Олимпиадные задания по математике
олимпиадные задания по алгебре по теме

Олимпиадные задания муниципального тура по математике

для обучающихся 7 – ых классов

Имеется 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. По виду все пластинки одинаковые, но одна из них легче других. Как с помощью двух взвешиваний найти более легкую пластинку?

Как разрезать квадрат 5 x 5 прямыми линиями так, чтобы из полученных частей можно было составить 50 равных квадратов? Не разрешается оставлять неиспользованные части, а также накладывать их друг на друга.

Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами.

Об этом числе известно следующее:

- если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;

- первая цифра больше  последней в 4 раза.

Сколько лет старику Хоттабычу?

5 школьников приехали из 5  различных городов в Архангельск на областную математическую олимпиаду. «Откуда вы,  ребята?» - спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них.

       Андреев: «Я приехал из Онеги, а Григорьев живет в Каргополе».

       Борисов: «В Каргополе живет Васильев. Я же прибыл из Коряжмы».

       Васильев : «Я прибыл из Онеги, а Борисов – из Котласа».

       Григорьев : «Я прибыл из Каргополя, а Данилов из Вельска».

      Данилов : «Да, я действительно из Вельска, Андреев же живет в Коряжме».

   Хозяева очень удивились противоречивости ответов приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное,  а другое ложное. Но по их ответам вполне можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник?

Решение

Разделим 9 пластинок на три кучки по 3 пластинки. Произведем первое взвешивание : положим 2 кучки по 3 пластинки на каждую чашку весов. Возможны 2 случая :

а) весы находятся в равновесии, тогда на весах находятся настоящие пластинки; фальшивая пластинка находится среди тех, которые не взвешивались;

 б) равновесия на весах нет; тогда фальшивая пластинка среди тех пластинок, где кучка легче.

Определив, таким образом,  кучку с фальшивой пластинкой, выполним с ней второе взвешивание. Возьмем из трех пластинок любые две и положим их на чашки весов. Снова возможны 2 случая :

 а) весы находятся в равновесии, тогда фальшивая пластинка оставшаяся;

 б) равновесия на весах нет; в этом случае фальшивая пластинка там, где вес меньше.

Сначала квадрат 5 x 5 разрежем на 25 квадратов 1 x 1, затем каждый из полученных квадратов разрежем по диагонали на 4 треугольника, из которых,  прикладывая большие стороны двух треугольников друг к другу, можно получить по 2 квадрата(см. рис. 1).

                    1                                                         А

        А                          В        

                                                     = >                      1                

             11

                                                        В

                                      Рис. 1

Так как после зачеркивания получается наибольшее число с суммой цифр 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4. Так как первая цифра больше последней в 4 раза и все цифры различные, то первая цифра будет 8, а последняя 2. В результате полученное число 8942.

Ответ: старику Хоттабычу 8942 года.

Пусть у Андреева первое утверждение верное, то есть он из Онеги. Тогда Григорьев живет не в Каргополе. Поэтому второе утверждение Данилова – ложное, значит, он из Вельска. Тогда первое утверждение Григорьева – ложно. Так как Андреев из Онеги, то первое утверждение Васильева ложно, поэтому Борисов – из Котласа. Так как Григорьев не из Каргополя, то останется, что он из Коряжмы, а Васильев из Каргополя.

Ответ; Андреев из Онеги, Борисов из Котласа, Васильев из Каргополя,

Григорьев из Коряжмы, Данилов из Вельска.