Урок "Геометрическая прогрессия",9 класс, алгебра
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Содержание материала

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Организационный момент

Русская  народная сказка «Лисичка-сестричка и волк».

Наловил дед рыбы полный воз. Рыба - крупные лещи. Едет домой и видит, лисичка свернулась калачиком лежит на дороге. Дед решил, что она мертвая.

Вот славная находка! Будет моей старухе воротник на шубу. А лиса улучшила время и стала выбрасывать полегоньку из воза все по рыбке да  по рыбке. В первую минуту - 1 леща, во вторую–2-х, в третью-4-х , а в четвертую-8-х.Сколько лещей она выкидывала в пятую, шестую, седьмую минуты.

Составьте последовательности.

Какую закономерность вы заметили?

Среди последовательностей, выберите те, которые подчиняются этому закону:

1,2,3,4,5…

5,5,5,5,5…

2,4,8,16,32…

-1,3,-9,27…

3,5,7, 9….

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число

называется геометрической прогрессией.

1,2,4,8,16.32.64.

Каждый член числовой последовательности отличается от предыдущего умножением на одно и тоже число

Актуализация знаний

Вы изучили арифметическую прогрессию. Давайте повторим. Отвечаем только  нет, да.

1)   Последовательность, каждый член которой больше предыдущей называется арифметической прогрессией.

2) Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен сумме предыдущего и одного и того же числа, называется арифметической прогрессией

3)  d- разность арифметической прогрессии

4) d = а3 - а1

5) d = а2 – а1

6)   аn = а1 + d (n-1) - формула n-ого члена арифметической прогрессии

7) а7= а1+6d

8)   23 =6

9)   2 4= 16

10)  33 = 9

11)  33 = 27

нет

да

да

нет

да

да

да

нет

да

нет

да

Мотивация учебной деятельности

Я приглашаю вас в этот удивительный мир геометрической прогрессии.

Цели урока:

Образовательные: Познакомиться с понятием геометрическая прогрессия, формулой n–ого члена, знаменателя. Сформировать умение применять данные знания при решении задач.

Развивающие: Развить умения учебно-позновательной деятельности. Умение работать самостоятельно.

Воспитательные: Способствовать воспитанию настойчивости в достижении результатов обучения. Применять добытые знания в практической деятельности.

Исторический материал

Слово (прогрессия) латинского происхождения, означает движение вперед и встречается впервые у римлян в V- V1 вв. Некоторые формулы прогрессии были известны китайским и индийским математикам еще до н.э. Шотландскому математику Джону Неперу принадлежит идея о том, что от свойств арифметической прогрессии можно перейти к аналогичным свойствам геометрической прогрессии с положительными членами, если сложение и вычитание соответственно заменить умножением и делением, а умножение и деление – возведение в степень и извлечение корня. После такой замены остаются в силе не только формулировки свойств, но и доказательства. Проверим принципы Непера на практике.

Восприятие и осознание учащимся нового материала

Каждому я раздала опорные карты, примените идею Непера и запишите формулы  нахождения знаменателя  и n-ого члена геометрической прогрессии

an =a1 +(n -1) d

d = а n– аn-1

Докажем эти формулы:

bn = b 1  gn-1

g =  bn  :bn-1

Рассмотрим геометрическую прогрессию:

в1, в2, в3, в4,…

Учащиеся доказывают формулу n-ого члена

Закрепление

Закрепим изученное:

Даны геометрические прогрессии. Найдите правильный ответ.

А)1; 3; 9;…

Б) 3; 3/2, ¾…

В)  8; 8; 8;

Г) 2, -2, 2,….

_________________________________

2;-2;2….

g=3,  в4 =27

g = 1|2,    в4=3/8

g = 1      в 4= 8

g = -1     в4 = -2

Составить формулу  n-ого члена геометрической прогрессии.

1. 2,4,8,16…..
2. 5, 10, 20, 40, ….
3. 1, ½,1/4,1/8

Вn = 2* 2n-1 

Вn=5* 2n-1

Вn- = 1*(1/2)n-1

Составьте геометрические прогрессии:

1;8;9;16;27;5;9;2;20;9;2;4;9;10;3;40

1;3;9;27..

5;10;20;40..

16;8;4;2…

9;9;9;9…

Даны геометрические прогрессии. Известно:

1) в1=  1 /4     g=1\2, найти в3-?

2) в1=2    g=3, найти в4-?

3) в1=3    g=-2, найти в3-?

в3=1/16

в4=54

в3=12

4) в1=2         g=-1\2, найти в4-?

Дана геометрическая прогрессия:

в1; в2; в3 ………….

Известно: что

в7=7/32, в1=14, найти знаменатель?

g=1/2

Работа в парах

Составьте геометрическую прогрессию:

1. Ежедневно каждый болеющий гриппом может заразить четырех окружающих.
2. Дима на перемене съел булочку. Во время еды в кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через каждые 20 минут происходит деление бактерий (они удваиваются).
3. Каждый курильщик выкуривает в среднем 8 сигарет в сутки. После выкуривания одной сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина и табачного дегтя. С каждой последующей сигаретой это количество увеличивается в два раза.

1;4;16;64;…

30;60;120;240;…

0,0002;0,0004;0,0008;…

Домашнее задание

Придумать или найти задачи позволяющие использовать геометрическую прогрессию.

Используя идею Джона Непера вывести формулы геометрической прогрессии.

Какие последовательности в нашей жизни происходят?

Дни недели, возраст человека, название месяцев, нумерация домов, и т.д.

Является ли число ¼ членом геометрической прогрессией 8;4;2…..

2)Впишите пропущенные члены геометрической прогрессии

___;1;4;___64;…

4;___;36;108..

Да

¼;16

12

Поставьте оценку за урок, используя изученную тему.

5, 5, 5, 5 и т.д.