Комитет образования и науки администрации Санкт-Петербурга
Государственное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №539
Кировского административного района Санкт-Петербурга.

ПРОГРАММА

«Математическими лабиринтами: от простого к сложному»

(Элективный курс профильной подготовки учащихся 10 классов универсального профиля, 70 часов)

Санкт-Петербург,
2007 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Элективный курс по алгебре и началам анализа адресован учащимся 10-11 классов универсального профиля. Курс является предметно-ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку.

ЦЕЛЬ элективного курса состоит в расширении и углублении математических знаний, умений и навыков учащихся, формировании у учащихся ключевых предметных и общеучебных компетентностей, направленных на успешную сдачу выпускного экзамена по математике.

Элективный курс построен по модульному принципу. Каждый из четырёх модулей посвящён отдельному вопросу математики и является самостоятельным. Модули можно менять местами в зависимости от необходимости поддерживать базовый курс математики или подготовленности учащихся к восприятию того или иного учебного материала. Поэтому любой из них в отдельности или их набор могут быть использованы как отдельный элективный курс, рассчитанный на одну учебную четверть, полугодие или другое время, выделенное базисным учебным планом школы, для реализации профильного обучения школьников. На элективный курс отводится 70 учебных часов.

 Учебные модули:

1. МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ: УНИВЕСАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ, 16 часов.
2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, 16 часов.
3. ТРИГОНОМЕТРИЯ НА ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ, 18 часов.
4. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНАРНЫХ ФУНКЦИЙ БЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ, 20 часов.

Большинству рассматриваемых в элективном курсе вопросов: обобщённый метод интервалов, решение иррациональных и тригонометрических неравенств, исследование свойств функций и построение графиков элементарных функций, графический способ решения неравенств уделяется недостаточное количество времени в базовом курсе математики для их успешного усвоения учащимися или они не рассматриваются вообще.  Содержание предлагаемого материала способствует организации проектной, исследовательской, лабораторной деятельности учащихся.

 Курс построен на личностно - деятельностном и компетентностном подходах к обучению.    

Основой проведения занятий служит технология деятельностного подхода, которая обеспечивает системное включение учащихся в процесс самостоятельного построения ими нового знания и позволяет проводить разноуровневое обучение.

Формы организации занятий:

лекция, занятие – беседа, лабораторная работа, исследовательская работа, практическая работа, дидактические игры, компьютерное моделирование, практикум, тестирование, собеседование, работа в парах и группах, практикум – консультация,  конференция, зачёт.

Содержание каждого модуля элективного курса систематизировано таким образом, что изучение всех последующих тем обеспечивается знанием предыдущих. Часть материала осваивается путём подведения учащихся под эмпирические обобщения, т.е. от частного к общему. Тесты, теоретические и лабораторные занятия позволяют в любой момент обучения установить степень достижения промежуточных и итоговых результатов обучения учащихся. Имеется возможность самообразования и самооценки выполненной работы учащихся при помощи презентации ее на персональном компьютере.

В качестве домашних заданий учащимся предлагаются зачётные работы, состоящие из разноплановых индивидуальных заданий. На практикумах, самостоятельно сконструированные учащимися задачи обсуждаются и решаются в группах.

Контроль над овладением содержания курса проводится посредством анализа представленных учащимися работ, их обсуждения, презентации, тестов, взаимопроверки и осуществляется учителем в процессе:

1. Наблюдения;
2. Индивидуального собеседования;
3. Самостоятельной работы;
4. По итогам срезов знаний, умений в процессе обучения;
5. По итогам защиты результатов математического конструирования, моделирования и проектов учащихся;
6. В ходе проверки оформления рабочей тетради;
7. В ходе анализа письменных работ учащихся;
8. По результатам итогового зачёта.

Показателем эффективности обучения можно считать растущий интерес учащихся к математике, их творческую активность, улучшение результатов успеваемости по предмету.

Результатом освоения курса является отработка учащимися предметных знаний, умений, навыков, направленных на дальнейшее успешное освоение математики на профильном уровне.

Результаты освоения курса оцениваются по накопительной системе зачёт/незачёт.

[Модуль 1]
     МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

16 часов

Содержание курса посвящено рассмотрению наиболее эффективного метода решения неравенств - МЕТОДУ ИНТЕРВАЛОВ. Графический метод широко используется при решении задач, для нахождения области определения функции, области допустимых значений уравнений и при выяснении имеет ли смысл алгебраическое выражение. Вниманию учащихся в конце освоения данного  модуля предлагаются разнообразные задания: со степенными, иррациональными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими выражениями. Поэтому данный курс можно рекомендовать как для повторения, так и для закрепления изученного материала, тренинга к экзаменам за курс средней школы и вступительным экзаменам в вуз. Данный элективный курс структурирован по принципу от простого к сложному. Рассматриваются различные подходы к решению неравенств: от графического способа решения неравенств к алгоритму МЕТОДА ИНТЕРВАЛОВ. Учащимся предлагается сравнить, проанализировать и сделать вывод о выборе приёма решения того или иного неравенств.

В ходе изучения курса деятельность учащихся будет включать в себя изучение алгоритма МЕТОДА ИНТЕРВАЛОВ, решение задач по данной тематике, написание тестов, выполнение творческой работы, поиск и обработка информации по теме курса, выступления по защите своей работы, самостоятельное изучение темы с использованием компьютера, коллективные формы работы.

ЦЕЛЬ модуля.

Расширение и углубление знаний учащихся при овладении ими фундаментальным аппаратом решения неравенств МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ.

ЗАДАЧИ модуля.

1. Систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися при решении неравенств и систем неравенств на уроках.
2. Отработка алгоритма МЕТОДА ИНТЕРВАЛОВ.
3. Предоставление учащимся возможности самостоятельного изучения темы с использованием компьютера.
4. Обучение учащихся приёмам графического решения неравенств.
5. Знакомство с новыми понятиями, выходящими за рамки школьной программы.
6. Воспитание у учащихся культуры работы с чертежными инструментами и аккуратности выполнения графических работ.
7. Воспитание устойчивого интереса к предмету.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Определение функции. Элементарные функции. Графический способ задания функции. Построение эскиза графика, удовлетворяющего заданным условиям. Точки пересечения с осями координат. Промежутки знакопостоянства функции.
2. Графики элементарных функций. Графический способ решения неравенств.
3. Равносильные преобразования. Составление и решение совокупности систем неравенств по данному неравенству.
4. Обоснование «Метода интервалов». Уравнение. Корни уравнения. Корни чётной кратности. Алгоритм «Метода интервалов». Корни числителя и знаменателя. Наличие решения неравенства.
5. Особенности решения дробно-рациональных, степенных неравенств.
6. Занятие в компьютерном классе: презентация «Метод интервалов». Навыки работы в Power Point, элементы компьютерной графики и анимации.
7. Применение «Метода интервалов» к решению различных задач из курса алгебры. Показательные, логарифмические, тригонометрические, комбинированные неравенства. Простейшие задачи с модулем, с параметрами.
8. Конференция-обобщение.

 [Модуль 2 ]
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.

16 часов.

Математика является ведущим предметом на вступительных экзаменах в различные учебные заведения по многим специальностям. Вопросы, включенные в программу  модуля, не освещены в школьной программе для учащихся универсального профиля. Для успешной сдачи экзаменов необходимо расширить количество часов, отводимых на изучение темы и круга задач, связанных как с понятием иррациональности вообще, так и решением данных уравнений и неравенств в частности. Без поддержки этим курсом базового курса математики учащимся очень сложно самостоятельно подготовиться к успешной сдаче экзамена за курс средней школы по алгебре и началам анализа.

Спецкурс призван не только углублять знания школьников, но и развивать их интерес к предмету, формировать навыки самостоятельной исследовательской деятельности.

Содержание модуля систематизировано таким образом, что изучение всех практических вопросов обеспечивается знанием и пониманием графической интерпретации, что обеспечивает образование устойчивых связей и образов для улучшения усвоения материала и всего мыслительного процесса учащихся. Наглядность изучения поддерживается наглядными изображениями, работой с кодоскопом. Часть материала осваивается путём подведения учащихся под эмпирические обобщения, т.е. от частного к общему, что позволяет проявить творческий подход и улучшает мотивацию в процессе обучения.

ЦЕЛЬ модуля.

Обеспечение уверенного владения учащимися умениями и навыками решения иррациональных уравнений и неравенств.

ЗАДАЧИ модуля.

1. Систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися при решении заданий, содержащих иррациональные выражения.
2. Развитие устойчивого интереса к предмету математика.
3. Обучение методам и приёмам решения иррациональных уравнений, неравенств, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление.
4. Знакомство с новыми понятиями, выходящими за рамки школьной программы.
5. Формирование навыков и интереса к исследовательской деятельности.
6. Установление взаимосвязи между графическим способом функции и решением уравнений и неравенств.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Определение функции. Степенная функция. Свойства графиков функций. Взаимно обратные функций Графический способ задания обратной функции. Квадратичная функция. Построение эскизов графиков элементарных функций.
2. Преобразование графиков. Понятие «иррациональность». График функции вида

y=a(x-x0)0,5+y0, свойства, преобразование графика. Графический способ решения уравнений и неравенств.

3.  Равносильные уравнения и неравенства. Понятие иррационального уравнения. Нахождение области определения функции, области допустимых значений уравнения, составление уравнения функции по её свойствам.
4. Решение иррациональных уравнений. Оформление, приёмы и виды решения. Посторонние корни.
5. Системы иррациональных уравнений. Равносильность систем уравнений. Решение текстовых задач. Простейшие задания с параметрами.
6. Введение понятие иррационального неравенства. Основные элементы. Способы и виды решения простейших иррациональных неравенств.
7. Задания различного вида по подготовке к экзамену за курс средней школы: уравнения, неравенства, системы. Модуль. Параметры. Обобщение темы.
8. Итоговый письменный зачёт.

[Модуль 3 ]
ТРИГОНОМЕТРИЯ НА ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ.

18 часов.

Учащиеся испытывают серьёзные трудности при изучении темы ТРИГОНОМЕТРИЯ: подход к ней порой формален и сводится к заучиванию формул или использованию шпаргалок. Содержание модуля посвящено рассмотрению тригонометрических формул, решению уравнений и простейших неравенств с помощью единичной окружности. Это облегчает восприятие учащимися материала, создаёт зримый образ, иллюстрацию, что даёт толчок к развитию логического мышления. Поэтому данный модуль можно рекомендовать учащимся с любым уровнем математической подготовки. Графический метод широко используется при решении систем неравенств и задач с параметрами,  которые будут предложены вниманию учащихся в конце изучения материала. Данный модуль направлен на систематизацию, актуализацию знаний учащихся по рассматриваемой теме, углубление и расширение знаний учащихся через работу с единичной окружностью.

Деятельность учащихся включает изучение приёмов работы с единичной окружностью, алгоритмов решения уравнений и неравенств, решение простейших задач с модулем и параметрами по данной тематике, написание самостоятельных и зачётной работ, выполнение творческой работы – модели единичной окружности, поиск и обработка информации по теме курса, выступления по защите своей работы, индивидуальное собеседование и коллективные формы работы.

ЦЕЛЬ модуля.

Создание целостного представления о теме «ТРИГОНОМЕТРИЯ», формировании учащимися предметных компетентностей, направленных на успешную сдачу выпускного экзамена.

ЗАДАЧИ модуля

1. Систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися при изучении темы «ТРИГОНОМЕТРИЯ» на уроках.
2. Обучение учащихся приёмам работы с единичной окружностью.
3. Отработка алгоритмов решения уравнений и неравенств.
4. Предоставление учащимся возможности изучения темы с использованием компьютера.
5. Воспитание у учащихся культуры работы с чертежными инструментами и аккуратности выполнения графических работ.
6. Поддержка интереса к предмету через нетрадиционные формы работы подачи материала, возможность свободного творчества.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ.

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора. Определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла. Основное тригонометрическое тождество. Понятие единичной окружности. Радианная мера угла, дуги. Значения углов, закономерности изображения, соответствия значений на единичной окружности.
2. Основные формулы: вывод, применение. Тождественные преобразования. Модель единичной числовой окружности.
3. Обратные тригонометрические функции. Область определения функций, область значений тригонометрических функций, свойства, значения, графики. Задания на нахождение значений обратных тригонометрических функций.
4. Решение уравнений вида: а=sinx, а=cosx, а=tgx, а=ctgx на единичной окружности. Заполнение сводной таблицы по решению простейших тригонометрических уравнений. Использование обучающей компьютерной программы. Примеры уравнений, сводящихся к простейшим.
5. Задания с использованием свойств функций и единичной числовой окружности. Знакомство с системами тригонометрических уравнений.
6. Понятие основных тригонометрических неравенств и их систем. Запись ответа. Метод интервалов на плоскости. Усложнённые тригонометрические неравенства. Сокращение тригонометрических выражений.
7. Простейшие задания с модулем, параметрами. Приёмы решения. Подготовка к зачётной работе.
8. Защита письменного зачёта.

 [Модуль 4 ]
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНАРНЫХ ФУНКЦИЙ БЕЗ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ.

                  20 часов.

Данный учебный модуль предлагается учащимся в конце 10 класса универсального профиля, но может быть проведён как обобщающий и в 11 классе.

Содержание курса посвящено рассмотрению наиболее простых методов построения графиков элементарных функций. Графический метод широко используется при решении задач с параметрами, которые будут предложены вниманию учащихся при освоении данного модуля. Поэтому его можно рекомендовать как повторение, закрепление и тренинг к экзаменам за курс средней школы и вступительным экзаменам в вуз. За основу взят план элективного курса Русецкой М. Г. «Построение графиков элементарных функций» [1].

Деятельность учащихся включает изучение алгоритмов построения графиков элементарных функций, решение задач по данной тематике, написание тестов, выполнение творческой работы, связанной с формулировкой задания и построением графиков функций, поиск и обработка информации по теме спецкурса, выступления по защите своей работы.

В качестве домашних заданий учащимся предлагается работа по построению графиков функций повышенной сложности, и конструирование различных формул, задающих функции, графики которых необходимо построить. На практикумах, эти сконструированные задачи предлагаются для работы в группах

ЦЕЛЬ модуля.

Состоит в формировании у учащихся предметных компетентностей, направленных на успешную сдачу выпускного и вступительного экзаменов.

ЗАДАЧИ модуля.

1. Систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися при построении графиков функций на уроках.
2. Обучение учащихся приёмам построения графиков функций.
3. Установление учащимися наглядной взаимосвязи между свойствами функций, графиками функций и решением уравнений и неравенств.
4. Знакомство с новыми понятиями, выходящими за рамки школьной программы.
5. Отработка алгоритмов построения графиков.
6. Воспитание у учащихся культуры работы с чертежными инструментами и  аккуратности выполнения графических работ.
7. Развитие пространственного мышления учащихся.
8. Предоставление учащимся возможности самостоятельного конструирования задач по данной теме, их решения, презентации на занятиях.
9. Воспитание устойчивого интереса к предмету.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ.

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Определение функции. Графический способ задания функции. Построение эскиза графика, удовлетворяющего заданным условиям.
2. Линейная функция. Расположение графика функции в зависимости от коэффициентов. Алгоритм построения графика.
3. Квадратичная функция. Расположение графика функции в зависимости от коэффициентов. Алгоритм построения графика.
4. Степенная функция y=xn, nR: классификация видов графиков в зависимости от показателя степени. Графики показательной и логарифмической функций. Взаимное расположение графиков функций.
5. Построение эскизов графиков функций. Асимптоты.
6. Параллельный перенос вдоль осей координат. Сжатие и сдвиг.
7. Переменная под знаком модуля. Способы построения эскизов графиков функций, содержащих модуль.
8. Взаимно обратные функции. Использование свойств функций при построении их графиков: чётность, нечётность, периодичность, монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения.
9. Понятие сложной функции. Построение эскизов графиков сложных функций.
10. Применение изученного материала к решению задач из алгебры: графический способ решения уравнений и неравенств, решение простейших задач с параметрами.

АННОТАЦИЯ.

Дорогие ребята!

Если Вы хотите повысить уровень своей математической подготовки, овладеть конкретными знаниями и умениями, развить творческое мышление, логику, познакомиться с новыми математическими понятиями, на которые  не остается времени на уроках, то предлагаемый курс окажет Вам в этом существенную помощь.

Вам будут предложены для ознакомления многие важные вопросы математики. Так, Вы сможете убедиться, что метод интервалов - самый быстрый и экономичный способ решения неравенств, а находить корни иррациональных уравнений и неравенств может каждый из Вас, кто аккуратно подходит к решению задачи. Вам предстоит научиться строить эскизы достаточно громоздких функций и решать задания, содержащие пока еще пугающие Вас тригонометрические выражения.

Многие примеры, используемые на занятиях, будут взяты из вариантов, предложенных на выпускных школьных и вступительных экзаменах в вузы Санкт-Петербурга.

Вы будете работать в парах и группах, сможете поучаствовать в дискуссиях и обсуждениях. Познавательная работа на занятиях будет сочетаться с исследовательской домашней работой. Ряд вопросов будет рассмотрен с использованием компьютера.

Выбирая данный элективный курс, Вы сможете заново понять, систематизировать пройденный материал и расширить и углубить свои знания по различным вопросам математики.

ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Жигулёв Л. А., Лукичёва Е. Ю. «Математика. Программы. Разработки уроков. Методические материалы» - СПб, СМИО Пресс,2006.
2. Дорофеев Г.В. «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы.11 класс». – М.: Дрофа,2002.
3. Лукичёва Е. Ю., Муштавинская И.В. «Математика в профильной школе: Пособие для учителя (Серия «Профильное обучение»).- СПб: филиал изд-ва «Просвещение»,2005.
4. Русецкая М. Г. « ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ЭЛЕМЕНАРНЫХ ФУНКЦИЙ». Разработки уроков. Методические материалы» - СПб, СМИО Пресс,2006.

Вспомогательная:

5. Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа10-11».- Просвещение,2004.
6. Бельфор В. М. «Беседы об элементарной математике и не только». Ч.1. Элементарные функции.- СПб: МАФО,2005.
7. Боревский Л. Я. «Курс Математики 2000 для школьника и абитуриентов базовый полная теория решение задач». - Москва, МедиаХауз,2000.
8. Васильева Н.И. «Абитуриенту-98».-НПО «Мир и семья-95», 1998.
9. Гельфанд И. М. и др. «Функции и графики». - М.: Наука,1973.
10. Гурский И. П. . «Функции и построение графиков». М.: Просвещение,1989.
11. Жигулёв Л. А. «Линейная функция. Учебные задания для учащихся заочной математической школы при ЛГУ». - Л.:ЛГУ,1989.
12. Зив Б. Г. «Задачи по алгебре и началам анализа».- СПб, «Мир и семья-95»,1997.
13. Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа». - М.: «Просвещение»,1990.
14. Митбрейт Ю.Б. «Абитуриенту: построение графиков».- СПб: Нева-Визит, 2004.
15. Сканави М.И. «Сборник задач для поступающих во Втузы». - Москва «Высшая школа»,1997.
16. Шахмейстер А.Х. «Построение графиков функций элементарными методами». - СПб: ЧеРо-на-Неве,2004.
17. Ярмолюк В. Е. «Методические рекомендации к применению лекционно-семинарского метода преподавания математики». - ЛГИУУ Ленинград,1989.