проект по комбинаторике
методическая разработка по алгебре (6 класс) по теме

Проект

«Заряжай    мозги!»

        по         теме:

                     «Элементы            комбинаторики». 

( задачи на перебор возможных вариантов и правило умножения).

Участники проекта:

                        учитель математики Устинкина С. А.

                                                  и учащиеся 6 класса

Время работы над проектом 3 урока

Март 2012

Цели проекта:

1. Формирование грамотности в сфере элементарной комбинаторики.
2. Приобретение навыков самостоятельной работы с информационными ресурсами.
3. Формирование навыков коллективной работы.
4. Развитие творческих способностей.
5. Создание методички по комбинаторике в 6 классе «Заряжай мозги!»

Гипотеза исследования заключается в недостаточном количестве материала для изучения учащимися 6 класса раздела под названием «Комбинаторика»
Для подтверждения выдвинутой гипотезы были поставлены следующие задачи:

1. Изучить историю комбинаторики.
2. Разобрать методы решения комбинаторных задач с использованием некоторых правил комбинаторики.
3. Выбрать задачи с помощью описанных правил.
4. Решить отобранные задачи.
5. Составление своих задач.
6. Создание методички «Заряжай мозги!».

Самостоятельные исследования учащихся в рамках учебного проекта

1. История комбинаторики.
2. Просмотр различных задач по комбинаторике в различной литературе уровня  6 класса.
3. Составление своих задач с различными способами решения.
4. Обсуждение  содержания и дизайна оформления методички «Заряжай мозги!»

Практическая значимость проекта 
состоит в том, что составленная методичка может успешно применяться при изучении темы, для проверки знаний по комбинаторике учащихся 6 класса и развитию логического мышления детей,

как дополнение к материалу учебника 6 класса.

Краткая аннотация проекта.

Проект реализуется в рамках изучения темы «Комбинаторика» в 6 классе. Материал направлен на активизацию исследовательской деятельности учащихся.

Возможность выбора индивидуальных заданий позволяет поддерживать интерес к решению задач учащимися с разными способностями. Работа над  проектом способствует развитию навыков самостоятельной экспериментальной деятельности и навыков коллективной работы. Проект предполагает творческое освоение ребятами ряда учебных тем, а именно: применение комбинаторики.

 В рамках проекта один урок отводится под обсуждение в классе основных теоретических положений  по  теме, затем идет практическое применение знаний: решение готовых задач из учебника и составление своих комбинаторных задач из повседневной жизни и различных жизненных ситуаций. Ожидается, что самостоятельная работа по проектному методу позволит заинтересовать ребят, в результате чего они лучше овладеют основными теоретическими положениями учебной темы «комбинаторика» и разовьют в себе исследовательские навыки.

Продукт проекта – методичка «Заряжай мозги!»

       « ЗАРЯЖАЙ  МОЗГИ!»

Элементы комбинаторики: задачи на перебор возможных вариантов и правило умножения

авторы: учащиеся 6 класса

Под руководством учителя математики

               Устинкиной С. А.

                           Март 2012

Содержание.

1. От авторов.
2. Из истории комбинаторики. Подготовили Изранцев Артем и Ситникова Алла.
3. Немного от учителя:

1)Введение новых знаний.

    Перестановки. Факториал.

       2)задачи от учителя

4. Задачи. Составила Целыковская Надя.
5. Задачи от Колдина Дениса.
6. «Попробуйте решить!».

       Подготовила Потапова Александра.

7. Задачи от Ситниковой Аллы.
8. Решите задачу. Составил Веселов Саша.

1. От авторов.

Мы, учащиеся 6 класса, хотим внести свой вклад в изучение комбинаторики, так как эта тема нас заинтересовала и увлекла. Мы составили свои задачи на комбинаторику. Сюжеты задач взяты из практических ситуаций, которые часто встречаются в нашей жизни. И хотим, чтобы эти задачи научились решать и ребята последующих шестых классов. И чтобы они тоже придумали свои задачи на комбинаторику и это стало бы традицией. И может быть когда- нибудь выйдет в свет книга с нашими задачами…

2.Из истории комбинаторики.

    Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (ок.1499-1557), Г.Галилею (1564-1642)  и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма. Комбинаторику как самостоятельный  раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в  1666 году. Он также впервые ввел термин  «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер.Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги «Искусство предугадывания» в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в 19 веке. Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

1.    1) Введение новых знаний.

           Перестановки . Факториал.

Пример1. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по-разному: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»).

Мы установили, что Р = 6. Для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. 

Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3•2•1, т.е. 6.

Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.

Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что

Pn = n(n-1)(n-2) •…•3•2•1.

Расположив множители в порядке возрастания, получим

Pn = 1•2•3•…•(n-2)(n-1)n.

Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n! (читается «n факториал»).

Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn = n!

Например, 2!=1•2=2;    5!=1•2•3•4•5=120.

По определению считают, что 1!=1.

Пример2. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики (алгебра и геометрия) стояли рядом?

Решение: Рассмотрим алгебру и геометрию как один урок. Тогда расписание надо составить не из 6, а из 5 уроков – Р5 способов. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р2 перестановки алгебры и геометрии. Значит, искомое число способов составления расписания:

Р5∙Р2=1∙2∙3∙4∙5∙1∙2= 120∙2=240

Ответ: 240 способов.

Пример3 Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Решение: Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров уже составлены.   Итак, мы получили 6 пар:   АГ, АС, АФ

                              ГС, ГФ

                              СФ,

т.е. 3•2•1=6. значит, существует всего шесть вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

2) Задачи от учителя.

Реши сам

№1. Имеется белый хлеб, черный хлеб, сыр, колбаса и

        варенье. Сколько видов бутербродов можно

        приготовить?

№2.На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими

       способами можно выбрать   один плод?

№3.На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими

       способами можно выбрать пару плодов, состоящую из

       яблока и апельсина?

№4.Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 8 человек?

4.  Задачи. Составила Целыковская Надя.

№1 Перечислите все  возможные варианты  разложения по двум вазам одного яблока и одной груши.

№2. В каждую из 3-х ваз: хрустальную, керамическую и стеклянную -  пробуют поставить по одному из двух букетов цветов: роз и гвоздик. Перечислите все возможные варианты установки каждого букета в вазу.

№3.У Ани есть любимый костюм, в котором она ходит в школу. Она надевает к нему белую0 голубую, розовую или красную блузку, а в качестве «сменки» берет босоножки или туфли. Кроме того у Ани есть три разных бантика, подходящих ко всем блузкам.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов Аниной одежды.

б) Сколько дней Аня может выглядеть по-новому в этом костюме?

в) Сколько дней она будет ходить в туфлях?

5. Задачи от Колдина Дениса.

1. У мамы есть 3 платья и 2 ожерелья. Сколько существует у неё  вариантов выбора платья и ожерелья чтобы пойти в театр.
2. В туристическом бюро мне предложили «горящий» тур по странам Европы: Польша Германия и Франция. Сколько может мне предложить тур- агентство выбора маршрутов посещения стран Европы.
3. В нашем классе 8 человек. Нам нужно выбрать старосту класса и его заместителя. Сколько возможно вариантов выбора старосты и его заместителя.  
4. У солдата сверхсрочника есть 3 пары обуви, 2-е брюк и одна рубашка. Сколько у него вариантов одеться по-разному?

6.«Попробуйте решить!».

Подготовила Потапова Александра.

№1.У Дениса дама есть три поручения: помыть посуду,

      вынести мусор и пропылесосить. Сколько дней он может

      выполнять эти поручения в разном порядке?

№2. Алла решила купить подруге на день рождения блузку. В магазине были блузки четырех цветов: розовая, голубая, белая и фиолетовая. Ей очень понравились блузки и она решила купить и себе. Сколько вариантов покупки двух блузок разного цвета есть у Аллы?

№3. У тебя есть цифры:  3 , 6,  7,9. Сколько можно составить  из этих цифр двузначных чисел, чтобы в записи числа цифра не повторялась?

7. Задачи от Ситниковой Аллы.

1. Алла, Саша и Надя купили красивую шкатулку и решили рассмотреть её по очереди. Выпишите все варианты такой очереди, в которой Алла на первом месте?  Выпишите варианты очереди, в которой Саша не на последнем месте.

2. Составьте все множества, равные данному множеству

      ( 1, 2, 9).

3. Каждый из 4-х друзей может получить за контрольную по математике  любую отметку от 2 до 5. Сколько существует вариантов получения ими отметок? Выпишите все эти варианты.

8.Решите задачу. Составил Веселов Саша.

№1. Дима, Саша и Вова накопили денег и купили интересный фильм. Задумались, в какой очереди они будут его смотреть. Саша вспомнил, что недавно на уроке математике они решали такие комбинаторные задачи и предложил посчитать все варианты такой очереди. Так сколько таких вариантов? 

9. Ответы и решения к задачам.

3. 2) Задачи от учителя. Реши сам.

№1.

№2.

№3.

№4.

4.  Задачи. Составила Целыковская Надя.

№1

Ответ: 4 варианта.

№2. 6 вариантов.

№3. б) 24 дня.

        в) 12 дней ( половина вариантов)    

5. Задачи от Колдина Дениса.

№1.

№2.

№3

№4.

6.«Попробуйте решить!».

Подготовила Потапова Александра.

№1.

№2.

№3.

7. Задачи от Ситниковой Аллы.

№1.

№2.

№3.

8.Решите задачу. Составил Веселов Саша.

№1.