Методическая разработка "Решение неравенств со знаком модуля"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

№

Тема урока:

Количество часов:

1

Диагностическая работа

1

2

Решение рациональных неравенств.

Метод интервалов.

2

3

Неравенства, содержащие иррациональные выражения

2

4

Неравенства, содержащие знак абсолютной величины

2

5

Неравенства, содержащие показательные выражения

2

6

Неравенства, содержащие логарифмические выражения

2

7

Итоговая работа

2

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

I. Организационный момент. Постановка цели.

Сегодня  мы продолжаем изучение темы «Решение неравенств алгебраическим методом». На этом уроке мы познакомимся с  некоторыми видами неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля, и изучим алгоритм решения таких неравенств.

1). Какие знания и умения из прошлых тем нам сегодня понадобятся ?

Ответы учащихся :

1). Нам необходимо уметь решать рациональные неравенства; знать определение модуля числа, уметь раскрывать модуль

2. Актуализация опорных знаний.

Итак, нам сегодня понадобится определение модуля.

1)Что называют модулем действительного числа?

2)Какой геометрический смысл имеет модуль действительного числа?

3)Каков геометрический смысл имеет выражение ?

4)Вспомним, как мы решали простейшие линейные уравнения с модулем вида

 │f(x)│= а.

5)Сформулируйте основные свойства модуля.

6) Раскройте модуль:

а); б)в); г); д); е)

Ответы учащихся :

1) Абсолютной величиной ( или модулем) │а│ действительного числа а называется : само это число, если а – неотрицательное число;  число, противоположное числу а, если а – отрицательное число. (На доске один из учеников делает запись):

=

2) Геометрически │а│ есть расстояние от точки 0 до точки, изображающей число а на координатной прямой.

3)есть расстояние между  точками  x и a на координатной прямой

 4)При а < 0 уравнение данного вида не имеет решения.

При а = 0 мы решали уравнение f(x) = 0.

При а > 0 мы использовали определение модуля  рассматривали следующие уравнения : f(x) = a  или  f(x) = - a.

5. 1. =

2.=, y≠0

3.

4.

5. ≥0 тогда и только тогда, когда 0.

6) а) 

б)=;

в) в);

г)=;

д) 

         е)

III. Оперирования знаниями и способами            деятельности. Выступления учащихся. Первичное закрепление.

Преподаватель осуществляет оперативный контроль, оказывает помощь            поддержку выступающих и других учащихся и вносит коррективы в их деятельность.

Преподаватель обращается к аудитории с вопросом:

-не забыл ли выступающий потребовать, чтобы значение а было неотрицательным?

-как объяснить переход к двойному неравенству с геометрической интерпретацией модуля разности двух чисел?

 Каким будет следующий случай ?

Как мы будем действовать, если в неравенствах, показанных ребятами и з 1 и 2-й групп заменить знаки на >,≥?

А теперь рассмотрим ситуацию, когда нервенство содержит несколько выражений с модулем. Слово представителям 4-й группы.

Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки, границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений, а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели.

Ответы учащихся 1 группы. Выполняются записи на доске, но лучше будет, если группа подготовит презентацию для своего выступления. (Во время выступления представителей групп остальные учащиеся делают соответствующие записи в теоретических тетрадях).

Рассмотрим неравенство вида │f(x)│< а, где а – некоторое число. В этом случае неравенство не имеет решений, так как левая часть этого неравенства положительна, а правая отрицательна. Положительное число не может быть меньше отрицательного.

При а > 0 неравенству │f(x)│< а удовлетворяют все точки  находящиеся на расстоянии, меньшем а, от точки 0, т.е. точки отрезка             ( - а; а). Промежуток ( -а; а) – это множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:

- а < f(x) < а.

1. Вывод:

(│f(x)│< а ) <=> (-а< f(x)<а)

Пример:

Решить неравенство │5 – 3х │< 8.

Данное неравенство равносильно двойному неравенству – 8 < 5 – 3х < 8, которое равносильно системе  5 – 3х > - 8,

                                      5 – 3х < 8.

Выполняя равносильные преобразования, получаем :

 - 3х > - 8 – 5,    - 3х > - 13,    х < 4,

 - 3х < 8 – 5.      - 3х < 3.        х > - 1.

Решением системы, а значит, и исходного неравенства, является числовой промежуток             ( -1; 4).

Примеры для самостоятельного выполнения:

 1); ответ (-3;7)

2); ответ (-6;-2)

3);  ответ нет решения

4); ответ (-0,4;1,2).

представитель 1  группы показывают правильные решения и дают ответы (слайд).

Ответы учащихся 2 группы.

Рассмотрим неравенство вида :

│f(x) │< g (x), где g(x)  - некоторая функция.

Используя опыт решения предыдущего типа неравенств, попробуем определить, в каком случае данное неравенство будет иметь решения? -g(x)

 При решении такого неравенства переходить к двойному неравенству будет неудобно, так как при переходе к двойному неравенству  неизвестное будет находиться сразу  в трех частях двойного неравенства, лучше сразу перейти к системе: 

Давайте запишем этот ввод в общем виде :

(│f(x) │< g (x)), где g(x) – некоторая функция, равносильно следующей системе:  

                                      Решая эту систему, мы находим решение исходного неравенства.

Учащиеся делают записи в теоретических тетрадях.

Пример :

Решить неравенство : │х - 1│< 2х – 4.

Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

. Выполняя равносильные преобразования, получаем :

х – 2х < - 4 + 1,        - х < - 3,             х > 3,

.    3х  > 5.       х > 1.  Решением данной системы, а значит, и исходного неравенства,  является множество чисел, удовлетворяющих условию: х > 3.

Ответ: х > 3.

Примеры для самостоятельного выполнения:

1. ответ: (2;5)
2. ; ответ: - < x <-

 Ответы учащихся 3 группы:

Мы рассмотрим решение неравенств вида

 │f(x) │< g (x), в соответствии с геометрической интерпретацией, перейдем к совокупности неравенств:  

Пример:

│2х - 3│> х + 1.

2х – 3 < - х – 1   или  2х – 3 > х + 1

3х < 2                          х > 2

 х <                         х > 2.

Ответ :  х <  ,  х > 2.

Примеры для самостоятельного выполнения:

1) │2х + 5│> х + 4; 2) │2х - 3│> х + 1.

Учащиеся 3-й группы отвечают на вопросы класса, дают для проверки верные ответы.

Ответы учащихся 4 группы:

В этом случае мы поступим, как и при решении уравнений со знаком модуля: разобьем числовую ось на промежутки, где подмодульные выражения сохраняют знак. В соответствии с этими знаками раскроем модули, решим обыкновенные (без модуля) неравенства и выберем ответ в соответствии с промежутками, на которых мы раскрывали модуль.

Пример: .

Это неравенство равносильно совокупности трех систем:

1.  <=><=>
2. <=> нет решений;
3. <=><=>

Ответ: x<0 или x>6.

Примеры для самостоятельного выполнения:

3. (ответ: нет решения);
4. (ответ:x≥1,5 )

Учащиеся проверяют собственные решения.

IV. Рефлексия. Подведение итогов урока.

 Итак, подведем итог сегодняшнего урока.

1). С какими неравенствами мы познакомились сегодня на уроке?

2). Сколько видов таких неравенств мы сегодня узнали?

3). Всегда ли такие неравенства имеют решения?

4). Как в таком случае мы поступаем?

Учащиеся отвечают, используя записи в тетрадях; рассказывают о своих трудностях в решении неравенств, если они были.

V. Постановка домашнего задания

 К следующему уроку вам необходимо повторить и  выучить теоретические основы сегодняшнего урока: определение модуля, его геометрический смысл, вид изученных неравенств и способы их решения. Попробуйте составить дома самостоятельно алгоритм решения  изученных неравенств для различных случаев и оформите в виде опорного конспекта.

Письменно выполнить следующие упражнения :

Решить неравенства.

1)ответ: (-2;-0,5)

2)

3) ответ: (-∞;или

4)ответ: (-∞;или (3;∞)

5)

№ задания

№1

№2

№3

№4

№5

Количество

баллов

1

1

3

4

6

оценка

«5»

«4»

«3»

«2»

Количество

баллов

от 13 до 15

от 9 до 12

от 7 до 8

Менее 7

№

задания

№1

№2

№3

№4

№5

общее

число

%

от всех участ.

общее

число

%

от всех участ.

общее

число

%

от всех участ.

общее

число

%

от всех участ.

общее

число

%

от всех участ.

Количество успешно выполневших

23

85%

25

93%

24

89%

18

67%

15

56%

оценки

«5»

«4»

«3»

«2»

успеваемость

абсолютная

качественная

количество

учащихся

4

14

7

2

93%

67%