Учебное пособие "Задачи, содержащие целую и дробную часть числа"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

                            Розина Т.А

Задачи, содержащие целую

или дробную часть числа

Междуреченск 2011

Дорогие старшеклассники!

   Вы приступаете к углубленному изучению темы «Целая и дробная части числа». Данное пособие позволит вам расширить свои знания о математических функциях при решении уравнений и неравенств разной степени сложности. В представленном пособии содержатся теоретические сведения справочного характера, объясняются преобразования графиков, содержащих целую или дробную часть числа, рассмотрены решения простейших уравнений. А также методы решения квадратных, дробно – рациональных уравнений и неравенств, систем уравнений. В пособии приведены задания для самостоятельного решения. Учебное пособие поможет вам систематизировать и обобщить полученные знания по теме «Целая и дробная части числа».

Успехов!

    Содержание.

§1. Знакомство с функциями у = [х] и у={х}………………………4

§2. Уравнения, содержащие целую или дробную часть числа…...7

1.  Простейшие уравнения……………………………………7

2. Решение уравнений вида [f(х)]= g(х)……………………..8.

      2.3    Графический способ  решения уравнений………………10

4.  Решение уравнений введением новой переменной……11

5. Системы уравнений……………………………………….12

§3. Преобразования графиков функций, содержащих целую

      часть числа……………………………………………………....13

0. 3.1  Построение графиков функций вида у = [f(х)]……………13
2. 3.2  Построение графиков функций вида у = f([х])……………15

§4. Неравенства, содержащие целую или дробную часть числа...17

……

§5. Целая или дробная часть числа в олимпиадных заданиях…...20

…

 Ответы на задания для самостоятельного решения……………...23

 Список литературы………………………………………………...25

§1. Знакомство  с  функциями у = [x]

и  у = {x}

История и определение целой и дробной части числа

Понятие целой части числа было введено немецким математиком Иоганном Карлом Фридрихом Гауссом(1771-1855), автором "Трудов по теории чисел". Также Гаусс продвинул теорию специальных функций, рядов, численные методы, решение задач математической физики, создал математическую теорию потенциала.

Обозначается целая часть действительного числа x символом [x] или E(x).

Символ [x] был введён К.Гауссом в 1808 г.

Функция же целой части числа была введена Адриеном Мари Лежандром (1752-1833).  - французским математиком. Его работа "Опыт теории чисел", которая вышла в свет в 1798 году, является фундаментальным трудом, итогом арифметических достижений XVIII века. Именно в честь него функцию y = [x] называют французским словом "Антье" (фр. «entier» -целый) обозначают E(x).

Определение: целой частью числа х называется наибольшее целое число с, не превышающее х, т.е. если [х] = с, c ≤ x < c + 1.

Например: [2,2] = 2;

                       [-1,5] = -2.

 По некоторым значениям функции можно построить её график. Он выглядит следующим образом:

Свойства функции y = [x]:

1. Область определения функции y = [x] есть множество всех действительных чисел R.

2. Область значений функции y = [x] есть множество всех целых чисел Z.

3. Функция y = [x] кусочно-постоянная, неубывающая.

4. Функция общего вида.

5. Функция не периодична.

6. Функция не ограничена.

7. Функция имеет точку разрыва.

8. y=0, при x [0;1).

9. y <0, при х<0; у>0,при х>0. 

10.Функция не имеет точек экстремума.

11. Унаиб. и Унаим. не существует.

Возникает вопрос: «Если есть функция целой части числа, может, есть и функция дробной части числа?»

Определение: дробная часть числа (обозначается {х}) есть разность х - [х].

Например: {3,7} = 0,7

                       {-2,4} = 0,6.

Построим график функции у = {х}. Он выглядит следующим образом:

Простейшие свойства функции y = {x}:

1. Область определения функции y = {x} есть множество всех действительных чисел R.

2. Область значений функции y = {x} есть полуинтервал [0;1)

3.Функция общего вида.

4.Функция ограничена.

5.Функция не прерывна.

6.у=0, при всех целых х.

7.у>0, при всех действительных х.

8.Функция монотонно возрастает на [n; n+1)

9. Функция не имеет точек экстемума.

10.Уmin при х=n.

Представление о том, как выглядят графики функций у = [х] и у = {х} поможет выполнить и некоторые задания.

ЗАДАНИЯДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

:

1) Построить графики функций:

       а) y = [х] + 5;

       б) у = {х} - 2;

       в) у = |[x]|.

2) Какими могут быть числа х и у, если:

       а) [х + у] = у;

       б) [х - у] = х;

       в) {х - у} = х;

       г) {х + у} = у.

3) Что можно сказать о величине разности х - у , если:

       а) [х] = [у];

       б) {х} = {у}.

4) Что больше: [а] или {а}?

§2. Уравнения, содержащие целую или дробную часть числа

2.1. Простейшие уравнения

К простейшим уравнениям относятся уравнения вида [х] = а.

Уравнения такого вида решаются по определению:

а ≤ х < а +1 , где а - целое число.

Если а - дробное число, то такое уравнение не будет иметь корней.

Рассмотрим пример решения одного из таких уравнений:

[х + 1,3] = - 5. По определению  такое уравнение преобразуется в неравенство:

-5 ≤ х + 1,3 < - 4. Решим его. Получим -6,3 ≤ х < - 5,3.

Это и будет являться решением уравнения.

Ответ: х[-6,3;-5,3).

Рассмотрим ещё одно уравнение, относящееся к разряду простейших:

[х+1] + [х-2]-[х+3] = 2

Для решения уравнений такого вида необходимо использовать свойство функции целого числа: Если р - целое число, то справедливо равенство  

[х ± р] = [х] ± р

Доказательство: х = [х] + {х}

[ [х] + {х} ± р] = [ [х] + {х}] ± р

х = k + а, где k = [х],  а = {х}

[ k + a ± p ] = [ k + a ] ± p = [х] ±p.

Решим предложенное уравнение, используя доказанное свойство: Получим    [х] + 1 + [х] - 2 - [х] - 3 = 2. Приведём подобные слагаемые и получим простейшее уравнение   [х] = 6. Его решением является полуинтервал   х[6;7), который и будет решением данного уравнения.

Ответ: х[6;7).

Рассмотрим более сложное уравнение:

[x2 - 5х + 6] = 1

Преобразуем уравнение в неравенство: 1 ≤ х2-5х+6 < 2. Двойное неравенство  запишем в форме системы неравенств:

х2 - 5х + 6 < 2,

х2 - 5х + 6 ≥ 1   и решим её;

х2 - 5х + 4<0,

х2 - 5х + 5>0

Получаем   х(1;4)        

                    х(-∞;(5 - )/2][(5 +)/2; +∞),

                х(1; (5 - )/2][(5 +)/2;4).

Ответ: х(1; (5 - )/2][(5 +)/2;4).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения:

1) [2x + 1/5] = 1

2) [3x – 5,2] = 0,487

3) [x + 4] – [x + 1] = 2

4) [х2] = 4

5) [x]2= 4

6) [x + 1,3] = - 5

7) [х2 – x + 4] = 2

8) [2x + 1,5] = - 1

9) [3x + 5,2] = 4,2

10) {x} – [x] + x = 0

11) x + {x} + [x] = 0

12) [ 4x – 5] = 7

2.2 Решение уравнений вида [f(x)]=g(x)

Уравнение вида [f(x)]=g(x) можно решить путем сведения их к уравнению

[x] = a.

Рассмотрим пример 1.

Решить уравнение

Заменим правую часть уравнения на новою переменную a и выразим отсюда x

   11a = 16x + 16,   16x = 11a – 16,  

Тогда  =  =

Теперь решим уравнение   относительно переменной а.

Раскроем знак целой части по определению и запишем с помощью системы неравенств:

Из промежутка  выберем все целые значения a: 3;4;5;6;7 и проведем обратную замену:

Ответ:    

Пример 2.

Решить уравнение:

Разделим каждое слагаемое числителя в скобке на знаменатель:

Из определения целой части числа следует, что (а+1) должно быть целым, значит и а – целое. Числа а, (а+1), (а+2) - три последовательных числа, значит одно из них обязательно делится на 2, а одно - на 3. Следовательно, произведение чисел делится нацело на 6.

То есть   целое число. Значит            

Решим это уравнение.

а(а+1)(а+2) - 6(а+1) = 0

(а+1)(а(а+2) - 6) = 0

а + 1 = 0      или     а2 + 2а – 6 = 0

а = -1                      D = 28

                                a = -1 ±  (не являются целыми).

Ответ: -1.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

Решите уравнение:

2.3. Графический способ решения уравнений

Пример 1. [х] = 2{х}

Решение. Решим это уравнение графически. Построим графики функций     у = [х] и у = 2{х}. Найдём абсциссы точек их пересечения.

Ответ: х = 0; х = 1,5.

В некоторых случаях удобнее по графику найти ординаты точек пересечения графиков. Затем подставить полученное значение в одно из уравнений и найти искомые значения х.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения графически:

1. {х} = 1 – х;
2. {х} + 1 = [х];
3. [2х] = 3х;
4. 3{х} = х;
5. {х} = 5х + 2;
6. [|х|] = х;
7. [|х|] = х + 4;
8. [|х|] = 3|х| - 1;
9. 2{х} – 1 = [х] + 2;

10) Сколько решений имеет уравнение 2{х} = 1 - .

2.4. Решение уравнений введением новой переменной.

Рассмотрим первый пример:

{х}2-8{х}+7 = 0

Заменим {х} на а, 0  а < 1, получим простое квадратное уравнение

а2 - 8а + 7 = 0, которое решим по теореме, обратной теореме Виета: Полученные корни    а = 7 и   а = 1 . Проведем обратную замену и получим два новых уравнения:   {х} = 7 и {х} = 1. Оба эти уравнения не имеют корней. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим ещё один случай решения уравнения введением новой

переменной:

3[х]3 + 2[х]2 + 5[х]-10 = 0

Проведём замену   [х] = а, аz. и получим новое кубическое уравнение За3+2а2+5а-10=0. Первый корень этого уравнения найдём путём подбора: а=1 - корень уравнения. Делим наше уравнение на  (а-1). Получаем квадратное уравнение   3а2 + 5а +10=0. Это уравнение имеет отрицательный дискриминант, а значит, не имеет решений. То есть,   а=1 - единственный корень уравнения. Проводим обратную замену:   [х]=а=1. Полученное уравнение решаем по определению целой части числа:   х[1 ;2).

Ответ: х[1 ;2).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

1. [х]2 + 8[х]-9 = 0
2. 3(х-[х])2 + 2([х]-х)-16 = 0
3. [х]4 -14[х]2 +25 = 0
4. (2{x}+1)3 – (2{x}-1)3 = 2
5. (х-[х])2 = 4

6. 5[х]2-7[х]-6 = 0
7. 6{х}2+{х}-1 =0
8. 1/([х]-1) - 1/([х]+1) = 3-[х]
9. 12{х}3-25{х}2+{х}+2 = 0

10) 10[х]3-11[х]2-31[х]-10 = 0

2.5. Системы уравнений.

Рассмотрим систему уравнений:

2[x] + 3[y] = 8,

3[x] – [y] = 1.

Ее можно решить либо методом сложения, либо подстановкой. Остановимся на первом способе.

2[x] + 3[y] = 8,

9[x] – 3[y] = 3.

После сложения двух уравнений получаем 11[x] = 11. Отсюда

[x] = 1. Подставим это значение в первое уравнение системы и получаем

[y] = 2.

 [x] = 1 и [y] = 2 – решения системы. То есть x  [1;2), y  [2;3).

Ответ: (x  [1;2), y  [2;3)).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

1)    2{x} – 3{y} = 1

       2{x} + 4{y} = 2

2)    [x+y+4] = 18-y

       [x+1] + [y-1] = 18-x-y

3)    3[x] – 2{y} = 6

       [x]2 – 4{y} = 4

4)    3{x} – 4{y} = -6

       6{x} – {y}2= 3.

§3. Преобразования графиков функций, содержащих целую часть числа

3.1. Построение графиков функции вида y = [f(x)]

Пусть имеется график функции у = f(х). Чтобы построить график функции    у = [f(x)], поступаем следующим образом:

1. Проводим прямые у = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; … и рассматриваем одну из полос, образованных прямыми у = n, у = n + 1.
2. Отмечаем точки пересечения прямых у = n, у = n + 1 с графиком функции у = f(х). Эти точки принадлежат графику функции              у = [f(x)], так как их ординаты целые числа (на рисунке это точки А, В, С, D).

3. Для получения остальных точек графика функции у = [f(x)] в указанной полосе часть графика у = f(х), попавшую в полосу, проектируем параллельно оси Оу на прямую у = n. Поскольку любая точка М этой части графика функции у = f(х) имеет такую ординату , что n ≤  < n + 1, то [] = n.
4. В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции         у = f(х), построение проводится аналогично.

Построим график функции у = [х]. Для этого

1. Проводим прямые у = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; … и рассматриваем одну из полос, образованных прямыми у = n, у = n + 1.
2.  Отмечаем точки пересечения прямых у = n, у = n + 1 с графиком  

 функции у = [х]. Эти точки принадлежат графику функции у = [х],

 так как их координаты целые числа.

3. Для получения остальных точек графика функции у = [х] в указанной полосе часть графика у = х, попавшую в полосу, проецируем параллельно оси Оу на прямую у = n, у = n + 1. Поскольку любая точка М этой части графика функции y = x, имеет такую ординату y0, что n < y0 < n + 1, то [y0] = n
4. В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = х, построение проводится аналогично.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Постройте графики функций:

1. у = ;
2. у = 2[sinx];
3. y = [3 - 1] + 3;
4. у = -[cosx] + 1;
5. y = [|x|];
6. y = [tgx];
7. y = 2[|cosx|] – 4;
8. y = 1,5[cosx] – 2;
9. y = [ctgx + 2] -1

3.2. Построение графиков функции вида y = f([x])

Пусть дан график некоторой функции у = f(х). Построение графика    функции у = f([х]) осуществляется следующим образом:

1. Проводим прямые х = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; …
2. Рассмотрим одну из полос, образованных прямыми у = n и у = n + 1. Точки А и В пересечения графика функции у = f(х) с этими прямыми принадлежат графику функции у = f([х]), так как их абсциссы – целые числа.

3. Для получения остальных точек графика функции у = f([х]) в указанной полосе часть графика функции у = f(х), попавшую в эту полосу, проектируем параллельно оси Оу на прямую у = f(n).
4. В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = f(х), построение ведётся аналогично.

Рассмотрим построение графика функции у = . Для этого пунктиром построим график функции у = . Далее

1. Проводим прямые х = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; …
2. Рассмотрим одну из полос, образованных прямыми у = n и    у = n + 1. Точки пересечения графика функции у =  с этими прямыми принадлежат графику функции у = , так как их абсциссы – целые

числа.

3. В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = , построение ведётся аналогично.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Постройте графики функций:

1. у = sin[x];
2. y = cos[x] + 3;
3. y = tg[x];
4. y = ;
5. y =  + [x] – 6;
6. y =  – 4;
7. y = 3 - 2[x];
8. у =  + 2;
9. у = 3cos[x] – 4.

§4. Неравенства, содержащие целую или дробную части числа

Назовём основными неравенствами с [х] и {х} следующие          соотношения: [х] > b и {х} > b. Удобным методом их решения является графический метод. Поясним его на двух примерах.

Пример 1. [х] ≥ b

Решение. Введём в рассмотрение две функции у = [х] и у = b и начертим их графики на одном и том же чертеже. Ясно, что тогда следует различать      два случая: b – целое и b – нецелое.

Случай 1. b – целое

Из рисунка видно, что графики совпадают на [b; b + 1].

Следовательно, решением неравенства [х] ≥ b будет луч х ≥ b.

Случай 2. b – нецелое.

В этом случае графики функций у = [х] и у = b не пересекаются. Но часть графика у = [х], лежащая выше прямой, начинается в точке с координатами ([b] + 1; [b] + 1). Таким образом, решением неравенства [х] ≥ b будет          луч х ≥ [b] + 1.

Остальные виды основных неравенств исследуются точно так же. Результаты этих исследований сведены ниже в таблицу.

Рассмотрим пример решения неравенства:

Заменим [x] на переменную а, где а – целое.

>1;   >0;  >0;  >0.

Используя метод интервалов, находим     a > -4       [x] > -4

                                                                       a < 1/3     [x] < 1/3.

Для решения полученных неравенств воспользуемся составленной таблицей:

х ≥ -3,

х < 1.     x [-3;1)

Ответ: [-3;1).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1) [х] < 2

2) [х] ≤ 2

3) [х] > 2,3

4) [х]  2

5) [х]2-5[х]-6 < 0

6) [х]2 - 7[х] + 6  0

7) 30[х]2-121[х] + 80 < 0

8) [х]2 + 3[х]-4  0

9) 3{х}2-8{х}-4< 0

10) 110[х]2-167[х] + 163   0

11) > 2

12) > 1

13)   0

14) 0

§5. Целая или дробная часть числа в олимпиадных заданиях

Пример 1.

Доказать, что число делится на 5 при любом натуральном n.

Доказательство: Пусть n – четное число, т.е. n=2m, где mN,

поэтому .

Тогда данное выражение имеет вид: ,

т.е. оно делится на 5 при любом четном n.

Если , n = 2m -1, то

,

тогда данное выражение имеет вид:

Это число при любом нечетном n делится на 5.

Итак, данное выражение при любом натуральном n делится на 5.

Пример 2.

Найти все простые числа вида, где nN .

Решение. Пусть . Если n=3k, то p=3k2. Это  число будет простым и равным 3, при k=1.

Если n=3k+1, k0, то

, то

Это число будет простым и равным 5 при k=1.

Если n = 3k + 2, k  0, то

-составное число при любом kN.

Ответ: 3;5

Пример 3.

В ряд выписаны числа кратны двум, трем, шести. Найти число, которое в этом ряду будет стоять на тысячном месте.

Решение:

Пусть х – искомое число, тогда ряд чисел, кратных двум в этом ряду - , кратны трем - , кратны шести - . Но числа кратны шести, кратны двум и трем, т.е. будут подсчитаны трижды. Поэтому из суммы чисел. Кратных двум, трем, шести надо вычесть удвоенное количество чисел кратных шести. Тогда уравнение для решения той задачи имеет вид:

Введем обозначения:  

Тогда а+b-c=1000 (*) и по определению целой части числа имеем:

a

b

c

Домножив каждое неравенство почленно на 6, получим:

6a3x<6a+6

6b2x<6b+6

6cx<6c+6

Складывая первые два неравенства, и вычитая из них суммы третье неравенство, получим:

6(a+b+c) 4x< 6(a+b+c) +6

Воспользуемся равенством (*), тогда: 60004x<6006

                                                                 1500x< 1501

Решениями уравнения будут числа: 1500 и 1501, но по условию задачи подходит только число 1500.

Ответ: 1500

Пример 4.

Известно, что младшему брату не более 8, но не менее 7 лет. Если количество полных лет младшего брата увеличить в 2 раза, а количество неполных лет (т.е. месяцев) его возраста утроить, то в сумме получится возраст старшего брата. Указать возраст каждого из братьев с точностью до месяцев, если известно, что суммарный их возраст равен 21 году и 8 месяцам.

Решение:

Пусть х (лет) – возраст младшего брата, тогда  (месяцев) его возраста. По условию задачи   (лет) – возраст старшего брата. Суммарный возраст обоих братьев равен:

    (года).

3(   ,  3х +  ,     

Так как {x}=х - [x], то  . (Уравнение вида [ax] = bx + c , где a,b,c  R)            

,       n=6, n=7.

При n=6, х = - не удовлетворяет условию задачи.

При n=7, х = .

Возраст младшего брата - 7лет и 2 месяца.

Возраст старшего брата – 14 лет и 6 месяцев.

Ответ: возраст младшего брата - 7лет и 2 месяца,

возраст старшего брата - 14 лет и 6 месяцев.

Задания для самостоятельного решения.

1. Решите уравнения: а) x+2[x] = 3,2; б) x3 –[x] =3

2. Натуральные числа m и n взаимно просты и n

 или

Знак (*) следует читать, как умножение.

3. Дано число x, больше 1. Обязательно ли имеет место равенство

 ?

Решите систему уравнений:    x+[y]+{z} = 1,1

                                                    y+[z]+{x}=2,2

                                                    z+[x]+{y}=3,3.

4. Известно, что количество полных метров в ленте в 4 раза больше количества неполных метров (т.е. сантиметров). Определить максимально возможную длину ленты.

Ответы на  задания для самостоятельного решения.

Знак «Є»  следует читать «принадлежит»

§1   2. а) хЄ [0;1),  у ЄZ;              в) х Є  (0;1),  у = -1; -2; -3;…

           б) х Є Z;  у Є (-1;0]           г) х Є Z;  у Є [0;1)

       3.  а) |х-у|< 1  

           б) (х-у) Є  Z

       4.  [a]>{a}, если а ≥ 1,  {a} ≥  [a], если а < 1.

§2.  2.1  1)  [0,4; 0,9)                                 7) корней нет

              2) корней нет                              8)  [-1.25; -0,75)

              3)корней нет                               9) корней нет

              4) если х > 0, то  [2;)          

                если х < 0, то  (-; -2]           10) х- целое

              5)  [2;3) и [-2;-1)                         11)  0

              6)  [-6,3; -5,3)                              12) [3; 13/4)

        2.2  7/15; 0,8

        2.3  1) 0,5; 1                               6) 0;1;2;3;…

               2) 1                                      7) -2

               3)  -2/3; -1/3; 0                    8) ±1/3

               4) 0; 1,5                               9) -3; -1,5

               5) -1/4                                10) 5 решений

         2.4    1) [-9; -8)                                 6) [2;3)

                   2) корней нет                         7) х= n+1/3, где n-целое число

                  3) [3;4), [-3;-2)                         8) [3;4)

                   4) х-целое число                     9) х= n+1/3, где n-целое число

                   5) [2;3) и [-2;-1)                     10) [-1;0)

          2.5   1) х = n+5/7;  у = n +1/7, где n – целое число

                   2) х = 4;  у = 5

                   3) х Є  [2;3), у=0.

                   4) нет решений

§4.       1)  (- ∞; 2)                               8)   (- ∞; -3) ; [1;+∞ )

             2)  (- ∞; 3)                              9)[n+2/3; n+1] , nЄ Z

             3)  [3;+∞)                             10) R

             4)  [2;+∞)                             11) (-7;-1)

              5) [0;6)                                12) [n; n+1/3] , n   Z

              6) (- ∞; 2);[6;+∞)                13) (- ∞; -1)                              

              7) [1;4)                                 14) [n; n+3/7],  n≥3, n   Z

§5.     1. а) х = 1,2

                 Если {х} - дробная часть числа х, то [х] + {х} = х.

            Тогда [х] + {х} + 2[х] = 3,2.  3[х] + {х} = 3,2. Так как 3[х] – целое                                                               а 0 ≤ {х} < 1, то {х} = 0,2 и 3[х] = 3. Значит х = 1,2.

              б) х =.

                 Указание. [х] = х- {х}, где 0 ≤ {х} < 1- дробная часть;

                  х3 - х + {х} = 3, откуда  2 < х(х2- 1) ≤ 3.

2. Первая сумма больше второй на m – n .

3.  Обязательно.

Указание.  Если [√] = n, то  n4 ≤ х < (n + 1)4. Теперь легко    

    доказать, что  [√ [] ] = n.

4. (1; 0,2; 2,1)
5. 3м 75 см.

Список литературы

1. Алексеева В., Ускова Н.  Задачи, содержащие целую и дробную части числа// Математика. 1997. №17. С.59-63.
2. Воронова А.Н. Уравнение с переменной под знаком целой или дробной части// Математика в школе.  2002.№4. С. 58-60.
3. Воронова А.Н. Неравенства с переменной под знаком целой части//  Математика в школе. 2002. №2. С.56-59.
4. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 7-11 кл. Челябинск: «Взгляд», 2004.
5. Дополнительные главы по курсу математики 10 класса для факультативных занятий: Пособие для учащихся/ Сост. З.А. Скопец. М.: Просвещение, 1979.
6. Еровенко В.А.,  О.В.Михаськова О.В. Методологический принцип Оккама на примере функций целой и дробной частей числа// Математика в школе. 2003. №3 . С.58-66.

7.  Кирзимов В. Решение уравнений и неравенств, содержащих целую и    

     дробную часть числа//   Математика. 2002 .№30. С. 26-28.

8.  Шрайнер А.А. «Задачи районных математических олимпиад

     Новосибирской области». Новосибирск 2000.

9.  Справочник «Математика», Москва «АСТ-ПРЕСС» 1997.

10. Райхмист Р.Б. «Графики функций. Задачи и упражнения». Москва.

     «Школа – пресс» 1997.

11. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. и др. «Алгебра и начала анализа. 10

      класс. Часть 2. Задачник. Профильный уровень» Смоленск

     «Мнемозина» 2007.

y=b (bZ)

y=b (bZ)

Иоганн Гаусс

Адриен Лежандр