Разноуровневые обучающие и контрольно - диагностические задания.Функции. 7 класс.
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

ФУНКЦИИ     (VII  класс)

Способы  задания функции

1'. а) Агрегатное состояние вещества зависит от тем пературы. Так, вода при атмосферном давлении и тем пературе -15°С находится в твердом состоянии, при 20°С — в жидком, при 110°С - в газообразном. Задайте таблицей зависимость агрегатного состояния воды от температуры.

б)        Урожайность зависит от вида растения. Например, урожайность капусты равна в среднем. 5 кг с 1 м, моркови - 4 кг/м, фасоли - 2 кг/м. Задайте таблицей зависимость урожайности от вида растения.

в)        Число появлений буквы в тексте зависит от того, какая это буква. Например, в русском тексте из 1000 букв примерно 90 раз встретится буква «о», две буквы «ф», по 62 раза — буквы «а» и «и». Выберите произвольный русский текст из 1000 букв и задайте таблицей зависимость числа появлений каждой встречающейся в нем буквы от вида этой буквы.

I. Задайте функцию таблицей из трех пар значений переменных:

а)        зависимость положения основания высоты, опущенной из вершины острого угла треугольника, от вида треугольника;

 б)        зависимость цвета листьев на каких-то деревьях (например, на березах)  от времени года;

 в)        зависимость окончания некоторого существительного от падежа.

21. Постройте точки графика функции, используя таблицу. Соедините эти точки плавной кривой. Дополните таблицу двумя парами соответствующих значений аргумента и функции, считая полученную кривую графиком функции.

а) Зависимость высоты h вертикально брошенного мяча от времени  t его полета:

б)  Зависимость роста  Н некоторого человека от его возраста  t:

в)  Зависимость между номером   n  века и числом   К городов на Руси:

2. Из приведенных формул выберите ту, которая задает описанную в задании функцию. Заполните пустые клетки в соответствующей таблице. Постройте график функции.  

а) Зависимость площади S прямоугольника от его ширины d, если длина прямоугольника больше ширины на  2 см.

Возможные ответы: S=d(d-2);   S=4d + 4;    S=d(d+2);   S = d2 + 4.

б) Зависимость площади S посадки картофеля для семьи от числа n членов семьи. Урожайность картофеля с 1 а  в среднем равна 360 кг, а в год 1 человек потребляет   120 кг  картофеля.

Возможные ответы:

S =3п;               S=         S =       S=  

в) Зависимость платы К за квартиру от площади S квартиры, если за каждый 1 м площади платят по 2 руб. и за услуги, не зависящие от площади, - 70 руб.

Возможные ответы: К = 2(5 + 70);   К = 2S + 70;     К = 2S;   К = 2S + 70.

2. Подберите интересную функциональную зависимость и задайте ее тремя способами: табличным, графическим, в виде формулы.

Линейная  функция

3.        а) 1. Температура, измеренная по шкале Фаренгейта, может быть переведена в температуру по шкале Цельсия по формуле   у =  (х - 32),   где х — температура в градусах шкалы Фаренгейта, у — температура в градусах шкалы Цельсия. Найдите: 1) значение у при х = 68; 2) значение х, если у = 5. Постройте график функции.

2. Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена по формуле:

v = 331 +0,6t, где v - скорость (в м/с), t - температура (в °С). Найдите с какой скоростью распространяется звук в зимний день с температурой -35. °С и в летний день с температурой +30 °С.

3. Автомобили А1 и А2 выезжают одновременно навстречу друг другу. По заданному графику движения автомобилей. Найти:

1.    время от начала движения до встречи автомобилей;

2.    путь, пройденный каждым автомобилем до их встречи;

3.    скорость движения каждого автомобиля.

 б) 1. Нормальное число часов сна человека в возрасте до 18 лет вычисляется по формуле

у = 17 - 0,5x, где х - возраст в годах, у — число часов сна. Найдите: 1) значение у при х = 12; 2) значение х, если у =15. Постройте график функции.

2. Численность зубров в заповеднике может быть найдена по формуле:

у = 50 +3t, где у - количество особей, a t - время (в годах). Найдите сколько особей будет в данном заповеднике через 3 года. Через сколько лет в этом заповеднике особей будет 65 штук?

3. Ученые наблюдают за количеством бактерий в двух водоемах I и II. 1-водоем молодой, II-старый на I  рисунке представлены графики зависимостей общего числа бактерий (в тыс. (мл.)) от месяца i  наблюдения. Используя графики ответить на вопросы:

1. На каком этапе исследования количество бактерий в водоемах будет одинаковым?
2. Изменение количества бактерий в каждом водоеме.
3. Через сколько месяцев в каждом водоеме количество бактерий будет равно 10 тыс/мл

4. Для шифровки текста можно заменить буквы на другие по формуле у = 34 - х, где х - порядковый номер буквы в алфавите, у - номер буквы, заменяющей букву с номером х. Найдите: 1) значение у при х = 5; 2) значение х,  если у = 23.   Постройте график функции.

5. Волосы на голове у человека растут примерно со скоростью 0,4 мм в сутки. Через сколько дней длина волос у мальчика достигнет 5 см, если считать, что их первоначальная длина была 3 см. Какой будет длина волос у этого мальчика через пять дней (формула l = 30 +0,4t, где l - длина в миллиметрах, t – количество дней).                

6. Медиками установлено, что для нормального развития ребенок или подросток, которому Т лет, (Т < 18) должен спать t часов в сутки.

а) Задайте формулой зависимость продолжительности сна t (часах) от возраста человека (лет), если известно, что после рождения ребенок должен спать не менее 17 часов в сутки, уменьшая продолжительность сна на половину своего возраста.

(t = 17-Т/2)

б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.

3.        а) 1. В течение 6 суток толщина льда в пруду увеличивается равномерно на 5 мм в сутки.

 Примите начальную толщину льда равной 1 см. Задайте формулой зависимость толщины льда у (в миллиметрах) от времени х, выраженного в сутках. Найдите: 1) значение у при х = 2; 2) значение х, если у = 30. Постройте график функции.

2. Используя определение линейной функции, построить график, который описывает следующий процесс: бак объемом 14 литров заполнили водой за пять минут, затем кран закрылся, и через четыре минуты из дна вытащили пробку, бак оказался пустым за три минуты.

Результат работы должен выглядеть так:

б)        1. Новый холодильник стоит 1680 руб. Из-за износа его стоимость равномерно в течение   20 лет уменьшается до нуля. Задайте формулой зависимость стоимости у (в рублях) холодильника от времени х его службы, исчисляемого годами. Найдите: I) значение у при х = 5; 2) значение х, если у = 840. Постройте график функции.

2. Перед тем как высадить растения в теплицу необходимо довести t воздуха в ней до 25 °С

| а) Записать формулу, выражающую изменение температуры Т°С в теплице в зависимости от времени t (в минутах) от нагревания, если при нагревании воздуха в теплице каждую минуту | температура повышалась на 1,5 °С, а первоначальная температура в теплице была 8 °С.

б) Найти значение одной переменной в зависимости от значения другой.

 3.  Используя определение линейной функции построить график, который описывает следующий процесс:

В середине марта на дереве начинают появляться первые листочки и уже к июню количество листьев на нем достигает 200 штук. С середины августа дерево начинает готовиться к зиме и уже кI середине октября на дереве не остается ни одного листа.

Результат работы должен выглядеть так:

в) К концу первого года жизни лексикон ребенка равен 10 словам. Предположим, что в течение второго года словарный запас растет равномерно на 100 слов в месяц. Задайте формулой зависимость количества слов у в лексиконе ребенка второго года жизни от его возраста х (в месяцах). Найдите: 1) значение у при х = 18; 2) значение х,  если у = 510.   Постройте график функции.

Прямая пропорциональность

4'. Задайте зависимость формулой и выберите ее график из трех данных.

а) 1. Зависимость массы молока т от его объема V. (Плотность молока равна   1028 кг/м)

2. Используя определение линейной функции построить график, который описывает следующий процесс: в зимние месяцы люди начинают болеть гриппом, процент заболевших людей достигает 70% на 10 день эпидемии. Количество заболевших начинает снижаться на 20 день эпидемии и уже на 28 день составляет 10% населения.

Результат работы должен выглядеть так:

3. Используя график зависимости массы m воды и льда от V ответить на вопросы.

1. Является ли функция m(V) линейной?

2. Какой объем занимают лед и вода, если они имеют одинаковую массу, равную 500 г.?

3.  Сделать вывод о зависимости m(V)? Одинаковы ли эти зависимости для разных веществ?

б) 1.Задайте зависимость формулой и выберите ее график из трех данных

 Зависимость суточной дозы d лекарства эритромицин от веса ребенка т (эритромицин назначают детям по   50 мг  в сутки на   1 кг  веса).

2. Используя график зависимости веса М, г рыбки от массы корма m, г ответьте на вопросы.

1. Является ли функция М(т) линейной?

2. Какой вес будет иметь рыбка, поедающая 15 г сухого корма, и рыбка, поедающая 15 г живого корма?

3. Сделать вывод о зависимости М(m). Одинакова ли эта зависимость для рыбки на сухом корме и рыбки на живом корме?

4. Используя график зависимости повышения гемоглобина от массы, г употребления в пищу яблок или гранатового сока, ответить на вопросы:

1.  На сколько поднимется гемоглобин в крови у человека, употребляющего в пищу 600 гр. яблок или 600 гр. гранатового сока?

2.  Что обозначает общая точка графиков?

3. Сделать вывод о зависимости гемоглобина от массы употребляемого в пищу продукта. Одинакова ли эта зависимость для яблок и для гранатового сока?

в) Зависимость количества слов k, сказанных человеком в споре, от времени t спора (считать, что за 1 мин   человек в споре произносит   50 слов).

4. а). Если вес человека на Земле равен 600Н,тоего вес на Луне — 100Н. Задайте формулой и графиком зависимость лунного веса человека от его земного веса. Найдите лунный вес человека, у которого земной вес равен  420Н.

б) Пропорциональный подоходный налог составляет определенный процент от дохода человека. Задайте формулой и графиком зависимость 10 %-го налога от дохода. Найдите налог на доход в  900 руб.

в) Длительности звучания музыкальных нот выражаются числами: целая нота — 1, половинная — 1/2 и т.д. Увеличим длительность каждой ноты некоторой мелодии в 2 раза. Задайте формулой и графиком зависимость длительностей нот полученной мелодии от длительностей нот исходной. Найдите длительность ноты полученной мелодии, которая соответствует нотеисходной мелодии длительностью в   1/16.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ  (VIII  класс)

Преобразование  рациональных выражений

1. В левой колонке названы величины, значения ко торых требуется найти, а в правой - буквенные выра жения этих величин в произвольном порядке. Соеди ните отрезками величины и соответствующие им бук венные выражения. Преобразуйте выражения в рацио нальные дроби удобного для расчетов вида. Вычислите значения выражений при заданном значении перемен ной.

а) Из пункта А в пункт В по прямолинейному шоссе выехал мотоцикл, а из В одновременно с мо тоциклом навстречу ему выехал автомобиль. Они едут с постоянной скоростью. Скорость мотоцикла равна х км/ч. Скорость автомобиля больше скорости мотоцикла на 20 км/ч. Длина пути АВ равна 150 км. Найдите значения следующих величин при х = 30:

1. время движения мотоцикла из А в В (ч)                                                                  
2. время движения автомобиля из  В в А  (ч)                                                                                
3. время движения мотоцикла и автомобиля до их встречи   (ч)                           ;

1. время движения мотоцикла от места встречи до пункта   В  (ч)                                      
2. расстояние, которое проехал автомобиль до встречи с мотоциклом   (км)          
3. расстояние, пройденное автомобилем от места встречи с мотоциклом до А (км)  

                                                                                                                                           150 -

1. отношение времени движения мотоцикла из  А   в   В  ко времени движения автомобиля из В в А                                                                                                                              

б) Два токаря должны обработать 400 деталей. Они работают с постоянной скоростью: первый обрабатывает х деталей в час, а второй - на 10 деталей в час больше первого. Найдите значения следующих величин при  х = 40:

2. время   (ч),   за которое второй токарь может выполнить все задание один            
3. время работы второго  (ч),  если он работал меньше первого, закончил одновременно с ним, а общее задание было выполнено за 2 ч                                                                          
4. время   (ч), за которое оба токаря вместе выполнят задание                                     2 +
5. разность во времени работы токарей   (ч), если каждый выполнит все задание один  
6. общее время работы токарей (ч), если каждый из них выполнит половину задания в одиночку                                                                                                                                        
7. общее время работы токарей   (ч),  если   2 ч первый работает один, а оставшиеся детали оба обрабатывают вместе                                                                                                        

в) Древние книги переписывались от руки. Предположим, два человека переписывают книгу в   100 страниц. Скорость работы писцов постоянна: первый переписывает х страниц в день, второй — на 2 страницы в день больше. Найдите значения следующих величин при х = 8:

1. число дней, необходимое первому писцу для переписывания всей книги                          
2. число дней, необходимое второму писцу для переписывания всей книги                        
3. разность во времени переписывания всей книги первым и вторым писцами   (в днях)  
4. число дней переписывания книги двумя писцами вместе                                                  
5. число дней общей работы, если каждый перепишет по  50 страниц книги            
6. число дней работы второго, если он закон чил переписывать книгу после того, как первый писец трудился над ней 2 дня                                                                                                

хе Запишите величины в виде рациональных выражений. Преобразуйте эти выражения к удобному для расчетов виду в тех случаях, когда это возможно. Вычислите значения полученных выражений при заданных значениях переменных.

а)        Масса мальчика 10 лет равна m кг, а площадь  подошв его обуви — S м. Масса отца мальчика на 30 кг больше массы сына, а площадь подошвы его обуви на 100 см больше S. Найдите значения следующих величин при   m = 30,   S = 0,03,  g = 10 м/с:

1. давление сына на землю  (Па);
2. давление отца на землю  (Па);
3. давление отца на землю, если он несет сына  (Па);
4. разность между давлением на землю сына и давлением отца (Па);
5. отношение давлений на землю отца и сына.

б)        Норма семян картофеля для посадки на 1 га может меняться в зависимости от качества семян и величины клубней. Масса заготовленных с осени семян равна m т, а норма посадки — р т/га. Найдите значения следующих величин при р = 5,   m = 100:

1. площадь  (га),   которую можно засадить семенами массой m (т)   и при норме посадки р (т/га);
2. площадь   (га),   которую можно засадить (при той же норме посадки), если 10 (т) из m (т) семян оказались непригодными; площадь  (га), которую можно засадить, если в предыдущем случае пришлось увеличить норму семян на   1 (т/га); разность между площадями в двух предыдущих случаях; отношение площадей в тех же двух случаях.

в) Уровень благосостояния семьи определяется доходом, приходящимся на каждого члена семьи в месяц. Он зависит от размера зарплаты работающих членов семьи и получаемых пособий, от количества человек в семье. Зарплата работающего члена семьи равна k руб., а n — число ее членов. Найдите значения следующих величин при k  = 600,  n = 3:

1. доход (руб.) на одного члена семьи из n человек, если семья не получает пособий и имеет одного работающего;
2. доход  (руб.)   на одного члена той же семьи, если в ней появился ребенок и мать получает пособие в размере  200 руб. в месяц;
3. доход (руб.) на одного члена семьи из n человек, если в ней работают двое с зарплатой k,  а пособий семья не получает;
4. разность между доходами на одного члена семьи в первом и втором случаях;
5. отношение доходов в первом и втором случаях..

При изучении математики дифференцированный подход помогает усвоению учебного материала при отсутствии интереса к предмету, когда ученик считает, что предмет ему в дальнейшем не нужен, при отсутствии способностей к изучению точных наук.