Урок по алгебре в 9 классе "Четные и нечётные функции"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Тема: Чётные и нечётные функции.

Цель: - сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;

- развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;

- воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

Ход.

1. Организационный момент. (Постановка целей и задач урока.)

2. Проверка домашнего задания. 

     №10.17  (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович)   .

у =f(х), f(х) =

а) f (-2)= -3; f (0)= -1; f(5) = 69;                                                     б)

в)  1. D(f) = [-2; + ∞)

     2. Е(f) = [-3; + ∞)

     3. f(х) = 0 при х ≈ 0,4

     4. f(х) ›0 при х › 0,4 ;   f(х)‹ 0 при -2 ≤ х ≤ 0,4.

     5. Функция возрастает при х €  [-2; + ∞)

     6. Функция ограничена снизу.

     7. у наим = -3, унаиб не существует

     8. Функция непрерывна.

(Вы использовали алгоритм исследования функции ?)  Слайд.

     2.Таблицу, которую вам  задавалась, проверим по слайду.

264-855-095 Семенова Н.В.

3. Актуализация знаний.

 - Даны функции.

- Указать область определения для каждой функции.

- Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и -1; 2 и -2.

-Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(-х)=f(х),

    f(-х)= - f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

4. Новый материал.

- Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.

Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем(стр110) Слайд

  Опр.1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(-х)= f(х). Приведите примеры.

  Опр.2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(-х)= -f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»?

Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?

Для любой функции вида у = х n, где n- целое число можно утверждать , что функция нечётна при n- нечётном и функция чётна при n-чётном.  

- Функции вида у =  и у=2х-3 не являются ни чётным , ни нечётными, т.к. не выполняются равенства f(-х)= -f(х), f(-х)= f(х)

Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

В определениях  1 и 2 шла речь о значениях функции при х и –х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при –х.

Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

Примеры :

(-2;2), [-5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;-2], [-5;4]- несимметричные.

 - у чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?

Если же D(f)- несимметричное множество, то функция какая?

Таким образом, если функция у=f(х)-чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?

264-855-095 Семенова Н.В.

- Значит наличие симметричного множества области определения - это необходимое условие, но недостаточное.

- Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.            

                                                                Слайд

Алгоритм исследования функции на чётность.

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.
2. Составить выражение для f(-х).
3. Сравнить f(-х) и f(х):

1. если f(-х) = f(х), то функция чётная;
2. если f(-х) = - f(х), то функция нечётная;
3. если  f(-х) ≠ f(х) и f(-х) ≠ - f(х), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Примеры: Исследовать на чётность функцию а) у = х5 +; б) у = ; в) у= .

Решение.

а) h(х) = х5 +,

   1) D(h) = (-∞; 0) Ụ (0; +∞ ), симметричное множество.

    2) h (- х) = (-х)5 + - х5 -= - (х5 +),

    3) h(- х) = - h (х) => функция  h(х)  = х5 +  нечётная.

б) у = ,

у = f (х),     D(f) = (-∞; -9) Ụ (-9; +∞),  несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f(х) = ,   у = f (х),  

   1) D(f) = (-∞; 3] Ụ [3; +∞ ), симметричное множество.

    2)f (- х) == ;

    3)  f (- х) = f (х)  =>  функция f(х) =     чётная.

Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками  (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?          

                                Слайд.

Вывод:

1. График чётной функции симметричен относительно оси у.
2. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

264-855-095 Семенова Н.В.

      - Верны ли обратные утверждения ?

1. Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.
2. Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.

Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

- Какова же значимость свойства четности или нечётности функции? Зачем нужно изучать

свойство чётности функций .В план свойств функций свойство чётности вы поставили бы на какое порядковое место

5.Первичное закрепление.

Самостоятельная работа.

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом .      №11.11, 11.21,11.22;     Доказательство геометрического смысла свойства чётности.                                          ***(Задание варианта ЕГЭ ).

            1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого                                      

        неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением  

        функции   g (х) = х(х+1)(х+3)(х-7). Найдите значение функции h (х) =  при х = 3.

7. Подведение итогов.

Тема: Чётные и нечётные функции.

Цель: - сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;

- развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;

- воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

Ход.

1. Организационный момент. (Постановка целей и задач урока.)

2. Проверка домашнего задания. 

     №10.17  (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович)   .

у =f(х), f(х) =

а) f (-2)= -3; f (0)= -1; f(5) = 69;                                                     б)

в)  1. D(f) = [-2; + ∞)

     2. Е(f) = [-3; + ∞)

     3. f(х) = 0 при х ≈ 0,4

     4. f(х) ›0 при х › 0,4 ;   f(х)‹ 0 при -2 ≤ х ≤ 0,4.

     5. Функция возрастает при х €  [-2; + ∞)

     6. Функция ограничена снизу.

     7. у наим = -3, унаиб не существует

     8. Функция непрерывна.

(Вы использовали алгоритм исследования функции ?)  Слайд.

     2.Таблицу, которую вам  задавалась, проверим по слайду.

264-855-095 Семенова Н.В.

3. Актуализация знаний.

 - Даны функции.

- Указать область определения для каждой функции.

- Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и -1; 2 и -2.

-Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(-х)=f(х),

    f(-х)= - f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

4. Новый материал.

- Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.

Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем(стр110) Слайд

  Опр.1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(-х)= f(х). Приведите примеры.

  Опр.2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(-х)= -f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»?

Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?

Для любой функции вида у = х n, где n- целое число можно утверждать , что функция нечётна при n- нечётном и функция чётна при n-чётном.  

- Функции вида у =  и у=2х-3 не являются ни чётным , ни нечётными, т.к. не выполняются равенства f(-х)= -f(х), f(-х)= f(х)

Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

В определениях  1 и 2 шла речь о значениях функции при х и –х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при –х.

Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

Примеры :

(-2;2), [-5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;-2], [-5;4]- несимметричные.

 - у чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?

Если же D(f)- несимметричное множество, то функция какая?

Таким образом, если функция у=f(х)-чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?

264-855-095 Семенова Н.В.

- Значит наличие симметричного множества области определения - это необходимое условие, но недостаточное.

- Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.            

                                                                Слайд

Алгоритм исследования функции на чётность.

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.
2. Составить выражение для f(-х).
3. Сравнить f(-х) и f(х):

1. если f(-х) = f(х), то функция чётная;
2. если f(-х) = - f(х), то функция нечётная;
3. если  f(-х) ≠ f(х) и f(-х) ≠ - f(х), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Примеры: Исследовать на чётность функцию а) у = х5 +; б) у = ; в) у= .

Решение.

а) h(х) = х5 +,

   1) D(h) = (-∞; 0) Ụ (0; +∞ ), симметричное множество.

    2) h (- х) = (-х)5 + - х5 -= - (х5 +),

    3) h(- х) = - h (х) => функция  h(х)  = х5 +  нечётная.

б) у = ,

у = f (х),     D(f) = (-∞; -9) Ụ (-9; +∞),  несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f(х) = ,   у = f (х),  

   1) D(f) = (-∞; 3] Ụ [3; +∞ ), симметричное множество.

    2)f (- х) == ;

    3)  f (- х) = f (х)  =>  функция f(х) =     чётная.

Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками  (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?          

                                Слайд.

Вывод:

1. График чётной функции симметричен относительно оси у.
2. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

264-855-095 Семенова Н.В.

      - Верны ли обратные утверждения ?

1. Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.
2. Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.

Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

- Какова же значимость свойства четности или нечётности функции? Зачем нужно изучать

свойство чётности функций .В план свойств функций свойство чётности вы поставили бы на какое порядковое место

5.Первичное закрепление.

Самостоятельная работа.

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом .      №11.11, 11.21,11.22;     Доказательство геометрического смысла свойства чётности.                                          ***(Задание варианта ЕГЭ ).

            1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого                                      

        неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением  

        функции   g (х) = х(х+1)(х+3)(х-7). Найдите значение функции h (х) =  при х = 3.

7. Подведение итогов.