Решение логарифмических неравенств
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме

Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы

Рассмотрим стандартные логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании логарифма.

Способы решения этих неравенств:

1. рассматривают два случая: основание больше единицы и основание положительно и меньше единицы и решают совокупность двух систем;
2. используют обобщенный метод интервалов, заключающийся в приведении неравенства к виду h(x)=loggxfx0  (где символом <> обозначен один из знаков  ), разбиении D(h) нулями h(x) на несколько интервалов и определении знака h(x) на каждом интервале по ее знаку в одной из точек соответствующего интервала.
3. используют метод, основанный на замене функций. Напомним, что если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции h(x) соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции g(x), то неравенства p(x)h(x)  0 и p(x)g(x)  0 равносильны.

1. Неравенство вида loggxfx0 

Решение: Решением неравенства loggxfx0  будет решение равносильной системы           fx−1gx−10; fx0; gx0; gx=1  

2. Неравенство вида logg(x)f(x)b 

Решение: Решением неравенства logg(x)f(x)b  будет решение равносильной системы           f(x)−gb(x)g(x)−10 f(x)0; g(x)0; g(x)=1  

Замечание. Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов: logg(x)f(x)blnf(x)lng(x)−b0lng(x)lnf(x)−blng(x)0lng(x)−ln1lnf(x)−lngb(x)0. Воспользуемся методом замены функций и получим равносильную систему             g(x)−1f(x)−gb(x)0 f(x)0; g(x)0; g(x)=1            f(x)−gb(x)g(x)−10 f(x)0; g(x)0; g(x)=1  

3. Неравенство вида logh(x)f(x)logh(x)g(x) 

Решение: Решением неравенства logh(x)f(x)logh(x)g(x)  будет решение равносильной системы               f(x)−g(x)h(x)−10 f(x)0; g(x)0; h(x)0; h(x)=1  

Замечание. Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов:logh(x)f(x)logh(x)g(x)lnf(x)lnh(x)−lnh(x)lng(x)0lnh(x)lnf(x)−lng(x)0lnh(x)−ln1lnf(x)−lng(x)0. Воспользуемся методом замены функций и получим равносильную систему                 h(x)−1f(x)−g(x)0 f(x)0; g(x)0; h(x)0; h(x)=1                  f(x)−g(x)h(x)−10 f(x)0; g(x)0; h(x)0; h(x)=1  

4. Неравенство вида logf(x)h(x)logg(x)h(x) 

Решение: Решением неравенства logf(x)h(x)logg(x)h(x)  будет решение равносильной системы                     h(x)−1g(x)−f(x)f(x)−1g(x)−10 f(x)0; g(x)0; h(x)0; g(x)=1; f(x)=1  

Замечание. Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов: logf(x)h(x)logg(x)h(x)lnf(x)lnh(x)−lng(x)lnh(x)0lnh(x)1lnf(x)−1lng(x)0  lnh(x)1lnf(x)−1lng(x)0lnh(x)lnf(x)lng(x)lng(x)−lnf(x)0lnf(x)−ln1lng(x)−ln1lnh(x)−ln1lng(x)−lnf(x)0 . Воспользуемся методом замены функций и получим равносильную систему                         f(x)−1g(x)−1h(x)−1g(x)−f(x)0 f(x)0; g(x)0; h(x)0; g(x)=1; f(x)=1                        h(x)−1g(x)−f(x)f(x)−1g(x)−10 f(x)0; g(x)0; h(x)0; g(x)=1; f(x)=1  

5. Неравенство вида logxfxloghxgx0 

Решение: Решением неравенства logxfxloghxgx0  будет решение равносильной системы                           fx−1x−1gx−1hx−10; fx0; x0; x=1; gx0; hx0; hx=1