Задания по комбинаторике для подготовки учащихся 9 классов к государственной итоговой аттестации
материал (алгебра) по теме

Задания для части № 1

1). Три друга – Дмитрий, Владимир и Евгений – приобрели два билета на концерт. Сколько существует различных способов посещения концерта для трех друзей?

2). Имеются огурцы, помидоры и луке. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях два различных вида овощей?

3). Составьте все возможные двухбуквенные слова, используя буквы «Н», «А», «О».

4). Составьте все возможные двухбуквенные слова, используя буквы «Т», «Ы», «В».

5). Сколько трехзначных чисел можно составить, используя только цифры 1 и 4?

6). Сколько трехзначных чисел можно составить, используя только цифры 7, 8, 9?

7). Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 6?

8). Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 6 при условии, чтобы цифры не должны повторяться?

9). В чемпионате мира по футболу в высшей лиге участвуют 16 команд. Сколько вариантов состава призеров чемпионата мира может получиться?

10). В чемпионате мира по хоккею в высшей лиге участвуют 16 команд. Сколько вариантов состава неудачников чемпионата мира может получиться? (т. е. займут последние два места).

11). В 5 «Б» классе в четверг 6 уроков: математика, информатика, русский язык, английский язык, история и физкультура. Сколько всего можно составить вариантов расписания уроков на четверг?

12). В 6 «В» классе в среду 5 уроков: математика, информатика, русский язык, английский язык, физкультура. Сколько всего можно составить вариантов расписания уроков на среду?

13). Имеется три предмета: ластик, линейка и карандаш. Сколькими способами из этих канцелярских принадлежностей можно выбрать один предмет?

14). Имеется три розы: белая, красная, желтая. Сколько можно составить различных букетов из трех роз?

15). В столовой имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель столовой может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюда?

16). Андрей решил пойти на новогодний праздник в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных костюмов можно составить из этих предметов?

17). У Елены три юбки и четыре кофты, удачно сочетающиеся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Елены?

18). Из города А в город В ведут четыре дороги, а из города В в город С – пять дорог. Сколькими способами можно попасть из города А в город  С через город  B?

Задания для части № 2

1) (2). Перечислите все возможные варианты разложения по двум вазам одной груши и одного апельсина (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).

2) (2). Перечислите все возможные варианты разложения по двум вазам трех ананасов (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).

3) (2). В шахматном турнире участвуют 7 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

4) (2). При встрече 6 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

5) (4). В расписании уроков на четверг для 8-го класса должно быть пять уроков: геометрия, история, биология, русский язык, обществознание. Сколькими способами можно составить расписание этот день, если уроки истории и обществознания должны стоять рядом, а урок биологии последним?

6) (4). В расписании уроков на вторник для 9-го класса должно быть пять уроков: геометрия, география, физкультура, черчение, алгебра. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если уроки алгебры и геометрии должны стоять вместе, а урок черчения первым?

7) (4). В 7 «Г» классе в субботу 6 уроков: алгебра, русский язык, история, физкультура, информатика, английский язык. Сколько времени потратит диспетчер на запись всех вариантов расписания на субботу, если известно, что на запись одного варианта у него уходит 20 секунд?

8) (4). В 7 «А» классе в понедельник 6 уроков: русский язык, география, ОБЖ, физкультура, история, биология. Сколько времени (в секундах) потратит диспетчер на запись одного варианта расписания на понедельник, если известно, что на запись всех вариантов расписания потребовалось 3 часа?

9) (6). В списке учеников 5 «А» класса 10 девочек и 15 мальчиков. Необходимо выделить группу из трех человек для посещения заболевшего ученика класса. Сколькими способами это можно сделать, если в группе 1 девочка и 2 мальчика?

10) (6). В списке 5 «Б» класса 12 девочек и 10 мальчиков. Необходимо выделить группу из трех человек для посещения заболевшей ученицы класса. Сколькими способами это можно сделать, если в группе 2 девочки и 1 мальчик?

11) (6). В списке учеников 9-го класса 20 девочек и 10 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего ученика класса. Сколькими способами это можно сделать, если все члены этой группы – девочки?

12) (6). В списке учеников 9-го класса 20 девочек и 10 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего ученика класса. Сколькими способами это можно сделать, если все члены этой группы – мальчики?

13) (6). После футбольного матча каждый игрок одной команды обменялся рукопожатием с каждым игроком другой команды. Сколько всего игроков присутствовало на площадке, если было совершено 143 рукопожатия?

14) (6). После «Веселых стартов» каждый игрок одной команды обменялся рукопожатием с каждым игроком другой команды. Сколько всего игроков присутствовало на площадке, если было совершено 437 рукопожатий?

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

Часть 1

1) 3. Решение: по имеющимся билетам на концерт могут пойти: а) либо Дмитрий и Владимир; б) либо Владимир и Евгений; в) либо Дмитрий и Евгений. Значит, получаем три способа (порядок выбора не важен).

2) 3. Решение: возможны следующие варианты салатов: а) помидоры и огурцы; б) помидоры и лук; в) огурцы и лук. Значит, получаем три вида салатов (порядок выбора не важен).

3) 4. Решение: НО; НА; ОН; АН.

4) 2. Решение: ТЫ; ВЫ.

5) 8. Решение: 111; 114; 141; 144; 411; 414; 441; 444.

6) 6. Решение: два возможных числа начинаются на «7», два числа – на «8» и два числа – на «9». Итого, 6 чисел: 789; 798; 879; 897; 978; 987.

7) 25. Решение: для выбора цифр десятков имеется 5 способов. Для каждого из них существует по 5 способов выбора цифр единиц. По правилу произведения общее количество чисел равно 5  5 = 25.

8) 20. Решение: для выбора цифр десятков имеется 5 способов. Для каждого из них существует по 4 варианта цифр единиц. По правилу произведения общее количество чисел равно 5  4 = 20.

9) 3360. Решение: для первого места имеется 16 вариантов выбора команды, для второго – 15 и для третьего – 14, всего 16  15  14 =  3360 вариантов (используется правило произведения).

10) 240. Решение: для выбора последнего места имеется 16 вариантов, а для предпоследнего – 15, всего 16  15 = 240 вариантов (используется правило произведения).

11) 720. Решение: для выбора первого урока имеется 6 вариантов. Для каждого из этих шести вариантов существует по 5 вариантов выбора второго урока и т. д. Используя правило произведения, получаем 6  5  4  3  2  1 = 720 вариантов.

12) 120. Решение: для выбора первого урока имеется 5 вариантов. Для каждого из этих пяти вариантов существует по четыре варианта выбора второго урока, 5  4 = 20 вариантов. Далее, рассуждая аналогично, получаем 5  4  3  2  1 = 120 вариантов.

13) 3. Решение: один предмет можно выбрать тремя способами: либо ластик; либо линейку; либо карандаш.

14) 1. Решение: три розы можно выбрать одним способом: белая – красная – желтая, т. е. все три сразу. При этом порядок не важен.

15) 30. Решение: для выбора первого блюда имеется три варианта. Для выбора второго блюда имеется пять вариантов. Для выбора третьего блюда – 2 варианта. Выборы вариантов – независимы, т. к. каждый вариант осуществится из своего множества вариантов. Каждая выбираемая тройка блюд оказывается упорядоченной (например: первое – второе – третье). По правилу произведения общее количество способов выбрать обед посетителями равно 3  5  2 = 30.

16) 180. Решение: в задаче четыре последовательных выбора, каждый из своего множества вариантов. Общее количество костюмов, используется правило произведения, равно 5  6  3  2 = 180.

17) 12. Решение: юбку можно выбрать тремя способами, после этого кофту – четырьмя способами. Всего 3  4 = 12 комбинаций из юбок и кофт.

18). 20. Решение: для поезда из города А в город В можно выбрать одну из четырех дорог. После этого для поезда из В в С можно выбрать одну из пяти дорог. Каждый вариант первого выбора может сочетаться с каждым вариантом второго выбора. По правилу произведения общее количество вариантов равно 4  5 = 20.

Часть 2

1) 4. Решение: перечислим все варианты заполнения одной вазы: пусто, груша, апельсин, груша и апельсин. Выбирая способ заполнения одной вазы, автоматически определяем и способ заполнения второй. Все возможные варианты разложения фруктов по двум вазам:

Значит, получаем 4 варианта.

2) 4. Решение: достаточно указать способ заполнения одной вазы, т. к. все, что не попадает в первую вазу, будет положено во вторую. Определяя порядок заполнения первой вазы, одновременно определяем способ заполнения второй. Подсчитаем способы заполнения первой вазы: пусто, один ананас, два ананаса, три ананаса. При этом все способы разложения ананасов по двум вазам, таковы:

Значит, получаем 4 способа.

3) 21 партия. Решение: поскольку каждая пара участников играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения (Петров играл с Сидоровым, это то же самое, что Сидоров играл с Петровым). Выбрать первого участника партии можно 7 способами, а второго 6-ю оставшимися способами. Используя правило произведения, получаем, что можно образовать 6  7 = 42 пары. В это число каждая пара входит дважды: сначала Петров – Сидоров, затем Сидоров – Петров. Поскольку порядок выбора не имеет значения, то общее количество партий равно  партия. II-й способ: партия.

4) 15 рукопожатий. Решение: порядок выбора не имеет значения: если Андреев пожимает руку Антонову, то одновременно и Антонов пожимает руку Андрееву, то общее число рукопожатий

пар равно . II-й способ: Количество способов выбора равно числу сочетаний из 6 по 2:  рукопожатий.

5) 12. Решение: урок биологии поставим на последнее место и не будем учитывать:

Два соседних места для уроков истории и обществознания можно выбрать тремя способами (т. е. 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4). Поставить их на эти выбранные места можно двумя способами (учтен порядок расположения 2 уроков: история – обществознание, обществознание – история). После этого урок геометрии можно поставить на любое из двух оставшихся мест, а урок русского языка – на единственное оставшееся место. По правилу умножения получаем 3  2  2  1 = 12 способов.

6) 12. Решение: урок черчения сразу поставим на первое место и не будем учитывать:

Два соседних места для уроков алгебры и геометрии можно выбрать тремя способами. Поставить их на эти выбранные места можно двумя способами. После этого урок геометрии можно поставить на любое их двух оставшихся мест, а урок физкультуры – на единственное оставшееся место. По правилу умножения получаем 3  2  2  1 = 12 способов.

7) 4 ч. Решение: для выбора первого урока имеется 6 способов. Для каждого из этих 6 способов существует по 5 способов выбора второго урока, всего 6  5 = 30 способов. Далее, рассуждая аналогично, получаем всего 6  5  4  3  2  1 = 720 способов. Диспетчер потратит 720  20 = 14400 (с) = 4 ч.

8) 15 с. Решение: рассуждая так же, как в задаче № 7, получаем 720 способов составления расписания. Время, которое потратит диспетчер для заполнения одного варианта расписания, равно  (с).

9) 910. Решение: в задаче говорится, что заболел ученик, т. е. мальчик, значит, девочек по-прежнему 10, а мальчиков осталось только 14. Первого мальчика можно выбрать 14 способами, а второго – 13 способами. Всего 14  13 = 182 способа, 182 : 2 = 91 способ (поскольку каждую пару посчитали дважды). Для каждого из этих 91 пары мальчиков имеется 10 способов выбора девочки, всего 91  10 = 910 способов.

10) 770. Решение: в задаче говорится, что заболела ученица, т. е. девочка, значит, мальчиков по-прежнему 10, а девочек осталось только 11. Для выбора первой девочки есть 11 вариантов, для выбора второй – 10, всего 11  10 = 110 способов, 110 : 2 = 55 способов (поскольку каждую пару посчитали дважды). Для каждой из этих 55 пар девочек имеется 14 способов выбора мальчика, всего 55  14 = 770 способов.

11) 1140. Решение: в задаче говорится, что заболел ученик, т. е. мальчик. Значит, девочек по-прежнему 20, а мальчиков осталось только 9. Для выбора первой девочки существует 20 способов. Для каждого из них имеется 19 способов выбора второй девочки, 20  19 = 380 способов. Для каждого из этих 380 способов остается 18 способов выбора третьей девочки. Всего 20  19  18 = 6840 способов. Очевидно, что среди этих 6840 троек есть одинаковые. Определим, сколько раз повторяется каждая тройка. Для этого пронумеруем девочек и рассмотрим тройку «1, 2, 3», где 1 – девочка, которая в этом списке стоит под номером 1, 2 – девочка № 2 и 3 – девочка № 3. При таком способе рассуждений в число 6840 троек вошли все тройки типа «1, 2, 3», «2, 1, 3», «3, 2, 1» и т. д. Всего их будет столько же, сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 при условии, чтобы не должны повторяться. Сосчитать сколько будет таких троек, можно тем же способом, каким определяется количество трехзначных чисел. Первое место в такой тройке можно занять 3 способами, второе – 2 способами, третье –  одним способом. Значит, всего будет 3  2  1 = 6 различных способов (использовано правило умножения). В нашей задаче каждая тройка девочек посчитана 6 раз. Следовательно, получаем 6840 : 6 = 1140 способов.

12) 84. Указание: рассуждая аналогично (см. № 11), получаем 9  8  7 = 504 способа, 504 : 6 = 84 способа.

13) 24. Решение: пусть в первой команде было а игроков, а во второй – b игроков. Тогда всего было совершено а   b рукопожатий (по правилу умножения). Значит, получаем уравнение а   b = 143, которое решается в целых числах. Поскольку а и b не могут равняться 1 (в футбольной команде не может быть 1 игрок), то имеет два решения (других способов разложить число 143 на два множителя нет): а = 11, b = 13 или а = 13, b  = 11. В любом случае их  сумма а + b равна 24.

14) 42. Указание: рассуждая аналогично (см. № 13), получаем уравнение а   b = 437. Отсюда,  а = 19, b = 23 или а = 23, b = 19. Их  сумма а + b равна 42.