Вероятнось и статистика в ЕГЭ
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Классификация задач по статистике и теории вероятностей в текстах ЕГЭ.

Цель выступления:

- повышения  образовательного уровня учителей, обмен опытом и мнениями по  вопросам, связанным с подготовкой обучающихся к государственной итоговой аттестации по темам «Вероятность. Статистика. Комбинаторика».

Задачи выступления:

- повышение предметной компетентности учителей математики;

 - систематизация типов задач по вероятности, статистике, комбинаторике при подготовке    обучающихся к государственной итоговой аттестации.

Планируемые результаты:

- совершенствование профессиональной компетенции педагогов;

- внедрение информационных и коммуникационных технологий в образовательную практику;

- использование современных подходов при организации учебных и факультативных занятий для получения качественного образования;

- выработка методических рекомендаций по совершенствованию качества подготовки обучающихся к ЕГЭ;

- повышение интереса обучающихся к математике.

Текст выступления.

Великий русский философ Николай Александрович Рубакин (1862-1946) сказал: «Всякое настоящее образование добывается только путём самообразования».  Время поставило перед учителями математики новые задачи. В 2011 году в тексты ГИА. А в 2012 и ЕГЭ были введены задачи на теорию вероятности и статистику. До этого момента на задачи по этим темам обращалось мало внимания, т. к. основной упор делался на темы, входящие в реестр заданий итоговой аттестации и представленные в демоверсиях. Опыт учителей по преподаванию данных тем  на сегодня не обобщён. В связи с чем и возникла необходимость обсуждения этой темы на учительском форуме. Ещё в конце I века до нашей эры римский философ Петроний сказал: «Чему бы ты ни учился, ты учишься для себя». Потому-то, прежде чем учить чему-то других, человек должен научиться этому сам.  

В своей работе я сделала попытку систематизировать задачи по рассматриваемой теме. Но перед этим типов задач (их условную классификацию), целесообразно вспомнить основные понятия. Для удобства я сделала «шпаргалку».

Слайд 3,4,5.

СТАТИСТИКА.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим этих чисел.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Все события жизни  можно разделить на 3 группы:

- достоверные – обязательно произойдут;

- невозможные;

- случайные.

Изучением случайных событий занимается теория вероятностей. Т. о. с точки зрения теории вероятностей понятие события выглядит следующим образом: «Событие – это явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит при определенных условиях.» Любое событие происходит вследствие испытания.

Элементарное событие (элементарные исходы) опыта – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт.

Испытания – это условия, в результате которых происходит (или не происходит) событие.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти во время проведения определенного испытания. Они могут быть массовыми или единичными.

Массовыми называют однородные события, наблюдающиеся при определенных условиях, которые могут быть повторены (можно наблюдать) неограниченное количество раз.

Единичное случайное событие  происходит единожды, например, падение Тунгусского метеорита.

Теория вероятностей изучает только массовые события.

        Достоверным называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно произойдет.

        Невозможным называется событие, которое вследствие данного испытания не может произойти.

        Попарно несовместимые события – это события, два из которых не могут произойти одновременно.

        Равновозможные события – это такие события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще, чем другое, во время многоразовых испытаний, которые проводятся при одинаковых условиях.

        Вероятностью p события А – называется отношение числа благоприятных исходов m к числу всех возможных исходов n:

                                                           .

        Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

        Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А, и событие В.

        События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

        События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

        Событие  состоит в том, что событие А не произошло, т. е. событие является противоположным к событию А.

        Для несовместных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:

.

        Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей:

.

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события:

        Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события:

.

Вероятность невозможного события равна 0, вероятность достоверного события равна 1.

Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

КОМБИНАТОРИКА.

Имеется  n различных предметов. Сколько из них можно составить k-расстановок?  При этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке. Такие расстановки называются размещениями без повторений, а их число обозначают .

Если брать расстановки , в которые входят все n элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в него элементов. Такие расстановки называются перестановками из n элементов, или, короче, n-перестановками. Число n-перестановок обозначают через .

Формулу для числа размещений без повторений можно записать в виде

.

k-сочетаниями из n элементов называют всевозможные  k-расстановки, составленные из  этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, ноне порядком элементов. Число k-сочетаний, которые можно составить из n элементов, обозначают через .  Формула для вычисления числа сочетаний:

.

№ 1. Задачи на статистику.

В группе В2 встречается первый тип задач на статистику, предусматривающий умение работать со статистической информацией, представленной в виде графиков.  Слайд 6.

В основном задачи статистического характера входят в задания группы В2: графики, диаграммы и т. д.

Дети неплохо справляются с такого рода задачами. Но на что мы должны обратить внимание выпускников:

 1) внимательно читать условие;

 2) внимательно изучить сам график, особенно – оси: единицы измерения,   шкалу на каждой из осей;

3) внимательно ЧИТАТЬ ВОПРОС, на который он должен дать ответ, НЕ ТОРОПИТЬСЯ!

4) в каких единицах измерения необходимо дать ответ.

слайд 7.

Пример 1.  

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 16 октября. Ответ дайте в градусах Цельсия.

В этой задаче – особое внимание горизонтальной оси. Ответ: 7.

Пример 2.

На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 14 по 28 июля 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода цена олова на момент закрытия торгов была меньше 23000 долларов США за тонну.

В этой задаче – на вертикальную ось. Ответ: 3.

Слайд 8.

Пример 3.

На рисунке жирными точками показана месячная аудитория поискового сайта Ya.ru во все месяцы с декабря 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество человек, посетивших сайт хотя бы раз за данный месяц. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую месячную аудиторию сайта Ya.ru в период с января по сентябрь 2009.

В этой – внимание уделить вопросу. Ответ: 3400000.

№ 2. Задачи на теорию вероятностей.

В группе В10 чётко просматривается 3 основных типа задач.

2.1.           1 тип задач: с равновозможными элементарными исходами.

Слайд 9.

К первому типу я отнесла задачи, в которых рассматриваются опыты с равновозможными элементарными исходами. Основной алгоритм решения таких задач предложен И. Р. Высоцким и И. В. Ященко «ЕГЭ 2012 Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь»:

1. Определить, что является элементарным событием в данном случайном эксперименте.
2. Найти общее число элементарных событий m.
3. Определить, какие события будут благоприятными для нашего события А, и найти их число n.
4. Найти вероятность события А по формуле .       Слайд 10.

Слайд11

Пример 1. 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение: Обозначим орел – О, решку –Р. Возможны следующие элементарные исходы:

                                                           ОО, ОР, РО, РР.

Значит, n=4.

Событию А=(выпал ровно один орел) благоприятствуют элементарные события ОР и РО., поэтому m=2.

Тогда

Ответ: 0,5.

Пример 2.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: Элементарный исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, второе – на втором. Множество всех возможных исходов можно представить в таблице:

Всего элементарных событий – 36, благоприятных – 5.

Таким образом получим:.

Ответ: 0,14.

Слайд 12.

Пример 3.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно два раза.

Решение: Составим таблицу всех возможных элементарных событий.

Всего исходов – 8, благоприятных – (решка ровно два раза) – ОРР, РОР, РРО – 3.

Таким образом получим:

Ответ:  0,375.

Пример 4.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение: Элементарное событие спортсмен, выступающий последним. Поэтому n=25.

Число благоприятных событий А= (последним выступает спортсмен из Швеции) – m=9.

Таким образом получим:

Ответ: 0,36.

Здесь стоит заметить, что в некоторых задачах число благоприятных исходов надо будет просчитать. Например: в чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. 

Слайд 13.

Пример 5.

        В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:   1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.  Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Элементарный исход – карточка, выбранная капитаном российской команды. n=16. Событию А=(команда России во второй группе) благоприятствуют четыре карточки с номером «2», m=4. Тогда

Ответ: 0,25.

Второй способ: Если иначе определить элементарные события. Пусть элементарным событием будет номер на карточке. Элементарные события равновозможны, т. к. число карточек с разными номерами равное количество. Тогда

Пример 6.

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: сначала вычислим, сколько докладов приходится на четвёртый и пятый день, затем, на каждый из них отдельно, и уж потом – вероятность:

Слайд 14

2.2   2 тип задач: применение  правил и формул вычисления вероятностей.

Слайд 15.

Пример 1.

 Вероятность того, что купленный в магазине насос подтекает (или не работает) равна 0,11. Найдите вероятность того, что покупатель купит исправный насос для своего садового участка.

Решение: событие А=(насос исправен). Вероятность противоположного события известна:.

Используя формулу вероятности противоположного события, получим:  

Ответ: 0,89.

 Пример 2.

        Члены сборной команды по биатлону Смирнов и Петров независимо друг от друга попадают в мишень с позиции «лежа» с вероятностями 0, 87 и 0,92 соответственно. Каждый из них стреляет один раз. Найдите вероятность того, что оба спортсмена попадут в мишень.

Решение: событие А=(в мишень попал Смирнов), событие В=(в мишень попал Петров). Т. к. оба должны попасть в мишень, то используем формулу вероятности произведения (события независимые):

Ответ: 0,8004.

Пример 3.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что в обоих автоматах закончится кофе, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение: событие А=(кофе закончится в первом автомате), В=(кофе закончится во втором автомате).

По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события С=(кофе закончится хотя бы в одном автомате):

Следовательно, вероятность противоположного события (кофе останется в обоих автоматах) равна:

Ответ: 0,52.

Слайд 16.

Пример 4.

         В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

Решение:  Представим распределение монет по карманам после перекладывания в виде таблицы:

Из таблицы очевидно, что нас устраивают 1, 3, 6 и 7 ситуации.В каждой из них у Пети в одном из карманов - две двухрублёвые. Посчитаем вероятность этих ситуаций.

Для № 1:     .

Ситуации  122,  212,  221 -  они равновозможны, их три, считаем вероятность

                                       .

А теперь считаем общую вероятность:  

Ответ: 0,4..

Слайд 17

2.3.3 тип задач:  применение формул комбинаторики.

Слайд 18.

Пример 1.

В классе 30 учеников. Найдите число способов, которыми можно выбрать из этих учеников трёх дежурных.

Решение: мы должны выбрать3 дежурных из 30 учеников, что можно посчитать с помощью формулы определения числа сочетаний из n элементов по k:

                                            .

 В нашей задаче:

Ответ: 4060.

Пример 2.

У Карины 7 заколок, а у Даши – 12. Сколькими способами можно обменять 2 заколки одной девушки на две заколки другой девушки? (Все заколки различны).

Решение. Чтобы девушки смогли обменять две заколки одной на две заколки другой, им надо выбрать из своих заколок по две для обмена. Воспользуемся формулой подсчёта числа сочетаний:

Теперь нужно определить, сколько пар можно составить из множества, состоящего из 21 элемента, с множеством, состоящим из 66 элементов:

Ответ: 1386.

Пример 3.

        В урне лежат 20 шариков, из которых 12 белых, остальные – чёрные. Из урны наугад вынимают два шарика. Какова вероятность того, что они белые? Ответ округлите до сотых.

Решение: Общее количество элементарных событий испытания (вынуты два шарика) равно числу способов, какими можно вынуть 2 шарика из 20, то есть числу сочетаний из 20 элементов по 2. Подсчитаем количество элементарных событий, которые способствуют событию А=(вынуты два белых шарика). Это количество равно числу способов, которыми можно вынуть 2 шарика из 12 белых, то есть числу сочетаний из 12 элементов по 2. Итак

Ответ: 0,35.

        Успешность сдачи экзамена выпускником во многом зависит от того, насколько он обучен распознавать типы задач и владеет методами их решения. Представленный материал может оказать существенную помощь учителям как при подготовке обобщающих уроков в соответствующих разделах курса, так и при итоговом повторении всего курса математики с целью подготовки выпускников к успешной сдаче ЕГЭ.

Слайд 19.

Используемая литература.

1. И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко «ЕГЭ 2012 Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь». М.: МЦНМО, 2012.
2. Л. Н. Евич, Л. С. Ольховская, А. С. Ковалевская «Математика. Подготовка к ЕГЭ 2012. Элементы теории вероятностей и статистики» /под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011.
3. А. Роганин «МАТЕМАТИКА. Все темы для подготовки к ЕГЭ». М.: ЭКСМО, 2011.
4. П. И. Захаров, А. В. Семенов, И. В. Ященко, «ЕГЭ-2012. Математика. Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся». М.: Интеллект-Центр, 2012.
5. И. Высоцкий «Готовимся к ЕГЭ. Задача В10 – вероятность». Журнал «Математика в школе» №1 2012.
6. А. Г. Клово «Математика. Тесты к ЕГЭ». Ростов-на-Дону: Феникс, 2012.

Слайд 20.

        В заключении хочу пожелать вам удачи на поприще образования! Успешных вам учеников!