Проект "Программа элективного курса "Функции и графики"
рабочая программа по алгебре (9 класс) по теме

ГОСУДАРСТВЕННОЕ   ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ТВЕРСКОЙ  ОБЛАСТИ

ИНСТИТУТ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ  УЧИТЕЛЕЙ

КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ

ПРОГРАММА  ЭЛЕКТИВНОГО  КУРСА

ПО МАТЕМАТИКЕ

ТЕМА:  «ФУНКЦИИ  И  ГРАФИКИ»

                                                                                           Авторы проекта:

                                                                             - Борцова Л.Н., учитель математики

                                                                                        МОБУ «Зеленогорская СОШ»

    СОДЕРЖАНИЕ:

1. Маркетинг  деятельности:

1. Обоснование.
2. Цель.
3. Задачи.
4. Планируемые  результаты.
5. Литература.

2. Программа  предпрофильного  курса  по  выбору:

1. Пояснительная  записка.
2. Цель  курса.
3. Задачи  курса.
4. Планируемые  результаты.
5. Организация  учебного  процесса.
6. Области  применения.
7. Содержание  программы.
8. Тематический  план.
9. Приложения.
10. Краткий перечень терминов и их графическое толкование.

11.Литература.

1.  МАРКЕТИНГ  ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

1.   В  порядке  реализации  Концепции  модернизации  российского  образования,  в  связи  с  издание  приказа  Управления  образования      № 906  от  23. 08. 04 г.  «О   подготовке  и  внедрении  предпрофильного  и  профильного  обучения  в  муниципальных  образовательных  учреждениях»  возникла  проблема – отсутствие  соответствующих  программ  обучения.  В  связи  с  чем,  перед  педагогами  ставится  задача  создания  системы  элективных  курсов,  которые  бы  позволили  обучающимся  сориентироваться  в  многообразии  современных  профессий,  изучить  свою  готовность  и  способность  осваивать  тот  или  иной  предмет  на  повышенном  уровне  и  тем  самым  сделать  осознанный  и  успешный  выбор  будущего  профиля.

2.  Цель:  разработать  программу  предпрофильного  курса  по  выбору.

3.  Задачи: 

1. познакомиться  с  Концепцией  профильного  обучения  на  старшей  ступени  общего  образования;
2. выяснить  интересы  детей  к  данному  предмету;
3. уточнить  готовность  и  способность  детей  осваивать  предмет  на  повышенном  уровне;
4. поиск  темы  и  содержания,  удовлетворяющей  Концепции  профильного  обучения;
5. подбор  литературы  по  теме.

4.  Планируемый  результат:

1. программа  элективного  курса,  готовая  к  реализации;
2. выбор  курса  учащимися.

5.  Инструментарий:                         

3. прохождение  сертификации.

6.  Литература:

4. Концепция  профильного  обучения  на  старшей  ступени  общего  образования;
5. приказ  Управления  образования  № 906  от  23. 08. 04 г.  «О  подготовке  и  внедрении  предпрофильного  и  профильного  обучения  в  муниципальных  образовательных  учреждениях»;
6. методическое  пособие  для  учителей  математики  «Математика»,  Тверь, 2010 г.;
7. лекция  Долгинцевой Л. В.  «Элективные  курсы  предпрофильной  подготовки  учащихся  9–х  классов  образовательной  области  «Математика»»;
8. лекция  Лебедева Л. В.  «Правовые  основы  современного  образования».

2. Цели:

-представить учащимся возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету;

-уточнить готовность и способность ученика осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;

-создать условия для успешной подготовки к сдаче ГИА.

3. Задачи:

-обобщить, систематизировать и углубить теоретические знания по теме;

-развитие логического мышления, творческих способностей, познавательных интересов;

-привитие учащимся умений, позволяющих им активно включаться в творческую, исследовательскую деятельность;

-продемонстрировать применение математических знаний на практике;

-предоставить учащимся возможность оценить свой потенциал к дальнейшему углублённому изучению математики.

2. ПРОГРАММА ПРЕДПРОФИЛЬНОГО КУРСА.

1. Пояснительная записка: Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов посвящен одной из важных тем алгебры-функции и построению графиков. В школьном курсе математики ему уделяется достаточно внимания, однако актуальность темы несомненна в связи с новыми требованиями к содержанию образования, компьютеризацией общества, требующей математической грамотности, логического мышления.

Гармоничное сочетание практического и теоретического материала позволит девятиклассникам более успешно усвоить знания по данному курсу. Выбранный курс должен одних учащихся заинтересовать выбранной темой т познакомить с азами исследования функций и построением графиков, а другим (более подготовленным)помочь получить опыт решения задач повышенного уровня и показать им перспективы дальнейшего развития и применения данной области математики. Работа направлена на повышение интереса к изучению предмета, создает условия для самостоятельной творческой деятельности учащихся.

В связи с этим актуальной становится проблема разработки таких средств обучения и методики их использования, которые содействуют формированию исследовательских умений и навыков у учащихся в данной области. Однако практика показывает, что потенциал задач, имеющихся в учебниках, недостаточно используется для воспитания исследовательских умений.

Объём аудированных часов – 17. Курс предназначен для изучения в 9 классе для подготовки учащихся к обучению в рамках естественно-математического профиля.

Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов посвящен одной из важных тем алгебры-функции и построению графиков. В школьном курсе математики ему уделяется достаточно внимания, однако актуальность темы несомненна в связи с новыми требованиями к содержанию образования, компьютеризацией общества, требующей математической грамотности, логического мышления.

Гармоничное сочетание практического и теоретического материала позволит девятиклассникам более успешно усвоить знания по данному курсу. Выбранный курс должен одних учащихся заинтересовать выбранной темой т познакомить с азами исследования функций и построением графиков, а другим (более подготовленным)помочь получить опыт решения задач повышенного уровня и показать им перспективы дальнейшего развития и применения данной области математики. Работа направлена на повышение интереса к изучению предмета, создает условия для самостоятельной творческой деятельности учащихся.

В связи с этим актуальной становится проблема разработки таких средств обучения и методики их использования, которые содействуют формированию исследовательских умений и навыков у учащихся в данной области. Однако практика показывает, что потенциал задач, имеющихся в учебниках, недостаточно используется для воспитания исследовательских умений.

Объём аудированных часов – 17. Курс предназначен для изучения в 9 классе для подготовки учащихся к обучению в рамках естественно-математического профиля.

4. Планируемые результаты обучения:

- приобретение учащимися знаний, формирующих интерес к предмету и дающих возможность выбора профиля дальнейшего обучения;

-расширение и углубление знаний учащихся;

-обобщение, систематизация и углубление знаний по теме;

-развитие логического мышления, творческих способностей,

познавательных интересов;

-получение практических навыков решения посильных задач каждым обучающимся;

-в процессе изучения курса каждый ученик сможет проявить себя, попробовать свои силы и сделать осознанный выбор профиля, ответив на вопрос: «Могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?»

5.  Организация  учебного  процесса:

     Изучение  данного  курса  осуществляется  по  темам  с  использованием   теоретических  сведений,  заданий  дифференцированного  характера.  На  уроках  целесообразно  использовать  парную  и  групповую  формы  работы,  лекции,  практические  занятия.  Задачи,  решаемые  на  данном  курсе,  позволят  сделать  курс  практически-направленным,  покажет  учащимся  связь  математики  с  повседневной  жизнью.

     Организация  занятий  должна  располагать  формированию  логического  мышления,  самостоятельности,  повышать  интерес  к  предмету.

     Формы  и  методы:

1. традиционные:  лекции,  практические  занятия,  работа  в  парах  и  группа;
2. дифференцированные:  защита  проекта или реферата,  тестирование;
3. методы: проблемный, частично-поисковый, объяснительно-иллюстративный.

     Формы  контроля:

1. самоконтроль,  взаимоконтроль,  тестирование.

     Формы  итогового  контроля:

по  выбору  учащихся:  либо  защита  проекта или реферата,  либо  тестирование.

6.   Области  применения.

     Данный  курс  предназначен  для  учащихся  9  класса,  которые  интересуются  математикой  и  хотели  бы  изучать  её  углублённо  в  10 – 11  классах,  а  также  для  тех  учащихся,  кто  ещё  не  определился  с  выбором,  но  математика  «даётся  легко».  Данный  курс  позволит  развить  творческие  способности  учащихся,  их  логическое  мышление,  показать  прикладную  направленность  этой  области  математики  и,  в  конечном  счёте,  сделать  осознанный  выбор  данного  профиля.

     Возможно  продолжение  данного  курса  в  10 – 11  классах  в  сфере  исследования функций и построения графиков с применением производной  и  проведения  исследований в данной области.

7.  Содержание  программы.

Для успешного продолжения обучения в вузе выпускникам школ, по меньшей мере, необходимы твердые знания и уверенное владение материалом не только школьных учебников математики, но и владение приемами решения нестандартных задач. Как правило, применение «нестандартных» методов позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности, через решение которых происходит повышение уровня математической подготовки учащихся.

Содержание данного элективного курса включает в себя углубление темы «Функции» базовых общеобразовательных про грамм. Рассматривается рождение функций, как они задаются, из чего и как конструируются формулы; как образуются классы функций, что из себя представляют разрывные функции, кусочно-линейные функции и модули. Рассматривается построение графиков функций и их чтение. Не менее интересны графики многочленов, дробно-рациональных функций.

8.  Тематическое  планирование.

9 Приложения.

Занятие 1.

   Содержание этого занятия включает в себя краткие сведения об истории развития функции. Дается определение функции и способы задания функции.

   Существуют три основных способа выражения зависимостей между двумя величинами:

-табличный;

-аналитический («формульный»);

- графический.

Занятие 2.

Здесь говорится не только о так называемых элементарных функциях, встречающихся в школьном учебнике, но и вводится ряд операций, позволяющих комбинировать их между собой как детали для получения более сложных конструкций. А именно: допустимы арифметические действия над функциями - сложение (+), вычитание (-), умножение (*), и деление (:) функций.

 Задачи:

1. Обоснуйте методы построения графиков ,  и постройте упомянутые кривые.

2. Используя построенные кривые, путем графического сложения и  вычитания получите кривые: y=.

  3. Обоснуйте правила преобразований исходного графика , соответствующие данным изменениям формулы:

а) ;

б);

в);

г) ;

д);

е) ;

ж) ;

з).

Занятие 3.

   Рассмотрение теоретического материала по данной теме, различные способы построения графиков линейных функций, содержащих модули.

Занятие 4.

На этом занятии учащиеся знакомятся с определением кусочно-разрывной функции. Вводится понятие точки разрыва, устранимого разрыва, ступенчатой функции, функции скачка.

 Задачи:

1. В цилиндрическом сосуде находится в несмешанном состоянии керосин и вода, причем объемы, занимаемые этими жидкостями, одинаковы, а граница раздела жидкостей находится на глубине h. Определите, зависимость p(h) давления жидкости на глубине h, как функцию от h. Постройте график этой зависимости.

2. Выразите через функцию скачка характеристические функции промежутков: (- ∞;0), (- ∞;0] (0;+∞),

Занятие 5.

Опираясь на знания, полученные на предыдущих занятиях, учащиеся в малых группах, при помощи учителя, рассматривают построение кусочно-линейных функций и функций, содержащих знак модуля.

  Задачи:

1. Постройте график функции у =

                                                  а);

2. Постройте графики функций: б);

                                                        в).

Занятие 6.

   На этом занятии необходимо рассмотреть ситуации, когда функция  задаётся не одной, а двумя, тремя и более формулами; показать способы построения таких функций по материалам ГИА.

  Занятие 7.

1. Доклад (сообщение о жизни и творчестве известного французского математика Ж. Лагранжа).

2.Вводится понятие интерполяции, узла интерполяции, интерполяционный многочлен Лагранжа.

 Примеры:

1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки М1(-1;-З) и М2(2;З). В данном случае многочлен Лагранжа принимает вид

, откуда у = 2х-1 . Это есть искомое уравнение.

2. Составим уравнение квадратичной зависимости, график которой проходит через точки M1(O;O), М2(1;З),Мз(2;4). Записав многочлен Лангранжа

        ,

После преобразований получаем: у = 4х - х2 •

 Задачи:

1. В каких случаях многочлен Лагранжа для n точек (n>З) имеет нулевую степень, первую степень, вторую степень?
2. Составьте уравнения прямых, проходящих через данные точки:

          а) М1(2;8), М2(З; 11);

б) M1(0;-4), М2(-2;-2).

     з. Составьте уравнения графиков квадратичной зависимости, проходящих через данные точки:

а) М1(1 ;5), М2(2;8), Мз(З;9);

б) M1(-1;0), М2(0;1), Мз(1;4).

 Занятие 8.

Цель этого занятия - научиться передавать графические качества функций, рисовать не столько графики-копии, сколько графики-портреты. Такое умение позволит вам как бы видеть функцию, переходя мысленно от формулы к графику, рисуя его в уме, что очень важно для правильного и быстрого решения многих вопросов, связанных с функциям.

10.  Краткий перечень терминов и их графическое толкование.

Непрерывность - неразрывность кривой, изображающей график, возможность ее начертания без отрыва карандаша от бумаги.

Гладкость - плавность кривой; график поворачивает постепенно, не имеет изломов и заострений.

Возрастание - подъем точки, движущейся по графику слева направо.

Убывание - спуск точки, движущейся по графику слева направо.

Постоянство функции - параллельность графика оси абсцисс. Знакопостоянство функции - расположение графика выше (ниже) оси абсцисс.

Выпуклость вверх (вниз) - любая дуга графика лежит выше (ниже) стягивающей ее хорды; касательная при движении точки касания по графику слева направо поворачивается по часовой стрелке (против нее).

Четность функции - симметричность графика относительно оси ординат. (Аналитически выражается тождеством f(x) = f( -х)).

Нечетность функции - симметричность графика относительно начала координат . (Аналитически выражается тождеством

f(x) = - f( -х)).

Периодичность функции - График можно разбить на одинаковые по форме участки, получаемые один из другого сдвигом вдоль оси

абсцисс. (Аналитически выражается наличием такого числа Т>О, что f(x + Т) = f(x) для всех х.)

Ограниченность сверху (снизу) - расположение графика всюду ниже (выше) некоторой прямой, параллельной оси абсцисс. (Аналитически выражается наличием такого числа М, что f(x) < М (f(x)) > М) для всех х).

Асимптота - прямая, к которой неограниченно приближается точка, движущаяся по графику, неограниченно удаляясь от начала координат.

Вертикальная асимптота - прямая х =с, где с - точка «бесконечного разрыва» графика, при стремлении аргумента к которой слева или справа значения функции неограниченно возрастают по абсолютной величина (при этом график уходит неограниченно вверх или вниз).

Горизонтальная асимптота - прямая у = а, к которой неограниченно приближается график при х (правая асимптота) или х (левая асимптота).

Наклонная асимптота - прямая у = кх+b, к которой график неограниченно приближается при х  или при х .

   Характерные точки графиков:

Нули (корни) функции - точки, в которых график достигает оси ОХ. Аналитически - решения уравнения.

Точка максимума - абсцисса «вершины графика», точка, в которой функция определена и в которой возрастание функции сменяется на ее убывание.

Точка минимума - абсцисса «дна впадины» на графике, точка, в которой функция определена и ее убывание сменяется на возрастание.

Точка экатремума - точка максимума и минимума функции.

Точка перегиба - точка графика, при переходе через которую меняется направление его выпуклости.

Точка излома - точка графика, в которой резко, скачком меняется направление движения по графику.

Точка разрыва - точка на оси абсцисс, при прохождении над или под которой график терпит разрыв, для его продолжения необходимо оторвать карандаш от бумаги. Как было сказано ранее, к точкам разрыва причисляются также концы области определения функции, в которых она не определена.

Задачи:

1. Каковы основные особенности и характерные точки графика функций, изображенных на рисунке? Каковы черты «характера», поведения соответствующих функций?

2. Какие из функций, графики которых изображены на рисунках,    являются четными? Нечетными? Периодическими? Непрерывными? Ограниченными сверху (снизу)?

2. Какие из графиков, изображенных на рисунке, имеют вертикальные асимптоты? Горизонтальные асимптоты? Наклонные асимптоты?
3. Укажите все асимптоты графиков функций и изобразите схематически приближения к ним:

a); б) в)г)д) е)

ж)

Работа осуществляется в группаx с последующей взаимопроверкой.

  Занятие 9.

     Занятие содержит материал обобщения о квадратичных функциях, графиках; практическую работу по построению квадратичных функций, содержащих знак модуля.

  Занятий 10.

   При построении графиков многочленов, то есть функций вида  , следует  учитывать, что

любой многочлен всюду определен и его график - непрерывная гладкая кривая. Характер поведения многочлена при больших по модулю значениях аргумента определяется только его старшим членом а.х":

   Если n - четное число, то обе уходящие в бесконечность ветви графика многочлена направлены в одну сторону от оси ОХ.

   Если же n -  нечетное число, то эти ветви направлены в разные стороны от оси ОХ.

   Многочленами являются и функция-константа (многочлен нулевой степени у = ао ), и линейная функция (многочлен первой степени

у = х +  ). Графиками в этих случаях являются прямые.

    Важно понимать, что графики функций у = a + вх + с и у = a - это равные параболы, лишь по-разному расположенные относительно осей координат.

    Однако, для многочленов выше второй степени аналогичное утверждение уже неверно, их формы графиков тем разнообразней, чем выше степень многочлена.

  Задачи:

Изобразите графики следующих многочленов:

             1. у= х2-4х;

2. у=9х-;
3. у=х4 -х2+4;
4. у=х2 -х3;
5. у=х3+4х2+4х;
6. у=х2-4х+9.

   Занятие 11.

   Рациональной функцией называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов:

   К этому классу функций относятся и многочлены, которые иначе называют целыми рациональными функциями.

   Пример:

Изобразить график функции

1. D(у)=R  (функция определена при всех х).
2. Нулей у функции нет.
3. Точек разрыва нет.
4. Функция всюду положительна.
5. Вертикальных асимптот нет.
6. Горизонтальная асимптота – ось ОХ.
7. Функция чётная.

Задачи:

Изобразите графики дробно-рациональных функций:

1. ;
2. ;
3. ;
4. . 

   Занятие 12.

Зачётная работа.

Вариант-1

1. Найдите область определения функции                                  3б

2. Найдите область значения функции                                   3б

3. Что можно сказать о функции                

а) четная                          в) функция общего вида

б) нечетная                      г) периодическая                                                        3б

4. Найти нули функции                                                                    3б

5. При каких значениях х , если                                              - 3б

6. Построить график функции                                                              5б

7. Найти промежуток убывания и возрастания функции     5б

8. Построить график функции                                                        5б

9. Дана функция . Известно, что . Найдите .   5б

10. Найти нули функции . Запишите их сумму.                    5б

Вариант-2

1. Найдите область определения функции                                     3б

2. Найдите область значения функции                                        3б

3. Что можно сказать о функции                

а) четная                          в) функция общего вида

б) нечетная                      г) периодическая                                                          3б

4. Найти нули функции                                                                     3б

5.При каких значениях х , если                                          3б

6. Построить график функции                                                              5б

7. Найти промежуток убывания и возрастания функции  -5б

8. Построить график функции                                                         5б

9. Дана функция . Известно, что . Найдите .   5б

10. Найти нули функции . Запишите их сумму.                 5б  

11. Литература:

1. Н.Я. Виленкин. Функции в природе и технике. - Москва: Просвещение, 1985.
2. И. М. Гельфанд, Э. З. Шноль. Функции и графики - М.: Наука,1973.
3. Я.В. Зельдович, И.М. Яглом. Элементы прикладной математики. - М.: Физматгиз, 1965.
4. Я.В. Зельдович, А.Д. Мышкис. Высшая математика для начинающих физиков и техников. - М.: Наука,1982.
5. А. Н. Колмогоров. Математика: «Наука и профессия». - М.: Наука,1982.
6. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев.

Математика. 5-11 классы. - М.: Дрофа, 2002.

7. И.Х. Сивашинский. Теоремы и задачи по алгебре, элементарным функциям. - М.: Наука, 1990.