы «Фронтовые подруги» на одном из стендов мы тоже можем видеть звезду - пентаграмму
10. Очень оригинально смотрятся предметы быта, изготовленные по законам композиций звезд (на слайде мы видим люстру).
11. Очень часто архитектурные конструкции имеют форму звезд. На слайдах представлены купола церквей.
12. Китайские архитекторы на 11 Венецианском форуме архитекторов предложили проект Чайнатауна (китайского города) в виде суперзвезды, который может поместить в себя 15 тысяч человек.
13. Некоторые крепости строили в форме звезд, окруженных водными каналами.

Заключительное слово учителя:

Послушайте!

Ведь, если звезды зажигают -

значит - это кому-нибудь нужно?

Значит - кто-то хочет, чтобы они были? (слайд 36)

Сегодня мы попытались приоткрыть огромный раздел  геометрии- «Звезды», узнали о некоторых свойствах звезд, затронули основные идеи классификации звезд, принципы их построения и узнали, что, оказывается, мы живем в мире звезд. Спасибо за плодотворную работу на занятии.