Решение тригонометрических уравнений и неравенств с помощью скалярного произведения векторов
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) по теме
Дополнительный материал к теме "Тригонометрические уравнения и неравенства"
Скачать:
Предварительный просмотр:
Решение тригонометрических уравнений с помощью скалярного
произведения векторов
Известно, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними .
Так как , то . Если вектора заданы в координатной форме, т.е.
и
, то
Рассмотрим примеры:
1. Решить уравнение
Введем векторы и
, тогда
Итак,
Очевидно, что исходное уравнение можно записать в виде , но это равенство выполняется, когда угол между векторами равен
.
Значит, векторы сонаправлены, т. е. коллинеарны, а у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорцианальны, т. е.
, причем
и
имеют одинаковые знаки.
Возведя обе части уравнения в квадрат и выполнив преобразования, получаем
Так как то и
( они одного знака), то
2. Решить уравнение
Введем векторы и
, тогда
Итак, .
Уравнение можно представить в виде , воспользуемся коллинеарностью векторов и соответственно пропорциональностью их координат
. Решим полученное уравнение:
Так как , то
3.Найдите все пары , удовлетворяющие уравнению:
Решение: рассмотрим векторы и
, тогда
.
Ясно , что векторы и
для выполнения равенства должны быть сонаправлены, а их соответствующие координаты пропорциональны.
Получаем
Запишем полученное равенство в виде системы:
Возводим обе части равенств в квадрат и складываем, получаем
, откуда
или
, что невозможно, следовательно решений нет.
Тригонометрические задачи со сложным аргументом
Рассмотрим решение тригонометрических уравнений и неравенств , в которых сложный аргумент – сложная функция . Эти задачи отсутствуют в школьных учебниках, но их можно встретить на вступительных экзаменах.
- Решить уравнение :
Решение: имеем, что , но так как
, то и
, откуда
.
Далее решаем уравнение : .
Оно равносильно уравнению
Значения должны удовлетворять двойному неравенству
, откуда
.
Таким образом, осталось решить уравнение
- Решить уравнение
Решение: Преобразуя левую часть уравнения получим,
, но
, поэтому должны быть верны неравенства
, где
и
, где
Итак, и
3. Решить уравнение:
Решение: Исходное уравнение равносильно уравнению
Поскольку , то
, но так как
, то
Решаем три уравнения
Таким образом ,
4.Решить неравенство
Решение: Пусть
Находим нули функции , решая уравнение:
Это уравнение не имеет корней при целых , а поэтому функция сохраняет постоянный знак на всей координатной прямой.
Так как , то
,
при .
Следовательно, данное неравенство решений не имеет.
5. Решить неравенство
Решение:
Находим нули функции
Имеем
Так как , то
и
Поскольку период функции равен
, то применяем метод интервалов на промежутке длины
Таким образом
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
Данный элективный курс разработан для учащихся 10 классов....
Программа элективного курса «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
Данный элективный курс расчитан для работы с учащимися 10 класса, направлен на формирование твердых умений и навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств...

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ. ВАРИАНТЫ ЗАЧЕТА ПО ТЕМЕ.
Опорный конспект для работы с учащимися 10 класса по индивидуальному маршруту....
Образовательный модуль "Решение тригонометрических уравнений и неравенств различными методами"
Методическая разроботка для учителей математики. Образовательный модуль "Решение тригонометрических уравнений и неравенств различными методами"...

Решение алгебраических задач с помощью скалярного произведения векторов.
Данная разработка может быть использована на факультативных занятиях в 11 классе. Содержит разнообразные задачи: иррациональные уравнения, неравенства, их системы, задания на отыскание наибольшего и н...

Решение тригонометрических уравнений и неравенств(подготовка к ЕГЭ)
Рассмотрены способы решения тригонометрических уравнений и неравенств...

Цикл уроков на тему "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"
Презентация по алгебре для учащихся 10-11 класса в поддержку уроков по теме "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"....