Олимпиадные задания по математике для 9,10,11 классов
олимпиадные задания по алгебре по теме

Олимпиада по математике в 9 классе.

№1

Решите уравнение:

х6 – 2х5 – 2х4 + 6х3 – 7х2 + 8х – 4 = 0                                                    

10 баллов

№2

Задача. В зрительном зале клуба было 320 мест. После ремонта число мест в каждом ряду увеличилось на 4 и, кроме того, в зале добавился ещё один ряд. Сколько стало рядов в этом зале, если после ремонта стало 420 мест?

10 баллов

№3

Задача. В остроугольном треугольнике АВС проведена биссектриса AD и высота ВЕ. Докажите, что угол СЕD больше 45о.

25 баллов

№4

Число N, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3. Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.

30 баллов

№5

Задача. При изготовлении партии из 5 монет, работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?

25 баллов

Олимпиада по математике в 10 классе.

№1

Решить неравенство:

                                       5|х + 4| < 25|х|

15 баллов

№2

Упростить выражение:

10 баллов

№3

При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a+b и an+bn – целые?

20 баллов

№4

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника АВС проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

25 баллов

№5

Известно, что , и . Докажите, что .

30 баллов

Олимпиада по математике в 11 классе.

№1

Найдите производную функции:

10 баллов

№2

Решить неравенство:

15 баллов

№3

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

25 баллов

№4

Докажите, что если натуральное число N представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.

25 баллов

№5

В тетраэдре ABCD из вершины А опустили перпендикуляры АВ`, AC`,AD` на плоскости, делящие двугранные углы при рёбрах CD, BD, BC пополам. Докажите, что плоскость B`C`D` параллельна плоскости BCD.

25 баллов