Проект Использование интерактивной доски в процессе проведения комбинированного урока по математике: «Делимость чисел».
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

№

Этапы урока

№

слайда

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1.

2.

Орг. момент.

Проверка дом. задания.

Сл.№1

            Приветствие.

Из курса 6-8  класса вам известны признаки делимости чисел. Деление чисел издавна считалось задачей, куда более трудной, чем умножение. Поэтому делить люди научились,  гораздо позже, чем умножать. Учёные – математики долго занимались поиском наиболее простого способа деления чисел. Один из них – деление «уголком», которым мы пользуемся сейчас, впервые появился в Европе в 10 веке и получил название «золотого деления». На деление уголком часто затрачивается много времени, а ведь возникают ситуации, когда нужно быстро определить, делится одно число на другое или нет. В этом помогают простые, легко запоминающиеся признаки. Сегодня на уроке мы изучим дополнительные признаки делимости

на 13 и 7, классифицируем методы решения задач на делимость: 

а) Разложение на множители (слагаемые).

б) Исключение целой части .

г) Применение теоремы Безу.

д) Четность и нечетность чисел

е) Квадрат натурального числа.

Слушают, записывают цель  урока в

тетради

Учащиеся обмениваются терадями и проверяют правильность выполнения.

2.

Контроль знаний и умений учащихся

№2

№3

№4

Повторение теоретического материала: 8 признаков делимости. Шторка  используется для скрытия части доски. На закрытой части доски помещаются  признаки делимости,  которые открываются по мере ответов учащихся.

Самостоятельная работа на раздаточном материале:

                      Тест№1.

1.Выбери правильный ответ

1)    Какие из этих чисел делится на 11

   А)354478900; Б)135745; В)9831525; Г)623729.

2)     Какие из этих чисел делится на 25

   А)467859145; Б)563877605; В)674456210; Г)33357850

3)     Какие из этих чисел делится на 18

   А)3289777; Б)3482712; В)636363; Г)7242236.

4)На 6 делятся те числа, которые делятся на :

   А)4 и 2; Б)3 или 1; В)2 и 3; Г) 1 и 5.

5) На 12 делятся те числа, которые делятся, на :

   А)6 и 6; Б)3 и 4; В)2 и 6; Г)11 и 1.

6)Делителями числа 83338975 являются:

  А) 2,3,4,5,25; Б)5,25,11; В)5, 25; Г) 3,5,25.

                            Тест №2.

Соотнесите…:

Число                    

      1)300                          

      2)8172

      3)722722

      4)894300

      5)827100

      6)87564312

Делится на:

   А) 2,3,4,5,11,25.

    Б)2,3,4,9,11.

    В)2,3,4,5,25.

    Г)2,11.

    Д)2,3,4,5,9,25.

    Е)2,3,4,9.

Проверка самостоятельной работы: у первого варианта убираются неправильные ответы; у второго варианта правильные ответы  ставятся напротив каждой строки.

Отвечают по очереди

Выполняют работу индивидуаль -

но.

Фронтальная работа

3.

.

.

 Объяснение нового материала;

4.Обобщение и систематизация

изученного материала

5. Закрепление изученного

6. Итог урока. Домашнее задание

7. Дополнитель-ное задание.

Признак делимости на 7.

Правило

1. Чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты

…, -1, 2, 3, 1, -2, -3, -1, 2, 3, 1, …

1. Затем умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить: найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.

Пример 1.

Делится ли число 8 546216  на  7?

Решение:

    8    5    4    6    2    1    6  

    1   -2   -3   -1   2    3    1

    8 -10  -12  -6   4    3    6

8+(-10)+(-12)+(-6)+4+3+1=-7

8546216 сравнимо с -7 сравнимо 0(mod 7).

Ответ:  Число 8546216 делится на 7 .

Признак делимости на 13

        Правило.

Чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 13, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты:

               …, -1, -4, -3, 1, 4, 3, -1, -4, …

затем умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент, и полученные произведения сложить. Найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 13, что и взятое число.

Пример №2

№2.   Делится ли число 64207 на 13?

Решение:

                       6   4   2    0   7

                       3  -1  -4  -3   1

                     18  -4  -8   0   7

18+(-4)+(-8)+0+7=13

64207 сравнимо 13 (mod 13) сравнимо 0 (mod 13)

Ответ:     число 64207 делится на 13.

Мы знаем теоремы:

1. Теорема 1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.
2.  Теорема 2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.
3. Теорема 3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.
4. Теорема 4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.

Сложность задач

1. Все множество задач на делимость можно  разбить  на группы, каждая из которых имеет  какой-то определенный метод решения, но  некоторые задачи можно  решить  несколькими способами.
2. Во многих из этих задач есть такой элемент, который делает их непохожими на известные задачи и для  их  решения  потребуется  сообразительность,  смекалка, творческий  подход.

Учитель вместе с учащимися обсуждает способы решения задач: а) Разложение на множители (слагаемые).

б) Исключение целой части .

г) Применение теоремы Безу.

д) Четность и нечетность чисел

е) Квадрат натурального числа.

ж) Бином Ньютона.

з) Малая теорема Ферма.

и) Последняя цифра числа.

Разложение на множители
( слагаемые).

Задача 1 

1. Доказать, что  n3+3n2+5n+3 делится на 3 при любом натуральном n.

Решение: 

1. n3+3n2+5n+3=n3+3n2+2n+3n+3=n(n2++3n+2)+3(n+1)=n(n+1)(n+2)+3(n+1).

Второй  метод. Равноостаточные классы

Задача1

1. Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей, делится на 3.

Решение: 

1. Если число не делится на 3, то a= 3k+1 или a= 3k+2.
2.  a²-1= (3k+1)2-1=9k2+6k+1-1=9k2+6k=3(3k²+2k)
3.  a²-1= (3k+2)2- 1=9k2+12k+4-1=9k2+12k+3=3(3k²+4k+1).

      Третий  метод. Применение теоремы Безу

Задача1

1. Доказать, что выражение 35n-2·5n+11n делится на 6 при любом натуральном n.

Решение:

1. 35n - 2·5n+11n=(35n-5n)+(11n-5n).
2. 35n - 5n делится на разность оснований степеней, на 35-5=30, а следовательно, делится и на 6.
3.  11n - -5n также делится на разность оснований 11-5=6.

Четвертый  метод.
Четность и нечетность чисел

Задача1

1. Доказать, что уравнение x2+1974=y2 не имеет решений в целых числах.

Решение:

1. Предположим, что уравнение имеет решения в целых числах. Запишем данное уравнение в таком виде: 1974=y2-x2. Так как 1974 четное число, то, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы разность y2-x2 была четным числом, а это возможно только тогда, когда x и у числа одинаковой четности, т.е. x и у одновременно четные, или оба нечетные числа.

     1974=y2-x2 , <=> 1974=(у - х)(у + х). Правая часть делится на 4, а левая – нет, значит, целых решений уравнение не имеет.

Пятый  метод.
Квадрат натурального числа

        Задача1

1. Доказать, что уравнение 13х2+6=5у2 не имеет решений в целых числах.

Решение:

1. Если х=2а, то у=2b, тогда 13·4а2+6=5·4b2. Если x нечетное, то и у нечетное, тогда имеем: 13(4а2+4а+1)+6=5(4b2+4b+1) 13·4а2+13·4а+13+6=5·4b2+5·4b+5, тогда 14=4(5b2+5b-13a2-13a)
2. Равенство невозможно, т.к. правая часть делится на 4, а левая – не делится.

      Учитель просит ответить на вопрос:

1. «Что нового вы узнали на уроке?»
2. Составить тест «Признаки делимости»
3. Составить тест « Свойства  делимости».

1. Докажите, что при любом целом а, значение выражения а³+23а кратно 6.  
2. Решение:
3. а³+23а=а³-а+24а=а(а²-1)+24а=а(а-1)(а+1)+
4. +6·4а.
5. Целое число а при делении на 13 дает остаток 7. Какой остаток получится при делении на 13 квадрата этого числа?
6. Решение:
7. а=13к+7;
8. а² =(13к+7)² =

=169к ²+182к+49=13·13к²+

+13·14к+39+10=13(13к²+14к+3)+10.

Слушают объяснение учащихся и делают записи в тетрадях.

Учащийся выполняет задание у доски, а остальные – в картах урока

Слушают учителя

Учащиесяся

 по очереди выполняют задание у доски, а остальные – в тетрадях.

Один учащийся выполняет задание с другой стороны доски, остальные самостоятельно, с последующей проверкой.

Задача решается комментиро-ванно

Отвечают на вопрос учителя.

Записывают задание в дневник

Номер слайда

Описание последовательности предъявления  информации

Требования к оформлению информации*

Программные средства**

№1

№2

№3

№4

«Постоянно контролируйте себя».

№1.

 а) 0;2;4;6;8.       г) 8.

        б) 0;5.                д ) 2;6.

         в) 2;5;8.             е) 5.            ж) 4.

    №.2.

n³+3n²+2n=n (n²+3n+2)= n(n+1)(n+2)

 Шторка  используется для скрытия части доски. На закрытой части доски помещаются  признаки делимости,  которые открываются по мере ответов учащихся.

Тест №1

Задание 2 варианта

Напротив  каждого задания – переместить  правильный ответ

На синем фоне записаны  белым ответы:

В эллипсах на синем фоне , белым цветом записаны признаки делимости

На синем фоне белым цветом

Красным цветом зачеркиваются неправильные ответы

На синем фоне белым цветом

StarBoard- Сервис – Заливка - синий

StarBoard- Сервис–   Текст

StarBoard- Сервис – Заливка –белый

StarBoard- Сервис – Фигуры - Эллипс 

StarBoard- Сервис – Заливка - синий

StarBoard - Сервис–   Текст

StarBoard- Сервис – Заливка –белый

StarBoard- Сервис – Фигуры - Стрелка

StarBoard- Сервис – Заливка –черный

StarBoard-   Сервис - Выделить 

StarBoard- Сервис – Заливка - синий

StarBoard- Сервис–   Текст

StarBoard- Сервис – Заливка – белый

StarBoard- Сервис – Умное перо

StarBoard- Сервис – Заливка – Красный

StarBoard- Сервис – Заливка - синий

StarBoard- Сервис–   Текст

StarBoard- Сервис – Заливка –белый

StarBoard-   Сервис - Выделить