Занятие математического кружка № 22
методическая разработка по алгебре (5 класс) по теме

Занятие математического кружка № 22

Цель занятия: - углублять и расширять знания учащихся по математике;

- развивать математический кругозор, мышление, исследовательские   умения учащихся;

                            - воспитывать настойчивость, инициативу;

                            - прививать интерес учащихся к математике.

1. Приёмы устного счёта. Мгновенное умножение.

 Вычислители – виртуозы во многих случаях облегчают себе вычислительную деятельность, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям.

Например,  9882  можно вычислить так:

     9882 = 988 × 988 = (988 + 12) × (988 - 12) + 122 = 1000 × 976 + 144 = 976144,

       Вычислитель в этом случае использует алгебраическое преобразование: а2 = а2 – в2 + в2 = (а - в) × (а + в)+ в2.

Можно с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок:

272 = (27 - 3) × (27 + 3) + 32 = 24 × 30 + 9 = 729,

632 = (63 - 3) × (63 + 3) + 32 = 60 × 66 + 9 = 3969,

482 = (48 - 2) × (48 + 2) + 22 = 46 × 50 + 4 = 2304.

2. Возраст и математика.     

                    Многие утверждают, что математика – сухая наука, занимающаяся абстрактными понятиями, - хороша только для взрослых, что не может заинтересовать молодёжь, которая больше увлекается такими науками, которые содержат элементы приключений или путешествий (например, география), или повествуют о судьбах людей (например, история), или о явлениях, происходящих в окружающем мире, или же, наконец, затрагивают извечные вопросы бытия и строения вселенной (биология, астрономия). На самом деле и математика может увлечь молодёжь, стать захватывающим занятием.

                Несколько примеров из истории.

                Норберт Винер (1894 - 1964) в 3 года научился читать, в 11 лет поступил в колледж, в 18 лет получил степень доктора в Гарвардском университете, защитив диссертацию на стыке математики и философии.

                Блез Паскаль (1623 - 1662) увлекался математикой с детского возраста. Примерно в 8 лет открыл и доказал ряд теорем Евклида; в 16 лет написал сочинение о конических сечениях, а в 24 года открыл закон давления жидкости и создал основы теории вероятности.

                Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) в 18 лет стал профессором в университете в Турине, годом позже сформулировал общую теорию решения изопериметрических задач, т. е. нахождение многоугольника или замкнутой кривой соответственно заданных периметра или длины. ограничивающих наибольшие площади.

                Пьер Симон Лаплас (1749 - 1827) в 18 лет преподавал математику в военном училище, а в 20 лет стал профессором высшего учебного заведения в Париже.

                Огюстен Луи Коши (1789 - 1857) в 21 год уже был инженером и опубликовал выдающееся сочинение по теории чисел.

                Леонард Эйлер (1707 - 1783) имел исключительное влечение к математике. В 20 лет стал адъюнктом Академии наук в Петербурге, спустя три года стал профессором физики, а в 26 лет – профессором математики Петербургского университета.

                Эварист Галуа прожил всего 20 лет (1811 - 1832). В возрасте 16 – 18 лет он разработал основные положения раздела алгебры, названного позднее теорией Галуа.

                Нильс Хенрик Абель (1802 - 1829) один из создателей основ теории алгебраической функции, доказал невозможность решения уравнений пятой и высших степеней. Прожил всего лишь 27 лет.    

3. Задачи со спичками.

Задача 1. Как из трёх спичек сделать четыре, не ломая их?

Решение: Было I I I.  Стало I\/.

Задача 2. Переложи только одну спичку, чтобы равенство стало верным: V I I ┼  I I I ═ V. (Возможны два решения)

Решение: V I I ─  I I I ═ I V или V I I ┼  I I I ═ X.

Задача 3. Из спичек составлены три неверных равенства:

V = I I + V I I I,              V I = X + I,                 V I I = I X + I.

Необходимо внести изменения так, чтобы получились верные равенства.

Решение: X = I I + V I I I,              V I = \/ + I,                 V I I = \/ + I I.

Задача4. Из двенадцати спичек сложено имя «Толя». Переложите только одну спичку так, чтобы получилось женское имя.

(См. методичку стр. 145).

4. Решение олимпиадных задач

Задача 1. Решить уравнение:

{6099948 – 756 : [(30 + х) : 336] × 201}: 407025 = 12

Решение:

1. 407025 × 12 = 4884300;
2. 6099948 – 4884300 = 1215648;
3. 1215648 : 201 = 6048;
4. 756 × 336 : (30 + х) = 6048;
5. 336 : (30 + х) = 8;
6. 30 + х = 42;
7. х = 12

Ответ: 12.

Задача 2. Решить уравнение: 2 × [0,2 – 0,02 : (0,002 + 0,0002х)] = 0,3.

Решение:

1. 0,3 : 2 = 0,15;
2. 0,2 – 0,15 = 0,05;
3. 0,02 : 0,05 = 0,4;
4. 0,4 – 0,002 = 0,398;
5. 0,398 : 0,0002 = 1990;
6. х = 1990.

Ответ: 1990.

5. Математические софизмы.

Правильно понятая ошибка – путь к открытию.

Иван Петрович Павлов (1849 - 1936), физиолог.

Заблуждения, заключающие в себе некоторую

долю правды, самые опасные.

Адам Смит (1723 - 1790), шотл. экономист и философ.

        Рассуждение, в котором явно неправильный результат доказывается благодаря использованию доводов, ошибочность которых сознательно замаскирована, называется софизмом.

1. Докажем, что 4 р. = 40000 к.

Известно, что 2 р. = 200 к., следовательно, 22 р. = 2002 к.,

т. е. 4 р. = 40000 к.

2. Докажем, что 2 × 2 = 5.

Известно, что 4 : 4 = 5 : 5, следовательно, 4 × (1 : 1) = 5 × (1 : 1).

Таким образом, получили: 4 = 5, 2 × 2 = 5.

3. Докажем, что любое число равно числу, в 2 раза большему его. Возьмём любое число а. Рассмотрим разность квадратов:

а2 – а2 = а2 – а2.

В левой части вынесем за скобку а, а в правой части разложим на множители. В результате получим: (а - а)×а = (а - а)(а + а).

Следовательно, а = 2а.

6. Задачи в стихах.

Задача 1.       От числа одну восьмую

                       Взяв, прибавь ты к ней любую

Половину от трёхсот,

И восьмушка превзойдёт

Не чуть – чуть – на пятьдесят

Три четвёртых. Буду рад,

Если тот, кто знает счёт,

Мне число то назовёт.

(Эту задачу более 200 лет назад задавал своим ученикам учитель математики Иоганн Хемелинг).

        Решение: «Тот, кто знает счёт», без труда составит уравнение

Задача2. (гастрономическая).

Рыбу прекрасно готовят тут,

Форель отварная – король всех блюд.

Вот примут заказ. Всё готово. Несут!

По порции рыбы на стол подают.

Но что там за шум? То кричат повара:

«Для порции нам не хватает стола,

И по две на стол мы подать не смогли бы,

Остался бы стол чей-то вовсе без рыбы.»

Было бы славно, если б сумели

Определить, сколько порций форели

Надо подать, сколько надо столов

Там, где все хвалят так поваров.

Решение: пусть х – число порций рыбы, приготовленных искусными поварами; у – число столов. Тогда

Задача3. 

Говорил принцессе поэт:

«Мне, увы, вдвое больше лет,

Чем Вам было тогда, в былые года,

Когда Ваших сейчас я был лет.

Но когда подрастёте (состарюсь ли я?),

Будет Вам сколько мне сейчас лет

(вместе ж нам, хоть умри, шесть десятков и три),

Буду я Вам любезен иль нет?»

Интересно, сколько лет каждому из них?

Решение:  Способ 1.  Составим таблицу:

        Составим систему из двух уравнений, зная, что им вместе будет 63 года и разность возрастов поэта и принцессы постоянна:

Таким образом, поэту сейчас 28 лет, принцессе – 21 год.

                 Способ 2.  Эту задачу можно решить, не составляя системы уравнений. Обозначим через t разницу возрастов поэта и принцессы «сейчас», «тогда» и «всегда». Поскольку «сейчас» принцессе столько лет, сколько было поэту «тогда», значит, от «тогда» до «сейчас» прошло тоже t лет.

        Разница между возрастом поэта «сейчас» и принцессы «тогда» равна сумме двух чисел: разницы этих возрастов «всегда» и отрезка от «тогда» до «сейчас». Эта сумма 2t. Значит, возраст принцессы «тогда» 2t, а возраст поэта «сейчас» 4t лет. «Сейчас» принцессе 3t лет, и поэту «было» 3t лет.

        Когда принцессе станет 4t лет, поэту будет 5t лет. И все вместе эти 9t составят н63 года. Отсюда t = 7. Итак, «сейчас» поэту 28 лет, а принцессе 21 год.

         Ответ: поэту 28 лет, принцессе 21 год.

7. Стихотворная страничка.

Из сборника песен Бременского союза архитекторов и инженеров – СПб., 1895.

      у

      0                                                                                     х

Вот предо мной кривая: абсциссы – это даты;

И следует запомнить, что деньги - ординаты.

Когда звенит в кармане, кривая – на подъём;

Когда карман пустеет, - по ней мы вниз идём.

Когда-то при получке был ход кривой высок,

Но вскоре, volens-nolens1, мы шли под изволок.

Всё это – в милом прошлом, а нынче – тяжело!

Под ось абсцисс кривую, к несчастью, увлекло.

Конечно, в этой песне не новые слова:

И жизнь дороже стала, и денег – то едва!

Но вам моя кривая поможет затвердить:

Не трать ты больше денег, чем можешь получить!

                                                                  Фр. Граф

1Вольно – невольно (лат.).