Логарифмическая функция
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Слайд 1

Лекция по алгебре. Тема: логарифмическая функция. Преподаватель математики Хохлова С.Н., Мещенко Н.В.

Слайд 2

Определение. Логарифмом числа b ( b > 0 ) по основанию a ( a > 0, a  1 ) называется показатель степени c , в которую нужно возвести основание a , чтобы получить число b , т.е. если a c = b , то можно записать log a b = c . Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом : Логарифм по основанию е  2,7182… , т.е. 2 < е < 3 , называют натуральным логарифмом : log e b = lnb

Слайд 3

Определение. Функция, заданная формулой y = log a x, где a > 0 , a  1 , называется логарифмической функцией с основанием a . Построим графики логарифмических функций y = log 1/2 x и y = log 2 x и рассмотрим их свойства. Рассмотрим поведение функции 1) при 0 < a < 1 ; 2) a > 1 .

Слайд 4

Функция y = log 1/2 x x y 2 0 - 2 - 3 1/ 4 1/ 2 1 2 4 8 1 - 1 0 Y X 3 -1 -2 -3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1) Область определения х > 0 1) при 0 < a < 1

Слайд 5

x y - 2 - 1 0 1 2 3 1/4 1/2 1 2 4 8 Функция y = log 2 x 0 Y X 3 -1 -2 -3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1) Область определения х > 0 2) a > 1.

Слайд 6

0 х y 1 y = log a x , a > 1 y = log a x , 0 < a < 1 Свойства логарифмической функции. y = log a x , a > 0, a  1 1) Область определения 0 < a < 1 a > 1 D (y) = R + , т.е. х > 0 2) Множество значений E (y) = R , т.е. y  ( -  , +  ) 3 ) Нули функции х = 1 0 х y 1

Слайд 7

4 ) Точки пересечения с осью OY 0 < a < 1 a > 1 Нет 5) Четность и нечетность Функция общего вида 6) Монотонность Убывает на R + Возрастает на R + 0 х y 1 y = log a x , a > 1 y = log a x , 0 < a < 1 Свойства логарифмической функции. 0 х y 1 y = log a x , a > 0, a  1

Слайд 8

7) Точки экстремума 0 < a < 1 a > 1 8) Наибольшее и наименьшее значения функции 9) Промежутки знакопостоянства Нет Нет y > 0 при х  (0;1 ) 0 х y 1 y = log a x , a > 1 y = log a x , 0 < a < 1 Свойства логарифмической функции. 0 х y 1 y = log a x , a > 0, a  1 y < 0 при х  (1;  ) y > 0 при х  (1;  ) y < 0 при х  (0;1 )

Слайд 9

Самостоятельная работа I вариант постройте график функции а) у = log 3 x – 2 б) у = log 3 ( x – 2 ) в) у = log 3 ( x +3)+2 г) у = log 3 ( | x | +3)+2 д) у = | log 3 ( x +3)+2 II вариант постройте график функции а) у = log 2 x – 3 б) у = log 2 ( x – 3 ) в) у = log 2 ( x + 1 )+2 г) у = log 2 ( | x | + 1 )+2 д) у = | log 2 ( x + 1 )+2 |

Слайд 10

0 х y 1 y = log a x , a > 1 y = log a x , 0 < a < 1 0 х y 1 Замечание 1. Если число, стоящее под знаком логарифма , и основание логарифма находятся по одну сторону от единицы, то значение логарифма положительно. log 2 9 > 0 ( 2 > 1 и 9 > 1) log 1 /3 0,7 > 0 ( 1/3 < 1 и 0,7 < 1) Замечание 2 . Если число, стоящее под знаком логарифма , и основание логарифма находятся по разные стороны от единицы, то значение логарифма отрицательно. lg (2/3) < 0 ( 10 > 1 и 2/3 < 1) log 0,8 5,2 < 0 (0,8 < 1 и 5,2 > 1)

Слайд 11

Всё ли понятно? Проверьте себя!

Слайд 12

Какие выражения имеют смысл?.

Слайд 13

Определить знак числа. log 3 10 > 0 log 9/4 7 > 0 lg 0,5 log 2 (4/9) log 1/3 0,6 ln2,9 < 0 < 0 > 0 > 0 log 5/9 3 < 0

Слайд 14

Сравните с единицей число b . 1) log 1/3 b = - 1,2 1/3 < 1 и - 1,2 < 0 , поэтому b > 1 2) log 5 b = 4,3 5 > 1 и 4,3 > 0 , поэтому b > 1 3) log 3,4 b = - 1,1 3,4 > 1 и - 1,1 < 0 , поэтому 0 < b < 1

Слайд 15

Сравните с единицей основание a . 1) log a (5/7) = 3 5 / 7 < 1 и 3 > 0 , поэтому 0 < a < 1 2) log a 2,25 = 2 2,25 > 1 и 2 > 0 , поэтому a > 1

Слайд 16

Какие неравенства связывают числа b 1 и b 2 ? 1) log 1/ 3 b 1 < log 1/ 3 b 2 Функция y = log 1/ 3 x убывает на R + , поэтому b 1 > b 2 2) log 7 b 1 < log 7 b 2 Функция y = log 7 x возрастает на R + , поэтому b 1 < b 2

Слайд 17

Производная показательной и логарифмической функций. (2 х )  = 2 х  ln2 ( log 2 x )  = 1/(x  ln2)

Слайд 18

Домашнее задание. 1) Разобрать и выучить лекцию . 2) Никольский 10 кл. п.5.3 № 5.32 ( б ), 5.33, 5.35(а, г, е, ж, з, и) п.5.1 № 5.6, 5.7, 5.8, п.5.2 № 5.21(а, в, д, ж, и), 5.25, 5.24(а, б)