Трансляция опыта по теме: «Элементы модульной и информационных технологий обучения на уроках математики».
методическая разработка по алгебре по теме

Переход к сложным видам человеческой деятельности предъявляет принципиально иные требования к индивиду. Цели современной системы образования лежат в области воспитания свободной, творческой личности, способной решать нестандартные интеллектуальные и нравственные задачи.

В этих условиях необходим новый способ обучения: содержанием знаний должны стать научные понятия, художественные образы, нравственные ценности, правовые формы. Но они не могут быть заданы в готовом виде, ребёнок должен самостоятельно осуществить исследовательскую деятельность, в рамках которой происходит развитие психических функций и личности ребенка.

В связи с этим я поставила перед собой задачу: найти такую систему обучения, при которой можно было бы создать среду развития личности ребёнка. В какой-то мере её решают личностно-ориентированные и развивающие технологии, к группе которых относятся модульное обучение и развивающее обучение. Так же я применяю методические приёмы коммуникативно-диалоговой деятельности и проектирования, то есть личностно-направленных технологий, которые как считает И.С. Якиманская, позволяют «перевести обучение на субъективную основу с установкой на соморазвитие личности». Основными принципами   моей системы работы являются следующие:

1. не давать готовых определений, алгоритмов и схем;
2. научить кратким записям ( составление схем, таблиц, формул );
3. научить пользоваться математической символикой;
4. учить логически мыслить (обобщать, систематизировать, делать выводы );
5. научить пользоваться дополнительными источниками информации;
6. создавать комфортную обстановку для работы учеников;
7. четкая структура урока;
8. максимальная обратная связь через выполнение устного счёта,
   математических диктантов, самостоятельных работ, тестовых заданий,
   контрольных работ, диалог;
9. знать психологические особенности учеников;
10. создавать атмосферу творчества.

Для достижения чёткой структуры урока, максимальной обратной связи, комфортной обстановки, самостоятельной деятельности подходит модульное

обучение. А для того, чтобы научить составлять схемы, таблицы, формулы, мыслить от общего к частному, делать выводы я применяю элементы развивающего обучения. Поэтому систему моей работы можно отнести к интегрированию технологий.

Система работы по модулю предусматривает структуирование курса по темам, подтемам и количеству часов. Изучив авторские методики, литературу по модульной технологии, рекомендации и педагогический опыт коллег, в течение последних лет я активно внедряю элементы данной технологии в учебный процесс.

Я разрабатываю модули, - законченные единицы обучения, состоящие из этапов ( учебных элементов). Ставлю обобщённую цель ко всему модулю. Модуль может соответствовать всей теме или только той её части, с которой ученики готовы работать самостоятельно, так как в 6, 7 классах ещё не достаточно сформированы навыки самостоятельной обработки информации. Но в старших классах основные общеучебные навыки сформированы в достаточной степени, поэтому модуль может охватывать целую тему, так как я согласна с тем, что « дидактической единицей изучения любого предмета является содержание темы, а не урока».

Цели формулируются и к каждому этапу. Предусматриваю разминочный этап, который проходит в виде устного счёта, предложенного учителем, или устного счёта, который является проектной работой ученика. Так же это может быть взаимопроверка таблицы умножения или техника вычислений. Первым этапом модуля чаще всего является вводный контроль. Обычно это математический диктант или самостоятельная работа на 7-10 мин. Во время этого этапа происходит одновременно повторение, коррекция и контроль ЗУН. Результаты этого этапа показывают, насколько учащиеся готовы к работе с данным модулем. Далее следуют этапы, количество которых различно, и зависит от величины модуля. Каждый этап имеет свою цель: получения новых знаний или умений, или коррекции ЗУН, или систематизации и т.д. Все они содержат задания, которые необходимо выполнить учащимся и указания по их выполнению, причем все это рассчитано на учащихся со средними способностями, ребята с высоким интеллектом или имеющие холерический и сангвинический темперамент работают гораздо быстрее. В модуле я это предусматриваю, и даю дополнительные нестандартные задания.

Медлительным помогаю, тем более, что уже имею результаты проверки первого этапа, и знаю, кому необходима помощь. Добиваясь реализации цели, мои ученики изучают текст учебников, дополняют и составляют самостоятельно схемы и опорные конспекты, заполняют таблицы, делают выводы, составляют алгоритмы.

Работа со сложными этапами проводится под моим руководством, при этом сильные ученики могут работать самостоятельно и с дополнительными материалами.

В результате к концу урока, то есть к последнему этапу весь класс приходит одновременно. И если есть необходимость, то отдельные этапы проговариваются,

если   нет,  то  учащиеся  самостоятельно   оценивают  свою  работу.   Ответы   к заданиям находятся в конце модуля, критерии оценки там же.

Составляя задания, я использую материалы учебника, дидактические материалы и обязательно предлагаю задания творческого характера, при выполнении, которых ребята не только показывают знания материала, но и своё отношение, и свои пути решения проблемы.

На различных этапах предусматриваются и другие виды работ, например, с другими источниками информации: альтернативными учебниками и дополнительной литературой. Иногда в модулях я даю алгоритмы выполнения некоторых заданий или структуру конспекта, который ученики должны дополнить, работая самостоятельно с учебником. Я считаю это очень важным, потому что лишь немногие ребята могут все делать полностью самостоятельно, к тому же этим я могу обратить внимание учеников на главное.

Анализ показывает, что информация полученная на таких нетрадиционных уроках особенно хорошо воспринимается школьниками и надолго остаётся в памяти.

Есть разные мнения о целесообразности использо вания компьютерных технологий в образовании, но этот вопрос представляется в значительной мере ре шенным. Компьютерные технологии являются мощ ным информационным средством, доступным и ин тересным для детей, поэтому они уже участвуют в про цессе образования. Вообще влияние новых техноло гий на образование неизбежно и мало зависит от же ланий и усилий педагогов. Поэто му использование компьютеров в школьном образо вании (в том числе и математическом) следует при знать неизбежным. Остается определить наиболее эффективный способ применения компьютерных технологий в образовании, найти ответ на два воп роса: «Какие задачи математического образования должен помочь решить компьютер, и какова техно логия их решения?»

Исходя из этих соображений, перспективным представляется такое построение учебного компью терного продукта, чтобы он обеспечивал следующее:

1. имитацию занятий  (уроков или лекций);

1. контроль учащимися своих знаний (должна быть  разработана система заданий и тестов с оценивани ем — не обязательно традиционным — результатов);
2. возможность расширения знаний вне учебной программы   (наличие в программе справочника, углубленного материала);
3. индивидуальную программу обучения для каж дого пользователя.

Использование компьютерных технологий дает возможность индивидуализа ции образования, повышения мотивации и эффективности обучения. Наряду с оптимизацией образовательного процесса для конкретного ученика использование компьютеров на уроках и во внеурочной деятельности может создать уникальную информационную среду.

Основные принципы компьютерного обучения:

при компьютерной форме обучения сохраняются все основные закономерности учебного процесса, в том числе и дидактические принципы. Среди дидактических принципов рассмотрим лишь те, которые являются наиболее характерными и имеют специфические способы реализации и  особые функции при компьютерной форме обучения. К ним относятся следующие принципы: научности, сознательности, доступности (посильности), активности, систематичности и последовательности, прочности усвоения, наглядности.

Важное достоинство компьютера как инструмента деятельности преподавателя заключается в том, что благодаря постоянной регистрации параметров учебного процесса он позволяет выявить характер и подвергнуть анализу деятельность обучаемого, построив на этой основе индивидуальную систему гибкого управления обучением для каждого учащегося.

Принцип сознательности в условиях компьютеризированного учебного процесса обеспечивается возможностью сознательного выбора обучаемым собственной стратегии достижения учебной цели, а также предоставлением обучаемому широкого спектра программного обеспечения, использование которого способствует повышению осознанности в действиях обучаемых и улучшению качества усвоения материала. Преимуществом компьютера является то, что он предоставляет информацию по запросу учащегося именно в тот момент, когда обучаемый осознает ее необходимость. Поскольку такая информация вычленяется в качестве промежуточной цели в действиях учащегося, ее усвоение происходит сознательно и характеризуется наиболее высокими показателями.

Принцип активности обучаемого изначально заложен в процесс компьютерного обучения, так как инициатором работы за компьютером всегда является пользователь. В условиях компьютеризированного учебного процесса принцип активности обучаемого трансформируется в специфический для компьютерной формы обучения принцип интерактивности.

Эти принципы наиболее ярко просматриваются в процессе научно-исследовательской  работы. Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего его мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков. Ведь одного желания, как правило, не достаточно для успешного решения поисковых и исследовательских задач. Эффективность исследовательской деятельности зависит и от меры увлеченности этой деятельностью, и от умения ее выполнять. Представляется необычайно полезным прививать школьникам вкус к исследованию, вооружать их методами научно-исследовательской деятельности. Важно так организовать учебную работу детей, чтобы они ненавязчиво усваивали бы процедуру исследования, последовательно проходя все его основные этапы:

1. мотивация исследовательской деятельности;
2. постановка проблемы;
3. сбор фактического материала;
4. систематизация и анализ полученного материала;
5. выдвижение гипотезы;
6. проверка гипотезы;
7. доказательство или опровержение гипотез.
8. защита  работы.

Опыт показывает, что эффективным средством обучения и развития является организация учебных исследований, цель которых состоит в том. чтобы помочь учащимся самостоятельно открыть новые знания. Математика должна рассматриваться не как предмет с набором готовых знаний, а как специфическая деятельность человека. И в этом незаменимым помощником становиться компьютер.

Принцип доступности при компьютерном обучении реализуется благодаря широким возможностям компьютера по предоставлению учащимся вспомогательной справочной информации и индивидуальной информационной поддержки. Школьный курс математики должен быть таким, чтобы любой, освоивший его, мог перевести несложную практическую задачу на математический язык, предложить алгоритм решения и снова перевести математический  результат  на язык практики. Дать такие знания учащимся не возможно, оставаясь в рамках только традиционных курсов математики.

Принцип наглядности в условиях компьютеризированного учебного процесса реализуется в перекрестно-связанной форме представления материала, построен ной на символических системах формы, цвета и текста. При компьютерной фор ме обучения расширяются дидактические функции наглядности, поскольку кро ме традиционных функций восприятия, представления и систематизации мате риала, создания коммуникативных ситуаций и психологической атмосферы на глядность выполняет активизирующую, сигнальную и моделирующую функции.

Компьютер позволяет в рамках одного средства обучения реализовать практи чески все виды вербальной и невербальной наглядности за счет использования:

1. статических визуальных средств (тексты, фотографии, рисунки, схемы, гра фики, таблицы);
2. динамических визуальных средств (мультипликация, видеодорожка);
3. аудитивных средств (музыкальное, шумовое и текстовое сопровождение);

•        их сочетаний (озвучивание предъявляемого на дисплее текста, видеофильм).

Возможность модификации баз данных может рассматриваться в качестве одного из преимуществ компьютера по сравнению с другими средствами обучения по нескольким причинам.

Во-первых, при тенденции использования в процессе обучения  современных данных различного содержания преподаватель получает возможность постоянного обновления учебного материала.

Во-вторых, преподаватель может адаптировать и дополнять уже заложенные в базу данных программы материалы, не только приводя их в соответствие возрасту  и интересам обучаемых, но и интегрируя содержание программ в зависимости от социально значимых ценностей учащихся.

   При составлении разработки урока с использованием компьютерных технологий необходимо:

1. Анализ учебной программы. Выбор тем и конкретных уроков, на которых на иболее целесообразно использование компьютерных технологий
2.  Анализ выбранного урока. Выбор средств обучения. Определение последовательности их использования. Формулировка заданий для учащихся по использованию средств обучения.

1. Требования к подготовке дидактического материала. Отбор информации. Выбор программного обеспечения для создания дидактического материала.

3. Разработка структуры урока. Последовательное разложение материала в смысловые блоки. Выделение блоков, при изучении которых планируется ис
   пользование компьютерных технологий.

Традиционное школьное оценивание, как средство суждения о предпосылках школьника, существует уже несколько столетий. За один учебный год школьник решает приблизительно 200 задач и заданий, в которых подвергается традиционному школьному оцениванию. В ходе посещения основной школы он оценивается до 2000 раз! А это столь высокая частотность оценки, с какой мы уже никогда не встречаемся в дальнейшей жизни ни в одной профессии.

Как следствие, в дальнейшем обнаруживается следующая характерная черта, заключающаяся в том, что у отдельных учеников относительно рано устанавливается стабильность оценок. Определённый индивид начинает относительно скоро быть оценённым преимущественно только как отличник, другой – как средний ученик, следующий встречается большей частью с плохими отметками. Аккумуляция оценочных суждений, следующих преимущественно только в одном направлении, преобразуется в самооценку ученика, в его представление о самом себе, о том, каким школьником он является. Это находит отражение даже и в его интересах: ученик, большей частью оцениваемый только плохими оценками, избегает деятельности, которая у него ассоциируется с накоплением негативных суждений, делая это таким образом, что, насколько возможно, физически уклоняется от неё, а если нельзя, то тогда психически. Он становится апатичным, думает, о чём-нибудь другом, принижает значение учебной деятельности и т.д., результаты вторгаются и в сферу отношений. Комплекс всего этого отражается, разумеется, и на дальнейшей продуктивности, и она, в свою очередь, подтверждает и усиливает начавшуюся тенденцию оценивания и т.д. В вопросе о диагностическом компоненте учебного процесса в наибольшей степени сконцентрированы многие противоречия и нерешённые проблемы школы.

Поскольку деятельность учителя бесплодна без встречной деятельности учащихся, то диагностическая деятельность учителя неэффективна без контрольно-оценочной деятельности учащихся. Поэтому, говоря о диагностической деятельности, различают два её вида:

1. Внешняя контрольно-оценочная деятельность, осуществляемая учителем;
2. Внутренняя контрольно-оценочная деятельность, осуществляемая самими учащимися.

Эти два вида взаимосвязаны. Вся диагностическая деятельность состоит из отдельных видов контроля и оценки. В каждом таком виде есть объект контроля и оценки и эталон, с которым сравнивается объект. Объектом контроля и оценки может быть факт выполнения учеником какого-то действия, уровень его знаний, умений, навыков, развитие какого-то качества и т.д. А эталоном – представление учителя о нормативном характере объекта контроля, т.е. определение, правило, алгоритм выполнения действий и т.д.

П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызин и многие другие психологи говорят о контроле, о контрольно-корректировочной части действия или деятельности, зачастую даже не упоминая слово «оценка» (хотя она, конечно, предполагается), включая в диагностический процесс ещё один процесс-корректировочный. Т.К. производя контроль какого-то действия ученика, уровня его знаний, умений, навыков или какого-либо его личностного качества, учитель, естественно, принимает в случае необходимости меры для коррекции проведённого объекта. Эти меры могут состоять в даче индивидуального задания, в прикреплении к этому ученику другого ученика-консультанта и т.д. Но какие-то меры учитель или сам ученик, несомненно принимает.

Таким образом, диагностика состоит из трёх процессов (взаимосвязанных): контрольного, оценочного и корректировочного и следующих элементов: а) цель контрольно-оценочного процесса; б) объект контроля, оценки и коррекции; в) эталон, с которым сравнивается, сличается объект; г) результат контроля; д) критерий оценки; е) оценка в форме развёрнутой характеристики контроля с точки зрения выбранного критерия; ж) отметка; з) средства коррекции; и) результат коррекции как новый объект контрольно-оценочной деятельности.

Я использую два вида оценки, в зависимости от цели, которую перед собой ставлю :

1. Констатирующая, с помощью которой устанавливается факт выполнения учащимися какого-либо задания, наличие чего-либо. В этом случае результат  выражается в форме бинарной оценки: «зачет», «не зачет», «+» и «-« и т.д. Корректировка в этом случае состоит в выполнении задания, если оно не было выполнено и т.д.
2. Проверяющая, с помощью которой выясняется, как овладели учащиеся каким-либо знанием, умением, навыком. В этом случае внешний контроль состоит из трёх процессов: контрольного, оценочного, корректирующего.

В своей работе в средних и в старших классах применяю различные формы контроля и оценки знаний учащихся. Контроль за усвоением изученного обычно начинается с проверки домашнего задания. Я осуществляю её в разных формах. Например, самопроверка по образцу. Те, у кого домашнее задание выполнено без ошибок, получают индивидуальные задания. Или взаимопроверка по образцу. Проверку домашнего задания могут проводить консультанты, тетради с домашним заданием которых заранее проверяет учитель. Практикую также парный опрос по теоретическому материалу. В старших классах можно применять особый вид домашнего задания для учащихся: диагностическая домашняя работа.

Эта форма деятельности школьников позволяет выявить уровень усвоения знаний каждым учеником, совершенствовать владение приемами самостоятельной работы, формировать такие компоненты учебной деятельности как оценка и самооценка. Содержание работы представляет собой набор разноуровневых заданий по определенному разделу школьной программы по математике.

Обычно в практике обучения учитываются три основных уровня усвоения знаний:

1. уровень воспроизведения информации об изученном объекте (знания-копии);
2. уровень применения знаний в сходной ситуации, по образцу, обеспечивающий продуктивную деятельность по использованию информации для решения конкретных задач в пределах приложимости изученных обобщенных способов (знания-умения);
3. уровень применения знаний в новой ситуации, что предполагает наличие продуктивной творческой деятельности в сочетании с широким переносом действий на отличные от условий обучения ситуации (знания-трансформации).

С учетом этих уровней усвоения знаний домашняя диагностическая работа может состоять из шести заданий, направленных:

1. на узнавание ранее изученного материала;
2. на его воспроизведение;
3. на применение материала в измененной ситуации;
4. на установление связей: внутри данной темы; внутрипредметных и межпредметных связей; задания последних видов позволяют выявить уровень понимания учащимися изученного материала.

Приведу пример одного из вариантов диагностической домашней работы.

Геометрия, VIII класс.

Тема “Четырехугольники. Квадрат”.

1. Закончите определение, подобрав подходящее видовое отличие:

1. квадрат – это прямоугольник, у которого…
2. квадрат – это ромб, у которого…
3. квадрат – это четырехугольник, у которого…
4. квадрат – это многоугольник, у которого…

2. а) Сформулируйте определение квадрата.

б) Периметр квадрата равен 24 см. Чему равна сторона квадрата?
в) Найдите сторону квадрата, если его площадь равна 16 м2 .

3. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид четырехугольника, образованного этими прямыми.
4. Внутри квадрата ABCD взята точка К и на отрезке АК как на стороне построен квадрат AKLM, у которого сторона KL пересекает сторону AD. Докажите, что отрезки BK и DM равны.
5. В равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого 2м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.
6. Поверхность пруда имеет форму квадрата. В вершинах его растут 4 дуба (A,B,C,D). Хотят вдвое увеличить площадь поверхности пруда, но так, чтобы новый пруд сохранил форму квадрата и чтобы все 4 дуба остались на своих местах. Как это сделать?

Первые два из приведенных заданий позволяют проверить усвоение материала на уровне воспроизведения, третье и четвертое – на уровне трансформации. При формулировании общего задания учащимся разъясняется, что к решению той или иной задачи он может приступать только после решения всех предыдущих. Такое требование объясняется тем, что ученик не может достигнуть более высокого уровня владения материалом, пока не освоил его на предшествующих уровнях.

Первоначально учащиеся сами оценивают результаты работы в соответствии с параметрами оценки, указанными учителем.

Наблюдения показывают, что эта форма работы формирует ответственное отношение к делу, вызывает интерес учащихся, в особенности тех, которые оказываются в состоянии при выполнении последних заданий проявить интуицию, догадку.

Диагностическая домашняя работа, позволяет учащимся осмыслить всю тему как единое целое, и это не простое сложение знаний и умений, которые ученики приобрели в результате изучения материала, а сложный процесс перехода от низшего уровня усвоения знаний к более высокому.

После выполнения работы учитель подводит итоги с учетом выставленных оценочных баллов, организует обсуждение и осуществляет разбор задач.

Диагностическая домашняя работа требует особых организационных усилий, но зато она позволяет не только более объективно и дифференцированно оценить конечный результат обучения, но и видеть динамику продвижения в обучении каждого ученика. Не только учитель, но и ученик видит, какие вопросы усвоены им на уровне обязательных требований, какие – более глубоко.

Часто я провожу кратковременную проверочную работу в форме математического диктанта или устного счета для само- и взаимопроверки.

Например, математический диктант по теме "Сравнение положительных и отрицательных чисел" в 6 классе:

1. Запишите числа: - 8; 0; 3; - 4,5; 7,8; - 2; 46; - 1,6. Подчеркните отрицательные числа одной чертой, положительные – двумя чертами.
2. Напишите число противоположное: а) 7; б) 3; в) – 3,5
3. Запишите, чему равен:
а) – х, усли х = - 4,5;
б) y, если y = 2,3
4. Чему равен модуль числа: а) – 3; б) 5.
5. Сравните числа: а) 2 и – 300; б) – 7 и – 9 .

Ответы:

1) – 8; 0; 3; - 4,5; 7,8; - 2; 46; - 1,6
2) а) – 7; б) 0; в) 3,5
3) а) – х = 4,5; б) y = - 2,3
4) а) ?- 3 ? = 3; б) ?5 ? = 5
5) а) 2 › - 300; б) – 7 › - 9

Верные ответы отмечаются значками «+», неверные « - » или « ±». Два неточных ответа приравниваются к одному неверному. Критерии оценки диктанта те же, что и при парном опросе.

Практикую я и контроль в виде теста. Например, при изучении темы «Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций» учащимся предлагаются следующие задания с набором ответов:

В младших классах номера верных ответов я заменяю буквами. Например, при изучении темы «Все действия с обыкновенными дробями» в 6 классе была предложена работа.

В итоге ребята получили слово «верно».

Одной из форм учета знаний учащихся на уроках математики являются небольшие проверочные работы, требующие выполнения всех промежуточных действий “в уме” и фиксирования только окончательного ответа. Такие задания условно можно назвать “диагностическими замерами”. В каждом “Диагностическом замере” содержится от5 до10 заданий, расположенных по возрастанию степени сложности. Поэтому и критерий оценок выглядит так:

1. 5–7 верно выполненных упражнений – оценка “3”
2. 8–9 верно выполненных упражнений – оценка “4”
3. 10 верно выполненных упражнений – оценка “5”.

На выполнение работы по усмотрению учителя отводится 1–4 минуты в зависимости от сложности изучаемого материала и степени подготовленности учащихся. Если проводить эту работу систематически, то ребята постепенно к ней привыкают и не задают вопросов организационного плана, в том числе и по выставлению оценки. Проверка правильности выполнения заданий может проводиться с помощью ТСО, а также правильные ответы могут записываться за “крылом” доски или зачитываться.

Само название этого вида работы говорит о том, что результат выполнения этих упражнений позволяет учителю прогнозировать успешность изучения учащимися материала по данной теме и установить уровень усвоения ими опорных задач (например, запоминание и осмысление определения, формулы, алгоритма, табличных значений и т.д.). Без успешного выполнения этого рода заданий невозможно перейти к изучению более сложных вопросов, опирающихся на знание базовых, выполнения многошаговых упражнений и заданий продвинутого уровня сложности. Например, в 5–6-х классах учитель должен постоянно владеть информацией о состоянии техники устного счета и уровне развития вычислительных навыков учащихся. Для контроля над этим направлением проводится “диагностический замер”, состоящий из примеров на вычисление. Например:

Диагностический замер № 3

Вычислите:

В курсе алгебры основной школы рассматриваются алгоритмы решения рациональных уравнений. На одном из первых уроков в 7-м классе по теме “Линейные уравнения” в качестве первичного контроля можно предложить учащимся такой диагностический замер.

Решите уравнение:

Для систематического контроля за достижением обязательных результатов обучения в ходе учебного процесса, я, как и другие учителя в школе, использую такую форму контроля, как зачёт. Зачёты отличаются от традиционной контрольной работы и по системе оценивания (используется не пятибалльная, в двухбалльная шкала), и по характеру проведения (предусматривается необходимость пересдачи в случае отрицательного результата). Обязательные результаты обучения – это тот минимум, который необходим для дальнейшего обучения, для выполнения программных требований к математической подготовке учащихся. Поэтому при проведении зачёта преследуется цель: проверить, овладел или не овладел ученик формируемыми умениями на обязательном уровне и естественная оценка здесь «достиг» - «не достиг», т.е. «зачтено» или «не зачтено». Зачёт считается сданным, если ученик выполнил верно, все предложенные ему задачи обязательной части. К решению дополнительной части зачёта ученик может приступить только после правильного решения обязательной части с разрешения учителя. За решение задач из дополнительной части ученику дополнительно выставляется одна из двух отметок «5» или «4» в зависимости от объёма и качества выполнения этих задач.

Одной из форм учета знаний учащихся на уроках математики являются небольшие проверочные работы, требующие выполнения всех промежуточных действий “в уме” и фиксирования только окончательного ответа. Такие задания условно можно назвать “диагностическими замерами”. В каждом “Диагностическом замере” содержится 10 заданий, расположенных по возрастанию степени сложности. Поэтому и критерий оценок выглядит так:

1. 5–7 верно выполненных упражнений – оценка “3”
2. 8–9 верно выполненных упражнений – оценка “4”
3. 10 верно выполненных упражнений – оценка “5”.

На выполнение работы по усмотрению учителя отводится 1–4 минуты в зависимости от сложности изучаемого материала и степени подготовленности учащихся. Если проводить эту работу систематически, то ребята постепенно к ней привыкают и не задают вопросов организационного плана, в том числе и по выставлению оценки. Проверка правильности выполнения заданий может проводиться с помощью ТСО, а также правильные ответы могут записываться за “крылом” доски или зачитываться.

Само название этого вида работы говорит о том, что результат выполнения этих упражнений позволяет учителю прогнозировать успешность изучения учащимися материала по данной теме и установить уровень усвоения ими опорных задач (например, запоминание и осмысление определения, формулы, алгоритма, табличных значений и т.д.). Без успешного выполнения этого рода заданий невозможно перейти к изучению более сложных вопросов, опирающихся на знание базовых, выполнения многошаговых упражнений и заданий продвинутого уровня сложности. Например, в 5–6-х классах учитель должен постоянно владеть информацией о состоянии техники устного счета и уровне развития вычислительных навыков учащихся. Для контроля над этим направлением проводится “диагностический замер”, состоящий из примеров на вычисление. Например:

Диагностический замер № 3

Вычислите:

В курсе алгебры основной школы рассматриваются алгоритмы решения рациональных уравнений. На одном из первых уроков в 7-м классе по теме “Линейные уравнения” в качестве первичного контроля можно предложить учащимся такой диагностический замер.

Решите уравнение:

Как следует из условия, главное внимание уделяется закреплению навыка нахождения неизвестного в уравнении путем деления b на a, но не наоборот (эта ошибка очень распространена). Попутно повторяются и действия с рациональными числами.

Изучая рациональные дроби и их свойства в 8-м классе, необходимо отработать алгоритм выполнения каждого арифметического действия. Только после этого можно перейти к решению комплексных упражнений.

Диагностический замер № 2

Запишите общий знаменатель дробей:

При выполнении этих заданий предусмотрены операции в несколько логических шагов: вынесение за скобку общего множителя, применение формулы сокращенного умножения, перемножение многочленов, сокращение дроби. При выполнении этих действий устно развивается математическое мышление, воображение, школьники учатся “видеть” формулы и результаты преобразований, что приводит к лучшему их запоминанию и осмыслению.

Одним из этапов в построении графика квадратичной функции является определение координат вершины параболы и направления ее “ветвей”. Поэтому 9-классникам можно предложить такие задания:

Диагностический замер № 2

Укажите координаты вершины параболы и направление “ветвей”

При изучении последовательностей 9-классники знакомятся с новыми для них понятиями: “формула n-го члена”, “реккурентная формула” и т. д. В одном из диагностических замеров в комплексе рассматриваются все эти вопросы.

Диагностический замер № 4

Дана последовательность:

А в 10-м классе при изучении темы “Тригонометрические функции” и “Тригонометрические уравнения” ни один ученик не сможет выполнять сложные задания без знания значений тригонометрических функций и их свойств, решения простейших тригонометрических уравнений, которые и включены в диагностические замеры. Приведу пример системы диагностических замеров, подготовленной для учащихся 10 класса, занимающихся по учебнику А.Г. Мордковича.

 Выше сказанное касается контролирующей функции предложенных заданий. Но имеет место и другая, наверное, главная. Эти упражнения призваны формировать у учеников прочные навыки устных вычислений, эффективно развивая при этом внимание, оперативную память – необходимые компоненты успешного овладения школьным курсом математики. На выполнение заданий дается ограниченное время, т.о. оттачиваются не только собственно вычислительные навыки, но и формируется “числовая зоркость”, развивается активность мышления и сообразительность, что можно рассматривать как один из этапов подготовки учащихся к ЕГЭ.

Эти наборы упражнений можно использовать не только как самостоятельные работы, но в индивидуальной и групповой работе, слабые учащиеся могут записывать решение полностью.

Историческая справка. Уже в начале 70-х годов Элисте П.М. Эрдниев, а позднее группа исследователей под его руководством, была создана концепция укрупнения дидактических единиц- первоначально для обучения математике, а затем и перенесенная на другие предметы.

Смысл концепции состоит в то, что знания усваиваются системнее, прочнее и быстрее, если они предъявляются ученику сразу крупным блоком во всей системе внутренних и внешних связей. Минимальная единица учебного процесса не урок, а цикл уроков или модуль. Простая модель процесса обучения выглядит следующим образом:

Тема, целевые ориентиры, обоснование необходимости изучаемой темы, связь с другими предметами.

Модульная педагогическая технология конструируется на основе ряда целей. Важнейшая из них - создание комфортного темпа работы для каждого ученика. Каждый ученик получает шанс определить свои возможности в учении и приспособиться к тем уровням изучения материала, которые предложены учителем.

Самым главным отличием технологии является применение принципа планирования совместной деятельности учителя и ученика. Опишем процесс такого планирования.

Сначала определяются цели для учащихся, т.е. устанавливается, кто хочет знать не более того, что требуется государственным стандартом, а кто готов заниматься больше, поскольку планирует поступить в институт или просто хочет получить высокую оценку. После того как учащиеся определились со своими целями, учитель выстраивает свое целеполагание, определяя содержание и объем педагогической помощи учащимся.

Исходя из целей, проектируется итоговая диагностика. Она создается с учетом уровненной дифференциации, что позволяет учащимся осознанно определять тот минимум знаний, который необходим для получения оценки “3”.

На основании целеполагания и планируемой итоговой диагностики отбирается предметное содержание (объяснения и задания из учебника, из дидактических материалов и т.д.).

На основе отобранного содержания выстраивается логика изучения темы (поурочное планирование), определяются время и место промежуточного и итоговой диагностик и учебной коррекции. Для каждого урока определяются микроцели учащихся и приемы обратной связи; создаются опорные конспекты для учащихся и задания к уроку.

В результате описанного процесса учитель создает:

1. логическую структуру уроков с промежуточной диагностикой;
2. разноуровневые материалы для диагностики знаний учащихся;
3. дидактический материал ко всем урокам.

Модульная педагогическая технология помогает осуществлять индивидуальный подход к учащимся, включать каждого в осознанную учебную деятельностью, мотивировать ее, формировать навыки самообучения и самоорганизации, обеспечивая тем самым постепенный переход от пассивно воспринимающей позиции ученика к его сотрудничеству с учителем.

Далее я привожу пример блока уроков по теме “Показательная функция”

Тема: “ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ”

(6 уроков, из них 1 урок контрольная работа)

Цели:

1. Познакомить учащихся с показательной функцией.
2. Научить решать показательные уравнения, неравенства с опорой на свойства показательной функции.
3. Развивать в ходе решения задач творческую и прикладную стороны мышления.
4. Применять уровневую дифференциацию учить детей самостоятельно выбирать уровень подготовки своих знаний.

ПЛАН ПРОХОЖДЕНИЯ ТЕМЫ

1. Урок-лекция с опорным конспектом.
2. Урок решения обучающих задач на постороение графиков. На этом уроке дается домашнее задание по всей теме.
3. Урок-зачет по проверке знаний теории.
4. Урок-консультация (решение задач из домашней работы, которые вызвали затруднения)
5. Решение ключевых задач и задач продвинутого уровня (в конце урока самостоятельная работа по домашним заданиям).
6. Урок-семинар по теме.
7. Разноуровневая контрольная работа.

Тема:  решение целых уравнений и приводимых к ним

Тип урока: Урок применения знаний и умений.

Цели и задачи урока:

1. Образовательные: формировать у учащихся на материале учебного предмета способы учебно-познавательной деятельности;
2. Развивающие: развитие интуиции, умения сравнивать, выявлять закономерности и обобщать свойства изучаемых объектов и отношений;
3. Воспитательные: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Оборудование урока: карточки с заданиями, схемы решения линейных и квадратных уравнений, сборники заданий по теме.

Структура урока:

1. Организационный этап. - 3 мин.
2. Этап проверки домашнего задания. - 10 мин.
3. Этап подготовки учащихся к активному и осознанному усвоению нового материала. - 5 мин.
4. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя. - 10 мин.
5. Обобщение и систематизация результатов выполненных заданий. - 5 мин.
6. Этап информирования учащихся о домашнем задании. - 5 мин.
7. Этап подведения итогов урока. - 7 мин.

На рабочем стенде или доске:

1. Николо Тарталья (1500-1557)
2. Джероламо Кардано (1501-1576)
3. Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
4. Нильс Генрих Абель (1802-1832)
5. Эвараст Галуа (1811-1832)

Содержание урока

I. Организационный этап.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

Деятельность учителя: Приветствие, проверка подготовленности к уроку (рабочее место, доска), организация внимания. Предлагает учащихся до урока записать на доске решение индивидуальных домашних заданий.

Деятельность учащихся: На доске, на перемене воспроизводят решения обычного и продвинутого домашнего задания.

у4 – 5у2 – 36 = 0, пусть у2 = t, t 0, тогда у4 = t2. Имеем:

t2 – 5t – 36 = 0, по теореме обратной теореме Виета t1 = 9, 9 > 0, t2 = - 4, - 4 < 0, не соответствует условию t 0.

Тогда: у2 = 9, у1 = -9, у2 = 9, у1 = -3, у2 = 3.

Ответ: - 3; 3 корни уравнения.

(х + 1)(х + 2)(х + 4)(х + 5) = 40

Пусть х + 3 = у, тогда х + 1 = у – 2, х + 2 = у – 1, х + 4 = у + 1, х + 5 = у + 2,

(у – 2)(у – 1)(у + 1) (у + 2) = 40,

(у2 – 4)(у2 – 1) = 40,

у4 – 4у2 – 1у2 + 4 = 40,

у4 – 5у2 – 36 = 0, пусть у2 = t, имеем:

t2 – 5t – 36 = 0, по теореме обратной теореме Виета t1 = 9, t2 = - 4,

Тогда:

Ответ: ±3, ±2i - корни уравнения.

Учащиеся отмечают, что в уравнении другая переменная:

Ответ: 0, -6, -3 ± 2i.

Индивидуальное домашнее задание.

Решение кубического уравнения вида х3 + рх + q = 0

1. разложением на множители:

х3 – 2х – 1 = 0.

х3 – 1х – 1х – 1 = х(х2 – 1) – 1(х + 1) = х(х – 1)(х + 1) – 1(х + 1) = (х + 1)( х(х – 1) – 1) = (х + 1) (х2– 1х – 1).

(х + 1) (х2– 1х – 1) = 0

х + 1 = 0 или х2– 1х – 1 = 0

х1 = - 1 D = (-1)2 - 4•1•(-1) = 1 + 4 = 5, D>0, 2 различных действительных корня.

х2,3=(1±5)/2.

Ответ: -1, (1±5)/2.

1. делением на двучлен:

х3 – 2х – 1 = 0.

х1 = - 1 корень уравнения (-1)3 – 2•(-1) – 1 = 0.

Делим на (х + 1)

(х3 – 2х – 1) : (х + 1)= х2 – 1х – 1

х2 – 1х – 1 = 0,

D = 5, D>0, 2 различных действительных корня.

х2,3=(1±5)/2.

Ответ: -1, (1±5)/2.

1. по формулам Кардано:

U =

V =

x = 3U - 3V

не получаем решение.

Предполагаемые результаты: Быстрая готовность к уроку и включение в работу.

Проверка и обсуждение учащимися домашней работы.

Учащиеся по желанию записывают понравившееся решение уравнения х3 – 2х – 1 = 0.

II. Этап проверки домашнего задания.

Задача: установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях; совершенствовать знания и умения учащихся в области решения целых уравнений.

Деятельность учителя: Выясняет у консультантов, кто не справился с заданиями. Консультанты имеют карточку учета выполнения домашнего задания, у учителя сводная ведомость по теме.

После проверки домашнего задания просит предложить другой способ решения уравнения (х + 1)(х + 2)(х + 4)(х + 5) = 40.

Добивается ответа:

(х + 1)(х + 2)(х + 4)(х + 5) = 40

(х2 + 6х + 5) (х2 + 6х + 8) = 40,

х2 + 6х + 5 = у, тогда х2 + 6х + 8 = у + 3, имеем:

у(у + 3) = 40, и т.д.

Обсуждает с учащимися результаты индивидуального задания, просит выбрать понравившийся способ.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что не все кубические уравнения могут решаться с помощью формул Кардано и предлагает рассмотреть решение уравнения х3 + 15х + 124 = 0, которое также было индивидуальным домашним заданием.

Выясняется, какие корни у этого уравнения.

Учитель записывает на доске

1. Какие выводы можно сделать?
2. Что еще следует проверить?
3. Какой случай рассмотреть?
4. Какое значение ?

Рассмотрим решение уравнения х3 - 3х + 2 = 0.

Обсуждает с классом существование формул для решения уравнений степени выше второй.

Отмечает, что формул для общего решения уравнений степени п 5 не существует. Доказал это Абель Н.Х.

Деятельность учащихся: Исправляют и дополняют решения в тетрадях. Учащиеся, выполнявшие домашнее задания на доске, защищают свои решения:

1 ученик кратко напоминает классу о множестве комплексных чисел;

2 ученик перечисляет способы разложения на множители, которые он использовал;

3 ученик напоминает о делении многочлена на многочлен;

4 ученик говорит о формулах Кордано для решения уравнений третьей степени.

Двое учащихся в это же время записывают на доске еще решения двух кубических уравнений.

х3 + 15х + 124 = 0

х1=+=+=
=+=+ = += 1 – 5 = - 4.

(х + 4)(х2 – 4х + 31) = 0

D = - 108

1 действительный корень и 2 мнимых.

х3 – 3х + 2 = 0

х1=+=+ =+= –1 –1=  - 2.

(х + 2)(х2 – 2х + 1) = 0

D = 0

3 действительных корня, два из которых совпали.

Учащиеся сравнивают значения для кубических уравнений и предполагают, что:

>0 : 1 действительный корень, 2 мнимых корня.

<0 : все 3 корня различные действительные, но получается неприводимая форма.

= 0: все корни действительные, но два из них совпали.

Говорят об известных им способах решения, но не знают таких формул.

Предполагаемые результаты: Осознанная проверка своих решений и рассуждений в процессе решения.

Учащиеся обобщают знания и делают выводы.

III. Этап подготовки учащихся к активному и осознанному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к решению уравнений с параметрами (исследованию решения целых уравнений и приводимых к ним).

Деятельность учителя: Предлагает классу обсудить число решений целых уравнений, используя результаты, полученные на практической работе по ИВТ и с использованием следствий теоремы Безу и основной теоремы алгебры.

Задает вопрос: от чего зависит число корней уравнения?

Если учащиеся не смогли сформулировать зависимость числа решений уравнений от значений коэффициентов, то учитель их подводит к этому.

Деятельность учащихся: Говорят о графическом способе определения числа корней уравнения и их приближенном вычислении с заданной точностью. На доске делается запись:

1. 2х3 – 1х2 + 1х + 1 = 0 – 1 действительный корень,
2. х4 + х3 + х2 – х – 2 = 0 – 2 действительных корня,
3. х4 – 5х3 + 10х2 – 10х + 4 = 0 – 4 действительных корня,
4. х8 – 17х4 + 16 = 0 – 4 действительных корня,
5. х4 – 5х3 + 10х2 – 10х + 4 = 0 – 4 действительных корня,
6. х4 + х3 – 13х2 + х + 12 = 0 – 4 действительных корня,

Двое учащихся составили уравнения, имеющие 8 действительных корней:

х8 – 38х6 + 433х4 – 2772х2 – 5184 = 0.

Также предлагаются уравнения х4 +16 = 9, х8 + 1 = 0, не имеющие действительных коней.

Учащиеся, возможно, догадываются, что это зависит от коэффициентов.

Предполагаемые результаты: Учащиеся должны сделать вывод, что максимально уравнение может иметь столько действительных корней, какова его степень, а может и вовсе не иметь действительных корней.

Если говорить обо всех корнях целого уравнения (включая комплексные), то их булет ровно столько, какова степень многочлена.

IV. Этап самостоятельного выполнения учащимися заданий под контролем учителя.

Задача: Вместе с учащимися составить общую схему решения уравнений с параметрами.

Деятельность учителя: Говорит, что как всегда, рассмотрение целых уравнений мы начнем с линейных и квадратных уравнений. Записывает на доске уравнения с неопределенными коэффициентами и предлагает учащимся их решить.

После самостоятельного решения вызывает к доске учеников, которые неверно выполнили решения выбранных уравнений.

Задает вопросы классу, предлагает дополнить решение, объяснить свои дополнения к решению.

Деятельность учащихся: Выбирают и самостоятельно решают одно из уравнений:

ах + а + 3 = 2а – 5,

(а – 2)•х = 10 – а,

3 – ах = а + х.

Отдельные учащиеся могут взяться решать более сложные уравнения:

ах2 – 1 = 0,

ах2 – (2а + 3)х = 0,

х2 – 2(b – 12)x + 2 + b2 = 0.

Ученики записывают на доске решения.

ах + а + 3 = 2а – 5,

ах = 2а – 5 – а – 3,

ах = а – 8,

х = (а – 8): а,

Класс дополняет решение:

1) если а = 0, 0•х = 0 – 8, 0•х = – 8, нет решения;

2) если а 0, то х = (а – 8): а,

ах2 – 1 = 0, ах2 = 1, х2 = 1/а, х1 = –1/а, х2 = 1/а.

Класс дополняет решение: 1) если а = 0, 0•х2 = 1, нет решения;

2) если а 0, х2 = 1/а,

если а > 0, х1 = –1/а, х2 = 1/а,

если а < 0, нет действительных корней.

Учащиеся анализируют решения. Те кто решал более сложные уравнения, показывает их решения учителю, а затем, если останется время на уроке, выполняют их на доске.

Предполагаемые результаты: Учащиеся выполняют решение по схеме выбранного уравнения, выясняют ограничения и учитывают из.

Учащиеся усваивают схему и план решения линейного уравнения с параметрами.

V. Этап обобщения и систематизации результатов выполненных заданий.

Задача: Проговорить и постараться запомнить план решения уравнений с параметрами.

Деятельность учителя: Предлагает учащимся перечислить пункты плана решения линейного уравнения с параметром.

Деятельность учащихся: Учащиеся с места предлагаю свои варианты действий и отбирают верные. Если останется время, то учащиеся решившие квадратное уравнение предлагают план решения квадратных уравнений с параметром.

Предполагаемые результаты: Создается атмосфера творческого поиска, которая перейдет на домашнюю работу учащихся.

VI. Этап информирования учащихся о домашнем задании.

Задача: Сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

Деятельность учителя: Записывает на доске задания по уровням:

37) (2х – а) + (4х + 6а) = а,

38) 2ах = 4 – b,

39) .

Индивидуальные задания № 56, 57, 58. Из сборника заданий по теме (см. Приложение 1).

Деятельность учащихся: Выбирают задания для себя в соответствии с желанием и подготовкой.

Предполагаемые результаты: Каждый получает задание из зоны ближайшего развития.

VII. Этап подведения итогов.

Задача: Обобщить полученные на уроке результаты. Сформулировать перспективное задание на последующие уроки. Отметить активно работающих учащихся.

Деятельность учителя: Задает вопросы:

1. Что нового узнали на уроке?
2. Какие уравнения вы хотели бы еще решить?
3. Кто-то решит их дома?
4. Кто хорошо работал на уроке?
5. Какую оценку заслужил?

Благодарить учащихся за работу на уроке.

Деятельность учащихся: Перечисляют: комплексные корни уравнений, формулы Кардано, число решений целого уравнения, схема исследования решения уравнения.

Указывают номера из сборника, которые их заинтересовали. Кто-то предлагает их решить дома.

Получают отметки.

Предполагаемые результаты: Учащиеся еще раз вспоминают все этапы урока, что способствует лучшему запоминанию изученного материала.

Список литературы. 

1. Занков Л.В. Избранные педагогические труды. – М.: Педагогика, 1990.
2. Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике. – М.: Просвещение, 1960.
3. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1970.
4. Груднев Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М.: Просвещение, 1990.
5. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1981.
6. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Начала анализа: Справочник. – м.: Наука, 1990.
7. Газета “Математика”.