Сценарий урока по теме "Задачи на максимум-минимум, реашаемые методами элементарной алгебры" для 9 класса
методическая разработка (алгебра, 9 класс) по теме

Направление работы

Основная школа. Предпрофильная  подготовка .

Название (тема) работы

Задачи на максимум-минимум с параметрами.

Аннотация

Предмет: математика; курс предпрофильной подготовки «Уравнения и неравенства с параметрами»; содержание курса и предлагаемого занятия превосходит  требования    ФГОС.

Отличительной особенностью  занятия по курсу предпрофильной подготовки является:

1. насыщенность   ситуациями выбора (в том числе, -   ситуациями самооценки и рефлексии);
2. не менее  1/3 доли времени отводится на самостоятельную работу; учение носит  деятельностный характер,  новые знания приобретаются самостоятельно в процессе  решения задач, анализа  моделей,  сопоставления  фактов…;
3. среди форм и методов преобладают проектные и исследовательские; проектный характер урока определяется

1. незаданностью  модели результата;
2. открытостью  ресурсного обеспечения;
3. наличием гипотез и  деятельности по их доказательству;
4. ожиданием инсайта;

4. учение  происходит в результате преодоления (или попыток преодоления) личных и групповых проблем.

Цель:  создать условия для оценки готовности обучающихся  решать задачи на максимум-минимум методами элементарной алгебры.

Задачи :

1. Содействовать  развитию  интеллектуальных компетенций  обучающихся  в форме  способностей  самостоятельно   устанавливать причинно-следственные связи, выделять существенные признаки объектов и явлений,  устанавливать аналогии,  а также  в форме   аналитико-синтетических способностей.
2. Содействовать формированию   у обучающихся навыков моделирования и проектирования.  
3. Обеспечить обучающимся индивидуальные возможности  для самооценки своей готовности к решению задач на максимум-минимум методами элементарной алгебры.

Результаты:

1. Представления обучающихся о решении  задач на максимум-минимум методами элементарной алгебры.
2. Проекты-решения, подготовленные обучающимися.
3. Самооценка готовности обучающихся к решению задач на максимум-минимум методами элементарной алгебры.

В содержании урока не делается различий между наибольшим-наименьшим значением функции и максимумом-минимумом функции (это материал 10-11 класса).

Настоящий  сценарий  апробирован  в 2009-2012гг.  (3 года) учителями математики МБОУ СОШ №3 г.Красный Сулин в процессе преподавания курса предпрофильной подготовки «Уравнения и неравенства с параметрами» в 9 классе.

Условия реализации сценария приведены в приложении № 1.

Информация о результатах успешности обучающихся на уроке    14.03.2012г. приведена в приложении № 3.

Автор

Чернышев  Эдуард   Николаевич

Контактная информация об авторе

город  Красный  Сулин

тел. 8(86367)52337; 89508548772.

МБОУ СОШ № 3, учитель математики

Адрес для обратной связи

eduardlaw@yandex.ru

sosh3-267@yandex.ru

8 (86367)52337

346353, Ростовская область,    город Красный Сулин, ул. Больничная, дом 4 «б», кв. 15.

346352, Ростовская область, город Красный Сулин,  

ул. Вербенская, дом 60.

0 этап

(3-4 минуты)

1. Проверка домашнего задания (фронтальная). Текст домашнего задания к уроку приведен в приложении № 2.
2. «Обозначение темы»  (через устный счет)

Устный счет

1. Сколько общих точек имеет график   каждой функции на рис. 153-156 с осью Ох * ?
2. Сколько общих точек имеет график   каждой функции на рис. 153-156 с осью Оу  ?
3. Назовите  наибольшее и наименьшее значения функции на  рис. 153-156.
4. При каком значении  аргумента функция принимает наибольшее или наименьшее значения (по рис. 153-156) ?

6.Чему равно наибольшее значение функции при отрицательном (положительном, неотрицательном, отрицательном, неположительном) значении аргументов (по рис. 17,18)**?

7.Назовите  для каждой функции, график которой изображен на рис. 17, 18:

1. нули функции;
2. промежутки знакопостоянства;
3. промежутки монотонности;
4. промежутки выпуклости;
5. точки перегиба;
6. точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ох;
7. значения аргумента, при которых касательная к графику функции  образует с положительным направлением оси Ох  острый (тупой) угол;
8. наибольшее и наименьшее значение функции на промежутках ;   ; при ;
9. расскажите о поведении функции в окрестности точки х=2.

*) Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012: учебно-методическое пособие /Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.-Ростов-на-Дону:Легион-М, 2011. С.200.

**) Демина Т.Ю. Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции//Математика в школе, 2009, №9. С.10.

1 этап (5-6 минут)

Форма работы : индивидуальное выполнение заданий с обсуждением и анализом результатов.

Выбери верные утверждения

1. Парабола    расположена ниже прямой    (нет)
2. Парабола     расположена   выше  оси  абсцисс. (нет).
3. Парабола   пересекает ось абсцисс в двух точках. (да)
4. Парабола  пересекает ось абсцисс в двух точках. (нет)
5. Вершина  параболы   лежит  на оси ординат. (да)
6. Вершина параболы     не лежит на оси ординат (нет)
7. Наибольшее значение квадратичной функции     ординате  вершины параболы. (да)
8. Наименьшее значение   функции      при     равно нулю. (нет)
9. Наименьшее  значение  функции    равно  12. (нет)
10. Наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции равно ординате ее вершине. (да)

2 этап (5-6 минут)

Предложить обучающимся сформулировать тему урока.

Задача этапа : сформировать  неоднородные, но равносильные группы. Задачу выполняет каждый ученик сам.  Результаты решения собираются, отражаются через оверхед-проектор на экране (с согласия ученика) и обсуждаются.

Варианты   темы урока :

1. «Наибольшее и наименьшее значение функции».
2. «Свойства квадратичной функции».
3. «Максимум и минимум функции».

Далее  обучающимся предлагается «сделать подробным»  (т.е. добавить  промежуточные преобразования, пояснения) предложенное краткое решение задания с параметрами и дать к нему ответ.

Задача. (см. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк.-М.:Просвещение, 1989. С.121). Найти  наибольшее и наименьшее значения выражения   , если   

Решение.

Обозначим  . Тогда     Тогда уравнение принимает вид     Далее получаем  , откуда  .

Оценка успешности  (выполняется каждым учеником  самостоятельно):

Разделить обучающихся на группы так, чтобы в каждую группу попали обучающиеся с разными уровнями успешности.

3 этап (5-6 минут)

Выполнение обучающимися (по группам) микропроекта «Идеальное решение».  Микропроекты обсуждаются и оцениваются группами.

Задача. (См. Лысенко Ф.Ф., Кулабухов С.Ю., Евич Л.Н., Ольховая Л.С. Математика. 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА-2012. Алгебра, геометрия, теория вероятностей и статистика: учебно-методическое пособие/Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.-Ростов н/Д:Легион-М, 2011. С.265).  При каком положительном значении     функция    имеет наименьшее значение, равное     ?

Решение.   (Варианты решений предлагаются группами)

Возможный вариант решения:

Ответ. 1.

Показатели  для  оценивания :

1. Решение привело к правильному ответу.
2. Все шаги решение взаимосязаны, логичны.
3. Имеются обоснования.
4. Отсутствуют математические ошибки.
5. Группа представила микропроект уверенно и компактно.

4 этап

(10-15 минут)

Всем группам предлагается для решения одна и та же задача. Ее решение  (микропроект) выполняет на доске один из учеников. Первым получает это право  представитель той группы, которая  первой выскажет  «стартовую» идею. Как только ученик начинает затрудняться  и  не может  рассуждать,  и не  «срабатывает» первая и единственная подсказка учителя, то право  выхода к доске переходит к другой группе.

Задача. (см. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк.-М.:Просвещение, 1989. С.123). Найти все значения параметра  ,  для которых наименьшее значение функции     меньше  

Решение.  Данная функция имеет вид 

Две ветви  графика имеют общую точку (точку склеивания) с абсциссой  а.

Наименьшее значение эта функция принимает : при    (что соответствует вершине  первой параболы)   или при  (что  соответствует вершине второй параболы) или  при    (если  вершины  парабол совпадают).

Т.о., условию задачи  те и только те значения   параметра  а, для которых  выполняется хотя бы одно из  неравенств:

Ответ.

Вопросы  и задания  обучающимся по условию задачи :

1. Почему  точка склеивания  имеет абсциссу, равную    а   ?
2. Куда направлены ветви парабол ?
3. Предложите вариант размещения  парабол с точкой склеивания на координатной плоскости так, чтобы наименьшее значение функция достигала в одной из вершин парабол или в точке склеивания.

Оценка работы каждого ученика в составе группы :

1. Предлагал 1-2 идеи решения – 1 балл;
2. Предлагал 3 и более идеи решения – 2 балла;
3. Выходил к доске  - 2 балла за каждый выход;
4. Фиксировал решение на  бумаге – 2 балла;
5. Представлял решение  у доски (презентация) – 2 балла;
6. Отвечал с места на вопросы членов других групп – 1 балл.

6 этап

(10-12 минут)

Обучающиеся выполняют индивидуальные  задания

Индивидуальные задания для обучающихся: (выдаются на карточках или, при возможности, рассылаются на РМУ):

*)  Алгебра : сб. задания для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл./[Л.В.Кузнецова, С.Б.Суровцева, Е.А.Бунимович и др.].-М.:Просвещение, 2007. С.128.

**) Математика. 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА-2012. Алгебра, геометрия, теория вероятностей и статистика: учебно-методическое пособие/ Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.-Ростов н/д:Легион-М, 2011. С.266.

***)  Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк.-М.:Просвещение, 1989. С.135.

****) Указание. Найдем, при каких р  система уравнений   имеет решение. Умножим первое уравнение на 3, а второе-  на  . Складывая, получим однородное уравнение

, в котором, по крайней мере,  одно из неизвестных не равно нулю.   Разделим   последнее уравнение на  х2  или на у2. Получим квадратное уравнение, дискриминант которого в обоих случаях будет равен  

    Условие его неотрицательности даст нам  .

6 этап (2-3 минуты)

Формирование проблемной области.

Выберите  из нижеприведенного списка (выводится на экран) задания, в решении которых вы хотели бы разобраться.

7 этап

(1-2 минуты)

Определение уровня успешности

Лист  самооценки успешности :

Критерии  итоговой оценки уровня успешности :

№

Задание, вопрос, утверждение

Варианты ответов.

Вариант верного ответа

А

В

С

1

На каких рисунках  наименьшее значение функции отрицательно :

На   рис. 1

На рис. 2

На рис. 3

С

2

На каких рисунках  наибольшее значение  функция  достигает при отрицательных  значениях аргумента :

На рис. 1 и рис 2

Таких  рисунков  нет

На рис. 3

В

3

На каком рисунке корни уравнения      больше числа А :

На рис. 3

На рис. 2

На рис. 1

А

4

На каком рисунке  число А лежит  между корнями уравнения      :

На рис. 3

Таких рисунков нет

На рис. 2

В

5

На каком рисунке     выполняются условия А<0  и    :

На рис. 1

На рис. 2

На рис. 3

С

6

На каком рисунке    выполняются условия А>0  и    :

На рис. 1

На рис. 2

На рис. 3

B

7

На каком рисунке    выполняются условия А>0,   и    :

На рис. 1 и рис. 3

На рис. 2

На рис. 2 и рис. 3

В

8

Если дано уравнение  вида , где a,  - переменные величины. Если при решении уравнения  переменную   считать постоянной, то  это уравнение…

является уравнением с  постоянной

 имеет два действительных корня

является уравнением с параметром

С

9

Решить уравнение с переменной    и параметром  - значит на множестве действительных чисел…

решить семейство уравнений, получаемых из данного при всех допустимых значениях переменной  

решить семейство уравнений, получаемых из данного при всех допустимых значениях параметра  

решить семейство уравнений, получаемых из данного при всех допустимых значениях параметра    и переменной  x

B

10

Если дано уравнение  вида , где a,  - переменные величины. Если при решении уравнения  переменную   считать постоянной, то   …

называется параметром

называется корнем

называется именем корня

А

11

Пусть     ( - корни,   квадратного  трехчлена

 , ,  .

Oба корня меньше числа А тогда и только тогда, когда…

или

или

или

A

12

Пусть     ( - корни,   квадратного  трехчлена

 , ,  .

Oба корня  лежат по разные стороны от числа А тогда и только тогда, когда…

или

или

или

C

13

Пусть     ( - корни,   квадратного  трехчлена

 , ,  .

Oба корня   больше  числа А тогда и только тогда, когда…

или

или

или

B

14

Пусть     ( - корни,   квадратного  трехчлена

 , ,  .

Oба корня    лежат  между числами А и В   тогда и только тогда, когда…

или

или

или

A

15

Пусть     ( - корни,   квадратного  трехчлена

 , ,  .

Oба корня    лежат  по разные стороны отрезка    тогда и только тогда, когда…

    или

    или

    или

С

Кол-во верных ответов

0-5

6-10

11-15

При  абсолютно самостоятельном выполнении

3 балла

4 балла

6 баллов

При использовании помощи   других учеников или учителя в выполнении  3-5 заданий

2 балла

3 балла

4 балла

Другие случаи

1 балл

1 балл

2 балла

№

ВИД РАБОТЫ

Границы оценки

Самооценка обучающихся

Ученик 1

Ученик 2

Ученик 3

Ученик 4

Ученик 5

Ученик 6

Ученик 7

Ученик 8

Ученик 9

Ученик 10

Ученик 11

Ученик 12

Ученик 13

1

Домашнее задание   к уроку.

0-6

6

6

6

4

4

4

2

2

2

2

1

1

1

2

Участие в устном счете.

0-2

2

2

2

2

1

0

0

1

0

0

0

0

1

3

Выбор верного утверждения.

0-5

3

1

4

2

3

1

1

0

0

0

0

0

0

4

«Сделать подробным» решение.

0-10

10

9

10

9

9

3

4

4

4

4

2

2

1

5

Создание «идеального решения» в составе группы.

0-5

5

5

5

5

2

4

3

4

4

4

2

1

0

6

Выход к доске   для решения задачи или выдвижение идеи решения.

0-10

10

4

10

4

4

2

1

1

1

0

0

0

0

7

Индивидуальное решение задания.

0-4

4

4

4

4

4

2

3

3

2

2

2

1

1

8

Дополнительные баллы за активность, оформление, помощь одноклассникам и т.п.

0-8

8

7

7

6

6

5

3

0

0

0

0

0

0

Итого баллов

0-50

48

38

48

36

33

21

17

15

13

12

5

5

4

Уровни успешности

Очень высокий

Высокий

средний

низкий

Очень низкий

Рекомендовано  изучение математики  на профильном уровне

Рекомендовано  продолжить  накапливать оценки успешности

Рекомендовано  заниматься дополнительно (консультации, кружки, участие в конкурсах и др.)