Элементы комбинаторики.Разработка занятия.Тест. Тематическое планирование.
элективный курс по алгебре (8 класс) по теме

Элементы комбинаторики

Из опыта работы учителя математики МБОУ СОШ №15 г. Нерюнгри Республики Саха (Якутия)                                                                                                                Дорошенко Т.Б.

Задача 1: У Незнайки 2 конверта – обычный и авиа и 3 марки – прямоугольная, квадратная треугольная. Сколькими способами он может выбрать марку, чтобы отправить письмо?

Ответ: 6 способов.

Задача 2: У кролика 2 табуретки: красная и зеленая. К нему пришли в гости Винни -Пух и Пятачок. Сколькими способами можно рассадить гостей?

Ответ: 2 способами.

Задача 3: Сколько существует вариантов для того, чтобы разместить на подоконнике цветы – ромашку, фиалку, гвоздику в разной последовательности?

Ответ: 6 вариантов или перестановок.

Задача 4: Учащиеся изучают 3 предмета. В понедельник у них 2 урока и оба разные. Сколькими способами можно составить расписание?

Ответ: соединение из 3 элементов по 2, в независимости от порядка их размещения, т.е. 6 способами.

Задача 5: В городе проводится первенство по футболу между 6 командами. Сколько состоится матчей?

Ответ: соединение из 6 элементов по 2, но каждое соединение должно отличаться хотя бы одним элементом, т.е. состоится 16 матчей.

Задача 6: Сколько различных трехцветных  флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Ответ: перестановки, 6 способов.

Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?

Ответ: сочетания, 455 способами.

Задача 8: Из ящика, где находится 15 шаров, нумерованных последовательно от 1 до 15 требуется вынуть 3 шара. Определить число возможных комбинаций при этом?

Ответ: размещения, 2830 способами.

Задача 9: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?

Ответ: перестановки, 6 способов.

Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте?

Ответ: размещения из 6 элементов по 2, 360 способами.

Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Ответ: сочетания из 10 элементов по 2, 45 способами.

Задача 12: Сколько различных соединений можно составить из букв слова «МИССИСИПИ»?

Ответ: перестановки, 2520 соединений.

Задача 13: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?

Ответ: размещения из 15 по 3, 2730 способами.

Задача 14: Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек. Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек?

Ответ: сочетания из 13 по 4, 715 бригад.

Задача 15: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Ответ: сочетания из 16 по 2, 120 рукопожатий.

Задача 16: Сколько нужно взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2.

Ответ:  не подходит.

Задача 17: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого?

Ответ: сочетание из 30 по 2, 435 фотокарточек.

Задача18: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Ответ: сочетание из 10 по 3; 120 точек

Задача 19: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

Ответ: 107.

Задача 20: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?

Ответ: размещение из 10 по 7.

Задача 21: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых 3 определенных ученика находятся рядом друг с другом?Ответ: 720.

Задача 22: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах. Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли?

Ответ: а)2∙29!; б)28∙29!

Задача 23: Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и 5 членов комиссии. Сколько различных комиссий может быть составлено?

Ответ: председатель и секретарь образуют выборку без повторений, состоящую из 2 элементов исходного множества, содержащего40 элементов. 5 членов комиссии образуют выборку без повторений некоторого состава из исходного множества, содержащего 38 членов. .

Задача 24: Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет, содержащий 2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различных букетов?

Ответ: .

Задача 25: В колоде 36 карт из них 4 туза. Сколькими способами можно сдать 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?

Ответ: .

Задача 26: Строительная бригада состоит из 2 маляров, 3 штукатуров и 1 столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?

Ответ: .

Задача 27: Сколько окружностей можно провести через 10 точек, из которых никакие 4 не лежат на одной окружности и никакие 3 не лежат на одной прямой, если каждая окружность проходит через 3 точки?

Ответ: 120.

Задача 28: Сколькими способами из колоды в 52 кары можно вынуть 6 карт, содержащих туз и короля одной масти?

Ответ: 

Задача 29: В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 женщин. Сколькими способами можно составить 4 смешанные пары?

Ответ: .

Задача 30: Сколько различных наборов по 8 пирожных в каждом можно составить, используя 4сорта пирожных?

Ответ: выбор заданным числом повторений объема 8 набирается из 4 групп однородных элементов, т.е. 165 наборов.

Задача 31: 12 ученикам выданы 2 варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в 2 ряда так, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Ответ: число перестановок левых мест ряда следует        умножить на число перестановок правых мест. Учесть возможность смены левых мест на правые, т.е. 2 (6!)2.

Задача  32: Найти разложении биномов: а) (х+а)6;б) (х+2)5.

Решение: воспользоваться формулой бинома Ньютона для n=6:

Воспользоваться формул бинома Ньютона для n=5, получим

Задача 33: Найти: а) четвертый член разложения (а+3)7; б) средний член разложения ()8

Ответ: а) биномиальный коэффициент будет , тогда четвертый член разложения – ; б) всего в этом разложении содержится 9 слагаемых. Значит, средним будет пятое  произведение – 70а2b2.

Задача 34: Найти член разложения (a+b)9, содержащий a3.

Ответ: Это будет 4 элемент разложения бинома Ньютона, он равен 84a3b3.

Задача 35: Найти сумму биномиальных коэффициентов, если степень бинома равна 10.

Ответ: 1024; разложить по формуле бинома выражение (1+1)10.

Задача 36: Найти номер члена разложения (x+x-2)12, не содержащего x.

Ответ: Номер 4.

Задача 37: Найти номер наибольшего члена разложения (0,9+0,1)100.

Ответ: Наибольшим членом разложения является десятый.

Задача 38: Найти член разложения ()8, который содержит x2 .

Ответ: 28x2 a-4.

Задача 39: Найти наибольший член разложения ()20.

Ответ: 314925∙105 .

Задача 40: Найти члены, не содержащие иррациональности в разложении

( )24.

Ответ: .

Литература

1. Выгодский М.Я., Справочник по элементарной математике; М.: «Наука», 1965г., 424с., с илл.
2. Цыпкин А.Г., Пинский А.И., Справочное пособие по методам решения задач по математике (для средней школы) М.: «Наука», 1983г.,416с.
3. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике (решение задач); М.: «Просвещение», 1989г.; 252с., с илл.
4. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л., Внеклассная работа по математике в школе (книга для учителя) М.: «просвещение», 1984г.;286с., с илл.

Элементы комбинаторики

Из опыта работы учителя математики СОШ №15 Дорошенко Т. Б.

Оглавление:

Курс: «Элементы комбинаторики»(18часов)        

Тематическое планирование        

Краткое изложение        

Разработка по теме: «Основные формулы комбинаторики»        

Тест по теме: «Основные формулы комбинаторики».        

Курс: «Элементы комбинаторики»(18часов)

Цель:

1. Подготовка учащихся к продолжению образования, повышение уровня математической культуры, развитие алгоритмического и научно теоретического мышления.
2. Последовательное изучение основных понятий комбинаторики, раскрытие прикладного значения биномиальных коэффициентов, связанных с исследованием специальных чисел.
3. Подготовка к изучению физики, знакомство с основными понятиями теории вероятностей.
4.  Курс позволяет ознакомить учащихся с логическим строением теории по комбинаторике, обеспечивает основу логического мышления школьников.
5. Важность курса заключается в его прикладной направленности, которая обеспечивается целенаправленным обращением к решению различных примеров и задач.

При подготовке сложного теоретического материала курса сочетались такие принципы, как принцип научности и доступности, принцип активности и сознательности, принцип прочности и наглядности. Эти принципы реализовались через такие методы обучения, как объяснительно – иллюстративный, словесный и практический. Для усвоения материала выбраны занятия в форме – лекции, математического практикума; различные формы работы: групповая, самостоятельная, игровая, что заинтересовало ребят. Учебный материал соответствует возрастным особенностям учащихся. При получении результата по овладению учениками материалом использован опросо – ответный метод, предлагались тесты и анкеты.

Важным для достижения успеха при проведения занятий является стиль работы, который установится в классе. Желательно чтобы этот стиль можно было охарактеризовать как «доброжелательное обсуждение. Надо убедительно показать, почему ответ не верен, если допущена ошибка. Необходимо учитывать принцип воспитывающего обучения, когда отношения учитель – ученик складываются на уроке как доверительные.

Данный материал может быть использован для факультативов, так как материал предназначен не только для общего развития, но и для подготовки будущих специалистов, для раскрытия сложных научных понятий, идей. На занятиях необходимо привить интерес к математике, сделать его четким и устойчивым, занятия должны быть занимательными.

Тематическое планирование

Краткое изложение

При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, располагать эти элементы в определенном порядке. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами.

Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

Комбинаторика изучает соединения, треугольник Паскаля, число Фиббоначи, Бернулли и Эйлера, а так же имеет широкое применение во многих других науках. Это очень интересный и познавательный раздел математики.

Итак,

1. Перестановки - это соединения, отличающиеся порядком элементов Pn-число всевозможных перестановок из n элементов. Pn=n!
2. Размещения - это такие соединения, которые отличаются или количеством элементов, или самими элементами.

 - число размещений, составленных из n элементов по m. 

Amn=n (n-1) (n-2) … (n-m+1)

3. Сочетания – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

 – число сочетаний из n элементов по m.

Всякая совокупность предметов называется в математике множеством.

Множества бывают конечные  и бесконечные.

Конечные множества составляют предмет изучения комбинаторики.

4. Треугольник Паскаля – Это бесконечная числовая таблица «треугольной формы»,  в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

5. Формула бинома Ньютона – для всех действительных чисел a,b и для всех натуральных чисел n имеет следующий вид:

, где  и где коэффициенты называют биномиальными коэффициентами, а так же числом сочетаний и n элементов по k.

Существует связь между числами сочетаний и треугольником Паскаля:

Например:

(a+b)0=1

(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Вывод: строки биноминальных коэффициентов, совпадают с 0 – й, 1 – й, 2 – й, 3 – й, 4 –й и т. д. строками треугольника Паскаля.

6. Свойства биномиальных коэффициентов.

Биномиальный коэффициент – коэффициент при смежных Z в разложении бинома Ньютона. (a+b)n, где Z=akbn-k.

1 свойство: свойство симметрии:

2 свойство: свойство сложения:

3 свойство: 

4 свойство: 

5 свойство:  – это равенство формулы бинома Ньютона.

6 свойство: 

7 свойство:

8 свойство: 

9 свойство: 

10 свойство:  – теорема сложения.

11 свойство: 

12 свойство: , где (n/2 – целая часть числа n/2)

13 свойство:  

14 свойство: при x>-1/4 справедливо , где (n/2) целая часть числа n/2, при x=-1/4 по правилу Лопиталя

Разработка по теме: «Основные формулы комбинаторики»

Цель: ввести основные формулы комбинаторики. Уметь решать примеры и задачи с использованием этих формул.

Метод проведения занятия: Лекция, с элементами самостоятельной работы учащихся.

План занятия:

1. Орг. Момент;
2. Актуализация опорных знаний (повторение);
3. Объяснение;
4. Закрепление (решение примеров, использование ранее изученных формул).
5. Дом. задание.

Ход урока:

1. Комбинаторика изучает, количества комбинаций, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При решении комбинаторных задач часто используют формулы комбинаторики. Рассмотрим наиболее употребительные из них.

Вопрос: Вспомните базовые понятия комбинаторики, с которыми вы познакомились на прошлом занятии.

Ответы: 

1. Перестановка.
2. Размещение.
3. Сочетание.

2. Перейдем к решению задач:

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение только один раз? (P3=6)
2. Сколькими способами можно разместить пассажиров в, четырехместной каюте?
3. Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

3. Закрепление формул с помощью следующих примеров:

Вычислить:

1. ;
2. ;
3. ;

1. ;
2. ;

1. ;
2. ;

1. ;
2. ;
3. проверить равенство ;

4. Решение уравнений с использованием формул комбинаторики.

При решении не забывать, что x – положительное число.

Задачи:

1. Сколько нужно взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 12 раз больше, чем, число размещений из них по 2?
2. Определить , если дано, что ?

5. Итог урока:

Закрепили изученные формулы комбинаторики.

Дома:

1. Вычислить:

2. При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? [ответ: ]
3. Группа учащихся в 30 человек пожелала поменяться своими фотокарточками. Сколько всего карточек потребовалось для этого? [ответ: ]
4. Сколько различных плоскостей можно провести через 10точек. Если никакие три из них не лежат на одной прямой, и никакие четыре не лежат в одной плоскости? [ответ: ]

Вопросы к ребятам:

1. С каким разделом математики вы познакомились?
2. Что изучает комбинаторика?
3. Какие базовые понятия комбинаторики вы узнали?
4. Понравилось ли вам изучение этой темы?

Тест по теме: «Основные формулы комбинаторики».

Цель: Выявить эффективность усвоения изученной темы.

1. Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов:

1. *безразлично какой природы, заданного конечного множества
2. оговоренной природы бесконечного множества

2. Перестановки – комбинации, составленные из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся,

1. *только порядком их расположения
2. хотя бы одним элементом

3. Размещение – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются:

1. и составом элементов, и их порядком
2. *либо составом, либо их порядком

4. Сочетание – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются:

1. *хотя бы одним элементом
2. порядком их расположения

5. Число всех возможных перестановок имеет обозначение и формулу для вычисления:

1.  
2. *
3. *

6. Число всех возможных размещений вычисляется по формуле:

2. *

7. Для того, чтобы найти число сочетаний надо воспользоваться формулой:

1. *

8. Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

3. *

9. Число размещений из 10 элементов по 3 равно:

1. 360
2. *720
3. 5040

10. Число сочетаний из 12 элементов по 6 имеет следующее значение:

1. 720
2. 1024
3. *924

«Звездочкой (*) отмечены верные ответы.