Знакомьтесь, комбинаторика!
методическая разработка по алгебре (5 класс) по теме

«Знакомьтесь,  комбинаторика!»

 (5 класс)

        В последние годы все больше внимания уделяется проблемам развивающего обучения. Небывалый рост объема информации требует от современного человека таких качеств, как инициативность, изобретательность, предприимчивость, способность быстро и безошибочно принимать решения. А это невозможно без умения работать творчески, самостоятельно. Если в недавнем прошлом основной задачей, стоящей перед учителем, была передача ученикам определенной суммы знаний, то в настоящее время на первый план выдвигается задача развития учащихся в процессе обучения. Обучение математике должно быть ориентировано не столько на собственно математическое образование, в узком смысле этого слова, сколько на образование с помощью математики.

         Развитие математического мышления и творческих способностей осуществляется в ходе размышлений учащихся над задачами. Самостоятельная деятельность учащихся по решению задач занимает главное место в обучении математике. Умение решать задачи – критерий успешности в учебе. Очень важно показать, как обычную жизненную ситуацию можно описать математической моделью.

          Материалы разработки могут быть использованы как в рамках урока (5 – 7 класс), так и на занятиях математического кружка или факультатива.

          Целью разработки является повышение математической культуры учащихся, пробуждение и развитие устойчивого интереса к математике, расширение и углубление знаний.

          Основные задачи, решаемые внедрением разработки – это знакомство на популярном уровне с комбинаторикой – разделом дискретной математики, который приобрел сегодня серьезное значение в связи с развитием теории вероятностей, математической логики, информационных технологий. Учащиеся должны получить представление о том, что такое комбинаторная задача, познакомиться с методами и правилами ее решения.

          На этом богатом материале повышается уровень математического и логического мышления учащихся, развиваются навыки исследовательской деятельности.

Пояснительная записка

         Занятия по программе Е.В.Смыкаловой «Развивающее обучение на уроках математики» проводятся мною систематически в рамках учебного времени. Такие уроки я провожу в начале и в конце четверти, чтобы активизировать деятельность учащихся, пробудить и развить интерес к математике. Кроме этого, одну – две нестандартные задачи стараюсь рассмотреть на каждом уроке, наряду с программным материалом, развивая тем самым в учениках «вкус» к познанию. При подготовке к подобным занятиям использую материалы пособия Е.В.Смыкаловой «Математика: дополнительные главы – 5 класс», а также задания из УМК Л.Г.Петерсон и Н.Я.Виленкина.

План урока

1. Организационный момент
2. Актуализация знаний учащихся
3. Исторический экскурс (сообщение ученика)
4. Теоретический материал
5. Решение задач (с элементами самопроверки)
6. Постановка домашнего задания, повторение теории
7. Самостоятельная работа (взаимопроверка)
8. Подведение итогов урока

(раздаточный материал)                                               ПРИЛОЖЕНИЕ 1

К а р т а   у р о к а

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»,

«Учиться нелегко, но интересно».                      Ян Амос Коменский (1592-1670),

чешский педагог, писатель

тема урока __________________________________________________________________

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам.

Правило суммы  

(выбор одного элемента)

А – m способов

В – n способов

А         В – (m+n) способов

Например: 5 яблок, 4 груши.

 Выбор яблока или груши:  

5 + 4 = 9 способов

Правило произведения

(выбор пары,

нескольких элементов)

А – m способов

В – n способов

А         В – (m·n) способов

Например:  2 конверта, 3 открытки.

Выбор конверта с открыткой:

 2 · 3 = 6 способов

(обратная сторона)                                                                                      ПРИЛОЖЕНИЕ 1 

Решение задач

№1.    П Л А Т О К

       согласных букв ____________

       гласных букв ______________

      выбор пары ________________ способов

№ 2.  3 шляпы, 4 плаща, 2 пары сапог

       выбор костюма  ____________ способов

№ 3.   11 человек

        капитан ___________ вариантов

       заместитель ________ вариантов

      выбор пары _____________ вариантов

№ 4.    1, 4, 7

     __________________

     __________________________________

№ 5.   1, 2, 3, 4, 5

     __________________

     __________________________________

№ 6.   0, 1, 2, 3

        а)  

     __________________                                          

     __________________________________

        б)

     __________________

     ___________________________________

№ 7.   1, 3, 5, 7, 9;  меньше 400

     __________________    

     __________________________________

№ 8. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________

      № 9.  ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

     № 10.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    № 11.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________

(раздаточный материал)

Задачи к уроку «Знакомьтесь, комбинаторика!»

1. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове  «платок»?  
2. У одного  знаменитого мушкетера в гардеробе имеются  3 элегантных шляпы,  4 чудных  плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить?  
3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?
4. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр?
5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?
6. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры: а) могут повторяться; б) не могут повторяться?
7. Сколько различных трехзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая цифра может быть использована только один раз? 
8. Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

              -------------------------------------------

                                    ПРИЛОЖЕНИЕ 2

9. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?
10.  В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки – разные?  
11.  Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с 0 и 9?
12.  Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр  8 и 9? 

«Переменка»

            Найдите закономерность построения

            последовательности 111, 213, 141,

            516, 171, 819, 202, 122…

Домашнее задание

1. В 5 «б» классе 26 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя? старосту, заместителя и ответственного за дежурство?
2. В магазине купили 9 красных, 10 зеленых и 7 желтых воздушных шаров. Сколькими способами можно взять один любой шар? зеленый и желтый шар? красный или желтый?

      3 шара разного цвета?  

      2 шара разного цвета? (рассмотреть                        

      все  возможные варианты)

Актуализация знаний.

Повторение пройденного (решение задач методом  перебора).

«Счет и внимание – основы порядка в голове»  

(И.Г.Песталоцци)

1. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр  5 и 0

           (без повтора)?      1 число (50)

2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр  3 и 5

           (повтор допускается)?     4 числа (33, 55, 53, 35)

3. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 3 и 5

           (повтор допускается)?    8 чисел (333, 555, 355, 533, 335, 553, 353, 535)

4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 3, 8, 7

           (без повтора)?    6 чисел (387, 378, 837, 873, 738, 783)    

  Используя количество полученных в каждом задании чисел, составить название темы сегодняшнего урока и вписать ее в карту урока: «Знакомьтесь, ___________________ !»  

  1 число – «комби»

  2 числа – «вичи»

  3 числа – «рум»

  4 числа – «нато»

  5 чисел – «тема»

  6 чисел – «ка»

  7  чисел – «аза»

  8 чисел – «ри»

  9 чисел – «немо»

10 чисел – «хор»

                                                                                                        Ответ:  «комбинаторика»

   В  математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Решая подобные задачи, приходится перебирать различные варианты, переставлять заданные элементы, комбинировать их. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Исторический   экскурс   (сообщение учащегося)

        С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. В дальнейшем появились игры, требовавшие умения планировать, рассчитывать свои действия, продумывать возможные комбинации. Приспособления для таких игр археологи находили в древних захоронениях, например, в пирамиде египетского фараона Тутанхамона (II век до н.э.). А позже появились нарды, шашки, шахматы.

    Долгие века комбинаторика развивалась внутри арифметики, алгебры и геометрии. Так, древнегреческие ученые большое внимание уделяли и комбинаторике чисел – составление и изучение магических квадратов, и геометрической комбинаторике – разрезанию фигур.

    Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII веке. Гражданин Франции Шевалье Де Марэ любил изобретать различные игры, играя в которые, получал очень интересные результаты. Например, однажды он придумал такую игру: бросает 4 кости, выигрывает тот, у кого на одной есть шестерка. Но с ним очень быстро перестали играть, так как он слишком часто выигрывал. В другой раз Шевалье придумал такую игру: бросает две кости несколько раз, выигрывает, если хотя бы раз выпало две шестерки. Однако вскоре он сам бросил играть, так как стал часто проигрывать. Такой исход дела очень удивил Шевалье де Марэ, и он обратился к двум крупнейшим математикам Франции того времени – Блезу Паскалю и Пьеру Ферма с вопросом, как можно объяснить эти удачи и проигрыши в игре, а также, как правильно делать ставки в таких и в аналогичных играх.

    Решая эту задачу, Блез Паскаль и Пьер Ферма разработали начало двух ветвей математики: комбинаторики и теории вероятности. Впоследствии этими науками занимались многие великие математики тех времен: Готфрид Вильгельм Лейбниц, Якоб Бернулли, Леонард Эйлер и др.

    Использование комбинаторики в настоящее время очень разнообразно. Одно из них – кодирование и расшифровка текстов (шифр появился еще в средние века). В биологии комбинаторика служит для подсчета клеточных структур ДНК и РНК, в физике – для описания свойств кристаллов. Также комбинаторика широко используется и в химии.

Теоретический материал.

  Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам (см. карту урока).

  Обычный вопрос в комбинаторных задачах – это «Сколькими способами…?» или

 «Сколько вариантов…?»

  Комбинаторные задачи можно решать несколькими способами: методом перебора, перестановок (с ним мы уже знакомы), использование определенных правил комбинаторики (с ними мы познакомимся сегодня на уроке) и с помощью построения так называемого «дерева вариантов» (о нем мы поговорим позже).

  Итак, начнем знакомиться с правилами комбинаторики – это правила суммы и произведения.  

 Правило суммы:

если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать (m + n) способами. Например, если вам предлагают 5 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 5 + 4 = 9 способами (см. карту урока).  

  Устно решите следующие задачи:

а) В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

(15 вариантов)

б) В магазине продаются 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы. Сколькими способами можно купить один цветок? (9 способов)

  Еще раз обращаем внимание на то, что мы выбираем лишь один из предложенных элементов.

  Правило произведения:

если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В можно выбрать n способами, то выбор «А и В» можно сделать (m · n) способами. Например, если вам предлагают 2 конверта и 3 открытки, то составить пару (конверт и открытка) можно 3 · 2 = 6 способами (см. карту урока).

  Устно решите следующие задачи:

а) Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек? (48 пар)

б) В столовой имеются в продаже 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать? (28 вариантов)

  Обращаем внимание на то, что мы выбираем пару элементов из предложенных множеств.

Решение задач

  Учащиеся работают на бланках карты урока в соответствующем разделе, тексты задач на отдельных листах у  каждого  ученика. Список задач можно изменять, добавляя или убирая некоторые вопросы в зависимости от уровня подготовки класса. Можно разбить задачи по уровню сложности, некоторые оставить для самостоятельного решения. В некоторых задачах полезно подчеркнуть, что они уже ранее решались методом перебора, а сегодня – второй способ их решения. Осуществить на этом этапе дифференцированный подход. Ввести элементы самостоятельной работы с последующей самопроверкой.

1. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове  «платок»?  (Согласных букв в слове – 4, гласных букв – 2, значит, по правилу  умножения, вариантов выбора пары -  4 · 2 = 8.)
2. У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются  3 элегантных шляпы,

      4 чудных  плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно со-  

     ставить?  (Выбираем по одному элементу из трех множеств, то есть, составляем

     «тройку»,  значит, по правилу умножения получаем 3 · 4 · 2 = 24 варианта костюма.)

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать? (Всего 11 человек, значит, капитана можно выбрать 11-ю способами, осталось 10 футболистов, из которых можно выбрать заместителя капитана. Итак, пару, капитана  и его заместителя, можно выбрать 11 · 10 = 110 способами.)
4. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр?  (Должно получиться двузначное число – всего две позиции. На первую позицию можно поставить любую из предложенных цифр – 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом возможности повтора цифры, тоже 3 варианта выбора. Значит, пару цифр мы составляем 3 · 3 = 9 способами, т.е. получится 9 чисел.

Запись решения:    

                                       3     ∙    3  =  9 чисел.

Такая запись решения используется во всех подобных задачах при работе на бланках карты урока.)

5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется? (Трехзначное число: первая позиция – 5 вариантов цифр, вторая позиция, с учетом исключения повторов цифр, - 4 варианта, третья позиция – 3 варианта. Получаем 5 · 4 · 3 = 60 чисел.)
6. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры:

      а) могут повторяться; б) не могут повторяться? ( а) Двузначное число, как и любое мно-

     гозначное, не может начинаться с 0, поэтому на первую позицию  можно поставить

     лишь 3 из имеющихся 4-х цифр, 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом по-

     втора,  можно поставить любую из цифр – 4 варианта выбора. Поэтому получается

     3 · 4 = 12  чисел;   б) Первая позиция – 3 варианта, вторая позиция – 3 варианта, т.к.

     повтор исключается.  Получаем 3 · 3 = 9 чисел.)

7. Сколько различных трехзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая цифра может быть использована только один раз? (Трехзначное число < 400, значит, на первую позицию можно поставить лишь 1 или 3 – 2 варианта выбора, на вторую, исключая повтор,  – 4 варианта цифр из 5-ти, на третью позицию – 3 варианта. Получается  2 · 4 · 3 = 24 числа.)  
8. Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра? (5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 вариантов.)

9. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено

      6 приборов? (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способов.)

10.  В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки – разные?  (8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 вариантов.)
11.  Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с 0 и 9? (Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всего 10 цифр, исключая по условию 0 и 9 в начале номера, с учетом возможности повтора, получаем  8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 номеров.)
12.  Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр

      8 и 9? (Однозначных чисел – 2, двузначных чисел - 2 · 2 = 4, трехзначных чисел –

      2 · 2 · 2 = 8, четырехзначных чисел – 16, пятизначных чисел – 32, шестизначных  

      чисел – 64.  А всего -  2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126 чисел.)

«Переменка»

  Найдите закономерность построения последовательности 111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122…  (В данной последовательности надо иначе расставить запятые, и получим 11, 12, 13, 14, 15…)

     Постановка домашнего задания  ( см. приложение 2), повторение теоретического материала (правила сложения и умножения, условия выбора элементов).

     Самостоятельная работа  (с последующей взаимопроверкой в парах)

5. Выбор одного любого элемента из предложенных множеств выполняется по правилу ______________________. Выбор пары и более элементов из множеств происходит по правилу ______________________.
6. В вазе стоят 5 красных, 3 белых и 3 желтых тюльпана. Один цветок из вазы можно выбрать _______ способами, три цветка разного цвета ________ способами.
7. Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если их повтор допускается? ____________________________________________________________
8. В четверг в первом классе должно быть 4 урока: письмо, чтение, математика, физкультура. Сколько различных вариантов расписания на этот день можно предложить?

_________________________________________________________________________________

Ответы: сложения,  умножения,  11,   45,     2 · 2 · 2 =8,     4 · 3 · 2 · 1 = 24.  

Взаимопроверка, выставление оценок, обсуждение результатов.

   Подведение итогов урока

  На этом этапе урока, помимо традиционной беседы о том, какие задачи ставились, насколько успешно с ними справились, следует вернуться к эпиграфу урока (см. бланк карты урока) и поразмышлять о словах Я.А.Коменского.

   Кроме того, ученикам предлагается ответить на 3 блиц - вопроса:

1. На сегодняшнем уроке мне было … (легко, обычно, трудно)
2. Новый материал я … (усвоил и могу применить, усвоил и затрудняюсь применить, не усвоил)
3. Моя самооценка за урок …

  Ответы на приведенные вопросы можно не подписывать, т.к. их основная функция помочь учителю проанализировать урок и его результаты.

П о с л е с л о в и е

    На следующем уроке предполагается отработка пройденного материала на этапе устной работы, введения понятия «дерево возможных вариантов» как еще одного способа решения комбинаторных задач, систематизация изученных методов решения задач, практикум по решению задач различными способами, решение задач повышенного уровня, контроль знаний.

или

и