Подготовка к экзамену по математике. 1 курс 2013 г
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

д\з №1

При выполнении заданий 1-8 запишите ход решения и полученный ответ

1. 1) (1 балл) Флакон шампуня стоит 170 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 900 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?
2. Определите, сколько банок краски по 4 кг необходимо купить для покраски пола в спортивном зале площадью 7х13м2, если на 1м2 расходуется 250 граммов краски.

3. Определите, какие из перечисленных точек принадлежат графику функции  у (х) = 3 х – 2.

А (1; 3);     В (0; –2);     С (2; 4);     Д (3; 5).

4.Вычислите значение выражения   9 – 81 –  0,5+

5. Найдите значение sin α, если известно, что cos α= и α  iv четверти.

6.  Решите уравнение:  1) 72х-1=493х   2) 3x+2+3x+3x+2= 29;                  

7. Вычислите значение выражения

8. Решите уравнение   ;

9.Определите, какой из ниже приведенных графиков соответствует нечетной функции. Отметьте его знаком «+» и кратко поясните, почему.

Используя график функции у = f() (см. рис. ниже), определите и запишите ответ:

10. наименьшее и наибольшее значения функции;

11. промежутки возрастания и убывания функции;

12. при каких значениях  f() ≤0,  f()>0

13. От электрического столба высотой 6 м к дому, высота которого 3 м натянут кабель. Определите длину кабеля, если расстояние между домом и столбом 4 м.

14. Тело движется по закону: 1)S(t) = 2t2 –3t (м), где  t - время в секундах. Найдите скорость тела через 4 с после начала движения;

3) S(t) = 5 + t +2t2 (м), где  t- время в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 17 м/с?

15.   Найдите область определения функции 1) y = lg ( - х2 + 4х).

2)   y = lg ( - х2 + 4х). 3) y = lоg3 ( ). 4) y = lоg7 (8х- х2).

16.   Решите уравнение: 1)

17. (1 балл) Решите уравнение: 1) 2cos2 x–5sinx –4 = 0.

 2) 2sin x - =0;                

18. (1 балл) Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см в первый раз вращается вокруг большего катета, а во второй – вокруг меньшего. Определите полученные геометрические тела и сравните площади их боковых поверхностей.

При выполнении заданий 19-22 запишите ход решения и полученный ответ

19. Найдите промежутки убывания, возрастания функции

f(x)= 2х3 - 9х2 +;  

Напишите уравнение касательной к  графику функции f(x) = -x 2 – 4 х + 2  в точке с абсциссой  х0 = -1;

20  Основанием прямой призмы является ромб со стороной 10 см и углом 30°. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

21.   Решите систему уравнений: 1)    

22.   Найдите решение уравнения  2cos2 x–5sinx –4 = 0,,удовлетворяющее условию cos x > 0.

   х

   х

   х

   х

-2

0

2

4

д\з №4

1.Футболка стоила 700 рублей. После снижения цены она стала стоить 560 рубля. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

2. Сколько потребуется упаковок плитки размером 25х25 см2 потребуется для пола кухни размером 4х4м2 ,  если в упаковке 25 штук плитки?

4.Вычислите значение выражения   1)     2)

                        3)  9 + 27 - +230             

5. Найдите значение sin α, если известно, что cos α = -  и α  2 четверти.

6.  Решите уравнение:  1) 162х-1=322х   2) 4x + 4x-1 = 20    3)  9x = 273х+2,       4)

  5) cos  х + 6 sin х – 6 = 0.     6) lоg4 (6+х)= lоg4 х-2       7) log(3х – 1) = - 3   8) cos 2х + cos х = 0

7) Какой из графиков является графиком нечетной функции

 8) Решите неравенство:  .

9) По графику определите   а). наименьшее и наибольшее значения функции;

б). промежутки возрастания и убывания функции;  в). при каких значениях  а) f() ≥0, б) f() <0

10) Тело движется по закону S(t) =5- t -2t2 (м), где  t - время в секундах. В какой момент времени тело остановится?

11)   Найдите область определения функции  y = lg ( 5х-х2).    

12)   Решите систему уравнений  1)  2)  

13) Найдите промежутки убывания, возрастания функции у =  -х+ 4х- 3 и точки экстремумов функции.

14) Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8см. Найдите объем цилиндра и площадь боковой поверхности..

15) Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 4см и 7см, вокруг   гипотенузы.

16) От электрического столба высотой 9 м к дому, высота которого 4 м натянут кабель. Определите длину кабеля, если расстояние между домом и столбом 12 м.

д\з №3

1.Футболка стоила 700 рублей. После снижения цены она стала стоить 560 рубля. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

2. Сколько потребуется упаковок плитки размером 15х15 см2 потребуется для пола кухни размером 3х4м2 ,  если в упаковке 20 штук плитки?

3. Определите, какие из перечисленных точек принадлежат графику функции   у (х) = х3- 2х2

А (1; 4);   В (-2; –16);      

4.Вычислите значение выражения   1) 81+ + (0,36)– 625                

                                  4)

5. Найдите значение sin α, если известно, что cos α = -  и α  3 четверти.

6.  Решите уравнение:  1) 52х-1=252х   2) 3x+3 - 3x = 78       3)  9x = 27,       4)

5) 2 cos2x + sin x  - 1 = 0.       6) lоg4 (6+х)= lоg4 х-2            7) log(3х – 1) = - 3 

7) Какой из графиков является графиком нечетной функции

     8) Решите неравенство:  .

9) По графику определите

а). наименьшее и наибольшее значения функции;

б). промежутки возрастания и убывания функции;

в). при каких значениях  а) f() ≥0, б) f() <0

10) Тело движется по закону S(t) = 4t2 –3t +1(м), где  t - время в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 12 м/с?

11)   Найдите область определения функции 1) y = lg ( 5х+2х2).    2) y = ln ( ).    

12)   Решите систему уравнений    

13) Прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см в первый раз вращается вокруг большей стороны, а во второй – вокруг меньшей. Определите полученные геометрические тела и сравните площади их боковых поверхностей.

14) Найдите промежутки убывания, возрастания функции f(x)= 2х3 - 9х2 +;  

15) Образующая конуса равна 5см, площадь его боковой поверхности равна 15π см2. Найдите объем конуса.

д\з №2

1. Вычислите а) 25 + (0,25)- 81; б) 
2. Найдите cos х,  если sin х =  ;  0 < х  <  .
3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к  графику   функции  

           f (х) = 9х - 4х3  в его точке с абсциссой х 0 =  1.

4. Найдите область определения функции: у = lg ( х - 7х ).
5. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (х) = 27х - 9х3  
6. Решите уравнение: а) 3х + 1 = ; б) 2x+4 - 2x = 30;

в); г) 3sin2 x –3 sin x = - cos2 x

7.  Решите неравенство: а) ()x > 92х-1; б)          .
8. Цена на электрический чайник была повышена на 10% и составила 1980 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
9.  Подобная №2
10. Найдите значение cos α, если sinα= и α  I четверти.
11. Тело движется по закону S(t)= t2  - 6t –3 (м), где  t- время в секундах. Через какое время после начала движения тело остановится?

12. Используя график функции у = f() (см. рис. ниже), определите и запишите ответ:

а)наименьшее и наибольшее значения функции;

   б)промежутки возрастания и убывания функции;

   в)при каких значениях х  f() ≥0, f() <0

13. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см в первый раз вращается вокруг большего катета, а во второй – вокруг меньшего. Определите полученные геометрические тела и сравните площади их боковых поверхностей.

14. Решите систему уравнений:  

15. Площадь осевого сечения цилиндра равна 121 см2, а его образующая равна диаметру основания. Найдите объем цилиндра.

     ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕНЯМИ

1. Вычислите:    16 -  + 27.
2.    9 + 27 - .
3. 
4.  
5. 
6. 
7. 25 + (0,25)– 81.
8. 9 – 81 –  0,5
9. .
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

 УРАВНЕНИЯ:

1. 4= .
2. 3 =
3. 3 - 2 ∙ 3 - 3 = 0.
4. 2 -3 ∙ 2 - 4 = 0.
5. 3  + 3  = 810.
6. 2  – 2 = 120
7. 4  – 3 ∙ 2  = 4.
8. 9  + 8 ∙ 3  = 9
9. 7  – 14 ∙ 7  = 5.
10. 3  – 5 ∙ 3  = 36

НЕРАВЕНСТВА:

1. () < 8                        8.  3 ≤ 81,
2. () > 9                   9. 27< 9,
3.  4  ≥ 16.                            10. 8   > 4 ,
4.  3  ≤ 9.                              11.    2 ≥ 16,

5.  2 > .                       12.  27 > ().
6.  3  <                           13. () < 8.
7.  3 ∙  < 9.                      14. 27< 9.

15. 10  > 0,001                     16. 100  < 0,1.

17. () < 8.                18. ()> 9

ЛОГАРИФМЫ.

Вычислите:

log 9 + log11.

log3 + log4.

log 24 - log 6.

log 54 - log 2 .

log 36 + log  32 .

log 25 + log 27 .

log81 + log16 + log36.

log27 - log64 + log25.

      Решите уравнение:

    1. log (12 – 5х) = 2.    

3. log( х– 5х + 6) = –1.

4. log (х2  + 4х – 5) = – 4.

5. log(2х – 1) = 3.

Решите неравенство:

1. Найдите целые решения неравенства:  0,04 ≤5  ≤ 25.

                                                                       0,2 ≤ 5 ≤ 125

                                                                        ≤ 7  < 49

                                                                        < 2  ≤ 16

 log( х - х- 2) ≥ 2.

 log( х - 2х) > 1.

 log(х- 3х + 32) = 2.

 log (х+7х +37) = 3.

Найдите значение выражения:

.

Найдите область определения функции:

 у = lg (2х + 9х),                       у = lg ( х - 7х ),

 у = lg (х - 8х),                          у = lg ( 4х + 11х ),

 у = lg ,

у = lg

Решите системы уравнений:  

сos x , sin x.

     Найдите  cos х, если  sin х =  ;    π  < х  <  π.

Найдите  sin х,  если  cos х =   ;    π  < х  < 2π   .

Найдите  sin х,  если  cos х = 0,6 ;   0 < х  < π.

Найдите cos х,  если  sin х = - 0,8 ;    π  < х  < 2π.

Найдите sin х,  если  cos х= -  ;  π  < х  < π.

Найдите cos х,  если sin х = ;    π < х < π.

Найдите sin х,  если cos х = - ;     π < х < π.

Найдите cos х,  если sin х =   ;  0 < х  < π.

Найдите sin х,  если cos х = -  ;   π < х  <  π.

Найдите cos х,  если sin х =  ;   π < х  <  π.

Найдите cos х,  если sin х =  - 0,6 ;    π < х  <  π.

Найдите sin х,  если cos х =  0,8 ;    0 < х  <  π.

ЗАДАЧИ.

1. Материальная точка движется  прямолинейно по закону х(t)= t-2 t+ 3t. Найдите ее скорость  в момент времени  t = 1.

2. Материальная точка движется  прямолинейно по закону х(t)= t+2 t- 3t. Найдите ее скорость  в момент времени  t =  2.

3. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 1 + 4 t – t (м), где t – время движения в секундах. Через  какое время после начала движения тело остановится?

4. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 12 t – 3 t (м), где t – время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?  

5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 5 t – 0,5 t (м), где t – время движения в секундах.  Найдите скорость тела через 4с после начала движения.

6. Тело движется по прямой так, что расстояние  S  от начальной точки изменяется    по закону   S(t) =  3t + t 2  (м), где  t - время движения в секундах.       Найдите   скорость тела через 3с после начала движения.

7. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по  закону S = t + 0,5 t (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость через 4с после начала движения.

8. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 5 t – 0,5 t (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость через 2с после начала движения.

9. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону  S = t-3 t + 4 (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость через 3с после начала движения.

10.  Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону  S = 0,5 t+3 t + 4 (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость через 2с после начала движения.

11. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S(t) = 1 + 4 t – t (м), где t – время движения в секундах. Через  какое время после начала движения тело остановится?

12. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S(t) = 4 + 3 t – 0,5 t (м), где t – время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?

13. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S(t) = 3t + t (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.

14. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S(t) = 5 t – 0,5 t (м), где t – время движения в секундах.  Найдите скорость тела через 4 с после начала движения.

15. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S(t) = 5 t – 0,5 t (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 4 с после начала движения.

16. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S(t) = 3 t + t (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.

17. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по  закону S = t + 0,5 t (м), где t – время движения в секундах.

Найдите скорость через 4с после начала движения.

18. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 5 t – 0,5 t (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2с после начала движения.

19. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 5 t – 0,5 t(м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость через 2с после начала движения.

20. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = t + 0,5 t (м), где t – время движения в секундах.

Найдите скорость через 4с после начала движения.

НЕРАВЕНСТВА.

Решите неравенства методом интервалов:

1.  > 0.
2.  < 0.
3.    > 0.
4.    ≥ 0.
5.    ≤ 0.
6.   <  0.    

7.  2 ∙  < 2.

ФУНКЦИЯ

Укажите промежутки возрастания и убывания функции и тангенс угла наклона касательной в точке максимума:

у =  х- 6х+ 1.  

у =  -х+ 4х- 3.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х+3х+2  на отрезке

 [-2; 1].  

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х+3х-12х -1 на отрезке [-1; 2].        

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х+3х+2  на отрезке [-2; 1].        

Найдите промежутки убывания функции:   f(х) =  -х+х+8х

Найдите промежутки  возрастания функции:   f(х) =  2х - 3х+5.

Найдите наименьшее значение функции f (х) =3х- 12х +1 на промежутке [1; 4].    

Найдите наибольшее значение функции f (х) = 1+ 8х - х на промежутке [2; 5].      

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (+логарифмы)

Решите систему уравнений:

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ:

1. 5 – 4sin х = 4cosх.
2. 5 - 4sin х = 4cos х
3. cos 2х + sin х = 0.
4. cos 2х + cos х = 0.
5. cos (π + х) = sin
6. sin (-х) = cos π.
7. 2 cosх – cos х – 1 = 0.
8. 2sin х - 3 sin  х + 1 = 0.
9. 2sin х + 5 cos х = 4.
10.  cos  х + 6 sin х – 6 = 0.

 12. 2 sin2 x + 7 cos x + 2 = 0.

13. cos 2х – 7 cos х + 4 = 0

14. cos 2х  = 5 + 4 cos х

15. 2 cos 2х = 1 + 4 cos х

16. cos 2х + 9 sin х + 4= 0

ЗАДАЧИ НА ОБЪЕМ, ПЛОЩАДЬ И Т.Д.

1. Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4см и 6см вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.

2. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6см и 8см вокруг прямой,  которая проходит через середины его  меньших сторон.

3. Найдите площадь боковой поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 4см и 7см, вокруг большего катета.

4. Высота конуса равна 12см, а его образующая равна 13см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

5. Высота конуса равна 5см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите объем конуса.

6. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 8см. Найдите объем цилиндра.

7. Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4см и 6см вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.

8. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6см и гипотенузой 10см вокруг большего катета.

9. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3см и 4см вокруг большего катета.

10. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6см и 10см вокруг большей стороны.

11. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 6см. Найдите объем цилиндра.

12. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6см и 8см вокруг прямой,  которая проходит через середины его  меньших сторон.

ПРОИЗВОДНАЯ

Найдите производную функции:

1. f(х) = 2х + tg х.

2. f(х) = 2х+ sin х.        

3. f(х) = 2х + tg х.

4. f(х) =2х+ sin х.