МОУСОШ   п. Кумены

Программа курса по выбору для основной школы

ТЕМА:

«Этот коварный модуль»

Составитель программы:

Шехирева Н.В. – учитель математики

(высшая квалификационная категория)

п. Кумены

                                                  Пояснительная записка.

 Данный курс предназначен для учащихся 9-х классов (1-е полугодие), проявляющих интерес и способности к изучению математики.

  Курс рассчитан на 16 часов, то есть на еженедельное одночасовое занятие в классе и домашнюю работу.

  Предлагаемый мною курс важен, во-первых, потому, что задачам с модулями в школе уделяется очень мало времени, хотя эта тема связана  практически со всеми разделами школьной программы и является сложным учебным заданием для большого массива учащихся, вызывает у многих страх; во-вторых, потому, что задачи, связанные с абсолютными величинами часто встречаются на математических олимпиадах, включены в экзаменационные работы по итоговой аттестации не только на уровне обязательной подготовки, но и на повышенном уровне и в конкурсные экзамены в высших и средних учебных заведениях; и в-третьих, эта тема, на мой взгляд, особенно удобна при повторении и углубленном изучении математики.

  Целью курса является расширение знаний учащихся по одной из основных наиболее значимой теме «Модуль» расширение их (учащихся) математического кругозора, развитие логического мышления, формирование исследовательских навыков, что в дальнейшем непременно повысит предмет учащихся к предмету.

  Идеей курса является развитие системы ранее приобретенных знаний и умений по теме «Модуль», углубление и расширение курса математики основной школы, а также подготовка учащихся к итоговой аттестации и самоопределению в выборе профиля обучения, уточнению готовности и способности ученика осваивать выбранный курс на повышенном уровне. Именно поэтому при отборе задач я не стремилась выбрать большое количество нестандартных задач, такие задачи можно найти в различных сборниках. Наоборот, основу задач настоящего курса составили задачи, которые в разное время включались в разные школьные учебники и задачники. Многие из них, хотя и не входят в действующие учебники, по-прежнему лежат в основе задач, предлагаемых  на олимпиадах,  выпускных и вступительных экзаменах, Занятия проводятся в форме классно-урочной системы с использованием ее видов: лекций, бесед, докладов учащихся, практикумов по решению задач. Контроль проводится в форме: уровневой и домашней самостоятельных работ, теста и зачета.

Структура курса.

Содержание программы.

ТЕМА 1:  «Уравнения и неравенства с неизвестной под знаком модуля». (5 часов)

На первом занятии учащимся сообщается цель и значение курса. Рассматриваются определение модуля и его свойства, способы и методы решения простейших уравнений и неравенств по определению модуля из курса алгебры 7-8 класса.

 На последующих занятиях рассматриваются решение уравнений и неравенств с модулями различными методами, а именно: методом возведения в квадрат, интервалов и графическим.

 После решения уравнений и неравенств этими методами у учащихся, естественно, возникает вопрос об общих методах. Поэтому на последнем уроке (занятии) целесообразно показать несколько общих методов решения уравнений и неравенств с модулем.

 В результате учащиеся должны знать методы решения уравнений и неравенств с модулем в любых ситуациях, что необходимо для дальнейшего изучения тем 2 и 3.

  Используемые виды деятельности при изучении этой темы: лекции, беседы, практикумы по решению задач.

 Контроль по теме проводится в форме разноуровневой самостоятельной работы.

ТЕМА 2:  «Системы уравнений и неравенств с неизвестной под знаком модуля». (3 часа)

  В этом блоке рассматриваются способы и методы решения систем уравнений и неравенств с модулем.

 В процессе изучения этой темы идет применение знаний и умений, полученных при рассмотрении ТЕМЫ 1, а также расширение и углубление знаний по этой теме, так как задач такого типа не достаточно в учебниках алгебры.

 В результате учащиеся должны знать методы и способы решения систем уравнений и неравенств с модулем и уметь применять их на практике.

 Используемые виды деятельности при изучении этой темы: лекция, беседа, практикум по решению задач.

 Контроль по теме проводится в форме теста.

ТЕМА 3: «Построение графиков функций, выражения для которых содержат знак модуля»

  Эта тема посвящена рассмотрению правил построения графиков различных видов функций с модулем: линейной, обратной пропорциональности; кубической, квадратичной, вида y=√x; различных  сложных функций.

 Также рассматривается построение графиков функций, содержащих двойной и тройной модули и построение графика уравнения вида ⎜y ⎜=f (x).

 К первому занятию по этой теме учащимся дается опережающее домашнее задание: подготовить небольшие доклады по теме «Построение графиков простейших функций с модулем», используя указанную литературу. В конце темы подводится итог: Обобщение методов построения графиков функций с модулем.

 В результате изучения темы учащиеся должны знать правила построения графиков функций различных видов и уметь эти графики функций построить.

 Используемые виды деятельности: лекция, беседа, практикум по решению задач, доклады учащихся.

 Контроль по теме проводится в форме домашней самостоятельной работы.

  В заключение курса проводится обобщающий зачетный урок. Для его проведения предлагается разбить учащихся на пять групп. Каждая группа получает набор заданий по данной теме изученного курса. Дается время на подготовку. После выполнения заданий, каждая группа защищает выполнение одного из своих заданий по выбору учителя.  Остальные группы выполняют роли оппонентов, рецензентов, защитников. В конце занятия учитель подводит общий итог изучения данного курса и оценивает работу каждой группы.

Календарно – тематическое планирование

ПРИЛОЖЕНИЯ:

Ι. Содержание занятий курса.

     1 занятие

Теоретический материал этого занятия оформлен на опорной карте (которую получают ученики перед занятием), используя которую учитель ведет беседу с учащимися по теме.

               x, если x≥0                                         Свойства модуля:

 ⏐x⏐=                                        1. ⏐х⏐≥0

               x, если x•0                                     2. ⏐х⏐=⏐−х⏐ 

⏐x⏐=a                                                            3.  ⏐ху⏐=⏐х⏐∗⏐у⏐

⏐х⏐

⏐у⏐

х

у

                                                                        5. ⏐х⏐2 = х 2

                                                                        6.  ⏐х+у⏐≤ ⏐х⏐+⏐у⏐ 

                                                                        7.    ⏐х-у⏐≥ ⏐х⏐-⏐у⏐   

   Модулем  х называется само это число, если оно неотрицательно, и противоположное к нему число, если оно неотрицательно.

⏐−5⏐=⏐5⏐               -5           0              5                      Таким образом, модуль всякого числа  -  это

                                                                                                    расстояние от точки, изображающей на число-                      

                                                                   вой оси  0 ,  до точки, изображающей это  

                                                                   число.

Примеры  раскрытия модуля по определению:

                         х≥3, то х-3

а)   ⏐x-3⏐=       х•3, то 3-х

б) ⏐х⏐+⏐х-1⏐                        ! х=0 и х=1 – точки, при переходе через которые могут

                                                  менять знак выражения, стоящие под знаком модуля.

       0                 1

                           х<0, то  -х-х+1= -2х+1

⏐х⏐+⏐х-1⏐=     0≤ х ≤ 1, то х-х+1=1

                           х>1, то  х+х-1= 2х-1

Раскрыть модуль самостоятельно:

а) ⏐5−х⏐;  б) ⏐−х - 4⏐; в) ⏐3-х⏐;  г) ⏐х⏐+⏐4-х⏐

Примеры решения уравнений и неравенств с модулем (освобождение модуля по определению)

1. ⏐х-1⏐• 3

              х-1≥ 0                                     х ≥ 1

         х-1• 3                                     х • 4                     -2                   1                  4                       х

                               ⇔ 

                х-1• 0                                   х•1                    Ответ: х∈ (−2;4)

              - х +1 • 3                                х • -2

2)   ⏐ х-1⏐= 2х

              х-1≥ 0                                   х ≥ 1        ∅                              1

              х-1=2х                                  х = -1                    Ответ:  х = 3

                              ⇔ 

              х-1• 0                                    х< 0

              -х+1< 3                                        1

                                                            х =  3

 В зависимости от класса (сильный, слабый):

1. решить самостоятельно (помощь отдельным ученикам)
2. разбор у доски

а)    2х+3    

        3х-2    >1

        2х+3    

        3х-2  ≥ 0                                    2х+3≥ 3х-2                          х<5

        2х+3                                                                                             2

        3х-2 •1                                       3х-2≠0                                 х≠  3

                               ⇔                                            ⇔

        2х+3                                                                                                1

        3х-2  • 0                                     2х+3•2-3х                            х• -  5

        2х+3                                                                                               2

        3х-2 •1                                        2-3х ≠0                                х ≠   3

                                                                                      1     2          2

                                                               Ответ: х ∈ (- 5 ;   3 ) ∪(  3 ; 5)

-1/5                 2/3                 5

б) ⏐х2+х+1⏐= х

      х2+х+1≥ 0                            х = R

      х2+х+1=х                             ∅

                              ⇔

      х2+х+1• 0                             ∅     

                                                              1

     х2+х+1= - х                           х  = -  2         Ответ: корней нет

 В сильном классе можно показать примеры  решения уравнения и неравенства с двойным модулем.

1) ⏐⏐3-х⏐+1⏐•3                                                                                            

       3-х >0                              х• 3                               х • 3                          

      ⏐3 –х + 1⏐• 3                   4 – х • 0                       х – 2 • 0

                                  ⇔          4 – х – 3 • 0                 -2 + х •3   ⇔             

                   И                                              

       3 – х • 0                          х • 3                              х • 3                          

      ⏐- 3 + х+1⏐•3                  4 – х • 0                        х – 2 • 0

                                                 4 + х - 3• 0                 -х + 2 •3

        х • 3

        х • 4       ⇒   х • 1

        х • 1

        х• 3

        х • 4       ⇒  ∅

        х • 7                                                    

        х • 3                                                    

        х • 2        ⇒   х •5                                             

        х • 5                                                    

        х •3                                                    

        х • 2          ⇒  ∅                                         

        х • -1                                                    

Ответ: х ∈ (-∞; 1)∪(5; +∞)

2) ⏐х - ⏐4 - х⏐⏐- 2х =  4                                                                             2х –4 ≥ 0

                                                                                                                     2х – 4 – 2х= 4

        ⏐х – 4 + х⏐ - 2х = 4                      ⏐2х -4⏐- 2х =4                              4 – х ≥ 0

        4 – х ≥ 0                                          4 – х ≥ 0

                                                 ⇔                                        ⇔                     2х - 4≤ 0         ⇔

        ⏐-х + 4 - х⏐-2х = 4                        ⏐4⏐- 2х = 4                                  -2х + 4 –2х = 4

        4 – х ≤ 0                                          4 – х ≤ 0                                        

        4 – 2х = 4

        4 – х ≤ 0

            ∅

           х ≤ 4

           х ≤ 2      ⇒     х = 0

           х = 0

           х = 0

                        ⇒     ∅

           х • 4

Ответ: х = 0

Дополнительно (может быть в качестве домашнего задания):

а)  ⏐х2 – 3х + 2⏐ ≤ 2х – х2

        1

Ответ: [  2 ;  2] 

              3х2

б)  х2 -  ⏐х⏐  = 0            Ответ:   х = 3; х = -3

        1

в)  ⏐ 1 – 2х⏐ • 3 - х        Ответ:   х ∈ (−∞;−2) ∪ [  2; +∞)

        2

г)    ⏐5х – 2х + 1⏐• 1         Ответ:   (0;  5)

2 –3 занятие

  Теория второго занятия оформлена в виде опорной карты и предлагается учащимся в виде лекции.

Метод возведения в квадрат.

Примеры решения неравенств методом возведения в квадрат

1) ⏐х - 1⏐• 3

    3 • 0

                              ⇒      х2 – 2х – 8 • 0

    х2 – 2х + 1 • 9

                                     х

                                                                                                -2                      4

Ответ: х ∈ (-2; 4)

2)  ⏐⏐х - 3⏐ - 5⏐• 2

      ⏐х - 3⏐2 - 10⏐х – 3⏐ + 25 • 4                 ⏐х – 3⏐ = t

       2 • 0

        t

       t2 –10t +21 • 0          3                         7

       t ∈ (-∞; 3) ∪ (7; +∞)

       ⏐х - 3⏐ • 3                      (0;6)

                              ⇒         

       ⏐х – 3⏐ •7                      (-∞; -4) ∪ (10; +∞)

Ответ:  х ∈ (-∞; - 4) ∪ (0;6) ∪ (10; +∞)

Решить самостоятельно:

⏐3х -2⏐• 2х - 1

                1                                       1

      2х – 1 ≥ 0              х ≥    2         х ≥ 2

                                                     ⇒                                               ⇒        3

      9х2- 12х + 4 •  4х2 – 4х + 1                      5х2- 8х + 3 • 0                   5  • х • 1

                3

  Ответ: х ∉ (  5; 1)                                                                             х

                1/ 2               3/5                    1

  Теория третьего занятия дается учащимся в виде опорной схемы и предлагается учащимся в виде рассказа.

Метод интервалов.

    Надежный и почти универсальный, хотя и не всегда самый короткий, метод решения уравнений и неравенств с неизвестной под знаком модуля называется  методом интервалов и может быть описан так:

1. Определяем точки,  при переходе через которое хотя бы одно из выражений,      

     стоящих под знаком модуля, может менять знак. (Для известных нам в    

     настоящее время выражений – это точки, в которых числитель выражения

     обращается в 0, и точки,  в которых знаменатель выражения обращается в 0.)

!!! Не обязательно в этих точках происходит смена знака, но в других точках она происходить не может. Почему – вы поймете в 10-м классе, когда познакомитесь с понятием непрерывной функции.

2. Разбиваем числовую ось на интервалы с концами  в найденных в п.1 точках, в том числе интервал  от -∞ до крайней левой точки и интервал от крайней правой точки до +∞.
3. Для каждого из этих интервалов определяем (постоянные на этом интервале) знаки выражений, стоящих под знаками модуля, и «раскрывает» эти модули в соответствии с определенными знаками.
4.  Для каждого из этих интервалов записываем системы, состоящие из неравенств, задающих интервал (задающих условия принадлежности).

Примеры  решения уравнений и неравенств методом интервалов:

1)  ⏐х⏐+ ⏐7 - х⏐+ 2⏐х - 2⏐= 4

х = 0   х = 7   х = 2

        -        +                +        +        ⏐х⏐

        +        +                +             -                                         ⏐7 - х⏐

        -       0         -     2       +        7    +                                ⏐х – 2⏐

      х • 0                                                                х • 0

     -х + 7 – х - 2х + 4 = 4                                    -4х = -7         ∅

     0 ≤ х ≤ 2                                                           0 ≤ х ≤ 2

     х + 7 – х – 2х +4 = 0            ⇔                      -2х = -7         ∅

     2 • х ≤ 7                                     2 • х ≤ 7

     х + 7 – х + 2х – 4 = 0                                        2х = 1            ∅ 

     х • 7                         х ≥ 7

     х – 7 + х + 2х – 4 = 4                                        4х = 15          ∅

Ответ: ∅

2) 2⏐1 - х⏐-⏐2х -3⏐• 5

х = 1                 х = 1,5

     +              --                -                   ⏐1 - х⏐

     -              -                +                 ⏐ 2х - 3⏐

        х • 1

        2(1 – х) + 2х – 3 • 5        ( -∞;1)

        1 ≤ х • 1,5

        2х – 2 +2х –3 • 5           ⇔                 [ 1; 1,5)

        х ≥  1,5

        2х – 2 –2х +3 • 5                                [1,5; + ∞

Ответ: х ∈ R

3)     ⏐3х⏐                                 ⏐3х⏐ - ⏐х2 - 4⏐

      ⏐х2 - 4⏐ ≤ 1    ⇔    f(x) =        ⏐х2 - 4⏐

D (х2 –4) = (-∞;-2) ∪ (2; +∞)

Решаем: х2 – 3х –4 = 0    и     х2 +3х – 4 = 0

        Корни: -1; 4т   и 1; -4.

  -         +        +        -        +                +        -

                 х

             -4                  -2                      -1                     1                      2                      4              

Ответ: х ∈ (-∞; -4] ∪ [-1;1] ∪ [4;+∞)

4) ⏐х⏐+⏐х - 1⏐=1

      х = 0     х = 1

⏐х⏐

      -                 +               +               ⏐х - 1⏐

        -        0        -         1        +                

       х • 0          х • 0         х • 0

     - х – х + 1 = 1        -2х = 0         х = 0             ∅

       0 ≤ х • 1           ⇔           0 ≤ х • 1               ⇔

       х – х + 1 = 1         1 = 1        0 ≤ х • 1

       х ≥ 1          х ≥ 1        х ≥ 1

       х + х – 1 = 1         2х = 2        х = 1        х = 1

Ответ:  х ∈ [0;1]        

Далее в зависимости от класса: решают у доски или самостоятельно:

а) х2 • ⏐5х+6⏐

   х2 = 5х + 6        х2 –5х – 6 = 0

        то есть

   х2 = -(5х + 6)                        х2 +5х + 6 = 0

корни:  -1; 6; -2; -3.

   +        -        +        -        +

            х

  -3                    -2                    -1                      6

Ответ: ( -∞; -3) ∪ (-2; -1) ∪ (6;+ ∞)

б)      ⏐х2 +2х -2⏐ = х + 1

⏐х2 +2х -2⏐ = х + 1   ⇔   х + 1 ≥ 0 и х2 +2х –2 = х +1    или    х2 +2х –2 = -(х+1)

                                                               -1-√13

х ≥ -1        х1 =      2

                                  -1+√13                        х ≥ -1

х2 + х –3 = 0        х2 =      2

                                        ⇔               -3-√13

х ≥ -1        х1 =     2

                                   -3 +√13                         х ≥ -1

х2 +3х –1 = 0        х2 =      2

        -1 + √13        -3 +√13

Ответ: х =               2          ;   х =         2

Дополнительно, или в качестве домашнего задания:

1)  ⏐2х -1⏐ ≤ ⏐3х + 1⏐ Ответ:   (-∞;-2] ∪ [0; +∞)

2)  ⏐2х +1⏐≥ 7х – 2         Ответ: ( -∞;  3 ]

        5          2

3)    ⏐х + 1⏐-⏐х + 2⏐-⏐х +3⏐+ 2 ⏐х -4⏐• 1   Ответ: (-∞;   3 ) ∪ (14; +∞)

4)    ⏐х – 1⏐+ ⏐х – 3⏐•  х + 1

5)    ⏐х -1⏐+ ⏐х -2⏐+⏐х - 3⏐= 6

6)    ⏐х – 9⏐+⏐х -10⏐• х -2

7)    ⏐х – 5⏐+⏐х - 6⏐+⏐х - 7⏐ = 15

4 занятие

 Теория этого метода описывается в виде беседы  и показывается на конкретных примерах:

1) ⏐х - 1⏐≥ 1

        х – 1, если х ≥ 1

     ⏐х - 1⏐ =  

                         1 – х, если х • 1

y = х – 1 -  лин. функция, график прямая

    х         6        1

    y        -5        0        х ≥ 1

у = 1 – х  - лин. Функция, график прямая        

  х        -1        0

   у         2        1             х • 1

Строим графики этих функций и у = 1

        у

     у=1-х

        у=1

        х

        -1    0  1

        у=х-1

         -5

Ответ: х ∈ (-∞; 0]

2) ⏐х⏐ + 3⏐х -1⏐ • 15

              3 –4х, х •  0

⏐х⏐+3⏐х - 1⏐ =     3 – 2х, 0 ≤ х • 1

                                4х –3, х ≥ 1

у = 3 – 4х  - лин. Функция, график прямая

  х    -1        -2

  у      7        11        х • 0

у = 3 –2х   -   лин. функция, график прямая

  х      0       0,5

  у      3         2        0 ≤ х • 1

у = 4х – 3    -  лин. функция, график прямая

  х      1        2

  у      1        5                  х  ≥ 1

Строим графики этих функций и у = 15

                                                     У

                                                                                             х

Ответ: х ∈ (-3; 4,5)

Далее решаем самостоятельно или у доски  (в зависимости от класса):

а)   ⏐х +2⏐ + ⏐х – 3 ⏐• 5        е)  ⏐х - 2⏐+2⏐х – 1 ⏐+3⏐х⏐= 5

б)  ⏐7х⏐+⏐х - 7⏐  ≥ 2                                                    ж)   ⏐12х –5 ≤ 1

в)    х2 + ⏐х⏐-6 = 0                                                         з)    х2 -2⏐х ⏐- 15 = 0

г)   2х2 + ⏐х⏐-1 = 0

д)   ⏐х -2⏐-⏐х-3⏐• 2

Домашнее задание:  подготовиться к разноуровневой самостоятельной работе.

5 занятие

1. В виде беседы идет обобщение методов решения неравенств и уравнений с модулем:

3. использование геометрической интерпритации.
4. Освобождение от модуля по определению.
5. Метод возведения в квадрат.
6. Метод интервалов.
7. Графический метод.

2)  Проводится разноуровневая самостоятельная работа (прилагается)

6 –7 занятие

Решение систем уравнений и неравенств с модулем рассматривается на конкретных примерах (используется обьяснительно – иллюстративный метод):

1) ⏐х - 5⏐= 3        Решение уравнений любым методом (выбирают сами

     ⏐х - 4⏐= 2        учащиеся).

⏐х - 5⏐= 3        ⏐х - 4⏐= 2

х = 8 или х = 2        и         х = 6  или х = 2

Ответ: х = 2

2)     ⏐х – 1⏐≤  2                           Решение уравнений любым методом (выбирают сами

         ⏐х – 4⏐≥ 5        учащиеся)

⏐х – 1⏐≤ 2        х ∈ [-1;3]

      -1         1        3        х ∈ (-∞;-1] ∪ [9; +∞)

⏐х - 4⏐≥ 5        

        х

  -1         4               9        -1              3              9  

Ответ:  х = -1

Далее идет решение у доски (или самостоятельно) на усмотрение учителя:

а)   ⏐х - 3⏐• 5        б)  ⏐2х – 1⏐•  5        в)   ⏐х ⏐+ у =5

      ⏐х - 2⏐≥ 1             х + 3                                   х +4у =5

             х – 2    ≤ 0

г)  ⏐ х + 2⏐ + у = 2        д)    ⏐х – 4⏐•  х - 3

      у + 2 = ⏐х + 2⏐                                     ⏐х – 1⏐ + ⏐х –2⏐ + ⏐х – 3⏐• 6

Дополнительно:             х

1.    3- 2х •  2-х                        2)   3 ( 1  -   2) • 2х - 1

       -6  ≥ -3х        ⏐х – 1⏐ + ⏐х – 2⏐• 3 - х

       3х –2 ≥  5х –9

      ⏐х-4⏐• 1

      3)     ⏐ х - 1⏐• 9 – 2х

              ⏐х - 5⏐+⏐х - 6⏐+⏐х - 7⏐ • 15

       4)    3 ⏐х⏐+2у = 1        5)  ⏐ х – 3⏐ ≤ 2х - 3                6)    ⏐2х – 5⏐• 3

              2 ⏐х⏐-  у = 3        3х –5                                   ⏐3х – 1⏐≤  4

          х-1   • 2

Домашнее задание приготовиться к работе с тестом по этой теме.

8 занятие

1)Проводится тестовая работа по решению систем уравнений и неравенств.

2) Домашнее задание: Подготовить доклады по темам:

Построение функций с модулем:

      - линейной;

8. обратной пропорциональности;
9. кубической;
10. квадратичной.

9 занятие

Слушаются доклады учащихся.

Теория занятия предлагается учащимся в виде двух правил:

Первое правило: Для того, чтобы построить график у = ⏐f(x)⏐, нужно ту часть  графи-

                             ка у = f(x), которая лежит ниже оси абсцисс,  отразить   симметрично                              

                             этой оси (оставив без изменения ту часть графика,  которая лежит

                             ниже оси).

ПРИМЕР: у = ⏐х2 –4х +3⏐

        у

        х

        0      1         3

Второе правило:  Для того, чтобы построить график у = ⏐f(x)⏐, нужно отбросить              

                              часть   графика у = f(x), лежащую левее оси ординат, симметрично

                              отобразить от  этой оси и объединить эту часть с её отражением.

ПРИМЕР:  у = х2 –4⏐х⏐ +3        у

                                                                                                     3

        -3             -1    0   1             3        х

   Построить графики функций: (на усмотрение учителя: какие-то у доски, какие-то самостоятельно).

1. у = ⏐х -1⏐                                                                      ⏐х⏐ 

        6) у =  х - 1

             ⏐2х - 7⏐

2.  у =    2х – 7

        7) у = √⏐х⏐- 2

3. у = - ⏐х ⏐+ 2

        8)  у = ⏐х + 1⏐ + ⏐х - 1⏐

4. у = ⏐х3 + 2⏐

                    8

5. у = ⏐ х⏐

Дополнительно:

                 х         х        ⏐х⏐

а) у =     х - 1        б)   у =     х  - 1                в) у =  ⏐х⏐-1

г)  у = ⏐ х3 - 2⏐        д) у = 2 √ ⏐х + 2⏐ + 3        е) у =   √ х⏐х⏐

ж) у = ⏐х⏐+ х                                 з)  у = ⏐2х - 3⏐ + ⏐х + 2⏐

Домашнее задание: по желанию: выполнить поделку -  иллюстрацию: построения графика функций с модулем (функция по выбору учащихся).

10 занятие

 Построение квадратичных функций с модулем рассматриваются на первом конкретном примере (варьируется только знак модуля) + использование правил с предыдущего занятия:

   у = х2 – 4х +3

        у

        х

а)    у = х2 – 4⏐х ⏐+3

        у

б)   у = ⏐ х2 – 4х+3⏐        

                                                                              х

        0

        х + 2

в)     у = ⏐ х2 – 4х⏐+3                                            г)  у =⏐х + 2⏐(х2 –4х +3)

        у                у

        х        х

        0                0

д)      у =  х2 – ⏐4х+3⏐        

        у

        х

        0

Построить графики функций:

1.   у = х (х – 4)

    а) у = х (⏐х⏐ - 4)        в) у = ⏐х⏐(х – 4)

    б)  у  = х⏐х - 4⏐                                          г)  у = ⏐х (х – 4)⏐

     2)   у = х (⏐х + 2 ⏐+⏐х - 4⏐

     3)   у = (х – 1) ⏐х + 1⏐+⏐х - 1⏐(х + 1)

   Дополнительно: у = - х2  +6х – 8 (все случаи)

11-12 занятие

 Построение графиков функций, содержащих двойной и тройной модуль.

Правило: Для того, чтобы построить график у = ⏐f(⏐х⏐)⏐ необходимо:

1. построить график функций у = f(х) для х ≥ 0.

2. Отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси ординат.

3. Участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.

ПРИМЕР:  у = ⏐2-⏐х⏐⏐

1 способ: (по правилу)

1)        2)        3)

        2        2        2

        -2                 2

             2                        -2              2

  у = 2 – х, при х ≥ 0            у = 2 - ⏐х⏐              у = ⏐2-⏐х⏐⏐

2 способ:

1)        2)

                 У = х               у = -⏐х⏐

3)          4)

        2

        2

-2                 2        -2        2

          у = -⏐х⏐+2        у = ⏐-⏐х⏐+2⏐

3 способ

1)        2)

        2

        2

у = 2 - х         у = 2 -⏐х⏐

3)            4)

        2        2

                              2          -2        2

         у = ⏐2 -⏐х⏐⏐, при х ≥ 0        у = ⏐2 -⏐х⏐⏐

ПРИМЕР: ⏐⏐⏐х - 2⏐-1⏐-2⏐  - строим аналогично, используя правило.

1)         2)

        2

   У = ⏐х⏐        у = ⏐х - 2⏐

3)             4)

        1            1

        -1                2        1   2

у = ⏐х - 2⏐-1        у = ⏐⏐х - 2⏐-1⏐

5)         6)

          2

-1                                                                                                      1

    -1    1  2 3

         -2        -1    1   2    3     5

у = ⏐⏐х - 2⏐-1⏐-2        у = ⏐⏐⏐х - 2⏐- 1⏐-2⏐

Построить график функций:

У = х2 –4х +3 (ранее рассматривался)

а)    у = х2 – 4⏐х ⏐+3

б)   у = ⏐⏐ х2 – 4х⏐+3⏐

в)    у = ⏐ х2 –⏐ 4х+3⏐⏐                                           

г)    у =  ⏐⏐х2 –4⏐х⏐⏐+3⏐        

Дополнительно: у = ⏐2 -√⏐х - 3⏐

    Далее, используя все знания, умения и навыки в построении графиков функций, содержащих модуль, разбираем на конкретных примерах построения графиков сложных функций, содержащих модуль:

1)

        3, если х ≤ - 4

 у  =          ⏐х2 – 4⏐х⏐ + 3⏐, если –4 ≤ х ≤ 4

        3 –(х – 4)2  , если х • 4

2)        8–(х +6)2  , если х • -6

у  =        ⏐х2 -6⏐х⏐+ 8⏐, если –6 ≤ х • 5

        3, если х ≥ 5

3)           ⏐⏐⏐х⏐-1⏐-1⏐, если ⏐х⏐• 2

у  =  

   √⏐х⏐- 2, если  ⏐х⏐ ≥ 2

4)

        2- √4-⏐х⏐, если ⏐х ⏐≤ 4

у =  

          8

           ⏐х⏐- 2⏐х⏐, если ⏐х⏐ • 4

13 занятие

  Иногда бывает необходимость строить график уравнения (не функций!), задающего многозначное нефункциональное соответствие между   х   и  у.

   Рассмотрим частный случай такого уравнения:  ⏐у⏐ = f(х).  Построение такого гра-фика описывается правилом:

 Для построения графика уравнения ⏐у⏐ = f(х) нужно, построив график у = f(х), отобразить ту его часть, которая находится ниже оси ох , дополнить оставшуюся часть ее симметричным отражением относительно оси ох.

  Рассмотрим конкретные ПРИМЕРЫ:

1) ⏐У⏐=х2 - 4         у

а)        у        б)        у        в)

                   0        х              х

        -2                2        х        -2        0     2        -2          0      2

        -4

2) ⏐у⏐=⏐х⏐

        у                                           у        у

        х                х                                                       х

        0            0                                                     0

у = х                                                        у =⏐х⏐                                                       ⏐у⏐=⏐х⏐

3) ⏐у⏐-⏐х⏐= 1            ⏐у⏐= 1 +⏐х⏐

а)        у        б)            у

        0        х        0        х

у = х                                                        у =⏐х⏐

в)                 г)

        у             у

                      1        1

        х                х

        0                                                         0

                                                                                 -1

у = 1 +⏐х⏐          ⏐у⏐= 1 +⏐х⏐

   Выполнить самостоятельно или у доски:                    2

а) ⏐у⏐+⏐х⏐= 2;              б)  ⏐у⏐ = 4 – х2  ;     в)  ⏐у⏐ = х

  Далее рассмотрим ПРИМЕРЫ заданий, в которых необходимо изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых ( х; у) удовлетворяют уравнению (неравенству):

1) ⏐у - х⏐ = 1   ⇔     у – х = 1            ⇔         у = х + 1

        у – х = - 1                     у = х - 1

        у

        х

         -1   0    1

        х≥ 0                   х • 0

2) ⏐у - х⏐ = х   ⇔     у – х = х            ⇔          у = 2х

        у – х = - х                     у = 0

        у

1. х

3)  у • 3⏐х⏐-2        4) у • ⏐3⏐х⏐-2⏐

        у

        2

        х

        0

         -2         2

1. 3

  Выполнить самостоятельно или у доски:        у

1) ⏐у⏐ = 2 – х   ⇔         х ≤ 2                2

        у = 2-х        х

        у = х – 2         2

        -2

        у

2)  х ⏐у⏐= -2     ⇔           х • 0

                                               2         

                                        у = -х        х

        2                                                 0

        у =   х

        у

3)  ⏐у⏐≥ 3х  - 2  ⇔       у ≥ 3х - 2

        у ≤ 2 – 3х

        х

        0

4)  ⏐у⏐• 3⏐х⏐ - 2    ⇔     у • 3⏐х⏐-2        у

           у • -3⏐х⏐+2

        х

Домашнее задание:  1)  Домашняя самостоятельная работа.

                                    2) Готовиться к зачету по всем темам курса.

14 занятие

Зачет (прилагается).

2. Дидактические материалы по контролю:

1. Разноуровневая самостоятельная работа.

 Первый уровень:

ВАРИАНТ 1:                                                                                   ВАРИАНТ 2:

1. Решите уравнение:

а) ⏐х - 1⏐= 3        а) ⏐х + 2⏐= 4

б)  х2 -4⏐х⏐ = 0                                                                 б)  х2 - 7⏐х⏐ = 0

в) ⏐2х - 1⏐=⏐х + 3⏐                                                                 в) ⏐6- х⏐=⏐х -1⏐

2. Решите неравенство.

а) ⏐3х - 1⏐• 5        а) ⏐2х - 1⏐• 2

б) ⏐4 – 3х⏐≥ 2 - х        б)  ⏐1 – 2х⏐≥ 3 – х

Второй уровень:

ВАРИАНТ 1:                                                                                  ВАРИАНТ 2:

1. Решите уравнение:

а)  х2 - 5⏐х⏐ = 0                                                                 а)  3х2 + 4 ⏐х⏐ = 0

б) ⏐2х - 3⏐= 3 – 2х                                                             б) ⏐3х - 2⏐= 2 – 3х

2.Решите неравенство.

а) х2 + 2⏐х⏐ - 15 • 0         а) х2 - ⏐х⏐ - 12 ≤ 0

б) – 1 • ⏐2х - 3⏐• 7        б) 0 • ⏐2х - 3⏐• 1

в) ⏐1 – 3х⏐-⏐х + 2⏐≤ 2          в)⏐х + 2⏐+ ⏐х -3⏐• 5

Третий уровень:

ВАРИАНТ 1:                                                                                  ВАРИАНТ 2:

1. Решите уравнение:

а)  ⏐х2 – 1⏐= х + 3                                                                 а)  ⏐х2 -6⏐= 4х + 1

б) ⏐х + 3⏐=  ⏐х2  + х -5⏐                                                    б) ⏐3 - х⏐=  ⏐3х2 – 6х - 1⏐

2.Решите неравенство.

а) ⏐2 х2 – х - 10⏐•  ⏐ х2 –8 х - 22⏐        а) ⏐2 х2 –5 х + 4⏐≥ ⏐ 2х2 –3 х +1⏐

б) ⏐х + 2⏐-⏐х - 3⏐≥ 2х - 1         б) ⏐х - 1⏐+⏐х - 2⏐ • 3х + 9

в) ⏐⏐2х - 1⏐- 2⏐≥ 3                                         в) ⏐⏐3х - 4⏐- 5⏐≥ 1

2. Тест

Решите систему неравенств:

ВАРИАНТ 1                                                                                    ВАРИАНТ 2

а)      х2 – 9 • 0        а)      х2 – 0,25 ≤ 0

         ⏐х⏐≤ 2              20⏐х⏐• 11

1. [-2; 2  ]                                                                             1)  [-0,5; 0,5  ]
2. (-3;3)                                                                                          11    11
3. (-2;2)                                                                                2)   (- 20;   20 )
4. (-9;9)                                                                                3)   (-0,5; 0,5)  
5. нет решения                                                                    4)  (-0,25; 0,25)

        5)   нет решения

 б)  ⏐х + 4⏐-1≤ 0        б) ⏐7х ⏐- 3 • 0

х2 – х  ≤ 6        х+1

           21х+10 • 0

        10           3   3

1) [-5;-3]∪[-2;3]        1)  (-1; -  21) ∪ (- 7;  7)

2) нет решения                                                                          2) нет решения

3) [-5; 3]        3

4) [-3;-2]        3) (-1;  7)

        10    3

        4)  (-  21; -7 )

в)      ⏐х - 3⏐• 5        в)          ⏐х - 1⏐≤ 2

         ⏐х - 2⏐≥ 1                                                                                  ⏐х - 4⏐≥ 1

1) (-2;1] ∪ [3;8)        1) х = 1

2) (-∞; +∞)                                                                                 2) (-∞; 3] ∪ [ 9; +∞)

3) нет решения        3) нет решения

4) (-2; 8)        4) [-1;3]

г) ⏐х - 1⏐• 9- 2х                                                             г)  ⏐х - 4⏐• х - 3

    ⏐ х – 5⏐ + ⏐х – 6 ⏐+ ⏐х - 7⏐• 15                                         ⏐ х – 1⏐ + ⏐х – 2 ⏐+ ⏐х - 3⏐• 6

        1                                                                                               1

1)(-∞; 3   3) ∪ [ 7; +∞)        1)(-∞; 3   2) ∪ [ 4; +∞)

2) (-∞; 1]        2) (0; 1] ∪ [ 3;4]

                 2                                                                                                     1                        

3) (-∞;-2  3)        3) (0;1] ∪ [ 3; 2

4) нет решения        4) нет решения

3. Домашняя самостоятельная работа.

   ВАРИАНТ 1                                                                                     ВАРИАНТ 2

Построить графики функций заданных формулами:

а) у = 3⏐х⏐-1        а) у = 5 - 2⏐х⏐

           ⏐2х +3⏐                                                                                        ⏐3х - 5⏐

б) у =   2х + 3          б) у =      3х - 5

в) у = ⏐х + 1⏐+⏐х - 2⏐        в)  у =⏐х - 3⏐+⏐х + 7⏐

г) у = ⏐х2   - 5⏐х⏐+ 6⏐           г) у =⏐- х2 +6⏐х⏐- 8⏐

д) ⏐у⏐+⏐х⏐= 3        д) ⏐у⏐+⏐х⏐= 4

4. Зачет.

Карточка №1.

             6⏐х⏐

    1. Решите уравнение:  х2 –5х -     х        = 0

2.Решите неравенство: ⏐х - 1⏐+⏐х - 3⏐• х + 1

3. Решите систему неравенств:        (х – 5) ≤ 1

        ( х – 3)(х – 5)• 0

4.Постройте график функций:  у = ⏐⏐⏐х⏐-2⏐-3⏐

5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (х;у) удовлетворяют уравнению: ⏐У ⏐=-х2 –6х + 9

Формулировки заданий во всех карточках одинаковые, поэтому приводятся только задания:

Карточка №2        Карточка №3

             х3                                                                                                                                               5х 2

1. ⏐х⏐ - 7х +12 = 0                                                      1)   х2 +   ⏐х⏐ - 6 = 0

2. ⏐х + 2⏐-⏐х - 3⏐≥ 2х – 1                                           2) ⏐х -1⏐+⏐х -2⏐• 3х - 9

3. ⏐2х -1⏐• 5                                                                3)  ⏐х - 2⏐• 5 - х

х + 3                                                                                  2х - 9

      х – 2 ≤ 0         х – 6  • 1

4. у = ⏐⏐2-⏐х⏐⏐-3⏐                                                    4)  у =⏐3-⏐2-⏐х⏐⏐3⏐                                                   
5. ⏐у⏐ = х2 –6х +8                                                       5) ⏐у⏐ = х2 –3х + 2

Карточка № 4        Карточка № 5

                           2 - х                                                                                                                        ⏐х - 2⏐

1. х2 – 3х +⏐х - 2⏐ = 0                                                 1)   х2 –4х *  х - 2  = 0

2. ⏐х - 2⏐+⏐х - 3⏐• 6 – 3х                                          2) ⏐х -1⏐+⏐х -2⏐• 3 - х

3. ⏐х - 3⏐≤ 2х - 3                                                         3)  ⏐х +1⏐• 1

3х - 5                                                                                  х - 2

      х – 1  • 2         х + 4  ≤  0

4. у = ⏐2-⏐3-⏐х⏐⏐⏐                                                    4)  у =⏐⏐⏐х⏐-3⏐-2⏐                                                   

     5)⏐у⏐ = 8 + 2х -х2                                                         5) ⏐у⏐ = х2 –4х +3

3. Литература

1. Болдарева М.Х., Карпухин Ю.П., Клековкин Г.А., Рудман Л.М., «Факультативный курс по математике 9 класс», издательство Самарского областного института повышения квалификации и переподготовки работников образования г. Самара 1997.
2. Райхснист Р.Б. «Графики функций»: Справочное пособие для вузов. – М: Высшая школа, 1991 –160с.
3. Галицкий М.Л. и др.

«Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов»: Учебное пособие для учащихся классов с углубленным изучением курса математики. – М.: Просвещение, 1992 – 271 с.

4. Дыбов П.Т. и др.

«Сборник задач по математике для поступающих в Вузы».» - М.: Издательство «Высшая школа», 1982 – 240 с.

5. Гуртовой О.С. «Решение уравнений с модулем», Стр. 11// Журнал «Математика в школе» №2, 1997г.
6. А. Смоляков «Решение неравенств методом интервалов», стр.10/ /

«Математика», Еженедельное учебно–методическое приложение к газете «Первое сентября» №39, 1998г.

7. Е. Коршунова «Модуль и квадратичная функция», Стр. 5(310// «Математика», Еженедельное учебно–методическое приложение к газете «Первое сентября» №7, 1998г., №11, 1998г.
8. Ю.Н. Макарычев и др. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 – 10 класс(9 – 10 класс). – М.; Просвещение, 1998(2000)