СВЯЗЬ МЕЖДУ ХАРАКТЕРОМ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ И ЗНАКОМ ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме
Цель данного урока выявить связь между характером монотонности функции и знаком её производной; формировать умение использовать эту связь при работе с графиками функций и графиками их производных, выработать алгоритм исследования функций на монотонность; формировать умение применять этот алгоритм. В разработке представлены конспект урока и презентация. На уроке рассматриваются отдельные типы заданий В8 ЕГЭ по математике.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
3103.rar | 599.1 КБ |
Предварительный просмотр:
Связь между характером монотонности
функции и знаком её производной, Исследование функций на монотонность.
Цели: выявить связь между характером монотонности функции и знаком её производной; формировать умение использовать эту связь при работе с графиками функций и графиками их производных, выработать алгоритм исследования функций на монотонность; формировать умение применять этот алгоритм.
Эпиграф: Единственный путь, ведущий к знанию, - деятельность.
Бернард Шоу
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Повторение.
1. На слайде №3 изображён график производной функции у = f(x):
Определите:
а) чему равен коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой а = –3;
б) чему равен угол наклона касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой а = 1;
в) количество точек, в которых касательная, проведенная к графику функции у = f(x), образует с осью абсцисс угол 60 °;
г) количество точек, в которых касательная, проведенная к графику функции у = f(x), параллельна прямой у = 1 – 0,5х.
2. Задания из ОБЗ типа В8: (слайд №4)
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x0.
III. Объяснение нового материала.
Учащиеся способны самостоятельно установить связь между характером монотонности функции и знаком её производной. Для этого необходимо снова обратиться к геометрическому смыслу производной.
Задание. (слайд №5 - 9) На слайде изображен график функции у = f(x). Каков характер монотонности этой функции. Проведем несколько касательных в разных точках, определите знак производной в этих точках.
Посмотрите на следующий слайд. Выполните те же задания.
Сделайте предположение о связи между характером монотонности функции и знаком её производной.
После этого изучаются теоремы, устанавливающие связь между характером монотонности функции на промежутке и знаком её производной на этом промежутке. Данные теоремы приводятся без доказательства с опорой на наглядные представления учащихся.
Далее необходимо сформулировать и записать в тетрадь алгоритм исследования функции на монотонность:
1) Найти производную функции: f'(x).
2) Приравнять производную к нулю и решить уравнение f'(x) = 0.
3) Нанести полученные корни уравнения на числовую прямую и проверить знаки производной на всех промежутках.
4) Сделать вывод о характере монотонности функции у = f(x) на каждом из промежутков.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на три группы.
1-я группа. Выявление свойств производной по графику функции.
2-я группа. Выявление свойств функции по графику её производной.
3-я группа. Доказательство монотонности функции.
1-я группа.
1. № 30.1.(№ 854)
2. задачи типа В8 ЕГЭ из ОБЗ: (слайды 10-12)
№ 317693 На рисунке изображён график функции у = f(x) и девять точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции у = f(x) отрицательна?
№ 317539 На рисунке изображён график функции у = f(x) и девять точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции у = f(x) положительна?
№ 27487 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-6; 8) . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
4. № 30.7.
2-я группа.
1. № 30.3 (а; г). (№856)
2. задачи типа В8 ЕГЭ из ОБЗ: (слайд 13- 14)
№ 6431 На рисунке изображен график у = f`(x) — производной функции у = f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите промежутки возрастания функции у = f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
№ 7807 На рисунке изображен график у = f`(x) — производной функции у = f(x), определенной на интервале (-4;16). Найдите количество точек максимума (минимума) функции у = f(x), принадлежащих отрезку [0; 13] .
3. № 30.8 (а; г).(№861)
Решение:
г)
При переходе через точку х = –1 производная не поменяла знак. Это означает, что функция до точки х = –1 возрастала, затем «изогнулась» (чтобы касательная была параллельна оси абсцисс) и продолжила возрастать.
3-я группа.
1. № 30.9 (а; б), № 30.10 (а).(№862, 863)
2. № 30.11 (в; г).(№864)
Решение:
в)
Поскольку для всех х справедливо неравенство то выражение может принимать значения только из промежутка [0; 2]. Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.
г)
Очевидно, что при всех х выполняется неравенство Значит, функция убывает на всей числовой прямой.
1. № 30.12 (б), № 30.13 (а; в), № 30.14 (а; б).(№ 865- 869)
Необходимо на первых порах следить за тем, чтобы учащиеся вели подробные записи, чётко следуя алгоритму.
Решение:
№ 30.14.
а)
если
или
Ответ: убывает на (–; –1], [0; 1]; возрастает на [–1; 0], [1; + ).
2. № 30.15 (а; г).
г)
Выражение принимает только отрицательные значения на всей своей области определения, то есть при
Значит, данная функция убывает на всей своей области определения.
Ответ: убывает на (–; – 1,5), (–1,5; +).
3. № 30.16 (а; б).
а)
Выражение принимает только положительные значения на всей своей области определения. Значит, данная функция возрастает, если то есть
Ответ: возрастает на
б)
Найдем область определения данной функции:
если
Ответ: возрастает на убывает на
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Если функция у = f(x) возрастает на некотором промежутке, то что можно сказать о знаке её производной на этом промежутке?
– Если производная некоторой функции у = f(x) принимает на промежутке только отрицательные значения, то что можно сказать о характере монотонности этой функции на этом промежутке?
– Сформулируйте теоремы, устанавливающие связь между характером монотонности функции и знаком её производной.
Домашнее задание: № 30.12 (в), № 30.13 (б), № 30.14 (в; г), № 30.15 (б), № 30.16 (в; г).
(№ 865 (в), 866 (б), 867(в,г), 868 (б), 869(в,г) )[1]
ОБЗ: № 7823, 7821, 8051, 6879, 317545, 317649.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Связь между свойствами функции и ее графиком. (9-10 класс)
Связь между свойствами функции и ее графиком. Карточки для отработки навыков чтения графиков функций в 9-10 классе. Всего 30 различных вариантов с ответами. можно использовать для подготовки к экзамен...
Связи между величинами. Функция
Ввести понятия функции и функциональной зависимости.Формировать представление о математической науке как сфере математической деятельности, о её значимости для развития цивилизации.Формировать умение ...
Связи между величинами. Функция
Связи между величинами. Функция...
№56.Применение производной к нахождению промежутков монотонности функции. Для группы МЖКХ-2 за 27.10.20.
Задание:1) Выполнить конспект краткого справочного материала.2) Оформить примеры решения задач.3) Ответить на контрольные вопросы.4) Выполнить задания для самостоятельной работы: найти промежутки моно...
№63. Применение производной к нахождению промежутков монотонности функции. Для группы ПК-2 за 2.11.20 и 3.11.20.
Задание:1) Выполнить конспект краткого справочного материала.2) Оформить примеры решения задач.3) Ответить на контрольные вопросы.4) Выполнить задание для самостоятельной работы с №1-№5....
Открытый урок по теме: "Функция. Связь между величинами".
Открытый урок по теме: "Функция. Связь между величинами". ФГОС...