Программа "Избранные вопросы математики". 9,10,11 класс.
элективный курс по алгебре (9 класс) на тему

Программа курса

«ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ»

9, 10, 11 класс

автор программы

учитель математики

Ермилова Нина Павловна

                                                Пояснительная записка

Цель интеллектуального развития учащихся становится одной из главных целей обучения математике - в соответствии с известным высказыванием М. В. Ломоносова «Математику уже потому изучать нужно, что она ум в порядок приводит».

        Математическая деятельность многогранна. Она позволяет проводить не только обучение математике, давая, учащимся конкретные знания и прививая им конкретные умения, но и осуществлять обучение математикой, В процессе которого развиваются интеллектуальная и эмоциональная сферы человека.

        Уровень сложности предлагаемых вопросов таков, что к их рассмотрению можно привлечь значительное число школьников, а не только наиболее сильных. Для кого-то из учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше, что и предлагает курс  «Избранные вопросы математики».

     При изучении курса не ставится целью выработки, каких – либо специальных умений и навыков, но при достаточно полном рассмотрении вопросов курса, несомненно, появится прогресс в математической подготовке учащихся.

1. Говоря о новизне изучаемой темы, необходимо отметить, что на занятиях решаются математические задачи,  не связанные непосредственно со школьной программой, позволяющие понять практическую значимость изучаемого материала.

Актуальность курса «Избранные вопросы математики» обусловлена необходимостью реализации индивидуальных образовательных запросов, удовлетворения познавательных потребностей.

Педагогическая целесообразность введения данного курса состоит в том, что его содержание и формы организации помогут учащимся через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят им возможность работать на уровне повышенных возможностей.

Обучение по данной программе способствует формированию новых знаний, умений, навыков,  предметных компетенций в области математики и повышению общего уровня математической культуры.

Программа рассчитана для учащихся  9, 10, 11 классов, на 34 учебные недели в течение учебного года. Режим занятий 1 раз в неделю.

Цель курса

1. повысить уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний учащихся;
2. показать непосредственные выходы школьной математики в сферы серьезной   науки и ее приложений;
3. создавать положительную мотивацию при обучении на планируемом или выбранном профиле;
4. активизировать познавательную деятельность школьников;
5. сформировать способность анализировать информацию;
6. развивать самостоятельность учащихся;
7. оказать помощь ученику в оценивании своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.      

4. Отличительные особенности данной дополнительной образовательной программы

Курс «Избранные вопросы математики» предусматривает решение задач, возникавших в практической деятельности человека или в недрах самой науки. Программа рассчитана на знакомство учащихся с задачами, лежащими у истоков различных областей математики или способствовавшими их развитию; имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, намечает и использует целый ряд межпредметных связей. Преимущество данной программы заключается в том, что она позволяет учащимся выйти  за рамки школьного курса математики.

Требования к уровню освоения содержания курса

и ожидаемые результаты

5. Учащиеся должны иметь представление:

о математике как форме описания и методе познания действительности;

Учащиеся должны уметь:

применять приобретенные навыки в ходе решения задач, составлять математические  модели реальных ситуаций,  использовать символический язык алгебры, выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и символику, обнаруживать и анализировать ошибки в рассуждениях, самостоятельно работать с математической литературой; уметь проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

У  учащихся сформированы компетентности:

1. готовность к самообразованию;
2. готовность к использованию информационных ресурсов;
3. готовность к социальному взаимодействию;
4. коммуникативная компетентность;
5. исследовательская компетентность;
6. технологическая компетентность.

Способы определения  результативности

6. Тестирование, работа на семинарских занятиях, самостоятельная работа, результаты ЕГЭ.

                                                         9 класс

 УЧЕБНО – ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

                                                СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

  I  ПРИКЛАДНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОПУЛЯРНЫХ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ

1.1   Инварианты.

Построение правил при решении задач для перехода от одной позиции к другой. Универсальный вариант. Полная система инвариантов.

1.2  Полуинвариант

Нахождение величины, которая в процессе преобразований монотонно изменяется. Дискретная непрерывность.

1.3  Правило «крайнего» в математических задачах

Методы нахождения наибольшего и наименьшего значений. Методы исследования предельных случаев.

1.4  Принцип Дирихле

Роль принципа Дирихле при доказательстве арифметических утверждений. Использование принципа Дирихле в геометрии.

1.5  Теория графов в занимательных задачах

Модели графов на географических картах. Вершины и ребра графов. Свойства степеней вершин графов и их использование при решении задач. Эйлеровы графы. Развитие теории графов в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.

1.6  Занимательные задачи математического содержания о раскрасках

Проблема четырех красок. Задачи о раскраске карт. Двойственные карты.

1.7  Геометрические преобразования при моделировании архитектурных и жилищных объектов

Композиции симметрий. Методы геометрии для нахождения необходимых точек и построения соответствующих линий.

1.8  Понятие о криптографии и криптографическом анализе

Системы шифровки текста. Метод транспозиции с помощью классической системы шифрования в виде решетки. Математические модели зашифровок по системе маршрутных композиции.

Рекомендуемая литература

1. Березина Л.Ю. Графы и их применение.  – М.: Прсвещение, 1979г
2. Генкин С.А., Итерберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. – Киров: издательство «АСА», 1994г.
3. Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов. – Минск: ТетраСистемс. 2001г.
4. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 1991г.
5. Спивак А.В. Математический праздник. Часть III. – М.: Бюро Квантум, 2001г.
6. Тригг Ч. Задачи с изюминкой/Перевод с англ. Ю.Н.Сударева; под ред. и с предисл. В.М. Алексеева. – м.: Мир, 1975г.
7. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Вита – пресс», 2003. – 176 с.   
8. Математика. 8 – 9 классы: сборник элективных курсов. Вып. 1  / авт. – сост.               В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. – Волгоград: Учитель, 2007. – 205 с.
9. Математика. 8 – 9 классы: сборник элективных курсов. Вып. 2  / авт. – сост.               М.Е. Козина. – Волгоград: Учитель, 2007. – 137 с.
10. Экстремальные задачи по геометрии. И. Смирнова, В. Смирнов, Библиотека «Первого сентября»,  математика №2, 2007г.

10 класс

УЧЕБНО – ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

I   ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

1.1 В ответе только целые числа

Особенности диофантовых задач. Современная постановка диофантовых задач. Решение неопределённых уравнений в целых числах.

2. Алгоритм Евклида

 Нахождение целых решений по алгоритму Евклида. Решение диафантовых уравнений непрерывными или цепными дробями.

3. Пифагоровы тройки

Понятие пифагоровых троек. Применение пифагоровых троек при решении диофантовых  уравнений.

4. Уравнения Пелля

Решение диофантовых уравнений в натуральных числах. Уравнение Пелля.

5. Великая теорема Ферма

Основная задача диофантового анализа. Теорема Ферма.

II  МИР КРИВЫХ ЛИНИЙ

2.1  Инверсия

       Инверсия. Свойства инверсия. Решение геометрических задач с помощью инверсии.

2.2  Золотое сечение

 Задачи на построение с помощью золотого сечения.

2.3   Кривые второго порядка

Понятие фокуса и директрисы. Эллипс, уравнение эллипса. Гипербола, уравнение гиперболы. Парабола, уравнение параболы, директриса параболы. Решение задач.

4. Трисекция угла

Понятие трисекции угла. Решение задач на построение.

2.5.   Квадратура круга

  Понятие квадратуры круга. Решение задач на построение.

Рекомендуемая литература

1. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Кн. для учащихся 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1996. – 320 с.
2. Лэнгдон Н., Снейт Ч. С математикой в путь.- М.: Педагогика, 1987.
3. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах (Серия «Популярные лекции по математике»).- М.: Наука, 1983.
4. Оре О. Приглашение в теорию чисел // Серия «Библиотечка «Квант».Вып.3.- М.: Наука, 1980.
5. Дж. Пойа. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. – М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1970
6. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ./ Под ред. и с предисл. В.И. Аршинова, Ю.В. Сачкова. – М.: Мир. 1998
7. Элементарная математика с точки зрения высшей: в 2-х томах.Т.1. арифметика, алгебра, анализ. Т.2. геометрия: Пер. с нем./ Под ред. В.Г. Болтянского – 4-е изд. – М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1987

 11 класс  

УЧЕБНО – ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

     I  ФУНКЦИИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ И ЭКОНОМИКЕ

1. Закон непрерывного (органического) роста.

Начисление банком процентов по вкладу.

2. Непрерывные и разрывные функции в естествознании и в экономике.

Построение математических моделей с использованием непрерывных функций.

     II   ПРОИЗВОДНАЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ И ЭКОНОМИКЕ

     2.1    Основные задачи дифференцирования в естествознании и экономике. 

           Задача о скорости движущейся точки; задача о силе электрического тока; задача о    скорости химической реакции; задача о скорости роста популяции; задача о касательной к данной кривой; задача о производительности труда.

2. Решение  задач на экстремум в естествознании и экономике.

           Истощение ресурсов. Текучесть рабочей силы.Задача на максимальное сопротивление; максимальный размер популяции; задача на нахождение зависимости степени реакции организма на дозу введённого лекарства; задача на определение условий, при которой скорость химической реакции наибольшая; историческая задача Дидоны.

        III   ИНТЕГРАЛ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

         3.1   Основные задачи интегрирования в естествознании

             Задача о пройденном пути; задача о работе переменной силы; задача о нахождении площади.

     3.2   Метод интегрирования в решении задач естествознания

                 Вычисление длины дуги кривой.   Нахождение площади поверхности вращения. Нахождение объёма тела вращения.  Расчёт параметров полёта ракеты. Нахождение центра тяжести системы материальных точек  Решение задачи на нахождение численности популяции Расчёт биомассы популяции  Вычисление средней длины пролёта птиц.                                                                                                                   

IV ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ И ЭКОНОМИКЕ

        4.1   Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 

        4.2   Методы решения дифференциальных уравнений

        4.3   Дифференциальные уравнения в физике

              Радиоактивный распад. Охлаждение тел. Движение моторной лодки. Заряд конденсатора. Падение с парашютом. Равномерно ускоренное движение. Гармонический осциллятор

        4.4    Дифференциальные уравнения в химии

Закон перехода вещества в раствор. Концентрация состава. Химические реакции первого порядка

         4.5    Дифференциальные уравнения в биологии

              Увеличение количества фермента. Изолированная колония организмов. Динамика численности популяций. Модель сезонного роста. Внутривенное питание глюкозой. Теория эпидемий. Рост листьев растения

         4.6   Дифференциальные уравнения в экономике

                        Непрерывный рост населения или его убывание. Регулируемый рост населения. Количество населения на определённую дату. Динамика роста населения по времени.

       Рекомендуемая литература

1. Баврин Н.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике: Кн. для учащихся 10 – 11 кл.- М.: Просвещение, 2000. – 80 с.
2. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М.: Наука, 1987. – 160 c.
3. Бейли Н. Математика в биологии и медицине: Пер. с англ. – М.: Мир, 1970. – 326 с.
4. Виленкин Н.Я. Функция в природе и в технике. – М.: Просвещение, 1985. – 192 с.
5. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов: М.: Высшая школа,1983.- 383 с.
6. Тихонов А.Н., КостомаровД.П..Рассказы о прикладной математике. – Наука, 1979.- 206 с.

Методическое обеспечение программы

7. Основными технологиями развивающего обучения являются проблемно-поисковая, исследовательская технологии. Огромное значение имеет принцип наглядности. Вот эти технологии и принципы обеспечивают реализацию данного курса                

Для передачи теоретического материала наиболее эффективна школьная лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися, демонстрацией видеоматериалов, информацией Интернет – сети. Помимо традиционного изложения могут быть использованы и такие пути реализации содержания курса, как историко-математическая и эстетико-математическая конференции. Формы занятий предусматривают исследовательскую и проектную деятельность учеников. Например, написание сообщений и рефератов на заданную тему, создание сравнительных таблиц, участие в создании рукописных книг, сценариев для слайд-фильмов о выбранном объекте изучения и т. п.

Роль учителя в осуществлении учебной и проектно-исследовательской деятельности учащихся, состоит в консультационной работе, а также организации и координации действий, учащихся при выполнении заданий. Ученикам предоставляется возможность самостоятельного выбора объекта изучения, вида отчётных работ, литературы, по которой они будут готовить собственные работы.

Ученика самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих заданий, рефератов и т. п.

Изучение данного предметного курса завершается итоговой конференцией с сопутствующей выставкой работ учащихся.

Предполагается проведение собеседований, анкетирования с целью мониторинга динамики интереса к изучению курса, интереса к будущей профессиональной сфере.

Данный курс содержит дидактический материал как для учителя, так и для учащихся, а также приводятся возможные варианты организации деятельности учащихся.

Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве
с учителем выполняют различные задания в соответствии со своими познавательными приоритетами и возможностями, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих заданий. Ученики готовят презентации  (программные продукты Microsoft Power Point). Проводятся различные конкурсы, дидактические игры. Применяется программа «Advanced Grapher».