Разработка открытого урока"Решение логарифмических неравенств"
план-конспект урока алгебры (11 класс) по теме
Вданной разработке рассматриваются различные методы решения логарифмических уравнений .
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
kopiya_otkrytyy_urok.doc | 85.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Разработка урока
учителя математики школы № 42 г. Томска Полуэктовой Т.Е..
Тема : Подготовка обучающихся к ЕГЭ при изучении темы « Решение логарифмических уравнений».
«Изобретение логарифмов , сократив
работу астронома , продлило ему жизнь»
П.С.Лаплас
Цели урока :
- Ввести понятие - простейшие логарифмические уравнения
- Рассмотреть основные методы решений основных типов логарифмических уравнений.
Требования к знаниям и умениям обучающихся:
- Знать вид простейших логарифмических уравнений
- Уметь применять различные методы при решении логарифмических уравнений.
План уроков
№ урока | Структура урока | Этап урока |
1 | I | Организационный момент ( 1мин) |
II | Теоретическая разминка ( 9 мин) | |
III | Изучение нового материала (35 мин) | |
2 | I | Изучение нового материала ( 35 мин) |
II | Закрепление изученного материала ( 7 мин ) | |
III | Домашнее задание ( 3 мин) |
У Р О К 1
I . Организационный момент : формирование мотива , желания работать на уроке.
II. Теоретическая разминка: повторение необходимых теоретических сведений по теме , развитие умений говорить и слушать. Работа проходит в форме ответов на вопросы :
- Дайте определение логарифма числа по заданному основанию.
- Запишите основное логарифмическое тождество ( условия а ≠ 1 , а > 0 , в > 0 )
- Основные свойства логарифмов (а ≠ 1 , а > 0 , в > 0, х > 0, у > 0 ). Формулировки и формулы.
- Логарифм единицы.
- Логарифм самого основания .
- Логарифм произведения .
- Логарифм частного .
- Логарифм степени.
- Логарифм корня.
- Формула логарифмического перехода от одного основания к другому
- Какие логарифмы называются десятичными , натуральными и как они обозначаются? Чему равны lg 100 и lg 0, 001?
- Дайте определение логарифмической функции.
- Каковы область определения и область значений функции у = log а х и их обозначения ?
- Свойства монотонности : в каком случае функция у = loq а х является возрастающей . в каком убывающей?
- Найдите выражения , имеющие смысл: log 3 5 ; log 5 0 ; log 2 (-4) ; log 5 1 ; log 5 5.
III. Изложение нового материала
В иррациональном уравнении неизвестное содержится под знаком корня различной степени .
А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма , как его назвать?
( логарифмическое ). Предложить ученикам дать определение логарифмического уравнения .
Определение : Логарифмическим уравнением называется уравнение , содержащее
неизвестное под знаком логарифма.
•Какое преобразование называют логарифмированием ?
( Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием).
•Какое преобразование называют потенцированием ?
( Действие , которое заключается в нахождении числа по данному логарифму , называют потенцированием).
При решении логарифмических уравнений часто приходится выполнять эти преобразования .
Следует иметь в виду , что указанные операции могут привести к уравнениям , не равносильным данным..
Логарифмирование – это опасная операция , т.к. при ней может произойти потеря корней .
Пример : х2 = 25 ; прологарифмируем обе части log 5 х2 = log 5 25;
х1,2 = ± 5. уравнения по основанию 5: 2 log 5 х = 2;
log 5 х = 1;
х = 5 потеря корня х = - 5
Избежать этой ошибки поможет нахождение ОДЗ уравнения.
При потенцировании потери корней не происходит , но могут получиться посторонние корни , которые легко обнаруживаются при подставке их в исходное уравнение .
Если при подстановке какого – либо корня в уравнение под знаком логарифма получается отрицательное число или нуль , то этот корень надо отбросить как посторонний.
Пример: log 2( х +1 ) + log 2 х = 2 используем свойства логарифма произведения
log 2 (( х +1 )х )= 2 используем определение логарифма
х( х+1) = 22
х2 + х - 4 = 0 , получаем х1 = 1 и х2 = -2 < 0 посторонний корень , т.к. log 2( -2)
выражение не имеет смысла.
С учётом вышеизложенного при решении логарифмических уравнений приоритетом является проверка ,а не ОДЗ .
Методы решения логарифмических уравнений.
Основные методы решения логарифмических уравнений :
- Метод потенцирования , т.е. переход от уравнения log аf( х) = log а φ(х) к уравнению следствию
f( х) = φ(х);
- Метод введения новых переменных ;
- Метод логарифмирования , т.е. переход от уравнения f( х) = φ(х) к уравнению
log аf( х) = log а φ(х)
1) . Уравнение вида log а х = в, где а ≠ 1 , а > 0 , , х > 0, называется простейшим логарифмическим уравнением , оно равносильно уравнению х = ав , причём ни проверка , ни ОДЗ не требуется ,т.е.
- log а х = в,
а ≠ 1 , а > 0 ; х = ав
При решений уравнений такого типа можно выделить ещё два типа :
- log аf( х) = в, f( х ) > 0, f( х) = ав .
а ≠ 1 , а > 0 ; f( х) = ав ;
- log аf( х) = log а φ(х),
а ≠ 1 , а > 0, f( х) = φ(х)
f( х) = > 0, φ(х) > 0,, φ(х) > 0.,
У Р О К 2
Рассмотрим примеры решений различных логарифмических логарифмических уравнений :
1) Решение уравнений по определению логарифма .
Пример 1 . Найдите все решения уравнения log 2 ( 3 х2 – х ) = 1, принадлежащие области определения функции у = √2 – 5х .
Решение: Уравнение log 2 ( 3 х2 – х ) = 1 равносильно уравнению 3х2 – х = 2 . имеющему корни х1 = 1,
х2 = -2/3.При х = 1 функция у = √2 – 5х не определена., а при х = -2/3 определена. Ответ : -2/3
Пример 2. Решить уравнение log 3 ( 4 3 х -1 – 1) = 2х – 1 .
Решение: По определению логарифма имеем: 4 3 х -1 – 1 = 32х – 1, 4/3 3х – 1 + 3 2х 1/3 . Обозначим
3х = у , тогда 4/3 у – 1 = 1/3 у2 , у2 – 4у + 3 = 0 , у1 = 1 , у2 = 3. далее . если 3х = 1 . х = 0 , и если 3х = 3 , то х = 1.
Заметим , что при найденных значениях х выражение под знаком логарифма положительно .
Ответ : 0;1
Пример 3. Решить уравнение log 3 ( 0,5 + х ) = log 3 0.5 - log 3 х.
Решение: Перегруппируем члены уравнения log 3 ( 0,5 + х ) + log 3 х = log 3 0.5 .
Далее , используя свойство логарифма произведения , заметим , что уравнение равносильно системе
х 0, х 0 ,
0,5 + х 0 х 0, х = -1 х = 0,5
log 3 ( 0,5х + х2 ) = log 3 0,5 х + 2х2 = 1 х = ½
Ответ: 0,5.
Пример 4. Решить уравнение log 2 ( х +2 ) = log 2 ( х2 + х - 7).
Решение: Из равенства логарифмов следует равенство , стоящих под знаком логарифма выражений :
х + 2 = х2 + х – 7. Отсюда х2 = 9 . х = - 3 или х = 3.
Проверка показывает , что х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению , х = 3 является его решением. Ответ:3
Пример 5. Решить уравнение log х – 6 ( х - 4) = 2.
Решение : областью определения уравнения log х – 6 ( х - 4) = 2 является х6 , х – 6 1 . для этих значений х уравнение равносильно следующему : ( х – 6 ) 2 = х – 4 . Решив его , получим х 1 = 8 и х 2 = 5 .Учитывая ограничения , запишем ответ : х = 8 . Ответ: 8
2). Метод сведения обеих частей уравнения к логарифму с одинаковым основанием.
Пример 6 . Найти все корни уравнения 5х 2 2+х/х = 40.
Решение : Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 и , применив свойства логарифмов, получим : 2+х / х + х log 2 5 = 3 + log 2 5, или 2 – 2х /х + (х – 1 ) log 2 5 = 0 ,. или
(х – 1 )( log 2 5 – 2/х) = 0 , откуда х = 1 или х = 2/ log 2 5 = 2 log 5 2 = log 5 4.
Ответ: 1; log 5 4 .
Пример 7 . Решить уравнение х lg х – 1 = 100 .
Решение: Учитывая ОДЗ : х0 , прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 : lg х lg х – 1 = lg 100. Применяем основное логарифмическое тождество ,получаем : lg х (lg х – 1) = 2 . Пусть lg х = а, тогда а2 – а – 2 = 0 . Решив его , получим а = 2 или а = -1 .
Возвращаемся к замене переменной lg х =2 или lg х = -1 , тогда х = 100 , х = 1/10
3). Метод введения новой переменной мы уже применили при решении предыдущего уравнения и уравнения в примере 2.
Пример 8: Решить уравнения lg 2 ( 10х ) + lg ( 10х) = 6 – 3 lg 1/10.
Решение : ОДЗ : х 0
Используем свойства логарифма и получаем ( lg10 + lg х )2 + lg 10 + lg х = 6 +3 lg х.
( 1 + lg х )2 + 1 + lg х = 6 +3 lg х.
Пусть lg х = а , ( 1 + а ) 2 + 1 + а = 6 + 3а , а2 = 4 , а = 2;
а = -2.
lg х = 2 , х = 100; lg х = - 2 , х = 1/100. Ответ: 100 ; 0, 01
Также при решении логарифмических уравнений следует помнить , что при вынесении чётной степени под знаком логарифма получаем модуль функции
log аf(х)2n = 2n log а | f(х)|
Пример 8: Найти абсциссы тех точек графика функции у = 2 log 2 ( 3х +5 ) + log 2 х2 , лежащие в верхней полуплоскости , расстояние от которых до оси абсцисс равно2.
Решение: Для точки верхней полуплоскости расстояние до оси абсцисс равно её ординате . Таким образом , для выполнения условия задачи необходимо и достаточно равенства
2 log 2 ( 3х +5 ) + log 2 х2 = 2.
Решим это уравнение :. 2 log 2 ( 3х +5 ) + log 2 х = 2 .Используя свойства логарифмов , получаем :
log 2 (( 3х +5 ) х ) = 1, ( 3х + 5 ) х = 2.
Раскрывая модуль , получим два случая :
- ( 3х + 5 ) х = 2 , 3х2 +5х – 2= 0 , х1 = -2 0 , х2 = 1/3 .
х0.
- (3х + 5 ) ( -х) = 2, 3х2 + 5х + 2 = 0 , х1 = -1 , х 2 = -2/3 .
х 0.
Ответ : таких точек три , их абсциссы : -1; -2/3 ; 1/3 .
II. Закрепление изученного материала .
Решить уравнения:
- log 3 2х + log 3 х = 6;
- (log 2 2х – 1) (log 2 2х + 1 )= 15;
- lg 2х –lg х =0;.
- log 3 х log 4 х log 5 х = log 3 х log 4 х + log 3 х log 5 х + log 4 х log 5 х; ( для сильных учеников).
Решение последнего примера : Заметим , что х = 1 является корнем уравнения.
Пусть х 1 , тогда обе части уравнения можно разделить на
произведение log 3 х log 4 х log 5 х.
Получаем 1= 1/ log 5 х + 1/ log 4 х + 1/log 3 х.
Используем свойства логарифма :log а в = 1/ log в а , получаем
log х 5 + log х 4 + log х 3 = 1 , log х 60 = 1 и х = 60 .
Ответ: 1; 60.
III. Домашнее задание: § 44, № 44.1- 44.17 ( вариант 1 – а,в; вариант 2 – б,г).
При подготовке к уроку была использована следующая литература:
- «Алгебра и начала анализа» 10- 11 кл. А.Г.Мордкович
( учебник и задачник ) ; 10-е издание – М: Мнемозина 2009.
- «Учимся решать уравнения и неравенства» 10-11кл.
Денищева Л.О., Карюхина Н.В. , Михеева Т.Ф. – М.: Интеллект – Центр , 1999 .
3 «Алгебра и начала анализа « 10 – 11 кл .Ш.А.Алимов
( учебник );М: - просвещение , 2008 г
Учитель математики школы № 42 г. Томска : Полуэктова Т.Е.
7 класс
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка открытого урока "Решение задач в EXCEL"
Разработка урока с приложением всех дополнительных материалов , заданий и конспекта урока....
Методическая разработка открытого урока. Тема «Логарифмические функции, их свойства и графики»
Методическая разработка по теме «Логарифмические функции, их свойства и графики» разработана на основе рабочей программы по дисциплине ЕН.1. Математика по специальностям 34.02.01. «Сестринское дело», ...
Урок: Решение логарифмических неравенств
конспект урока с использованием ЭОР...
Разработка урока "Решение логарифмических неравенств"
Урок Решение логарифмических неравенств. Цели урока: Совершенствовать основные приемы преобразования и методы преобразования и методы решения логарифмических неравенств;Максимально выявить затру...
План-конспект урока "Решение логарифмических неравенств"
Данный конспект урока преднозначен для учащихся 10 классов, которые начинают изучать логарифмические неравенства и их регение.Цели урока:Обеспечить основное усвоение нахождения логарифмических н...
Технологическая карта открытого урока Решение логарифмических уравнений
Планируемые результаты:Познавательные УУД: поиск и выделение необходимой информации, выбор наиболее эффективных способов решения; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и ре...