Элементы комбинаторики 9 класс
презентация к уроку по алгебре (9 класс) по теме

Слайд 1

Элементы комбинаторики Никандрова И.А. МБОУ «Лицей 10» г . Великие Луки

Слайд 2

Примеры комбинаторных задач Задачи , решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций , называются комбинаторными Раздел математики , в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой Слово «комбинаторика» от латинского combinare - «соединять , сочетать»

Слайд 3

Пример 1 Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека-Антонов, Григорьев , Сергеев и Федоров , тренер выделяет пару для участия в соревнованиях . Сколько существует вариантов выбора такой пары? АГ, АС, АФ ГС, ГФ СФ Значит, всего существует шесть вариантов выбора Способ рассуждений , которым мы воспользовались , называют перебором возможных вариантов

Слайд 4

Пример 2 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 ,используя в записи числа каждую из них не более одного раза? Чтобы ответить на вопрос задачи , выпишем все такие числа . Полученные результаты запишем в четыре строки , в каждой из которых шесть чисел: 135 137 153 157 173 175 315 317 351 357 371 375 513 517 531 537 571 573 713 715 731 735 751 753

Слайд 5

Способ второй Проведенный перебор вариантов проиллюстрирован на схеме Такую схему называют деревом возможных вариантов

Слайд 6

Способ третий Первую цифру можно выбрать четырьмя способами . Так как после выбора первой цифры останутся три , то вторую цифру можно выбрать уже тремя способами. Наконец , третью цифру можно выбрать двумя способами. Следовательно , общее число искомых чисел равно произведению 4*3*2,т.е.24 Использовалось комбинаторное правило умножения: Пусть имеется п элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать п1 способами, после чего второй элемент можно выбрать п2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать п3 способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению п1 · п2 · п2 · … · пk .

Слайд 7

Пример 3 Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги , из города С до пристани-две дороги . Туристы хотят проехать из города А через В и С к пристани . Сколькими способами они могут выбрать маршрут? Решение: 2*3*2=12

Слайд 8

Задачи 1. В кафе предлагают два первых блюда :борщ , рассольник-и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель . Построить дерево возможных вариантов 2. Стадион имеет четыре входа: А, В, С, D . Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов? Ответ:12 способов 3. Используя цифры 0,2,4,6 составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются.

Слайд 9

Задачи 4. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно? Ответ:36 партий 5. При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? Ответ:28 рукопожатий 6. Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 учащихся? Ответ:552 фотографии

Слайд 10

Задачи 7. В кафе имеются три первых блюда , пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед , состоящий из первого , второго и третьего блюд? Ответ:30 способов 8. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять видов брюк , шесть камзолов , три шляпы , две пары сапог . Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов? Ответ:180 костюмов

Слайд 11

Перестановки Простейшими комбинациями , которые можно составить из элементов конечного множества , являются перестановки Число перестановок из n элементов обозначают символом Р n( читается «Р из n ») Для произведения первых n натуральных чисел используют специальное обозначение: n! ( читается n факториал) 2!=2; 5!=120; 1!=1

Слайд 12

Примеры задач Таким образом , число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: Р n = n ! Пример 1 . Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Р 8 =8!=40320 Пример 2 . Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6? Из цифр 0,2,4,6 можно получить Р 4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки , которые начинаются с 0.Получаем: Р 4 -Р 3 =4!-3!=18

Слайд 13

Пример 3. Имеется 9 различных книг, четыре из которых- учебники . Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так , чтобы все учебники стояли рядом? Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9,а 6 книг . Это можно сделать Р 6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р 4 перестановок учебников. Значит , искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р 6 *Р 4 . Получаем: Р 6 *Р 4 =6!*4!=720*24=17280

Слайд 14

Задачи 1. Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке? Ответ:24 2. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать? Ответ:5040 3. Сколько шестизначных чисел(без повторения цифр) можно составить из цифр: а)1,2,5,6,7,8; б)0,2,5,6,7,8 ? Ответ : а)720;б)600 4. В расписании на понедельник шесть уроков:алгебра,геометрия,биология,история,физкультура,химия.Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так , чтобы два урока математики стояли рядом? Ответ:240

Слайд 15

Задачи 5. Делится ли число 14! На: А)168; б)136;в)147;г)132? 6. 7. Ответ на 6) :15; 1 /90 ; 1722; 40

Слайд 16

Проверочная работа 1 вариант 2 вариант 1. Комбинаторные задачи 2. Способы решения комбинаторных задач 3. Вычислить 1. Перестановки , формула 2. Комбинаторика 3.Вычислить

Слайд 17

Размещения Пусть имеется 4 шара и 3 пустых ячейки . В пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора шаров . Выбирая разными способами первый , второй и третий шары , будем получать различные тройки шаров . Каждую упорядоченную тройку , которую можно составить из четырех элементов , называют размещением из четырех элементов по три Размещением из n элементов по к (к

Слайд 18

П римеры 1. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета? В этом примере речь идет о размещениях из 8 элементов по 4. Имеем: 2. Сколько трехзначных чисел ( без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6? Среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число . Поэтому:

Слайд 19

Задачи 1. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? Ответ: 24 2. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: 870 3. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить, кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим? Ответ: 2730 4. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места: а)2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий? Ответ: 30;360;720

Слайд 20

Сочетания Сочетанием из n элементов по к называется любое множество , составленное из данных n элементов В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения , в каком порядке указаны элементы .Два сочетания из элементов по к отличаются друг от друга хотя бы одним элементом Обозначают Читают «С из n по к» Формула числа сочетаний из n элементов по к ,где к

Слайд 21

Примеры 1. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор? Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным. Значит , здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3 Имеем: 2. Из вазы с фруктами, в которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор? Имеем:

Слайд 22

Задачи 1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? Ответ:21 2. Учащимся дали список из 10 книг , которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг? Ответ:210 3. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать? Ответ:400400 4. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала? Ответ:720

Слайд 23

Самостоятельная работа 1 вариант 1. Сколькими способами 9 участников конкурса могут выступить в порядке очередности в финале ? 2. Делится ли число 40! н а: а)410;б)500;в)780? 3. Используя цифры 0,3,7,8 составьте все возможные двузначные числа, в которых цифры не повторяются 4. В городской думе 10 депутатов моложе 30 лет. Сколькими способами можно выбрать из них троих для работы в комитете по молодежной политике? 2 вариант 1. Курьер должен развести пиццу по шести адресам. Сколько маршрутов он может выбрать? 2. Делится ли число 50! н а: а )400;б)98;в)510? 3. Используя четные цифры 0,2,4,6,8, составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются 4. В группе 9 студентов хорошо владеют иностранным языком. Сколькими способами можно выбрать из них четверых для работы на практике с иностранцами?

Слайд 24

Ответы 1 вариант 1. 9!=362880 2. а) нет б) да в) да 3. 30 70 80 37 73 83 38 78 87 4. 120 2 вариант 1. 6!=720 2. а) да б) да в) да 3. 48 чисел 4. 126