О формировании вычислительных навыков
статья по алгебре по теме

О формировании вычислительных умений в основной школе

Вычислять быстро, подчас на ходу — это требование времени. Числа окру жают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. По нятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учебы в школе. Этим, кстати, объясняется столь стремительное развитие удобных калькуляторов. Тем не менее, калькулятор не может обеспечить ответ на все возникающие вопросы. Он не всегда имеется под рукой, а вместе с тем бывает, что во многих случаях достаточно определить лишь примерный ре зультат.

Многие сопутствующие вычислениям навыки неизбежно требуются и в бы ту, и в школьной практике. Так, нередко может потребоваться замена числа близким ему (5740  6 тыс.), представление числа в эквивалентной форме (25% — это 0,25, т.е. четверть), сравнение чисел на основе качественных оце нок.

Однако результаты проверки вычислительных умений учащихся, как пра вило, не радуют. По данным массовых проверок, проводимых Центром оценки качества образования ИСМО РАО в различных регионах нашей страны, от 20% до 40% шестиклассников ошибаются при вычислении значений числовых вы ражений (например, таких: 960 • 60; 5706:18; (120+24):(4 • 3)), не могут округ лять натуральные числа и десятичные дроби, не осиливают вычисления с дробями   (например,    такие:    10,3    -3    (0,4   +    2,8);   ). Почти 30% семиклассников неправильно определяют наименьшую среди данных дробей (например, среди таких:;0,7; ), ошибаются в вычислениях (например, таких  ; .

Наблюдения на уроках показывают, что учащиеся испытывают трудности в

переводе числовой информации из одной формы в другую ( ; ;  — это примерно 33%;  = 0,00007), редко используют потенциал преобразования числовых выражений (свойства арифметических действий, основное свойство дроби и пр.). Учащиеся недостаточно уверенно владеют вычислитель ными стратегиями (сочетанием устных, письменных и инструментальных вы числений), пренебрегают промежуточным контролем и проверкой правдоподо бия результата. Ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переноситься на преодоление трудностей, связанных с вычислениями.

Все это говорит о том, как важно в процессе обучения математике в 5—6 классах формировать у учащихся, а в 7-9 классах развивать:

—  опыт и сноровку в простых вычислениях наряду с отработкой навыков письменных и инструментальных вычислений, умение выбрать наиболее под ходящий способ получения результата;

— умение пользоваться приемами проверки и интерпретации ответа;

—  предвидение возможностей использования математических знаний для рационализации вычислений.

Нельзя не заметить, что обучение вычислениям вносит свой специфический вклад в развитие основных психических функций учащихся, способствуя раз витию речи, внимания, памяти. Вычисления — основа для формирования уме ний пользоваться алгоритмами, логическими рассуждениями.

Развитие вычислительных умений учащихся зависит от содержания соот ветствующего материала в учебнике, а также от используемых в нем методиче ских приемов. Остановимся на некоторых особенностях формирования вычис лительных умений, обеспечивающих эффективность этой работы, которые предусмотрены в учебниках «Математика, 5—6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Алгебра,7-9» под ред. Г.В. Дорофеева (М.: Просвещение, 2007 г. и более ранние издания).

Характерной особенностью данного курса является то, что сформированные в 5-6 классах знания и умения активно поддерживаются и развиваются в 7-9 классах. Причем в этом звене акцент сделан на практическую арифметику. Курс насыщен задачами, в которых нужно производить практические расчеты, в него включены задачи с реальными данными. Серьезный импульс развитию вычислительных умений, навыков проведения расчетов дает статистический материал, составляющий значимую часть новой вероятностно-статистической линии. Так, чрезвычайно актуальным становится умение сравнивать и упоря дочивать величины, находить отношение величин и выражать их в процентах, проводить процентные расчеты.

Раскроем некоторые методические решения, которые реализованы в ука занном курсе при формировании вычислительных умений.

Остановимся на некоторых примерах обучения алгоритмам выполнения арифметических действий. Как показала практика, они оказались весьма эф фективными, облегчающими учащимся усвоение традиционно трудных вопро сов. Приведем примеры.

Особенностью изучения положительных и отрицательных чисел является то, что сложный материал становится доступным и интересным для шести классников, благодаря его рассмотрению в два прохода. В начале изучения те мы выделяется фрагмент «Целые числа», охватывающий действия только с целыми числами. Это позволяет на простом материале, с опорой на образы (вы игрыш-проигрыш, или доход-расход, или какой-либо иной), познакомить учащихся практически со всеми основными понятиями темы, в том числе с правилами знаков при выполнении арифметических действий, уделить специ альное внимание вычислению длинных сумм целых чисел. Последующее изучение  рациональных чисел оказывается уже вторым проходом всех принципи альных вопросов, что облегчает восприятие материала и способствует прочно сти приобретаемых навыков.

Другой пример. Как правило, в учебнике показываются разные приемы выполнения одного и того же действия и ученик знает, что он имеет право вы брать тот из них, который ему понятнее и удобнее.

Так, при изучении трудного вопроса - вычитание смешанных дробей гово рится, что можно пользоваться общим приемом: смешанные дроби заменить неправильными дробями и дальше действовать по правилу вычитания дробей. Некоторые ученики так и делают. Но далее в учебнике говорится, что вычисле ния можно упростить, если воспользоваться некоторыми приемами. Показан пример:

Найдем разность чисел и .

Сначала вычтем из  число 3, получим

Продолжить вычисления можно так.   «Займем»  единицу в целой части уменьшаемого: . Тогда .

Эту разность можно было бы найти иначе. Поразмыслив, или с помощью учителя, учащиеся догадаются и о другом приеме вычитания:

таком:

или таком: .

Еще пример. Традиционно при изучении действия деления десятичных дробей особый акцент делается на деление «уголком» и соответствующим обра зом подбирается система упражнений. Ситуация отягощается еще и тем, что практически параллельно с этим ставится вопрос о бесконечной десятичной дроби. В результате учащиеся оказываются абсолютно дезориентированными. И в тех случаях, когда им нужно, например, вычислить частное 6,5 : 0,3 или решить уравнение 3х = 2 приводят приближенный ответ.

Принятые в указанных учебниках методические решения позволяют пре одолеть традиционные затруднения. Явно показано, что частное десятичных дробей часто нельзя записать в виде десятичной дроби, но его всегда можно найти,   перейдя   к   обыкновенным   дробям,   например,   так: 0,05 : 0,3 = :===.

Показано также, что порой вычислять удобнее, если записать частное в ви де дроби и преобразовать эту дробь так, чтобы в числителе и знаменателе оказались натуральные числа: 0,05: 0,3= ==.

Теперь    учащиеся    легко    овладеют    вычислениями    типа: ===.

Внутри числовой линии курса отчетливо выделяется направление, свя занное с развитием у учащихся потребности и умения проконтролировать себя. В связи с этим уже при систематизации знаний учащихся о натураль ных числах предлагаются специальные серии упражнений, направленных на формирование приемов беглой проверки результата вычисления. Например, такие:

1) Найдите приближенное значение произведения, округлив множители до старшего разряда: а)  ; б)

2) Определите последнюю цифру результата: а) ; б)

3)  Из четырех равенств только одно верное. Найдите его, не выполняя вы числений.

A. = 22870.

Б. 735 : 35 = 201.

B.4860:45 = 108.

Г. = 852.

Важно уделять достаточное внимание проверке полученного числового ре зультата на правдоподобие. С этой целью в систему текстовых задач включе ны такие, ответ к которым может быть дан только после соотнесения результа та с условием. Приведем примеры:

4)  Сколько трехлитровых банок понадобится, чтобы перелить весь сок из полного 50-литрового бидона?

5)  Для перевязки одной посылки требуется м веревки. Сколько таких посылок можно перевязать, используя клубок, в котором 17 м веревки?

6) Для оклейки комнаты требуется 77,7 м обоев. Сколько рулонов обоев на до купить, если длина каждого рулона 10,5 м?

Важным элементом вычислительной культуры является умение выполнять прикидку и оценку результата. В основе этого умения лежит умение округ лять числа. Поэтому вопросу округления чисел в курсе уделяется достаточное внимание. Отметим существенный момент: до изучения правила округления натуральных чисел учащимся довольно долго разрешается пользоваться ок руглением по смыслу (заменой исходного числа другим, близким по смыслу значением). С помощью упражнений закрепляется в сознании учащихся суть употребления основных терминов: «примерно», «приближенное равенство», «округление» и пр.; приведем примеры:

7) В городе во время переписи населения было зарегистрировано 13 882 жи теля. Сообщая результаты переписи, одна газета указала, что в городе пример но 13 тыс. жителей, а другая — 14 тыс. Какое сообщение точнее?

8) Миша задумал число и, округлив его до десятков, записал: 280. Какое число мог задумать Миша?

9) В школе 20 классов, в каждом из которых от 30 до 40 учеников. Оцените число учащихся школы. Какое из двух полученных чисел точнее указывает примерное число учащихся в школе, если в школе 758 учеников? 626 учеников?

При изучении темы «Округление десятичных дробей» также вначале ок ругление осуществляется по смыслу, а затем — по правилу округления. Уча щимся предлагаются соответствующие группы упражнений. Среди них — за дания на прикидку результата. Например, такие:

10) Выразите 1 тыс. секунд приближенно в часах. Какой из следующих от ветов является лучшим приближением?

А. 2 ч.                                В. 0,2 ч.

Б. Зч.                                 Г. 0,3 ч.

11) Печенье, цена которого 26 р. за 1 кг, расфасовано в пакеты. На упаков ках указана их масса: 724 г, 615 г, 830 г. Какую стоимость для каждой упаков ки, скорее всего, назовет продавец?

Важный класс задач, способствующих развитию вычислительных умений учащихся, базируется на использовании идеи сравнения. Например, в ряде случаев используется оценка суммы с опорой на умение сравнивать компо ненты действия с некоторыми «рубежными» числами. Приведем примеры.

Пользуясь оценкой, сравните значение суммы 289 + 655 с 1000.

Докажите, что  

Сравните с числом 10 сумму 2,901+ 2,809 + 2,999.

Естественно, что выполнению таких заданий предшествует формирование умений сравнивать числа. Кроме применения соответствующих правил, уча щихся желательно учить сравнению чисел путем рассуждений. Так, в объяс нительном тексте учебника при изучении темы «Сравнение дробей» приводится текст-рассуждение для сравнения дробей вида  и , и ,  и ,  и .Заметим, что прием, основанный на сравнении каждой из дробей с

половиной (примененный к последней паре чисел), доступен для учащихся, умеющих бегло сравнивать дробь с половиной. С этой целью желательно не пропускать такие упражнения :

12) Запишите дробь, равную  , меньшую  и большую  , со знаменателем 10; 12;50.

13)  Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок, рав ный 14 клеткам). Отметьте на координатной прямой все правильные дроби со знаменателем 7 и дробь, . Какие из отмеченных чисел меньше ? Какие из отмеченных чисел больше ?

14) Выпишите дроби, которые больше : ,,,,,.

Обратим внимание на задание, в котором требуется расположить несколько дробей в порядке возрастания, например, таких: ,,и . Учащиеся рассуждают  так:   рассмотрим  пары  дробей,   которые  легко  сравнить.  Имеем >  и <. Очевидно, что < , поэтому <  < < .

В русле использования идеи сравнения учащимся предлагается выполнить творческую работу:

— найдите частное, сравните результат с делимым и сделайте вывод:

а) 3,6: 1,2;       0,55:1,1;        2,4:4,8;

6)3,6:0,12;       0,55:0,11;      2,4:0,48;

— не выполняя вычислений, сравните:

а) 1,95: 1,3 и 1,95;

б) 7,8: 0,4 и 7,8; ...;

— в каждой паре равенств одно неверное; найдите его, не выполняя вычис лений:

а) 85,75 : 0,7 = 12,25 и 85,75 : 0,7 = 122,5;

б) 33,6 : 1,5 = 22,4 и 33,6 : 1,5 = 224.

Особое значение в линии вычислений занимает преобразование числовых выражений. Нужно помочь учащимся постепенно овладеть возможностями использования математических знаний для рационализации вычислений. Планируя ход вычислений, полезно, например, задавать вопросы: как проще вычислить? нельзя ли выполнить вычисления по-другому? существует ли бо лее удобный способ вычисления?

Приведем пример. В учебнике 6 класса рассматриваются так называемые «многоэтажные дроби». При вычислении значения такой дроби учащиеся мо гут действовать любым удобным для них способом: выполнять вычисления по действиям, записывая каждое из них отдельно, либо ведя запись цепочкой, ли бо упрощать дробь с помощью основного свойства дроби. Оба способа показаны в объяснительном тексте учебника; проиллюстрируем второй:

Найдем значение дроби . Умножим числитель и знаменатель дроби на 10. Значение дроби при этом не изменится, а в числителе и знаменателе окажутся целые числа. Получим = = = = .

Начиная с 7 класса, вычислительная линия обогащается тем, что учащимся рекомендовано использовать калькулятор. Возможность с помощью калькулятора выполнять расчеты быстро и безошибочно позволяет обогатить систему упражнений: включить в нее экспериментальную работу с числами, задания с реальными числовыми данными. Это чрезвычайно важно с точки зрения при кладного аспекта обучения математике, его практической ориентации.

В курс 7—9 классов включены задачи, при решении которых целесообразно обратиться к калькулятору. При этом желательно не забывать и о возможно стях устных вычислений, подчеркивать, что, конечно, ответ можно получить с помощью калькулятора, но иногда достаточно устной прикидки для интерпре тации результата. Хотелось бы, чтобы учащиеся научились видеть, в каких случаях применение калькулятора целесообразно. Приведем два примера :

1.  В 1995 г. в России было отправлено  телеграмм, из них 0,5% — международные. Сколько международных телеграмм было отправлено в 1995 г.?

2.  В 1981 г. численность населения Земли составляла 4,5 млрд. человек. Примерная численность населения через х лет после 1981 г. или за х лет до это го времени может быть рассчитана по формуле Р =. Запишите выражения для вычисления численности населения Земли в 1981 г., 1982 г., 1990 г., 2010 г.. 1975 г., 1970 г. Определите примерную численность населения Земли в 1990 г., 2010 г., 1975., 1970 г.

В решении первого из приведенных примеров калькулятор не потребуется. Вычисления легко выполняются устно с помощью преобразований:

 . Во втором примере калькулятор ну жен для вычисления степени числа 1,017 и умножения результата на 4,5.

Благодаря применению калькулятора появилась возможность доводить решение любой задачи до числового ответа, чем нередко пренебрегают учителя в целях экономии учебного времени. Это позволило включить в систему уп ражнений новые учебные задания, в которых по ходу числовых расчетов мож но было бы наблюдать за промежуточными результатами, прогнозировать результат. Приведем пример:

Ученик начальной школы решил в течение декабря, экономя на завтраках, копить деньги к Новому году. Действовать он решил следующим образом: 1 де кабря положить в копилку 1 к., 2 декабря — 2 к., 3 декабря — 4 к., и т.д., еже дневно удваивая вкладываемую сумму.

а) Сможет ли он выполнить свое намерение? Сколько рублей ему пришлось бы положить в копилку 31 декабря?

б)  Сколько рублей ему придется положить в копилку 31 декабря, если он изменит свой план и будет ежедневно увеличивать вкладываемую сумму на 10 к.?

Это упражнение предложено в теме «Геометрическая прогрессия». Число, соответствующее ежедневно вкладываемой сумме денег, равное n-му члену геометрической прогрессии: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... , можно получить с помощью калькулятора. Уже на 21-ый день сумма равна 1048576 к., т.е. примерно 10 тыс. р., что явно говорит о невозможности выполнить задуманное учеником. А 31 декабря ему пришлось бы положить в копилку 1073741824 к., т.е. при мерно 10 млн. р.

Другой пример:

В банк внесен вклад в размере 500 р. Выясните, через сколько лет вклад уд воится, если банк выплачивает 8% годовых; 10%; 16%; 28%.

Учащиеся рассуждают так. При 8% годовых сумма вклада ежегодно увели чивается в 1,08 раза. С помощью калькулятора будем последовательно выпол нять операцию умножения 500 (и последующих результатов умножения) на 1,08 и наблюдать за числовыми показаниями на экране, чтобы определить, при которой по счету операции показания удвоятся. При 8% годовых вклад удво ится через 10 лет; при 10% годовых - через 7 лет; при 16% годовых — через 5 лет; при 28% годовых — через 3 года. Но можно поступить иначе: наблюдать за изменением коэффициента увеличения вклада. Например, при 8% годовых наблюдаем за изменением значения коэффициента  и фиксируем, что оно наиболее близко к числу 2 при

n = 10.