Факультатив "Алгебра. Геометрия. Комбинаторика."
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему
Для повторения и подготовки к выпускным экзаменам обобщающий материал в котором переплеись комбинаторика с алгеброй и геометрией
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 2.12 МБ |
![]() | 133 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Форма занятия практикум по решению задач Цели урока : образовательная - обучать решению задач по комбинаторике развивающая - развивать логическое мышление - расширять математический кругозор развивать навыки научно - исследовательской деятельности воспитательная воспитывать культуру письма, речи формировать чувство ответственности за принятое решение Задачи урока : - отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи - способствовать формированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции - способствовать развитию творческих способностей и дарований - создать условия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания -создать условия для расцвета личности школьника с учётом его возрастных особенностей.
Комбинаторика является древнейшей и, возможно, ключевой ветвью математики. В математике есть задачи, в которых требуется из элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, составленных по определённому правилу. На практике часто приходится делать перебор определённого количества данных. Например, учителю приходится распределять различные виды работ между группами учащихся, офицеру выбирать из солдат наряд, агроному размещать культуры на полях, завучу составлять расписание и т.д. В данном случае речь идёт о всевозможных комбинациях объектов. Задачи такого типа называются комбинаторными задачами. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. Как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе в XVIII веке. Некоторые комбинаторные задачи решали в Индии во II веке до н. э., в Древнем Китае, позднее в Римской империи. Немного истории
Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц(1.07.1646 - 14.11.1716) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о комбинаторном искусстве". В своём сочинении Лейбниц ввел специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними. В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение. В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Г.В. Лейбниц
Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов. В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы. Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. В работах Я. Бернулли и Лейбница тщательно изучены свойства сочетаний, размещений, перестановок. Л. Эйлер Я. Бернулли
РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ Скажи мне – и я забуду, Покажи мне – и я запомню, Вовлеки меня – и я пойму. (Древняя китайская мудрость)
Число, положение и комбинация - три взаимно пересекающиеся, но различные сферы мысли, к которым можно отнести все математические идеи. Английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897)
Перестановки Комбинации из n -элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов Р = n ! Р = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
Задача № 1 Сколькими способами можно развесить 5 цветных шаров на гирлянде? Решение: Каждая расстановка будет отличаться от предыдущей порядком следования шаров (элементов). Поэтому это будет перестановка из 5 элементов. Р 5 = 5! = 1·2·3·4·5= 120
Сочетания Комбинации из n элементов по m , отличающиеся друг от друга лишь составом элементов, называются сочетаниями из n элементов по m . Количество сочетаний можно посчитать по формуле Число сочетаний элементов из n по m . Найдите: Число сочетаний из 6 по 3: Число сочетаний из 4 по 4:
Задача № 2 Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов - Петров или Петров - Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.
Задача № 3 Найдите количество отрезков, которыми можно соединить точки А, В, С, Е, М. В А М С Е 4 3 2 1 + + + = 10
Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике? Задача № 4 Решение : - Найдите количество отрезков, которыми можно соединить 10 точек . отрезков 10 являются сторонами, а остальные 45 – 10 = 35 будут диагоналями - Сколько из них являются сторонами? Ответ: 35 диагоналей
Комбинации из n элементов по m , отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения, называются размещениями из n элементов по m ( m n ). Размещения
Сколько словарей надо создать, чтобы можно было непосредственно выполнять перевод с любого из пяти языков на любой другой из этих языков? Задача № 6 Решение: Ответ: 20 словарей.
Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначное число без повторяющихся цифр. 1 159 195 5 9 519 591 915 951 2 комбинации 2 комбинации 2 комбинации Какую часть составляют числа, кратные 5? это вероятность того, что трёхзначное число, составленное из неповторяющихся цифр 1, 5, 9, кратно 5.
Вероятностью события называется число, показывающее какую часть составляют исходы испытания, в которых наступает событие А, от всех исходов этого испытания. Понятие вероятности Событием А в теории вероятности называется выполнение какого-либо свойства в исходах рассматриваемого испытания.
Понятие вероятности Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначное число без повторяющихся цифр. 1 159 195 5 9 519 591 915 951 2 комбинации 2 комбинации 2 комбинации Какова вероятность того, что получится число, большее 500? Какова вероятность того, что получится число, квадратный корень из которого не больше 24? Какова вероятность того, что получится число, кратное 3? 1 Какова вероятность того, что получится число, кратное 9? 0
Для нахождения вероятности случайного события при проведении некоторого испытания следует: Найти число N всех возможных исходов данного испытания. 2) Найти число N (А) тех исходов испытания, в которых наступает событие А. 3)Найти отношение ; оно и будет равно вероятности события А. Классическая вероятностная схема.
Вероятностью события А называется отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов испытания. Классическое определение вероятности.
Задача № 8 В правильном 7-угольнике ABCDEFG случайным образом провели одну из диагоналей. а)Какова вероятность того, что по обе стороны от неё лежит одинаковое количество вершин? Ответ: 0, невозможное событие А В С D E F G
Задача № 8 В правильном 7-угольнике ABCDEFG случайным образом провели одну из диагоналей. б)Какова вероятность того, что по одну сторону от диагонали лежит более двух вершин? Ответ: 1, достоверное событие А В С D E F G
Задача № 8 В правильном 7-угольнике ABCDEFG случайным образом провели одну из диагоналей. в)Какова вероятность того, что диагональ отрезает от 7-угольника какой-то 3-угольник? Начало диагонали - 7 способов Конец диагонали - 4 способов Всего 7∙ 4=28 пар концов диагоналей Всего диагоналей- 28:2=14, N=14 Всего диагоналей, отсекающих треугольник -7 , N(A )=7 Ответ: А В С D E F G
Задача № 8 В правильном 7-угольнике ABCDEFG случайным образом провели одну из диагоналей. г)Какова вероятность того, что один из концов диагонали - вершина С, или вершина F ? Из вершины С – 4 диагонали Из вершины F – 4 диагонали Всего – 4 + 4 – 1 = 7 диагоналей Ответ: А С В D E F G
Правило нахождения геометрической вероятности. А Х Если фигура Х целиком содержит в себе фигуру А, то вероятность того, что точка, случайно выбранная из фигуры Х, принадлежит фигуре А равна отношению площади фигуры А к площади фигуры Х.
Случайным образом выбирают одно из решений неравенства │ x-1│≤3 . Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства │ x- 2 │ ≥ 3? -3 0 3 х-1 -3 0 3 х-2 0 -2 -1 5 4 - 3 ≤ х-1 ≤ 3 - 2 ≤ х ≤ 4 х-2 ≤ - 3 х-2 ≥ 3 Ответ. 1/6 х ≤ - 1 х ≥ 5 х Задача № 9
Графический редактор, установленный на компьютере, случайно отмечает одну точку на мониторе – квадрате АВС D со стороной 12см. Какова вероятность того, что эта точка: а) окажется в верхней половине монитора? C А D B Задача №10
Графический редактор, установленный на компьютере, случайно отмечает одну точку на мониторе – квадрате АВС D со стороной 12см. Какова вероятность того, что эта точка: C А D B б) окажется одновременно в нижней и левой части монитора? Задача №10
Графический редактор, установленный на компьютере, случайно отмечает одну точку на мониторе – квадрате АВС D со стороной 12см. Какова вероятность того, что эта точка: C А D B в)будет удалена от вершины D не более, чем на 11см ? Задача №10
Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. Б. Паскаль
Спасибо за внимание.
Предварительный просмотр:
«Задачи по комбинаторной геометрии»
(разработка урока с презентацией)
Автор: Ровенко Нина Викторовна
учитель математики
МБОУ СОШ №5 г. Климовск
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным.
Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной.
Зачатки алгебры позволяют сформулировать теоретико-вероятностные принципы в общем виде. Основы элементарной геометрии дадут возможность наглядно увидеть и почувствовать практическую сторону поставленных задач. Теорию вероятностей можно применять также непосредственно, как и элементарную арифметику, т. е. с помощью моделей, которые каждый может понять сразу.
Правильное понимание теории вероятностей является прекрасной возможностью показать школьникам процесс математизации.
Дети должны научиться извлекать, анализировать и обрабатывать разнообразную, порой противоречивую информацию, принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами, оценивать степень риска и шансы на успех. Вероятностно-статистический материал обладает огромным воспитывающим потенциалом, его изучение влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курса математики, способствует развитию интереса к предмету.
Разработка урока-факультатива «Алгебра, геометрия, комбинаторика».
Число, положение и комбинация – три взаимно пересекающиеся, но различные сферы мысли,
к которым можно отнести все математические идеи.
Английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр
(1814-1897)
Форма занятия
практикум по решению задач
Цели урока :
образовательная
- обучать решению задач по комбинаторике
развивающая
- развивать логическое мышление
- расширять математический кругозор
- развивать навыки научно - исследовательской деятельности
воспитательная
- воспитывать культуру письма, речи
- формировать чувство ответственности за принятое решение
Задачи урока:
- отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи
- способствовать формированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции
- способствовать развитию творческих способностей и дарований
- создать условия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания
-создать условия для расцвета личности школьника с учётом его возрастных особенностей.
Ход урока.
Предлагается начать урок с выступления учащихся о истории возникновения науки – комбинаторики (слайды 3-5), и значимости её в настоящее время.
Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.
Раздел комбинаторики, в котором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений комбинаторной задачи, называется теорией перечислений. Он тесно связан с теорией вероятностей. Во многих случаях при вычислении вероятности данного события надо найти число возможных вариантов и число благоприятных вариантов. Число вариантов отыскивается комбинаторными методами.
Актуализация опорных знаний учащихся.
Решение задач.
Слайд 8-9. Перестановки.
Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов Р = n! P = 4! = 4*3*2*1=24
Задача №1 Сколькими способами можно развесить 5 цветных шаров на
гирлянде?
Решение: Каждая расстановка будет отличаться от предыдущей порядком следования шаров (элементов). Поэтому это будет перестановка из 5 элементов. Р5 = 5! = 1·2·3·4·5= 120
Ответ 120 способов
Слайд 10 – 13. Сочетания.
Комбинации из n элементов по k , отличающиеся друг от друга лишь составом элементов, называются сочетаниями из n элементов по k. Количество сочетаний можно посчитать по формуле
Найти число сочетаний из 6 по 3
Найти число сочетаний из 4 по 4
Задача 2. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими
способами это можно сделать?
Решение: Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов – Петров или Петров – Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2
Ответ 190 способов.
Задача №3. Найдите количество отрезков которыми можно соединить точки
А, В, С, Е, М.
Решение: Проведём отрезки, имеющие одним концом точку А. их 4, из точки В выходит 3 новых отрезка, из Е только два и из точки М – один. Всего 10 отрезков. Тот же ответ даёт нам формула сочетаний из 5 по 2:
Ответ: 10 отрезков.
Задача №4. Сколько диагоналей в Выпуклом десятиугольнике?
Решение: Найдём количество отрезков , которыми можно соединить 10 точек: отрезков , из них 10 являются сторонами, а остальные диагоналями десятиугольника. 45 – 10 = 35 диагоналей.
Ответ: 35 диагоналей.
Слайд 14-15. Размещения.
Комбинации из n элементов по m, отличающиеся друг от друга либо
составом элементов, либо порядком их расположения,
называются размещениями из n элементов по m (m £ n).
Задача №6. Сколько словарей надо создать, чтобы можно было непосредственно выполнять перевод с любого из пяти языков на любой другой из этих языков?
Решение:
словарей.
Ответ: 20 словарей.
Слайд 16-19 посвящён понятию вероятности.
Задача №7. Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначные числа без повторяющихся
цифр. Какую часть составляют числа кратные 5?
Ответ: 1/3 .
Событием А в теории вероятности называется выполнение какого-то свойства в исходах рассматриваемого испытания.
Вероятностью события называется число, показывающее какую часть составляют исходы испытания, в которых наступает событие А, от всех исходов этого испытания.
Задача №7а. Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначные числа без повторяющихся цифр.
Какова вероятность того, что получится число, большее 500? | 1/2 |
Какова вероятность того, что получится число, квадратный корень из которого не больше 24? | 1/2 |
Какова вероятность того, что получится число, кратное 3? | 1 Достоверное событие |
Какова вероятность того, что получится число, кратное 9? | 0 Невозможное событие |
Слайд 20 знакомит с классическим определением вероятности.
Для нахождения вероятности случайного события при проведении некоторого испытания следует:
1) Найти число N всех возможных исходов данного испытания.
2) Найти число N(А) тех исходов испытания, в которых наступает событие А. 3)Найти отношение ; оно и будет равно вероятности события А.
Вероятностью события А называется отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов испытания.
Слайд 21-24. Задача №8.
В правильном семиугольнике ABCDEFG случайным образом провели одну из диагоналей.
а) Какова вероятность того, что по обе стороны от неё лежит одинаковое количество вершин?
Ответ: 0, невозможное событие.
б)Какова вероятность того, что по одну сторону от диагонали лежит более двух вершин?
Ответ: 1, достоверное событие
в) Какова вероятность того, что диагональ отрезает от 7-угольника какой-то 3-угольник?
Ответ:1/2
г) Какова вероятность того, что один из концов диагонали – вершина С , или вершина F?
Ответ:1/2
Слайд 25. Правило нахождения геометрической вероятности.
Если фигура Х целиком содержит в себе фигуру А, то вероятность того, что точка, случайно выбранная из фигуры Х, принадлежит фигуре А равна отношению площади фигуры А к площади фигуры Х
Слайд 26.
Задача №9. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства │х-1│≤ 3. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства │х-2│≥ 3?
Ответ: 1/6
Слайд 27 - 29.
Задача №10. Графический редактор, установленный на компьютере, случайно отмечает одну точку на мониторе – квадратеABCDсо стороной 12см. Какова вероятность того, что эта точка:
- окажется в верхней половине монитора? Ответ: 0,5
- окажется одновременно в нижней и левой части монитора? Ответ: 0,25
- будет удалена от вершины D не более, чем на 11 см? Ответ: ≈0,66
Слайд 30. Подводит итог урока:
Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.
Б. Паскаль
Заключение.
Включение комбинаторных задач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие учащихся. Решение комбинаторных задач дает возможность расширить знания учащихся о процессе ее решения, а также подготовить к решению жизненных практических проблем.
В обучении математики роль комбинаторных задач постоянно возрастает, так как в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/06/03/picture-11711.jpg)
Комбинаторика на государственной итоговой аттестации
Комбинаторика на государственной итоговой аттестацииВведение В соответствии с Федеральным компонентом образовательного стандарта...
![](/sites/default/files/pictures/2011/06/28/picture-12914.jpg)
Элементы комбинаторики и основы теории вероятности
Данная программа элективного курса объёмом 34 часа рассчитана на учащихся 8 классов и является дополнением общеобразовательной программы, в которой данному вопросу внимания уделяется мало....
![](/sites/default/files/pictures/2011/09/23/picture-20522.jpg)
Программа курсов по выбору "Комбинаторика и элементы статистики" для предпрофильной подготовки.
В работе представлена программа предметно-ориентированных курсо по выбору, в ней также представлено поурочное планирование с теоретической и практической частью....
Введение в комбинаторику
Рассмотрены основные методы решения комбинаторных задач: правило произведения и суммы, построение таблиц и графов, а также формул уомбинаторики ...
Элементы комбинаторики. Поурочные разработки. Алгебра 9 класс
Работа содержит все, что необходимо для подготовки к урокам: подробные поурочные планы, примеры, задачи с разбором решения, разноуровневые проверочные работы....
Элементы комбинаторики. Поурочные разработки. Алгебра 9 класс
Работа содержит все, что необходимо для подготовки к урокам: подробные поурочные планы, примеры, задачи с разбором решения, разноуровневые проверочные работы....
Опорный конспект к первому уроку по теме Комбинаторика, 11 класс "Почти все о Комбинаторике"
Содержание опорного конспекта охватывает весь объем учебного материала по теме Комбинаторика, разработано в соотвествии с УМК Алгебра и начала математического анализа, 11 класс авт. Ю.М.Колягин,...