Теория вероятностей ( для выполнения заданий ЕГЭ)
методическая разработка по алгебре по теме

Теория вероятностей ( для выполнения заданий ЕГЭ)

   Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать.

   Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.

Примеры случайных событий:

А={в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье};

С={ при бросании кубика выпадет шестерка}.

Невозможные события:

F={ npu бросании кубика выпадет семерка}.

Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его называют достоверным. Например:

G={в следующем году в Москве выпадет снег};

Н={при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.

Для лучшего понимания понятия «вероятность» приведём в качестве примера задачи:

1. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из нее наугад вынимается один предмет. Определите, какие из событий более вероятные, какие - менее вероятные:

А={будет вынута красная ручка} - вероятность 10/13.

В={будет вынута зеленая ручка} – вероятность 1/13.

С={6удет вынута синяя ручка} -  вероятность 2/13.

D={будет вынута ручка} - вероятность равна 1.

Е={6удет вынут карандаш} – вероятность равна 0.

Пусть ровно m из этих n исходов приводят к наступлению некоторого события А. Будем называть такие исходы благоприятными для этого события (они ему благоприятствуют, т. е. событие А наступает при любом из этих исходов).

Классическое определение вероятности

Вероятностью случайного события  А назовем дробь m/n, где n - число всех возможных исходов эксперимента, m - число исходов, благоприятных для события А:

Р(А)= m/n.

Например:

а) Р {выпадет герб} = 1/2

б)Р {на кубике выпадет четное число} = 3/6 = 1/2;

в)Р { из колоды вытянут туза} = 4/36 = 1/9

Задача1 . Колоду из 36 карт хорошо перетасовали и вынули из нее одну карту. Для каждого из следующих событий найдём его вероятность:

А = {вынули красную масть};

В = {вынули пику};

С = {вынули красную пику};

D = {вынули даму};

Е = {вынули даму пик}.

Решение:

Все пять событий относятся к одному и тому же случайному эксперименту - вытягиванию карты из полной колоды. Общее число исходов в этом эксперименте равно 36 (по числу разных карт), причем, поскольку колода хорошо перетасована, все они равновозможны, следовательно, n = 36.

Для события А благоприятный исход - любая карта красной масти. В колоде 18 карт красной масти, значит m = 18.

Следовательно, Р(А) = 18/36 = 1/2 = 0,5.

Для события В благоприятный исход - любая пик. Таких исходов 9 (столько в колоде карт пиковой масти):

m - 9 отсюда Р(В) = 9/36=1/4=0,25.

Совершенно аналогично находим число благоприятных исходов и вероятности для оставшихся событий:

для события С т = 0, Р(С) = 0/36 = 0;

для события D т = 4, Р(D) = 4/36 = 1/9 =0,111;

для события Е т = 1, Р(Е) = 1/36 = 0,028.

№ 2. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероятность того, Что оба карандаша окажутся красными?

Решение.  Испытание состоит в том, что из каждой коробки '' вынимается по одному карандашу. Пусть событие А означает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие

В — что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВ означает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и В независимы, то P (АВ) = P (А) P (В). Вероятности событий А и В равны соответственно P(А) = 0,4, P(В) = 0,3. Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P (АВ) =

=0,4 • 0,3 = 0,12.

Ответ: 0,12.

№3. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет четное число очков?

Решение: 1,3,5 – нечетные числа, 2,4,6 – четные. Число возможных исходов при бросании кости 6. Число благоприятных исходов 3 ( выпадение 2,4,6) . Таким образом вероятность впадения четного числа очков равнв:3/6=0,5.

Ответ:0,5.

№4. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с персонажами мультфильмов и 18 с видами природы. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Маше достанется пазл с персонажем из мультфильма.

Ответ: 12/30=0,4.

№5. На тарелке 15 пирожков: 6 с яблоками, 4 с капустой, 5 с печенью. Варя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того,  что он окажется с яблоками.

Ответ: 6/15=0,4.

№6. На экзамене 40 билетов, Игорь не  выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение: Число возможных исходов  40, число благоприятных исходов: 40-2=38.

Искомая вероятность равна: 38/40=0,95.

Ответ: 0,95.

№7.  При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше трех очков.

Решение:

Сумму в 6 очков можно получить следующими способами ( переберем варианты):1+5,2+4,3+3,4+2,5+1 – всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна:2/5=0,4.

Ответ:0,4.

№ 8. Марина и Дина бросают кубик по одному разу. Выигрывает та девочка, у которой выпадет больше очков. Первой бросила Марина, у неё выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Дина выиграет.

Решение:  Для того, что бы выиграть у Дины должно выпасть 4, 5 или 6 очков. Т. е. 3 благоприятных исхода из 6 – ти возможных (1,2,3,4,5 или 6). 3/6= 0,5.

Ответ: 0,5.

№6. Двое играю в кости – они по разу бросают игральный кубик. Выигрывает тот, у кого больше очков. Если выпадет поровну – ничья. Первый бросил кубик, и у него выпало 4 очка. Найдите вероятность того, что он выиграет.

Решение: Комбинации выпадения очков : 4:1, 4:2, 4:3, 4:4, 4:5, 4:6. Всего 6. Из них выигрышных для первого 3 (первые из перечисленных). Значит вероятность того, что он выиграет: 3/6=0,5.

Ответ: 0,5.

№7. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.

Решение: Найдем число возможных исходов, переберем все варианты бросков. В подобных задачах удобнее составит таблицу:

Всего возможных исходов восемь.

 Первые два одинаково могут закончиться в четырех случаях, это 1,2,5,6 варианты, т.е. благоприятных исходов 4. Искомая вероятность  равна: 4/8=0,5.

Ответ: 0,5.

  (Эту же задачу можно решить и при помощи произведения и суммы вероятностей, но в данном случае этот способ, по-моему,  сложнее)

№8.  Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что только первые два броска окончатся одинаково.

Решение: В этой формулировке благоприятных исходов будет уже только 2 ( 2 и 6 варианты). А всего исходов, как и в предыдущей задаче, будет 8. Искомая вероятность равна: 2/8=0,25.

Ответ: 0,25.

№9. При  двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков.

Решение: 6 очком могло выпасть только при следующих раскладах: 1 и 5, 2 и 4, 3 и 3, 5 и 1, 4 и 2. Всего 5 возможных вариантов. В первый раз выпадает меньше 3 очков только в двух случаях.  Вычислим искомую вероятность: 2/5=0,4.

Ответ: 0,4.

№10. Найдите вероятность того, что  при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков.

Решение: Всего возможных комбинаций будет 36. Из них благоприятными будут 9:

1:1, 1:2, 1:3, 2:1,2:2, 2:3, 3:1,3:2,3:3 . Находим исходную вероятность: 9/36=0,25

Ответ: 0,25.

№11.  Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение:  Выясним чему равно число исходов, а так же число благоприятных исходов. Всего спортсменов 26, включая Руслана, значит играть он сможет с кем-либо из оставшихся 25-ти. Т.о. число возможных исходов – 25. Среди оставшихся 25-ти спортсменов 9( Руслана не считаем) из России. Значит, благоприятных исходов – 9. Искомая вероятность равна: 9/25=0,36.

Ответ: 0,36.

№ 12. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября. Найдите вероятность того. Что будут дежурить два мальчика.

Решение: для каждого из 21- го  ребенка может быть в паре один из оставшихся 20. Т.е. число возможных пар: 21*20=420.  Благоприятными будут пары, когда для каждого из 7 мальчиков в пару попадет один из оставшихся 6-ти. Т.о. количество благоприятных исходов вычислим: 6*7=42.

Искомая вероятность: 42/420=0,1.

Ответ: 0,1.

№ 13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 56 шашистов, среди которых 12 участников из России, в том числе и Валерий Стремянкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Валерий Стремянкин будет играть с каким-либо шашистом из России.

Решение: Всего Валерий Стремянкин может играть с каким-либо из 55 (исключая его самого из общего количества) шашистов. Благоприятными для нас являются 11 исходов из них (Из России всего12 шашистов, 1 из них сам Стремянкин, значит соперников возможных у него 11). Находим исходную вероятность: 11/55=0,2.

Ответ: 0,2.

№14. В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайным образом. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз в своей банке.

Решение: В четырёх банках из пяти нет приза. Значит,  исходная вероятность будет равна: 4/5=0,8.

     Ответ: 0,8.

№15. В среднем на 150 карманных фонариков приходится 3 неисправных. Какова вероятность купить исправных фонариков?

Решение:

Количество возможных исходов 150. Количество благоприятных исходов: 150-3=147. Вероятность купить исправный фонарик 147 к 150:  147/150 = 0,98.

Ответ: 0,98.

№16.  В среднем на 150 исправных карманных фонариков приходится 3 неисправных. Какова вероятность купить исправный фонарик?

Решение:

В этом случае число возможных исходов: 150+3=153 ( 150 исправных плюс 3 неисправных).

Число благоприятных исходов = 150 ( число исправных фонариков). Вероятность купить исправный фонарик равна: 150/153= 50/51 ≈ 0,9804…

№17. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение: Сказано, что на 100 качественных сумок приходится 8 с дефектом, значит число возможных исходов 100+8=108. Число благоприятных исходов 100(качественные сумки). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 1оо к 108: 100/108=0,9259…≈ 0, 93.

Ответ: 0,93.

№18. Какая сумма, скорее всего, выпадет при бросании двух кубиков?

Решение:  Возможные суммы : 1+1=2, 1+2=3, 1+3=4, 1+4=5, 1+5=6, 1+6=7,2+1=3, 2+2=4, 2+3=5, 2+4=6, 2+5=7, 2+6=8, 3+1=4, 3+2=5,3+3=6, 3+4=7,3+5=8,3+6=9, 4+1=5, 4+2=6, 4+3=7, 4+4=8, 4+5=9,4+6=10, 5+1=6, 5+2=7, 5+3=8, 5+4=9, 5+5=10,5+6=11, 6+1=7, 6+2=8,6+3=9, 6+4=10, 6+5=11, 6+6=12.  Возможные суммы:

Чаще всего выпадает сумма 7.

Ответ: 7.

№ 19. Валя выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

       Решение: Найдём количество всех трёхзначных чисел, делящихся на 51. Первое из них   102, далее 153 и т.д. Сколько будет таких чисел среди трёхзначных? 999: 51=19, 588…, т.е. чисел кратных 51 до 999 будет 19. Из них одно двузначное 51, значит 19-1=18. 18 трёхзначных чисел, делящихся на 51. А всего трёхзначных чисел : 999-99=900. Найдём искомую вероятность: 18/900=0,02.

Ответ:0,02

   Все вышеперечисленные задачи решались, опираясь на классическое определение вероятности.

Сборники заданий ЕГЭ предлагают так же ряд задач, решаемых при помощи произведения и сложения вероятностей.

Произведение вероятностей.

   Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого.

(Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, исчисленную в предположении, что первое событие уже произошло.

  Условной вероятностью события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.)

Сложение вероятностей.

  Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий  А или В, т. е. в наступлении события А, или события В, или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и  В равна сумме вероятностей этих событий: .

  Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. 

№ 20. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:

 а) только одно отделение получит газеты вовремя;

 б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение: Введем события

 А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),

 А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),

 А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),

 по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.

 Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если

 или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,

 или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,

 или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.

 Таким образом,

Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем

Найдем вероятность события У=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие = (все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события

Тогда вероятность события У:

Ответ: 0,032; 0,316.

№21. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероятность того, Что оба карандаша окажутся красными?

Решение.  Испытание состоит в том, что из каждой коробки '' вынимается по одному карандашу. Пусть событие А означает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие

В — что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВ означает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и В независимы, то P (АВ) = P (А) P (В). Вероятности событий А и В равны соответственно P(А) = 0,4, P(В) = 0,3. Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P (АВ) =

=0,4 • 0,3 = 0,12.

Ответ: 0,12.

№22. В случайном эксперименте монету бросают трижды. Найти вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение: Задачу можно решить, пользуясь классическим определением  вероятности или теоремой о произведении вероятностей.

         1 способ.  Решим задачу, используя теорему о произведении вероятностей.

    Орел не выпадет ни разу только в случае выпадения: решка, решка, решка. Вероятность выпадения решки в 1-ый раз =0,5 (1 из двух вариантов выпадения). Аналогично: вероятность выпадения решки во 2-ой раз=0,5. И в 3-ий раз тоже =0,5. Поскольку это вероятности зависимых событий, мы находим их произведение: 0,5*0,5*0,5=0,125.

 Ответ: 0, 125.

          2 способ.  Решим задачу, используя   классическое определение  вероятности.                    

   Переберем все варианты выпадения:

Орел, орел, орел

Орел, орел, решка

Орел, решка, орел

Орел, решка, решка

Решка, решка, решка

Решка, решка, орел

Решка, орел, орел

Решка, орел, решка.

 Всего 8 возможных исходов, из которых только 1 благоприятный. Т.о. искомая вероятность равна: 1/8=0,125.

Ответ: 0,125.

№23. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: Эту задачу так же можно решить двумя способами.

      1 способ.  Решим, используя теорему о произведении. При каком сочетании может выпасть сумма 8? Найдём все комбинации:  2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2. Всего 5 комбинаций. 1/6 -  вероятность выпадения 2 при первом бросании, и такая же вероятность выпадения будет у каждой из цифр. Подсчитаем вероятность выпадения комбинации 2 и 6: 1/6*1/6=1/36 (применили произведение вероятностей). Такая же вероятность будет у каждой из оставшихся 4-х комбинаций, каждая из которых дает нужную сумму 8.

    1/36+1/36+1/36+1/36+1/36=5/36≈ 0,14. (применили сложения вероятностей).

Ответ: 0,14.

2 способ.  Найдем число возможных исходов, переберём все варианты бросков. В подобных задачах удобнее составлять таблицу. Составим таблицу для суммы двух костей. ( все варианты суммы, которые могут выпасть):

    Всего исходов 36 (6 на 6). Благоприятных исходов 5 ( легко подсчитать в таблице). Вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна: 5/36≈0, 14.

Ответ: 0,14.

№24. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение:  1способ.  Найдем число возможных исходов, перебрав все варианты бросков. Составим таблицу, т.к. при решении подобных задач это удобно.

Всего возможных исходов 4. Орел выпадет один раз во втором и третьем вариантах. То есть число благоприятных исходов 2. Вероятность того, что орел выпадет ровно  один раз равна: 2/4=0,5.

Ответ: 0,5.

2 способ.

Найдем все комбинации при двух бросках, когда орел выпадает ровно один раз:

Первая - орел и решка, 2-ая – решка и орел.

Вероятность выпадения орла (впрочем, как и решки) при одном броске равна 0, 5.

          Найдем вероятность выпадения первой комбинации: орел и решка. Решка при втором броске должна выпасть при условии выпадения орла при первом броске, значит, применяем теорему о произведении :0,5*0,5=0,25.

          Вероятность выпадения второй комбинации находим так же:0,5*0,5=0,25.

Вероятность появления одной из этих комбинаций находим, как сумму вероятностей:

                           0,25+0,25=0,5.

Ответ: 0,5.

№ 25. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, что бы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по очереди играет с командами «Красные», «Синие», и «Зеленые». Найдите вероятность того, что ровно в одном матче право первой владеть мячом получит команда «Белые».

Решение: Пусть разыгрывается первенство владения мячом между командами «Белые» и «Красные». При бросании монеты вероятность того, что право владеть мячом первой у команды  «Белые»  равна 0,5. Вероятность, что у неё не будет этого права тоже равна 0,5.  Такие же вероятности будут и при разыгрывании первенства владения мячом по отношению команд «Синие» и «Зеленые».

Для того, что бы ровно в одном матче право первой владеть мячом получила команда «Белые» рассмотрим все возможные расклады:

1. При розыгрыше с командой «Красные» - первой получила мяч команда «Белые» ( вероятность 0,5), значит при розыгрыше с командами «Синие» и «Зелёные» первой мяч команда «Белые» не получила( вероятности по 0,5) .  Вероятность этого расклада  находим как произведение вероятностей, т.к. эти события должны произойти одновременно : 0,5*0,5*0,5=0,125 .
2. При розыгрыше с командой «Красные» - первой получила мяч команда «Белые» ( вероятность 0,5), значит при розыгрыше с командами «Синие» и «Зелёные» первой мяч команда «Белые» не получила( вероятности по 0,5) .  Вероятность этого расклада  находим как произведение вероятностей, т.к. эти события должны произойти одновременно : 0,5*0,5*0,5=0,125 .
3. При розыгрыше с командой «Зелёные» - первой получила мяч команда «Белые» ( вероятность 0,5), значит при розыгрыше с командами «Синие» и «Красные» первой мяч команда «Белые» не получила( вероятности по 0,5) .  Вероятность этого расклада  находим как произведение вероятностей, т.к. эти события должны произойти одновременно : 0,5*0,5*0,5=0,125 .

Других раскладов, учитывая условие задачи, быть не может.

Т.к. каждый из этих раскладов независимые события, из которых должно произойти одно,

то искомую вероятность находим как сумму: 0,125+0,125+0,125 = 0,375.

Ответ: 0,375.

№26. Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет чёрными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют две партии, причем АО второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба  раза.

Решение: Один раз гроссмейстер А будет играть белыми и вероятность  его выигрыша в этом случае согласно условию равна 0,6. Второй раз гроссмейстер А будет играть обязательно черными (т.к. цвет фигур меняется) и вероятность его выигрыша равна в этом случае 0,4. Поскольку эти два события совместны, то их вероятности перемножаем: 0,6*0,4=0,24.

Ответ: 0,24.

№27. В некоторой местности наблюдении показали:

1. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.
2. Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4.
3. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Решение: Возьмем случайно взятый июньский день. Утро в этот день может быть пасмурным( вероятность 0,3) или ясным (вероятность 1-0,3=0,7). Если утро пасмурное, то вероятность того, что дождя не будет равна 1-0,4=0,6. Найдем вероятность того, что в при пасмурном утре  пойдет дождь: 0,3*0,6=0,18 (вероятности перемножаются, потому что эти события совместные).

    Если утро ясное, то вероятность, что  дождя не будет равна 1-0,1=0,9. Найдем вероятность того, что     при ясном утре  пойдет дождь: 0,7*0,9=0,63  (вероятности перемножаются, потому что эти события совместные). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: 0,18+0,63=0,81.

Ответ: 0,81.

№28. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар.

Первая фабрика выпускает 30 % этих стекол, вторая 70 %. Первая фабрика выпускает  3% бракованных стекол, а вторая 4 % . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: 0,3*0,03=0,009  0,7*0,04=0,028  0,028+0,009=0,037. В ответе ответ:0,043????????

Используемые источники:

matematikalegko.ru

Типовые тестовые задания «Математика. ЕГЭ» 2013 г. под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. Изд-во «Экзамен» Москва 2013.

«ЕГЭ. 2013. Математика» Авторы-составители: И.Р.Высоцкий, Д.Д. Гущин. АСТ. Астрель. Москва

Журнал «Математика в школе», №5   2011г.