Решение задач на проценты
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Муниципальное образовательное учреждение

 «Средняя общеобразовательная  школа  с.Березово

Пугачёвского  района  Саратовской  области»

Подбор задач  на проценты (с решениями) для подготовки к ГИА и ЕГЭ

Учитель математики

Зубарева Татьяна Владимировна

Решение задач на проценты.

Приведем некоторые указания к решению задач на растворы.

Основными компонентами этого типа задач являются:

а) массовая доля растворенного вещества в растворе;

б) масса растворенного вещества в растворе;

в) масса раствора.

Предполагают, что:

а) все получившиеся смеси и сплавы являются однородными;

б) смешивание различных растворов происходит мгновенно;

в) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов;

г) объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.

Определения и обозначения.

Массовая доля растворенного вещества в растворе - это отношение массы этого вещества к массе раствора.

  (1)

где С- массовая доля растворенного вещества в растворе;

- масса растворенного вещества в растворе;

- масса раствора.

Следствия формулы (1):

Введем обозначения:

С1- массовая доля растворенного вещества в первом растворе;

С2- массовая доля растворенного вещества во втором растворе;

С- массовая доля растворенного вещества в новом растворе, полученном при смешивании первого и второго растворов;

m1(в-ва), m2(в-ва), m(в-ва) - массы растворенных веществ в соответствующих растворах;

m1(р-ра), m2(р-ра), m(р-ра) - массы соответствующих растворов.

Основными методами решения задач на смешивание растворов являются: с помощью расчетной формулы, “Правило смешения”, “Правило креста”, графический метод, алгебраический метод.

1.1. С помощью расчетной формулы

В наших обозначениях, получим формулу для вычисления массовой доли вещества (?) в смеси.

1. Масса полученного при смешивании раствора равна:

m(р-ра) = m1(р-ра) + m2(р-ра).

2. Определим массы растворенных веществ в первом и втором растворах:

m1(в-ва)= C1 m1(р-ра), m2(в-ва)=  C2 m2(р-ра).

3. Следовательно, масса растворенного вещества в полученном растворе вычисляется как сумма масс веществ в исходных растворах:

m(в-ва) = m1(в-ва) + m2(в-ва) = C1  m1(р-ра) + C2 •m2(р-ра).

4. Таким образом, массовая доля растворенного вещества в полученном растворе равна:

  (1)

или

или

(4)  

где - массы соответствующих растворов.

Замечание: При решении задач удобно составлять следующую таблицу.

На практике принцип, данный таблицы можно заменить схематическим  рисунком

6. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим х.

Первый сосуд содержал 0,12 5 = 0,6 литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

1.2. “Правило креста”

“Правилом креста” называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами.

I раствор  С1                                             С- С2   массовые части I раствора

                                                    С 

II раствор   С2                                           С1 -С     массовые части II  раствора

Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху-большая), на пересечении отрезков - заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают в каком отношении надо слить исходные растворы.

Пример 2.

Сколько граммов 35%раствора марганцовки надо добавить к 325г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составило 10%?.

Решим задачу по правилу « креста»

35                      10

          10

0                      25

Значит, 325 г воды составляют 25 частей, а 35% раствор- 10 частей, или 325: 25 *10 = 130

Ответ 130 г.

1.3. Алгебраический метод

Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнения или системы уравнений.

2. Примеры решения задач

Задача 2. Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 кг 20%-ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

1. “Правило креста”

Составим диагональную схему

II раствор 25                    10      массовые части II  раствора

                                 20        

I раствор 10                      5   массовые части I  раствора

Следовательно: m2 :  m1=10:5=2:1.

Ответ: 1кг, 2кг.

Задача 3.

Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие 12 % воды. Сколько кг свежих грибов нужно взять, чтобы получилось 5сухих грибов

ЭТА  задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы.  Сухие грибы получаются , когда из свежих испаряется вода. Свежие грибы  мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно грибы, а не картошка

Составим уравнение:
0,1х = 0,88 5
и найдем х = 44.

Ответ: 44

Задача4. №575 А.Г. Мордкович «Математика 6»

На столе лежал расколотый арбуз массой 10кг, содержащий 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась, и ее процентное содержание в арбузе понизилась до 96%. Найдите новую массу арбуза.

Решение:

0,04х = 0,1,

 х = 2,5.

Ответ: 2,5кг – новая масса арбуза

Задача 5.

Индийский чай дороже грузинского на 25%.В каких пропорциях нужно смешать индийский чай с грузинским, чтобы получить чай, который дороже грузинского на 20%.

Решение.

Индийский чай  дороже грузинского на 25%., индийский чай дороже грузинского в 1,25раза.Чай, котрый хотим получить при смешивании, дороже грузинского на 20%, то есть дороже в 1,2 раза.

Составим схему

1                                            0,05 грузинского чая

                        1,2    

1,25                                          0,2 индийский чай

Найдем отношение:  :=4:1

Ответ:4:1.

№99577 Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

0,3х+0,6у=0,36 (х+у+10)

0,3х+0,6у+5=0,41(х+у+10),

0,3х+0,6у=0,36 (х+у+10)

Решаем систему. Умножим на 1оо и  из 1 вычтем второе,

Х= 90-у,

Х=4у-60.Решим уравнение 90-у=4у-60, у=30, х=90-30=60

Ответ: 60

Полезные формулы:
если величину  x  увеличить на  p процентов, получим  
если величину  x  уменьшить на  p  процентов, получим  
если величину  x  увеличить на  p  процентов, а затем уменьшить на , получим .
если величину  x  дважды увеличить на  p  процентов, получим    
если величину  x  дважды уменьшить на  p  процентов, получим  

Воспользуемся ими для решения задач В13.

Задача 3. Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?

Решение. 

=0,8х*1,3*0,8*1,1=0,9152х
0,9152х меньше х. Значит, Женя похудел.