Еженедельные олимпиады по математике в 5-6 классах.
методическая разработка по алгебре (5 класс) по теме

назад

Еженедельные олимпиады по математике в  5 -6 классах.

                         Организация олимпиад.

    Еженедельные олимпиады- это внутриклассная олимпиада , проходящая в течении всего учебного года, по следующей системе. Каждую неделю ученики решают дома 2-3 задачи. Итоги олимпиады проводятся постоянно.

    Призы- (это очень существенно для  учащихся) – книги по математике, грамоты, конфеты и др. Важно не пропустить каждый, пусть даже небольшой успех ученика.

    Итоги конкурса заносятся в ведомость.

    Поскольку конкурс решения задач – это не только олимпиада с призами, но и учебное задание, за решение задач конкурса ставится оценка, а в конце четверти подсчитывается средний балл, который влияет на годовую оценку. В результате ученик может повысить свой результат за участие в олимпиадах. ( Для этого достаточно правильно решить хотя бы одну задачу), или за решение дополнительных задач.

           Помощь учащимся.

     Цель работы учителя, не только научить решать конкретные задачи, но и помочь школьникам ( и это главное) приобрести необходимый опыт и выработать собственную систему эвристических приёмов, позволяющих решать незнакомые задачи. Последняя цель не может быть достигнута быстро. Ученику не следует помогать явно: он должен прилагать самостоятельные усилия.

     Еженедельные олимпиадные задания по математике для 5 класса.

1. олимпиада.

1. Найдите  удобным способом сумму чисел от 99 до 120.                                                          ( 5 баллов).
2. Улитка за день проползает 3 метра вверх, а за ночь съезжает на 2 метра  вниз. За сколько дней она доберётся до вершины шеста , длиной 20 метров?                                                          ( 5 баллов).
3. Имеется кран, из которого можно набирать достаточное количество воды, и раковина, чтобы сливать воду. Можно ли набрать 2л воды с помощью 11-литровой и 7-литровой банок?

                                                        ( 5 баллов).

 Ответы и решения  1 олимпиады.

       1.    Ответ: 3255.

   Решение: найдём сумму 1+2+…+120, создавая пары с равными суммами.(1+120)+(2+119)+(3+118)+…+(60+61). Получится 60 пар. Умножив 121 на 60 , придём к промежуточному ответу 7260. Теперь найдём сумму чисел от 1 до 90:(1+90)*45=4095.

 Тогда (1+2+…+120)-(1+2+…+90)=7260-4095=3165.

Это сумма чисел от 91 до 120. Тогда 3165+90=3255- искомая сумма.

       2.     Ответ: за 18 дней.

Решение: за 17 суток улитка поднимется на 17 м, за 18-й день она проползёт ещё 3м и окажется на вершине.

   3.     Ответ: 2л можно набрать.

Решение: поскольку банки  стеклянные, можно видеть, до какой высоты налита в ней вода. Наполнив бутыль до половины её высоты, мы можем быть уверены, что вода в ней занимает половину её объёма. Опустошим наполовину 11- литровую бутыль. В ней окажется 5,5 л. Затем  отольём половину из 7- литровой бутыли, оставив в ней 3,5 л. Перельём теперь воду из большей бутыли в меньшую, наполнив её до отказа, т.е. добавив в неё 3,5л. Тогда в большей окажется ровно 2л.

2. еженедельная олимпиада по математике , 5 класс.

1. Вася посчитал, что если каждая девочка принесёт по 3 рубля, а каждый мальчик по 5 рублей, все 30 учащихся соберут 122 рубля. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?                                                       ( 5 баллов).
2. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 ученика, в кино и в музей 6 человек, а 2 человека не ходили ни в кино , ни в музей. Сколько человек нашего класса ходили в кино?                                                             ( 5 баллов).

      Ответы и решения 2-й еженедельной олимпиады по математике, 5 класс.

1. Ответ: 16 мальчиков и 14 девочек.

  Решение: пусть х(чел.) – количество мальчиков, тогда всего собрано 5х+(30-х)*3 (руб.), что равно 122 руб. Таким образом, приходим к уравнению:  5х+(30-х)*3=122, корень которого х=16.

Значит, в классе 16 мальчиков и 14 девочек.

2. Ответ: 11 человек.

   Решение: 30-2=28 –человек в классе ходили в кино или в музей, или и туда и туда.

  23-6=17- человек ходили только в музей;

 28-17=11- человек ходили в кино, среди них есть 6 человек, которые ходили и в музей.

       3-я еженедельная олимпиада по математике,  5 класс.

1. На четырёх полках было 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй на третью переставили 15, а на четвёртую поставили 12 книг, то на всех полках книг оказалось поровну. Сколько книг было первоначально на каждой полке?                                    (5 баллов).

2. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2кг 400г. Сколько весит гусёнок?                                              (5 баллов).

     Ответы и решения 3-й олимпиады по математике, 5 класс.

1. Ответ:  56; 55; 25; 28.

 Решение: необходимо учесть, что 4 книги вообще сняты с полок. После всех перестановок на каждой полке оказывается по 40 книг. Выполним обратную перестановку, возвращая книги на свои места:

      40+16=56- книг на первой полке;

     40+15=55- книг на второй полке;

     40-15=25- книг на третьей полке;

    40-12=28- книг на четвёртой полке.

2.      Ответ: 400г.

РЕШЕНИЕ: семь утят и семь гусят весят 4 кг 900г. Значит один утёнок и один гусёнок вместе весят 700 г, а три утёнка и три гусёнка вместе весят 2 кг 100г. Тогда один гусёнок весит 400г.

4. еженедельная олимпиада по математике , 5 класс.

1. Из 24 кг молока получается 3кг сливок.  

 Из 20 кг  сливок получается 4 кг сливочного масла. А из 12 кг сливочного масла получается 9 кг топлёного масла. Сколько килограммов топлёного масла можно получить из 2400 кг молока?

                                              ( 5 баллов).

2. Мама дала своим детям конфеты. Дочери- половину всех конфет и ещё одну конфету. Сыну- половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет дала мама детям?                          ( 5 баллов).

Ответы    и   решения   4  еженедельной   олимпиады .

1.Ответ: 45 кг.

Решение: Из 2400 кг молока получиться 300 кг сливок, из 300кг сливок выйдет 60кг сливочного масла (300:20*4), а из 60кг сливочного масла-45кг топлёного масла (60:12*9).

     Ответ: 22 конфеты.

Решение: Половина остатка, полученного сыном, и последние  пять конфет- это те десять конфет , которые остались у матери после того, как она поделилась с дочерью. Добавим к этим конфетам ещё одну конфету, отданную дочери, получим 11 конфет, которые составляют половину всех конфет, имевшихся первоначально у матери.

5 еженедельная олимпиада по математике , 5 класс.

1. Крестьянка продавала яйца на рынке. Первый человек купил у неё половину яиц и ещё пол-яйца.

Второй-половину остатка и ещё пол- яйца. А третий купил последние 10 яиц. Сколько было яиц первоначально?                                      ( 5 баллов)

2. Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: «Сколько приводишь ты от своего многочисленного стада?»                                             Пастух отвечает: « Я привожу две трети от стада».    Сколько животных в стаде?

                                                           (5 баллов)

Ответы и решения 5 олимпиады.

1.Ответ: 43 яйца.

Решение: Начнём рассуждения с конечного действия. Вернём к десяти оставшимся яйцам пол-яйца и увеличим результат в 2 раза. Таким образом , получим 21 яйцо, от которого второй покупатель купил половину и ещё пол-яйца. Добавим к этому числу яиц половину яйца , увеличим результат вдвое, получим количество яиц , продававшееся на рынке с самого начала.

2. Ответ: 105 быков.

Решение: 70 быков-это и есть  две трети от стада.  Значит, 35 быков составляют одну треть от стада.  35*3=105 – количество быков в стаде.

6 еженедельная олимпиада по математике , 5 класс.

1. В записи  8 8 8 8 8 8 8 8     расставьте между некоторыми цифрами знак сложения так , чтобы получилось выражение , значение которого равно 1000.                                                                   ( 5 баллов)

2. В один сосуд входит 3л, а  в   другой – 5 л. Как с помощью этих сосудов  налить в кувшин 4 л воды из водопроводного крана?                                                                 ( 5 баллов)

Решения и ответы 6 олимпиады.

1. Ответ: 8+8+8+88+888

  Решение: искомая комбинация должна включать не более одного трёхзначного числа. Рассмотрим комбинацию с одним трёхзначным числом и двумя двузначными:8+88+88+888=1072. Сумма превышает 1000, значит, комбинация не подходит. Уменьшив слагаемое 88 , изгнав все восьмёрки одного из слагаемых в разряд единиц:            

 8+8+8+88+888=1000.

2. Решение: Сначала наполним меньший сосуд и из него всю воду перельём в больший. Затем снова наполним меньший сосуд и из него снова будем переливать воду в больший. Перельётся только 2л, а 1л воды останется в меньшем сосуде. Выльем теперь воду из большнго сосуда, а затем перельём в него оставшийся 1л из меньшего сосуда. Теперь останется только наполнить меньший сосуд и все его 3л перелить в больший. В большем сосуде окажется 4л воды.

7  ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ , 5класс.                                                                                                                                           

1. Из  трёх монет одна фальшивая, она легче других. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить , какая именно монета фальшивая?               ( 5 баллов)
2. Для покупки порции мороженого у Пети не хватало семи рублей, а у Маши- одного рубля. Тогда они сложили имевшиеся у них деньги. Но их также не хватило на покупку одной порции мороженого. Сколько стоила порция мороженого?                   ( 5 баллов)

Ответы  и решения 7 олимпиады по математике.

1. Ответ: требуется одно взвешивание.

Решение: положим по одной монете на каждую чашку весов.

 Возможны два случая 1) весы находятся в равновесии, тогда третья монета фальшивая; 2) равновесия нет, в этом случае фальшивая монета там, где вес меньше.

2. Ответ: 7 рублей.

Решение: Если  бы у Пети был хотя бы один рубль, то он дал бы его Маше, и им хватило бы на мороженое ( ведь ей не хватало всего рубля!). Следовательно, у Пети денег не было вообще, а так как ему не хватало на мороженое 7 рублей, то мороженое стоило 7 рублей.        

  ЗАДАНИЯ  8 ЕЖЕНЕДЕЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ , 5 класс.

1. Сумма двух чисел равна 179. Одно из них больше другого на 61.  Найдите эти числа.                    (5 баллов).

2. Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, 200км. Первая машина двигается со скоростью 60 км/ч, вторая- 80км/ч. Чему будет равно расстояние  между ними через 1ч?              (5 баллов).

Ответы и решения 8 олимпиады.

    1.Ответ: 59    и   120.

      Решение: 179-61=118;    118:2=59;    59+61=120.

2. Ответ: возможны четыре случая ( сделайте рисунки):

1)машины едут на встречу друг другу, тогда

200-(60+80)=60(км);

2) машины едут в разные стороны; в этом случае

    200+(60+80)=340(км);

3)    машины едут в одну сторону, вторая догоняет первую, т.е.  

     200+60-80=180(км);

   4) машины едут в одну сторону, вторая впереди:

    200+80-60=220(км).

Ответ: 60км ; 340км ; 180км ; 220км.        

       9 еженедельная олимпиада по математике , 5 класс.

1. В мешке 24кг гвоздей. Как , имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9кг гвоздей?                                                     ( 5 баллов).
2. Восстановите пример:

6*5*-*8*4=2856.                                           (5 баллов).

Ответы      и   решения   9  олимпиады.

1. Основная доступная операция- деление некоторого ( вообще говоря, произвольного) количества гвоздей на две равные по весу кучи. Результаты взвешиваний будем записывать в таблицу: вначале имеем 24кг.

4-й шаг:  6кг+3кг.

2. Ответ: 6750-2894=2856.

           10 еженедельная олимпиада по            математике ,5 класс.

1. Чашка и блюдце вместе  стоят 2500 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 8870 рублей. Найдите цену чашки и цену блюдца.

                                                         ( 5 баллов).

2. Из девяти монет одна фальшивая, она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить , какая именно монета фальшивая?                                           ( 5 баллов).

     Решения и ответы 10 олимпиады.

1)1) 4 чашки и 4 блюдца стоят 10000 руб. , а 4 чашки и 3 блюдца стоят 8870 руб. , следовательно , цена одного блюдца

10000-8870=1130( руб.);

1. цена одной чашки

2500-1130=1370(руб.).

2)Первое взвешивание: положим по 3 монеты на каждую чашку весов. Возможны два случая:

1. имеет место равновесие, тогда на весах только настоящие монеты, а одна фальшивая находится среди тех монет, которые не взвешивались;

  2) если одна из кучек легче, то в ней фальшивая монета. Теперь требуется найти фальшивую монету среди трех имеющихся, что мы уже умеем делать.

       11 еженедельная олимпиада по математике, 5 класс.

1. Расставьте скобки всеми возможными способами, выберите наибольший и наименьший результаты :   100-20∙3+2.                                                                ( 5 баллов)

2.Задумано число, к нему прибавлена 1, сумма умножена на 2, произведение разделено на 3 и от результата отнято 4.  Получилось 6. Какое число задумано?                                         ( 5 баллов)

  Ответы и решения 11 олимпиады по математике, 5 класс.

1.Скобки ставятся для того, чтобы менять порядок действий; порядок действий можно менять шестью способами:

2.Будем решать задачу с конца:

1. от какого числа надо отнять 4, чтобы получить 6 ? От 10
2. Какое число надо разделить на 3, чтобы получить 10?  30.
3. Какое число надо умножить на 2, чтобы получить 30?  15.
4. К какому числу нужно прибавить 1, чтобы получить 15?  14.

Итак, кратко: ( 4+6)∙3:2-1=14.  

Ответ: 14.

12. еженедельная олимпиада по математике, 5 класс.

1. Один биолог открыл удивительную разновидность амёб. Каждая из них через 1 минуту делилась на две. Биолог в пробирку кладёт амёбу, и ровно через час она оказывается заполненной амёбами. Сколько времени  потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амёбами, если в неё вначале положить не одну, а две амёбы?                                                       ( 5 баллов)
2. Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 10 штук, то тетрадей в стопках будет поровну. На сколько больше тетрадей было в первой стопке, чем во второй.?                                                 ( 5 баллов)

   Ответы и решения 12 олимпиады по математике, 5 класс.

1. В начале опыта в пробирке одна амёба, через одну минуту уже две, поэтому  две амёбы заполняют пробирку за  60-1=59 мин.

Ответ: за 59 минут.

2. Первая стопка уменьшилась на 10 штук, вторая увеличилась на 10 штук, после чего высота стопок стала одинаковой. Поэтому первоначальная разница в высоте составляла 10+10=20.  Ответ: 20.

13. еженедельная олимпиада по математике, 5 класс.

1. Известно, что 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина всей книги, если в ней 240 страниц?                                                       ( 5 баллов)
2. Известно, что  4 карандаша и 3 тетради стоят 9600 руб, а 2 карандаша и 2 тетради стоят  5400 руб.  Сколько стоят 8 карандашей и 7 тетрадей?                                           ( 5 баллов)

     Решения и ответы 13 олимпиады по математике, 5 класс.

1. Страниц 240, на каждом листе 2 страницы , следовательно, всего листов 120: их толщина  в два раза больше, чем 60.

 Ответ: 2 см.

2. 3 карандаша и 3 тетради стоят 9600 руб., а 4 карандаша и 4 тетради стоят  10800 руб.  Следовательно, 8 карандашей и  7 тетрадей стоят 20400 руб.

 Ответ: 20400 руб.

  14 еженедельная олимпиада по математике,   5 класс .

1. Три сосуда  вместимостью 20 л наполнены водой, причем в первом- 11 литров, во втором- 7 литров, а в третьем- 6 литров. Как разделить имеющуюся воду поровну,  если в сосуд разрешается наливать только такое количество воды, которое в нём уже имеется?                                                      ( 5 баллов)
2. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30,  затем сосчитал , сколько всего ног, их оказалось 84. Можно ли узнать, сколько гусей и поросят было на скотном дворе?                                                   ( 5 баллов)

    Ответы и решения 14 олимпиады по математике, 5 класс.

1. Решение удобно записать в виде таблицы.

2. Если бы на скотном дворе гуляли одни гуси, то всего было бы 60 ног, « лишние» ноги ( а их 24) принадлежат поросятам – по две на каждого. Следовательно, было 12 поросят и 18 гусей.

Ответ: 12 поросят и 18 гусей.

15. еженедельная олимпиада по математике , 5 класс.

1. Разрежьте треугольник на два треугольника, четырёхугольник и пятиугольник, проведя две прямые линии.              ( 5 баллов)
2. Падая по лестнице с пятого этажа, Алиса насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек она насчитала бы, падая со второго этажа?

( Падение героини сказки Л.Кэрролла « Алиса в стране чудес» обычно оканчивается благополучно…)?                                         ( 5 баллов)

            Ответы и решения 15 олимпиады по математике , 5 класс.

1. Ответ: см. рисунок.

2. Алиса, находясь на пятом этаже, одновременно находилась на « крыше» четвёртого этажа, а находясь на втором этаже- на «крыше» первого. Таким образом, падать с пятого этажа в 4 раза « выше», чем со второго. Следовательно, Алиса насчитала 25 ступеней.

Ответ: 25 ступеней.

                                 6 класс                 .

    1  еженедельная олимпиада по математике ,    6 класс.

1. На какое однозначное число надо умножить              

12345679    , чтобы в результате получилось новое число, записанное одними единицами?                                                  ( 5 баллов).

2. В шестилитровом ведре содержится 4л кваса, а в семилитровом – 6 л  .   Как разделить весь имеющийся квас пополам, используя эти вёдра и пустую трёхлитровую банку?                                                 ( 5 баллов).

    Решения задач  1 еженедельной олимпиады по математике , 6 класс.

1. Проверкой убеждаемся : если число 12345679 умножить на 9, то получится 111111111.

2. Ход решения виден из таблицы:

   2-я  еженедельная олимпиада по математике,  6 класс.

1. Я иду от дома до школы 30 минут, а мой брат- 40 минут. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 минут раньше меня?                                                   ( 5 баллов).
2. Кувшин уравновешивает графин и стакан, два кувшина весят столько же, сколько три чашки, а стакан и чашка уравновешивают графин. Сколько стаканов уравновешивают графин?                                                 ( 5 баллов).

   Ответы и решения 2-й олимпиады.

1. Брат выходит раньше на 5 минут и проходит за это время  1/8 часть пути до школы; за каждую минуту я прохожу 1/30 часть пути , брат 1/40 часть пути, следовательно , я догоняю брата на              1/30-1/40=1/120  часть пути в минуту. Таким образом , я догоню брата через 1/8:1/120=15 минут.
2. Так как кувшин уравновешивает графин и чашку ( далее «=» ),

  то 2 кувшина = 2 графина +2 чашки;

 3 чашки= 4 стакана+ 2 чашки;

4 стакана= 1 чашка.

Следовательно, уравновесят графин 5 стаканов.

       3-я еженедельная олимпиада по математике,  6 класс.

1. Машина едет со скоростью 60 км/ч. На сколько надо увеличить скорость, чтобы километр пути проезжать на одну минуту быстрее?                                               ( 5 баллов).
2. В шахматном турнире участвовало 7 человек. Каждый шахматист сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?                                            ( 5 баллов).  

     Ответы и решения  3-й еженедельной олимпиады по математике, 6 класс.

1. Ответ: это невозможно.

Решение: требуется проезжать километр на минуту быстрее, т.е. в рассматриваемом случае за 0 минут ( при скорости 60 км/ч  машина проезжает километр ровно за 1 минуту) , что невозможно.

2. Ответ: 21 партия.                                                                            

Решение: каждый игрок сыграл 6 партий, т.е. всего сыграно 6*7=42  партии. При этом мы каждую партию считали дважды ( в партии участвуют два игрока!), поэтому в турнире была сыграна

     42:2=21 партия.

4-ая еженедельная олимпиада по математике, 6 класс.

1. За книгу заплатили 5000 рублей и осталось заплатить столько, сколько осталось бы заплатить , если бы за неё  заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит книга?

                                               ( 5 баллов).

2. Племянник спросил дядю, сколько тому лет. Дядя ответил: « Если к половине моих лет прибавить 7, то узнаешь мой возраст 13 лет назад» . Сколько лет дяде?                                             ( 5 баллов).

  Ответы и решения 4-ой олимпиады,         6 класс.

1. Ответ : книга стоит 10000 рублей.

    Решение: из условия следует, что за книгу осталось заплатить 5000 рублей, т.о. книга стоит 10000 рублей.

3. Ответ: дяде 40 лет.

Решение:

 дядя мог сказать и так: « Если к половине моих лет прибавить не 7, а 20, то узнаешь мой возраст не 13лет тому назад, а сейчас».

      Следовательно, половина возраста дяди

       20 лет. Отсюда следует, что возраст дяди            40 лет.

5-я еженедельная олимпиада по математике, 6 класс.

1. Если между цифрами некоторого  двузначного числа вписать 0, то полученное трёхзначное  число в 9 раз больше первоначального . Найдите это двузначное число.                             ( 5 баллов).
2. Найдите сумму чисел:                 1+2+…+870+871.   (5 баллов).

Ответы и решения 5-й олимпиады.6 класс.

1. Ответ: 45.

Решение: последняя цифра двузначного числа не изменилась при умножении на 9, это цифра 5. Сумма цифр трёхзначного числа равна сумме цифр двузначного, следовательно, двузначное число также делится на 9. Первоначальное число 45.

2. Ответ: 379756.

Решение: Запишем сумму с=1+2+…+871 так: с=871+870+…+2+1.

Сложив эти равенства, получим:  

          2с=(1+871)+(2+870)+…+(436+436).

Откуда:    2с=872*871;    с=379756.

   6-я еженедельная олимпиада по математике, 6 класс.

1.Имеется 6 палочек, каждая  длиной по 1см, 3 палочки- по 2см, 6 палочек- по 3см, 5 палочек- по 4см. Можно ли из этого набора составить квадрат, используя при этом все палочки, не ломая их и не накладывая одна на другую?                                                              (5 баллов).

2.Арбуз уравновешивает дыню и свёклу. Дыня уравновешивает капусту и свёклу. Два арбуза весят столько же, сколько три кочана капусты. Во сколько раз дыня тяжелее свёклы?              (5 баллов).

     Ответы и решения 6 олимпиады.

1. Ответ: нельзя.

Решение: сумма длин всех палочек равна 50, у квадрата 4 равные стороны, поэтому число, выражающее периметр квадрата, должно делиться на 4. Число 50 на 4 не делится, следовательно, квадрат из предложенных палочек сложить нельзя.

2. Ответ: дыня = 5 свёклам.

Решение:Арбуз=дыня+свёкла, дыня=кочан капусты+свёкла, следовательно, арбуз=кочан капусты+2свёклы, а

2арбуза=2кочана капусты+4свёклы.

Но 2арбуза=3 кочана капусты, значит,

 3кочана капусты=2кочана капусты+4свёклы, а

Кочан капусты=4свёклы.

 Таким образом, дыня=5свёклам.

      7 еженедельная олимпиада , 6 класс.

1. В соревнованиях по олимпийской системе

( проигравший выбывает) участвует 47 боксёров. Сколько боёв надо провести, чтобы определить победителя?                               ( 5 баллов).

2. В саду растут яблони и вишни. Если взять ½ всех вишен ¼ всех яблонь, то и тех, и других деревьев останется  поровну, а всего в саду 360 деревьев.

 Сколько яблонь и сколько вишен было  в саду?                (5 баллов).

     Ответы и решения 7 олимпиады.

1. Ответ:     46 боёв.

Решение:  Все, кроме победителя, проиграли по одному бою и выбыли из соревнования.

Для этого требуется 46 боёв.

2. Решение и ответ:

Яблонь в два раза больше вишен, следовательно,  их 240, а вишен 120.

   8-я еженедельная олимпиада по математике,

              6 класс  .

1. Коля, Боря,  Вова и Юра заняли в соревновании первые четыре места, причём никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место занял, Коля ответил: « Ни первое, ни четвёртое».  Боря сказал: « Второе», а  Вова заметил, что он не был последним. Какое место занял каждый из мальчиков, если все они сказали правду?
2. Делится ли число 12345678987654321 на 9 ?

    Решения и ответы  8-й олимпиады.

1. Если Боря занял второе место, то Коля ( который по условию не мог занять ни первого, ни четвёртого места), занял третье место; Вова занял не четвёртое место, следовательно , первое, а Юре остаётся четвёртое место.
2. Сумму  цифр 12345678987654321 можно представить так: 2((1+8)+(2+7)+…+(4+5))+9,

      Следовательно, она делится на 9.

Поэтому число 12345678987654321 делится на 9.

          9-я еженедельная олимпиада по         математике, 6 класс.                       

1. Пятеро мальчиков  Андрей, Боря, Володя,  Гена и Дима  имеют  разный возраст : обному 1 год, другому 2 года, остальным 3, 4 и 5 лет.  Володя- самый маленький, Диме  столько лет, сколько Андрею и Гене вместе. Сколько лет Боре?  Чей возраст ещё можно определить?                           ( 5 баллов).
2. Можно ли из чисел 1, 2, 3, … , 11, 12 составить таблицу из 3 строк и 4 столбцов такую, чтобы сумма чисел в каждой из трёх строк была одной и той же ?

                                                                            ( 5 баллов).

      Ответы и решения  9-й олимпиады , 6 класс.

1.  Володя самый маленький – ему 1 год.  Только число 5 можно представить в виде суммы двух других  ( 2+3),  следовательно , Диме 5 лет, Андрею и Гене 2 и 3  соответственно, но неизвестно , кому именно сколько, а Боре может быть только 4 года.

2.Можно, например, такую:

         10-я еженедельная олимпиада по математике, 6 класс.

1. Директор завода обычно приезжает поездом в город в 8 ч. Точно к этому времени подъезжает автомобиль и отвозит его на завод. Однажды  директор приехал на вокзал в 7 ч. и пошёл на завод пешком. Встретив машину, он сел в неё и приехал на завод на 20 минут раньше  обычного. Какое время показывали часы в момент встречи директора с машиной?                                      ( 5 баллов).
2. В двух мешках 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 1/8 часть муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках муки будет поровну. Сколько муки было первоначально в каждом мешке?                                                                   ( 5 баллов).

               Ответы и решения 10-й олимпиады, 6 класс.

1. Инженер приехал на 20 минут раньше, так как  машине не пришлось ехать до вокзала , а затем возвращаться на место встречи с инженером ( 10 минут туда и обратно) , т.е. машине оставалось ехать до вокзала 10 минут, следовательно, встреча произошла в 7ч 50 мин.
2. Если из первого мешка взять 1/8 часть муки, то там останется 7/8 первоначального количества, т.е. 70 кг ( муки в мешках стало поровну!), следовательно , 1/8 – это 10 кг. Таким образом,  в первом мешке первоначально было 80 кг, а во втором – 60 кг.

              11-я еженедельная олимпиада по математике, 6 класс.

1. В одном месяце три среды пришлись на чётные числа . Какого числа в этом месяце будет второе воскресенье?                                                        ( 5 баллов).
2. После 7 стирок длина, ширина и толщина куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько таких же стирок хватит оставшегося мыла?

                                                              ( 5 баллов).

           Ответы и решения 11-й олимпиады, 6 класс.

1.   Если в одном месяце три среды  пришлись на чётные числа, то первая среда это 2-ое число, третья-16-е,  пятая-30-е   число  ( если, например, первая среда это 4, то пятая- 32-е).   Итак, второе воскресенье-13 число.

2.Длина, ширина и толщина куска мыла уменьшилась вдвое, поэтому его объем уменьшился в 8 раз, т.е. за  7 стирок  кусок мыла уменьшился  на 7/8  своего объема ( за одну стирку на 1/8 объема).   Следовательно, оставшегося мыла хватит на одну стирку.

             12-я  еженедельная олимпиада по математике ,  6 класс.

1. Продолжите ряд чисел :  10, 8, 11, 9,  12,  10  до восьмого числа.  По какому правилу он составлен?                                        ( 5 баллов).
2. Из дома в школу Юра вышел на 5 мин позже Лены,  но шёл в два раза быстрее, чем она. Через сколько минут после выхода Юра догонит Лену?                                                    ( 5 баллов).

                              Решения и ответы  12-й олимпиады, 6 класс.

1. Ответ:  10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, 11,… .

 Правило следующее: на нечётных местах ряда стоят последовательные натуральные числа, начиная с 10, а на чётных- начиная с 8.

2.  Пусть за 5 мин     Лена пройдёт расстояние s (км)  Тогда В следующие 5 мин  Юра пройдёт путь 2s (км) , а Лена ещё s (км), т.е. всего 2s (км). Следовательно , через 5 мин Юра догонит Лену.

   13-я еженедельная олимпиада по математике, 6 класс.

1. Ученики двух шестых классов купили 737 учебников, причем каждый купил одинаковое количества учебников. Сколько было шестиклассников и сколько каждый из них купил учебников?

                                                                ( 5 баллов).

2. Пять учеников купили 100 тетрадей.  Коля и Вася купили 52 тетради, Вася и Юра- 43 , Юра и Саша- 34,  Саша и Серёжа- 30. Сколько тетрадей купил каждый из них?              ( 5 баллов).

Ответы и решения 13-й олимпиады, 6 класс.

1. Число 737 можно представить в виде 737=11*67, где 11 и 67 – простые числа. Скорее всего , 67 учеников двух шестых классов купили каждый по 11 учебников  ( случай, когда 11 шестиклассников купили по 67 учебников маловероятен).
2.  Запишем условие задачи в виде:

1. Коля+Вася+Юра+Саша+Серёжа=100 тетрадей,
2. Коля+Вася=52 тетради,
3. Вася+Юра=43 тетради,
4. Юра+Саша=34 тетради,
5. Саша+Серёжа=30 тетрадей.

Решение:1)Коля+Вася+Юра+Саша купили вместе 86 тетрадей, следовательно, Серёжа купил 100-86=14 тетрадей,

2)Вася+Юра+Саша+Серёжа купили вместе 73 тетради, следовательно, Коля купил 100-73=27 тетрадей,

3) Саша+ Серёжа купили вместе 30 тетрадей, следовательно, Саша купил 30-14=16 тетрадей,

4) Коля+Вася купили вместе 52 тетради, следовательно, вася купил52-27=25 тетрдей.

5) Юра+Саша купили вместе 34 тетради, следовательно,  Юра купил 34-16=18 тетрадей.

Вступление.doc