Методика решения тригонометрических уравнений

Учитель математики  МОБУ СОШ № 19

МО КОреновский район

Выскребец Татьяна Владимировна

Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи,  с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и прочее.

Основы тригонометрии, как и основы алгебры и начал анализа закладываются в школе. Тригонометрические функции начинают изучать в 8 классе на уроках геометрии  и продолжают в 10-11 классах.

Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы попытаться дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения
2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. 
3. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.
4. Решение однородных уравнений.
5. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.
6. Решение уравнений с применением формул понижения степени.
7. Решение уравнений с применением формул тройного аргумента.
8. Решение уравнений методом универсальной подстановки.
9. Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня.
10. Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений.
11. Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений.

     12. Справочник

    13. Примеры для самостоятельного решения

Простейшие тригонометрические уравнения

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

Особо отметим некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:
,
,
;
,
,
.
Каждая из функций и определена на отрезке [-1; 1] и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: .
Функции и определены на всей числовой прямой и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: .
При решении тригонометрического уравнения, не являющегося простейшим, его сводят тем или иным способом к одному или нескольким простейшим.
Пример 1. Решить уравнение 

Решение.
Исходное уравнение равносильно совокупности

Решением первого уравнения этой совокупности является семейство , а второго – семейство . Объединение этих двух множеств и есть решение уравнения(1). Эти решения можно для краткости записать в виде .
Ответ:  

Пример 2. Решить уравнение 

Решение.
Грубая ошибка, которую допускают при решении этого уравнения состоит в следующем: абитуриенты записывают решение , однако они не учитывают, что , следовательно, уравнение (2) решений не имеет.
Ответ: Æ

Пример 3. Решить уравнение 

Решение.
Применив формулу решения простейшего тригонометрического уравнения, получим

Далее многие абитуриенты для нахождения хвозводят левую и правую часть уравнения (4) в квадрат, не учитывая, что , а это влечет за собой . Так как последнему неравенству удовлетворяют только , то

Ответ:  

   Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

То всякое решение уравнения

Является решением совокупности уравнений

Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции .
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде

 ↔ 

Грубой ошибкой, которую часто допускают при решении, является сокращение левой и правой части уравнения (4) на , так как при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

 ↔
↔ 

Ответ:  

Пример 2. Решить уравнение 

Решение.
Преобразуем правую часть уравнения (5) следующим образом

Затем перенесем все слагаемые в левую часть и получим

ОДЗ уравнения (6) являются все , за исключением . На данной ОДЗ уравнение (6) равносильно совокупности двух уравнений

Первое уравнение имеет решение , а второе . Однако ОДЗ принадлежат лишь , которые и являются решением исходного уравнения (5).
Ответ: 

Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

1. При всех значениях а решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:

при 
при 

2. При всех значениях а решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:

при 
при 

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество, осуществим замену , тогда уравнение (1) примет вид

Введем подстановку , тогда получим квадратное уравнение

Решая его, находим корни . Затем осуществляя обратную подстановку или , получаем решение исходного уравнения.
Ответ:   

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Введем подстановку , тогда уравнение (2) примет вид

откуда . Так как , то корень не подходит. Следовательно,

Ответ: 

1. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

2. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

3. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

4. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

Решение однородных уравнений.

Уравнение вида

где – действительные числа, называются однородными уравнениями степени относительно функций и .
К квадратичным уравнениям вида (1) приводятся уравнения вида

при этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла

,

а также тождество

Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнений или не являются корнями уравнения (1), так как, если, например, , то из уравнения (1) следует, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Следовательно, левую и правую части уравнения (1) можно разделить на и ввести подстановку
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Уравнение (3) является однородным уравнением первой степени. Разделив обе части на , получим равносильное уравнение . Откуда находим семейство , представляющее собой решение исходного уравнения (3).
Ответ: .

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Уравнение (4) не является однородным, однако его можно преобразовать к однородному, если представить единицу следующим образом

Тогда уравнение (4) примет вид

которое равносильно совокупности трех уравнений

Решая их, найдем
Ответ: 

1. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

2. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

3. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ: 

при
при
при

Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уравнение

Разделим левую и правую часть уравнения (1) на :

Так как

то существует угол φ такой, что

при этом

Тогда уравнение (1) примет вид

Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор и выбор будут не всегда равносильны.
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Разделим левую и правую часть уравнения на . Тогда получим

Ответ можно записать в другом виде. Для этого положив получим
Ответ: 

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Разделим левую часть на 2 и положим . Тогда уравнение (3) примет вид

Применив формулу , получим

откуда

Следовательно,

Ответ: 

1. Решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ:  

2. Решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ: 

3. Решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ: 

4. При всех значениях а решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ: 

при
при

Решение уравнений с применением формул понижения степени.

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени

Решение.
Применив формулы и , приведем уравнение к виду

Далее осуществим ряд простых преобразований:

Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений

Решение первого из них есть , второго – , третьего –
Решением исходного уравнения является объединение полученных множеств.
Ответ: ; ;

Примеры для самостоятельного решения: 

1. Решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ:  

2. Решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ:  

3. При всех значениях а и b решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ: при при

4. При всех значениях а решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ: при Ø при

Решение уравнений с применением формул тройного аргумента.

При решении ряда уравнений наряду с другими существенную роль играют формулы

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Применив формулу (2), получим

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений и . Откуда и
Ответ: ;

Решение.
Применив формулы понижения степени, уравнение (3) приведем к виду:

В соответствие с формулой (2), получаем равносильное уравнение

откуда имеем совокупность трех уравнений

Следовательно,
Объединив два последних множества решений, получим

Ответ:  

1. Решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ:  

2. Решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ:  

3. При всех значениях a решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ:  при при

Решение уравнений методом универсальной подстановки.

Тригонометрическое уравнение вида

где R – рациональная функция, , с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов после чего уравнение (1) может быть сведено к рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы корнями исходного уравнения.

Решение.
По условию задачи . Используем формулы (2) и заменим , тогда получим

откуда . Следовательно, .
Заметим, что в данном случае применение подстановки не сужает ОДЗ исходного уравнения.
Ответ:  

1. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

2. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

3. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

4. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

Решение тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня.

Специфика тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля или знак корня, состоит в том, что они сводятся к смешанным системам, где кроме уравнений нужно решать тригонометрические неравенства и из решений уравнений выбирать лишь те, которые удовлетворяют неравенствам.
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Уравнение (1) равносильно совокупности двух систем

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и . Промежутку [-3;+∞) принадлежат и .
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и . Множеству (-∞;-3) принадлежат .
Ответ: ; ;

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
Преобразуем уравнение (3) к виду

Так как , то уравнение (4) на ОДЗ равносильно совокупности двух систем

Уравнение из первой системы равносильно совокупности двух уравнений , а решением неравенства является множество . Из решений указанному множеству принадлежат .
Во второй системе совокупности (5) уравнение имеет решения , множеству (решение неравенства ) принадлежат , .
Ответ: ; , .

1. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

2. Найти все решения уравнения

[свериться с ответом]

Ответ:  , , , , ,

3. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ: 

4. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  при при при

Использование ограниченности функций при решении тригонометрических уравнений.

При решении некоторых тригонометрических уравнений часто используется свойство ограниченности функций и , то есть следующие неравенства: , , .
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Проведем равносильные преобразования:

Так как , а , то ;
так как , а , то .
Сумма вдух неположительных слагаемых в (2) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Значит, уравнение (2) равносильно системе

Решением первой совокупности системы (3) являются углы , а решением второй - . Общими являются углы .
Ответ:  .

Пример 2. Решить уравнение 

Решение.
Используя прием, изложенный в примере 1, сведем уравнение (4) к равносильной системе:

Находя решение каждой совокупности системы (5), нетрудно установить, что общими будут углы .
Ответ:  

Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

1. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

2. Решить уравнение

[свериться с ответом]

Ответ:  

3. При каких значениях a уравнение имеет единственное решение?

[свериться с ответом]

Ответ:  

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений.

Не всякое уравнение f(x)=g(x) в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций f(x) и g(x), как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке X, то при наличии у уравнения f(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если, далее, функция f(x) на промежутке X ограничена сверху, причем , а функция g(x) ограничена снизу, причем , то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении . Иногда для решения уравнения f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить абсциссы точек пересечения. В этом параграфе также рассматривается применение производной для исследования тригонометрических уравнений.
Пример 1. Решить уравнение

Преобразуем уравнение (1) к виду

Так как , а , то последнее уравнение равносильно системе

Второе уравнение системы (2) имеет единственный ко рень х=2, подставляя его в первое уравнение, убеждаемся, что он удовлетворяет ему. Следовательно, х=2 - корень системы (2), а значит, и уравнения (1).
Ответ: х=2

Пример 2. Решить уравнение

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, запишем исходное уравнение в равносильном виде

Последнее уравнение равносильно системе

решением которой является
Ответ:  

Справочник

Числовая окружность

Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов

Знаки тригонометрических функций

Основные тригонометрические формулы

Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрическими уравнением называется равенство тригонометрических выражений, содержащее неизвестное (переменную) только под знаком тригонометрических функций.
Решить тригонометрическое уравнение - значит найти все его корни - все значения переменной, удовлетворяющее уравнению. Решение тригонометрических уравнений сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений, нахождение корней которых приведено в таблице:

Тестирование

Вариант №1

Начало формы

Вариант №2

Начало формы

Конец формы

Конец формы