Теорема Коши и его прикладное значение
творческая работа учащихся по алгебре (9 класс)

Муниципальное Образовательное Учреждение

Средняя Общеобразовательная Школа №4

Неравенство Коши и его прикладное значение.

Выполнила:

Хакимова Алсу

Ученица 9 «А» класса

Руководитель:

Багауова Фаруза

Шайхунуровна

Оглавление.

Оглавление………………………………………………………..……………………………1

Введение……………………………………………………………………………………..….2

Историческая справка……………………………………………………………………………….…..………3

Доказательство для 2 и 3 чисел. Частный случай………………..…4-5

Доказательство для n чисел………………………………………………….….5-6

Следствия………………………………………………………………………………6-

        Задачи…………………………………………………………………………………

Задачи прикладного характера……………………………………………….

Заключение…………………………………………………………………………….

2

Введение.

Неравенство Коши и его прикладное значение.

«…основные результаты математики

чаще выражаются не равенствами,

 а неравенствами».

Э. Беккенбах

При подготовке к олимпиаде по математике я заметила, что большинство задач связаны с неравенствами. Доказательства неравенств - увлекательная и непростая тема в математике. Отсутствие единого подхода к поиску ряда приемов для доказательств неравенств требует своих хитроумных преобразований.

Рассмотрим замечательное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, которое, во-первых, позволяет просто доказывать основные неравенства и составлять новые, во-вторых, имеет наглядный и легко запоминающийся вид. Это неравенство Коши.

3

Цель работы:

Изучить неравенство Коши и рассмотреть его прикладное значение.

Почему я выбрала эту тему?
Когда передо мной встал вопрос выбора темы, я из всех рассматриваемых вариантов незамедлительно выбрала эту. Свой выбор я основывала на том, что эта тема поможет мне подготовиться к олимпиаде и узнать много нового для себя.

Задачи:

1. Ознакомиться с частным случаем.
2. Рассмотреть доказательство Коши для n чисел.
3. Рассмотреть следствия из неравенства Коши.

Историческая справка.

Коши Огюстен Луи (1789-1857) -великий французский математик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий.

Разработал фундамент математического анализа, внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики. Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни. 

Доказал ряд замечательных теорем в различных областях математики. Большая заслуга Коши - разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т.п.

4

Доказательство для 2 и 3 чисел. Частный случай.

Итак, неравенство Коши состоит в том, что среднее арифметическое нескольких положительных чисел не меньше их среднего геометрического. Рассмотрим неравенство Коши для двух чисел:

- Доказательство проведем выделением квадрата двучлена:

Аналогично, можно доказать неравенство Коши и для 4х чисел, используя ранее доказанное для 2х чисел:

,

Очевидно, что аналогичное рассуждение позволяет обосновать неравенство Коши для такого числа переменных, как 8, 16, 32, ... .

5

Давайте рассмотрим доказательство неравенства Коши для 3х чисел -  Для этого воспользуемся доказательством для 4х чисел. Рассмотрим 4ку чисел – a, b, c и . А далее идет то же самое, что и при доказательстве неравенства Коши для 4х чисел:

 откуда

А теперь давайте рассмотрим саму общую теорему Коши.

Доказательство для n чисел.

ТЕОРЕМА КОШИ. Пусть а1, а2, ..., аn - действительные неотрицательные числа, тогда справедливо неравенство А(а1, а2, ..., аn)Г(а1, а2, ..., аn), причем, равенство имеет место тогда и только тогда, когда все числа а1, а2, ..., аn равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если среди чисел а1, а2, ..., аn имеется хотя бы один нуль, то утверждение теоремы очевидно: А(а1, а2, ..., аn)0=Г(а1, а2, ..., аn), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда А(а1, а2, ..., аn)=0, т.е. а1=а2=...=аn=0.

Пусть теперь среди чисел а1, а2, ..., аn нет равных нулю, т.е. а1>0, ..., аn>0. Обозначим далее А=А(а1, а2, ..., аn), Г0=Г(а1, а2, ..., аn ).

а) Если среди этих чисел имеются отличные от А, то имеются как большие, так и меньшие А. Пусть для определенности а1>А, а2

a1'=A, a2'=a1+a2-A, a3, ..., an.

6

Легко видеть, что сумма новых чисел осталась прежней, а произведение увеличилось, так как (А-а1)*(А-а2)<0 и а1'а2'=A(а1+a2-A)>а1а2. Итак, чего мы добились, введя новый набор чисел? Во-первых, сумма чисел нового набора осталась прежней, т.е.

А=А(а1', а2', ..., аn).

Во-вторых, произведение чисел нового набора возросло по сравнению с произведением чисел первоначального набора, т.е.

Г0=Г(а1, а2, ..., аn)<Г( а1', а2', ..., аn)=Г1.

В-третьих, среди чисел нового набора увеличилось количество чисел, равных А.

б) С новым набором чисел, полученным в п. а), поступим так, как мы поступили с первоначальным набором, и т.д. Нетрудно видеть, что через несколько (не более n-1) указанных шагов мы придем к набору чисел: А, А, А, ..., А. Обозначим количество шагов через k (0kn-1), а среднее геометрическое чисел в наборе, получаемое через i шагов, через Гi. Тогда из п. а) получаем цепочку неравенств: Г0<Г1<Г2<...<Гk=A. Итак , справедливо неравенство Г0<А, если среди чисел а1, а2, ..., аn имеются отличные от А; справедливо равенство Го1=а2=...=аn. Теорема доказана.

Следствия.

Задачи.

Задача №1. Доказать неравенство    для всех а>2.

Решение. Применим неравенство Коши к числам а и     :

7

Задача №2. Доказать неравенство

Решение. Согласно неравенству Коши

Обе части каждого из неравенств неотрицательны, следовательно, почленно сложив все три неравенства, снова получим верное неравенство:

,

приводя подобные члены в левой части которого и получим требуемое.

Задача №3. Доказать неравенство

.

Решение. Применяя неравенство Коши к числам 1, 2, 3, ..., n, имеем:

.

Здесь мы использовали формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии. Неравенство строгое, так как числа 1, 2, 3, ..., n различны.

8

Задачи прикладного характера. 

Задача  №1.

Найти наименьшее значение выражения    S=, если положительные числа

x, y, z  удовлетворяют условию x+y+z=1.

     Решение: Возведём обе части в квадрат и используем неравенство Коши:

S=2 x2  + y2 + z2 + 2 = 3.    S =.     При  x=y=z=. Ответ: .

Задача №2

. 

В треугольник, основание которого равно b, а высота равна h, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что основание треугольника и одна из сторон прямоугольника лежат на одной прямой. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение. Пусть PMNK (рис. 1) - прямоугольник, вписанный в треугольник ABC с основанием АС, равным b (причем сторона РК прямоугольника и сторона АС треугольника лежат на одной прямой). Пусть BD - высота треугольника - равна h, стороны прямоугольника РМ и MN равны х и у соответственно, a .  Тогда имеем ху = S (1). Из подобия треугольников MNB и АСВ имеем  или  (2).

Исключая у из уравнений (1) и (2), получаем

Так как постоянно, то S будет принимать наибольшее значение при том же значении х, при котором значение выражения x(h - x) является наибольшим. Произведение x(h - x), состоящее из двух переменных множителей, имеющих постоянную сумму h, будет принимать наибольшее значение тогда, когда эти множители будут равны, т.е. когда , откуда .  = —h. Следовательно, одна сторона прямоугольника равна , а другая сторона прямоугольника равна . Тогда площадь прямоугольника PMNK равна  .

Ответ: .

9

Задача №3.

Требуется изготовить бак с крышкой объемом 0.25м3, имеющий квадратное основание. Сварка швов проводится по всему основанию и одному боковому ребру. Стоимость сварки составляет 10 рублей за 1м, а стоимость жести – 20 рублей ха 1м2. Установить размеры бака, при которых его стоимость будет наименьшей.

Решение. Обозначим буквой х сторону основания бака. Его высоту выразим из формулы V=hx2:

Тогда площадь поверхности бака с крышкой находим по формуле

,

А длина свариваемых швов

.

10

Стоимость изготовления

.

Стоимость работ будет минимальной при наименьшем значении функции f(x):

.

После перегруппировки получаем

.

Теперь применим неравенство Коши к выражениям, стоящим в скобках:

Наименьшее значение функции достигается при х = 0.5, тогда h = 1.

ОТВЕТ: х = 0.5м, h = 1м.