Комбинаторика. 5класс
методическая разработка по алгебре (5 класс) по теме

Пособие включает в себя задачи различные задачи по комбинаторике и теории вероятности для учащихся 5-6 классов. Эти задания могут быть использованы в качестве дополнительно учебного материала.

Задачи по комбинаторике и теории вероятности

5 класс

1. Женя, Дима, Максим и Алеша сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего было сыграно партий?
2. Вася, Коля, Петя, Наташа и Аня – лыжники. Для участия в соревновании нужно выбрать одного мальчика и одну девочку. Сколькими способами это можно сделать?
3. В магазине продаются 3 вида шоколадок и 4 вида мороженного. Лена хочет купить шоколадку и мороженое. Сколькими способами это можно сделать?
4. На гору ведут 5 дорог. Сколькими способами можно выбрать маршрут для того, чтобы подняться на гору, а потом спуститься с нее? Как изменится ответ, если нельзя подниматься и спускаться по одной и той же дороге?
5. Пятеро ученых, участвовавших в конференции, обменялись рукопожатиями. Сколько всего рукопожатий было сделано?
6. На прощание ученые обменялись визитными карточками. Сколько всего карточек было передано из рук в руки?
7. Вершины графа обозначают населенные пункты, ребра – дороги. Сколькими способами можно выбрать маршрут из А в С? Сколькими способами можно доехать из А в С, а затем вернуться обратно, если нельзя дважды проезжать по одной и той же дороге?
8. А) Сколько существует двузначных натуральных чисел? Б) Секретный замок может быть открыт только в том случае, если правильно набрать комбинацию цифр от 0 до 9 на двух барабанах. Сколькими способами можно выбрать шифр секретного замка? Совпадает ли число двузначных чисел с числом способов выбора шифра замка? В каком случае это число больше и почему?
9. Секретный замок состоит из двух барабанов, на каждом из которых нужно выбрать цифру от 0 до 9, если цифры на барабанах не должны повторяться?
10. Секретный замок состоит из двух барабанов, на каждом из которых нужно выбрать цифру от 0 до 9. Сколькими способами можно выбрать шифр замка?
11.  В финале школьного конкурса знатоков футбола участвовало 10 мальчиков. Двух победителей ожидали призы: футбольный мяч за первое место и книга за второе место. Сколькими способами эти призы могут распределиться между участниками конкурса?
12. Реши задачу и составь к ней граф : Саша, Петя и Коля собираются сесть в трехместную байдарку и думают, кому из них сесть спереди, кому посередине, а кому на корме. Сколькими способами мальчики могут разместиться в байдарке?
13.  Сравни задачи, найди между ними сходство. Решаются ли они одинаково? А) Для того, чтобы открыть дверь подъезда, нужно правильно набрать трехзначный код замка. Сколькими способами можно выбрать код, если все его цифры должны быть различными? Б) В пятом классе учатся 8 шахматистов, в шестом -10, а в седьмом- 9. Для участия в соревнованиях нужно выбрать по одному шахматисту из каждого класса. Сколькими способами это можно сделать? В) Из трех классов нужно выбрать по одному лыжнику. Этот выбор можно сделать105 способами. Сколько лыжников в каждом классе?
14. Сравни задачи, найди между ними сходство и различие: А) На участке вскопали три грядки и решили посадить капусту, морковь и свеклу. Сколькими способами можно выбрать грядку для посадки каждого из овощей? Б) Дрессировщику нужно вывести на арену одного за другим четырех хищников – льва, тигра, леопарда, пантеру. Он думает, кого поставить во главе шествия, кого вторым, кого третьим, а кого последним. Сколькими способами можно выбрать порядок следования зверей?
15. Сравни задачи, в какой из задач искомое число способов больше: А) Три шарика – черный, белый и серый – нужно распределить по трем коробкам – красной, синей, желтой. Сколькими способами это можно сделать? Б)  Три шарика – черный, белый и серый – нужно распределить по трем коробкам – красной, синей, желтой. Сколькими способами это можно сделать, если в каждой коробке может лежать только один шарик?
16. Сравни следующие задачи: А) На стол бросают три монеты: 1-рублевую, 2-рублевую, 5-рублевую. Сколькими способами он могут упасть? Б) Три кубика – черный, белый и серый – нужно распределить по двум коробкам – красной и синей. Сколькими способами это можно сделать, если допускаются любые варианты раскладки?
17.  Реши задачу с помощью точечного графа: 20 одноклассников – большие любители домашних животных. При этом кошка есть у 15, собака – у 13 из них. У скольких ребят дома есть и кошка, и собака?
18. Реши задачу с помощью точечного графа. Среди 16 студентов одной группы английский язык знают 10 человек, французский 8. Сколько студентов знают оба языка, если каждый владеет хотя бы одним из этих языков?
19. Реши задачу с помощью точечного графа. Среди 16 студентов группы японский знают 9 человек, китайский 8, а трое говорят на обоих языках. Сколько студентов не знают ни одного языка?
20. Найдите математическое сходство между задачами: А) В комнате три светильника – торшер, бра и настольная лампа. Какой из этих светильников может гореть или не гореть. Сколькими способами можно осветить комнату? Б) Компьютер выбирает последовательность, состоящую из трех цифр, каждая из которых либо «0», либо «1». Сколько таких последовательностей может выбрать компьютер?
21. Придумай задачу с аналогичным решением: среди учеников одного класса кататься на лыжах любят 17 человек, играть в шахматы – 15, 8 – увлекаются и лыжами, и шахматами, а двое не любят ни того, ни другого. Сколько учеников в этом классе? (Реши задачу арифметическим способом и с помощью точечного графа)
22. Простейшие задачи теории вероятности: А) подбрасывается монета. Что вероятнее: Монета упадет гербом вверх  или гербом вниз? Б) подбрасываются две монеты. Какое из двух событий более вероятно: 1) выпадут два орла; 2) на одной монете выпадет «орел», на другой «решка»? В) В классе 8 мальчиков и 16 девочек. Что вероятнее: под первым номером в классном журнале записан мальчик или девочка?
23.  Бросается игральный кубик. Какое событие более вероятно: А) число выпавших очков четно; Б) это число нечетно.
24. Подбрасывается  игральный кубик. Какое событие более вероятно: А) сумма выпавших очков равна двум; Б) эта сумма равна трем?
25. Подбрасывается игральный кубик. Какое событие более вероятно: А) сумма выпавших очков равна трем; Б) эта сумма равна 11?
26. Ваня живет в трехэтажном доме, но неизвестно на каком этаже. Что вероятнее А) Ваня живет на четном этаже? Б) Ваня живет на нечетном этаже? Во сколько раз одно событие вероятнее другого?
27. Случайно выбирают одно из однозначных натуральных чисел. Какое  событие более вероятно: выбрано четное число или выбрано нечетное число. Ответ поясните.
28. У кошки три котенка – два белых и один черный. Представь, что ты не глядя, берешь в руки двух котят. Какое событие имеет большую вероятность? А) У тебя два былых котенка? Б) Один – белый, другой – черный? Во сколько раз одно из этих событий вероятнее другого?
29. У собаки 3 черных щенка и один пестрый. Из них случайно выбираются два. Сравни вероятности: оба щенка черные, один из них пестрый.
30. Невозможные и достоверные события. Ты бросаешь два игральных кубика. Какие события достоверные и какие невозможные: А) сумма выпавших очков меньше двух; Б) разность выпавших очков – четное число; В) выпавшие очки взаимно простые числа; Г) произведение очков меньше 37. Д) частное от деления  очков не больше 6?
31. Сравни задачи: А) четверо друзей обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий? Б) Воспитательница должна поставить в пары четверых детей. Сколькими способами она может это сделать? В) Сколькими способами можно поставить в пары шестерых детей?
32.  В вазе лежит 1 красное яблоко и 3 зеленых. Представь, что ты не глядя берешь одно яблоко. Какое событие более вероятно: 1) у тебя красное яблоко; 2) у тебя зеленое яблоко. Во сколько раз одно из этих событий вероятнее другого?
33. Сравни задачи: А) в комнате три светильника. Каждый из них может гореть или не гореть. Сколькими способами можно включить эти светильники? Б) в комнате три светильника. Каждый из которых может гореть, не гореть или гореть вполнакала. Сколькими способами можно включить эти светильники?
34. В коробке лежат 3 красных кубика, 2 синих и 1 белый. Какова вероятность того, что ты взял: А) красный кубик; Б) синий кубик; В) белый кубик; Г) не красный кубик; Д) не синий кубик.
35. В футбольном турнире участвовало 6 команд, каждая из которых сыграла с каждой по одному матчу. Сколько всего было проведено игр? Сколько игр должно состояться в турнире с участием 7 команд, 8 команд? В турнире проведено 55 игр. Сколько в нем участвовало команд?
36. В собачьем питомнике живут 8 овчарок и 9 ротвейлеров. Собаковод хочет приобрести 1 овчарку и 1 ротвейлера. Сколькими способами он может выбрать собак?
37. Сколькими способами 16 футбольных команд могут разыграть между собой золотые, серебряные, бронзовые медали?
38. Секретный замок состоит из трех барабанов, на каждом их которых набирается одна из цифр от 0 до 9. Сколько существует способов выбрать код секретного замка? Как изменится ответ, если владелец замка выбирает только нечетные цифры?
39. На огороде 3 грядки. На одной из них хотят поместить капусту, на другой – морковь, на третьей – свеклу. Сколькими способами можно выбрать грядку для каждого из этих овощей?
40. Сколькими способами можно разложить яблоко, грушу, апельсин, мандарин по двум разным тарелкам?
41. Из чисел 1,2,3,4 случайно выбираются два числа и находится их сумма. Что вероятнее: значение суммы четно или значение суммы нечетно?
42. Трое ребят играли в шашки. Всего было сыграно 3 партии. Сколько партий сыграл каждый, если все они сыграли поровну?

Используемая литература:

А.Г.Ванцян Математика 5-6 класс.

А.Г.Ванцян Дополнительные главы к учебнику математики