Теорема Пифагора
презентация по алгебре по теме

Теорема Пифагора
Реш Валентина Михайловнаучитель математики МБОУ «СОШ № 4 МО «Ахтубинский район»
Презентация на тему: «Теорема Пифагора и способы её доказательства.
Цель урока: воспитание устойчивого интереса к изучению предмета геометрии; воспитание умений и навыков работы с дополнительной литературой по математике; поиска, выбора и анализы нужной информации по заданной теме и составления исчерпывающего сообщения в краткой форме; оформления наглядности и защиты своего выступления; расширение познания учащихся о жизни великого математика Пифагора, о знаменитой теореме Пифагора и различных способах её доказательства.
Если дан нам треугольник,И притом с прямым углом,То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем:Катеты в квадрат возводим,Сумму степеней находим-И таким простым путемК результату мы придем. (И.Дырченко)
Известно более 200 способов доказательства теоремы Пифагора. Один из способов мы уже рассматривали на уроках математики. Рассмотрим несколько других способов.
Древнекитайское доказательствоЗдесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3,4 и гипотенузой 5 единиц измерения. По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большом катете – 16. следовательно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.
Древнеиндийское доказательствоМатематики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е.:(а+в)І=сІ + 2ав4S∆=4*0,5ав=2авSкв. =сІаІ+2ав+вІ=сІ+2ав
Доказательство теоремы Пифагора в учебнике Атанасяна Дано: прямоугольный треугольник АВС 2 2 2 Док-ть: а + b = c
Док-во: 1. Достроим треугольник АВС до квадрата со сторонами (а+b)
b
a
a
a
a
a
2. У нас получится два квадрата: больший – со сторонами (a+b), а меньший – со стороной с3. Найдем площадь большего квадрата S =(a+b)4. Найдем площадь треугольника S = 0,5 ab5. Площадь маленького квадрата будет S =c или S =S - 4S c = a + 2ab +b – 2ab = a + b Теорема доказана.
b
b
b
b
с
с
с
с
с
2
1
2
3
2
3
2
1
1
2
2
2
2
2
Алгебраическое доказательство теоремы.
Теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.Дано: ΔABCДок-ть: AB2 + BC2 =AC2Док-во:Пусть ΔABC – прямоугольный и LABC – прямой.Проведём высоту BD из вершины B прямого угла. По определению косинуса углаcosA = AD/AB = AB/AC AB2 = AD * AC cosC = DC/BC = BC/AC BC2 = DC * ACСложим полученные равенства почленно:AB2 + BC2 = AD * AC + DC*AC = AC(AD +DC)=AC2AB2 + BC2 =AC2ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА
в
с
Алгебраическое доказательство теоремы.
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначенияполучаемЧто эквивалентноСложив, получаемилиЧто и требовалось доказать
Способ доказательства теоремы Пифагора. «Метод Гарфилда».
Дано: Δ АВС; LА=90ОДоказать: с2 =а2+в2Доказательство:1)Построим СD АС, так чтобы СD= АВ.2)Построим ЕD ⊥АD, так чтобы ED=AC.3) Соединим точки В и Е . Соединим точки Е и С.4)Рассмотрим ΔАВС и ΔСЕD- прямоугольные.АС=ЕD(по построению) => ΔАВС= ΔСЕD(по двум равным BA=CD(по построению) катетам) =>ВС=СЕ5)LACD=LACB+LBCE+LECD=1800=>LBCE=LACD-(LACB+LECD)=1800-900=900=> ΔВСЕ-прямоугольный.6)SABED=SΔABC+SΔCED+SΔBCE=2SΔABC+SΔBCE=2∙ AB∙AC+ BC∙CE=AB∙AC+ BC∙CEТ.к. ABED-трапеция, то SABED= ∙h = ∙AD7) AB∙AC+ BC∙CE= ∙ ADAB∙AC + BC2=AB∙AC+ =AB∙AC+ =AB∙AC+ = + +AB∙AC+ = + BC2= AC2+ AB2 Ч.Т.Д

A
C
D
B
E
Решите задачу Пифагора.
В зданиях романского стиля верхние части для прочности и украшения расчленили на части в виде орнамента. Если ширина окна b, то радиусы полуокружности R=b:2; r=b:4.
b
R
р
r
Решение:
D
B
C
A
90
Cоединим точки А, В, С.2)DBC- равнобедр.(т.к. DB=BC= +p)=>BA –высота => угол => BAС=90  3) Рассмотри ВАС –прямоугольный. Ав = в/2 - р вс = в/4 + рАс = в/4 4) По теореме Пифагора: с2 =а2+в2  вс2 =ва2+ас2( в/4 +р) 2 =( в/2 -р ) 2 +( в/4 ) 2  в 2 /16 +2p∙в/4 +p 2 = в 2 /4 +p 2 +в 2 /16в2 /16+вр/ 2-в 2 /4 +в 2 p/16 = p 2 -p 2 вр/2 = в 2 /4 – вр2вр = в - 4врВ = 4вр + 2врВ = 6 вр6р = вР=в/6   
Решим несколько задач:
№1 В треугольнике АВС угол А = 45 , ВС=13 см, а высота ВD отсекает на стороне АС отрезок DC, равный 12 см. Найдите площадь треугольника АВС и высоту, проведенную к стороне ВС.
№2 Одна из диагоналей ромба на 4 см больше другой, а площадь ромба равна 96 см . Найдите стороны ромба.
2
П е р п е н д и к у л я р
П е р п е н д и к у л я р
Г и п о т е н у з а
П е р п е н д и к у л я р
Г и п о т е н у з а
Ф и г у р а
П е р п е н д и к у л я р
Г и п о т е н у з а
Ф и г у р а
М е д и а н а
П е р п е н д и к у л я р
Г и п о т е н у з а
Ф и г у р а
М е д и а н а
У г о л
П е р п е н д и к у л я р
Г и п о т е н у з а
Ф и г у р а
М е д и а н а
У г о л
в ы с о т а
П е р п е н д и к у л я р
Г и п о т е н у з а
Ф и г у р а
М е д и а н а
У г о л
в ы с о т а
О к р у ж н о с т ь
Заповеди Пифагора
Пифагор и его ученики были трудолюбивы и аскетичны. Вот их заповеди:-делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться;-не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать;-не пренебрегай здоровьем своего тела;-приучайся жить просто и без роскоши.
Над проектом работали ученицы 8А класса МОУ СОШ №4: Виктория Моисеенко, Прокопец Анастасия, Богунова Марина, Доровских Софья, Гетманцева Татьяна, Осадчая Яна.Руководитель проекта: Реш Валентина Михайловна.Источники: Сайты: http://www.sayantsy.ru/news/12 www.naumkino.shkola. http://school14 http://www.google.ru http://ru.wikipedia.org/wik http://yandex.ru Книги: Братис В.М. средства и способы элементарных вычислений. – Москва: изд. АПН РСФСР, 1948 «Нестандартные уроки геометрии» издательско-торговый дом «Корифей» составитель Г.И. Григорьева