Геометрические объекты на плоскости и в пространстве
проект

Бюджетное учреждение высшего образования

Ханты-Мансийского автономного округа - Югры

«Сургутский государственный педагогический университет»

Факультет Управления

Кафедра Высшей математики и информатики

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Учебный проект по дисциплине «Геометрия»

Направление подготовки  

44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)

Направленность

«Математика и начальное образование»

Квалификация

                Бакалавр        

Исполнители:

Килина Анна Сергеевна, студентка группы 

Б-8022 очного отделения

Орлова Лидия Романовна, студентка группы Б-8022 очного отделения

Лапина Елизавета Андреевна, студентка группы Б-8022 очного отделения

Преподаватель: Мугаллимова Светлана Ринатовна, к.п.н., доцент

Оценка         

Сургут 2021 г.

Содержание

1. Терминологический словарь………………………………………………3
2. Виды линий и поверхностей………………………………………………5
3. Справочник по формулам с иллюстрациями……………………………..5
4. Примеры решения типовых задач………………………………….……14
5. Раздел с материалами занимательного характера………………………19
6. Список использованных источников……………………………………22
7. Лист самооценки проекта. Бланки для оценки проектной деятельности других групп…………………………………………………....................23

1. Терминологический словарь

Определение 1. Геометрический объект – это точка, линия, поверхность или тело, служащие основными элементами математической модели геометрии реальных или воображаемых объектов. [1]

Определение 2. Плоскость – это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, проходящие через какие-либо две точки плоскости.

Определение 3. Пространство – это множество объектов, между которыми установлены отношения, сходные по своей структуре с обычными пространственными отношениями типа окрестности, расстояния и т.д. [3]

Определение 4. Точка – 0-мерный геометрический объект, который    может    быть    указан    в    n-мерном    пространстве    с использованием n-кратного (, x, ..., ), состоящие из n-координат.

Определение 5. Линия – 1-мерный геометрический объект, который определяется как следствие движущихся точек или место пересечения двух поверхностей.

Определение 6. Поверхность – 2-мерный геометрический объект, являющийся геометрическим местом точек, координаты которых описываются непрерывными и однозначными функциями , ,  двух параметров  и , принадлежащих непрерывной и связной двухмерной области. [1]

Определение 7. Тело – 3-мерный геометрический объект, часть пространства, со всех сторон ограниченная. [4]

Определение   8.   Нормальный   вектор   к   прямой    –   любой ненулевой вектор, направленный перпендикулярно этой прямой.

Определение 9. Направляющий вектор прямой  – любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой.

Определение 10. Угловой коэффициент , где  угол между положительным направлением оси OX и данной прямой .

Определение 11. Уравнение  называется уравнением данной поверхности , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки    и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на поверхности.

Определение. Кривыми второго порядка называются плоские линии, определяемые в прямоугольной декартовой системе координат  уравнением второй степени.

2. Виды линий и поверхностей

Виды линий:

1. Прямая
2. Кривые второго порядка

А) Окружность

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Окружность радиуса R с центром в точке M0(x0,y0) имеет следующее уравнение:

Пример. Построить кривую

Решение:

Выделяя полные квадраты, получим

или

т. е. уравнение окружности с центром в точке  и радиусом

B) Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса:

 , где

Пример. Составить уравнение эллипса при следующих условиях и найти недостающие параметры

Решение:

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

 – большая полуось;

 – малая полуось;

– каноническое уравнение искомого эллипса;

 – фокусы эллипса;

 –  вершины эллипса;

 – уравнение директрис эллипса.

C) Эллипс

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение:

, где

Пример. Построить кривую, заданную уравнением

Решение:

Разделив каждое слагаемое заданного уравнения на 4 , запишем его в вид . Это уравнение задает на плоскости гиперболу с полуосями  Гипербола с равными полуосями называется равнобочной, ее асимптотами являются биссектрисы координатных углов

При  получим уравнение , не имеющее вещественных

корней, т. е. гипербола не пересекает ось

При  получим уравнение , имеющее корни  Следовательно, вершины гиперболы лежат на оси

Фокусы гиперболы расположены на той же оси, на которой находятся ее вершины. Из того, что и , следует: координаты фокусов равны и . Эксцентриситет гиперболы  

D) Парабола

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение:

Пример. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат при условии F (3; 0) и найти уравнение директрисы.

Решение:

Фокус параболы лежит на положительной полуоси , следовательно, уравнение параболы имеет вид

Так как координаты фокуса  то , откуда , откуда

p Искомое уравнение параболы  Уравнение директрисы

Виды поверхностей

Таблица 1

3. Виды линий и поверхностей

1. Линии

A) На плоскости

  – уравнение прямой с угловым коэффициентом, где  ( – угол между положительным направлением оси  и данной прямой ), и  – величина направленного отрезка, отсекаемого данной прямой от оси ординат.

  – общее уравнение прямой 

Коэффициенты  в общем уравнении прямой имеют простой геометрический смысл: они являются проекциями нормального вектора на оси координат. Свободный член  геометрического смысла не имеет.

 – уравнение прямой в отрезках

  – уравнение прямой, проходящей через заданную точку с угловым коэффициентом

  –  уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

  – каноническое уравнение прямой

  – параметрическое уравнение прямой

B) В пространстве

 – точка на прямой,  – направляющий

вектор.

  –  каноническое уравнение прямой

   – параметрическое уравнение прямой

 )

 – параметрическое уравнение прямой

2. Плоскость в пространстве

  – векторное уравнение плоскости

  – параметрическое уравнение плоскости, где  – параметры

 =0 – уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки

  – уравнение плоскости в отрезках

  – нормальное уравнение плоскости, где    – нормальный вектор и   

  – общее уравнение плоскости

.  – уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярной данному вектору

4. Примеры решения типовых задач

1. Линии

A) На плоскости

 Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Дана прямая . Найти угловой коэффициент и построить прямую на плоскости

Решение:

Чтобы найти угловой коэффициент, исходное уравнение необходимо разрешить относительно Сравнивая с уравнением прямой с угловым коэффициентом, замечаем, что

Для построения прямой необходимо знать координаты двух точек, через которые проходит прямая:  ⇒  ⇒  Итак, остается провести прямую, проходящую через точки

 Общее уравнение прямой:

Прямая задана каноническим уравнением . Записать уравнение прямой в общем виде.

Решение:

Так как обращение в нуль одного из знаменателей в каноническом уравнении означает обращение в нуль и соответствующего числителя, то − искомое уравнение прямой.

 Уравнение прямой в отрезках

Задано общее уравнение прямой  Найти уравнение этой прямой в отрезках.

Решение:

Прямая задана общим уравнением. Находим числа  и искомое уравнение:

 Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с угловым коэффициентом

Составить уравнение прямой, проходящей через точку  и образующей с положительным направлением оси  угол

Решение:

Координаты точки известны, а угловой коэффициент  Подставляя, имеем  или

 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку  и начало координат.

Решение:

Уравнение прямой имеет вид  , где  Подставляя значения в уравнения прямой, получим

B) В пространстве

  Параметрическое уравнение прямой:

Даны точка  и направляющий вектор  Написать параметрическое уравнение прямой.

Решение:

Подставляем координаты данных точки и направляющего вектора в параметрическое уравнение и получаем:

 Прямая как пересечение плоскостей:

Даны нормальные вектора  и пересечение плоскостей Найти параметрическое уравнение прямой.

Решение:

Найдем , откуда следует, что

Вычислим систему: ; .

Напишем параметрическое уравнение:

2. Плоскости в пространстве

 Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки:

Составить уравнение плоскости , проходящей через точки

Решение:

Пусть  – произвольная точка плоскости. Найдем координаты векторов  и составим уравнение плоскости :

 Уравнение плоскости в отрезках:

Через уравнение плоскости в отрезках построить плоскость  описываемую уравнением

Решение:

Разделив обе части уравнения на 6, получим уравнение плоскости в отрезках:

 Общее уравнение на плоскости:

Составить уравнение плоскости , проходящей через точки

Пусть  – произвольная точка плоскости. Найдем координаты векторов  и составим уравнение плоскости :

 откуда

 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярной данному вектору:

Даны две точки . Написать уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору

Решение:

Нормальный вектор  имеет координаты  Подставляя полученные координаты в уравнение плоскости, получаем искомое уравнение плоскости:

5. Раздел с материалами занимательного характера

Параболограф Кавальери

Красивый способ рисования параболы придумал итальянский математик Бонавентура Кавальери (итал. Bonaventura Franceco Cavalieri, лат. Cavaleriu, 1598—1657) ещё в XVII веке.

Параболограф Кавальери состоит из трёх частей: линейки и двух жёстких прямых углов, стороны которых имеют прорези.

По неподвижному относителен листу линейке один прямой угол скользит так, что его горизонтальная сторона постоянно соприкасается с линейкой.

Второй прямой угол образует с линейкой прямоугольный треугольник. Вершина при прямом угле снабжена грифелем и скользит по направляющей прорези вертикальной стороны первого прямого угла. Две другие стороны второго прямого угла скользят своими прорезями по направляющим штифтам, один изкоторых жёстко закреплён на линейке, а другой — на горизонтальной стороне подвижного угла.

При движении параболографа Кавальери грифель рисует параболу. Параметром параболы является расстояние от штифта до вершины прямого угла, прилегающего к линейке. Если штифт переставить, кривая будет другой, но тоже параболой.

Доказательство того, что рисуемая кривая — парабола, основано на теореме из современного школьного курса математики. Следует рассмотреть треугольник, образованный сторонами второго прямого угла и линейкой. В нём квадрат длины высоты (расстояние от грифеля до линейки), опущенной на гипотенузу-линейку, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Проекция «правого» катета по конструкции параболографа фиксирована и является параметром, определяющим параболу.

Седловидная поверхность: гиперболический параболоид

Гиперболический        параболоид         —        поверхность, напоминающая седло. Она образуется при таком движении параболы с ветвями вниз, что её вершина скользит по другой,

неподвижной параболе с ветвями вверх. Плоскости парабол в каждый момент времени перпендикулярны, оси параллельны.

При пересечении гиперболического параболоида с любой горизонтальной плоскостью получается гипербола. Если плоскость проходит через центр седла, то гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых. (Если на эту плоскость спроецировать гиперболу из параллельного сечения, то прямые будут асимптотами гиперболы‐проекции.)

Оказывается, гиперболический параболоид — линейчатая поверхность, она также может быть образована движением прямой линии!

Между двумя параллельными прямыми через равные расстояния пустим набор отрезков. Повернём прямые вокруг центрального отрезка в разные стороны. (При этом длины всех отрезков, кроме центрального, изменятся.) Так расположенные в пространстве отрезки лежат на гиперболическом параболоиде.

Эта поверхность допускает красивую реализацию в виде модели из трубочек.

Гауссова кривизна во всех точках гиперболического параболоида отрицательна. Такие поверхности называют седловыми из-за визуального сходства с седлом для верховой езды.

Список использованных источников

1. Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002. — 472 с. URL: https://scask.ru/q_book_g_mod.php 
2. Советский энциклопедический словарь [Текст] / гл. ред. А. М. Прохоров. - 4-е изд., испр. и доп. - Москва: Советская энциклопедия, 1989. - 1633 с., [5] л. карт. : ил., карт; 26 см.; ISBN 5-8527-001-0
3. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. — т. XXXIV (1901): Трумп — Углеродистый кальций. — 300 c.
4. Аналитическая геометрия: учебно-методическое пособие / авт.-сост.: С. Е. Демин, Е. Л. Демина; М-во образования и науки РФ; ФГАОУ ВО «УрФУ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина», Нижнетагил. технол. ин-т (фил.). — Нижний Тагил: НТИ (филиал) УрФУ, 2016. — 272 с
5. Лекция 6. Геометрические объекты на плоскости и в пространстве // teach-in URL: https://teach-in.ru/lecture/2018-10-26-Ovchinnikov (дата обращения: 22.12.2021).
6. Параболограф Кавальери⁠ // Математические этюды URL: https://etudes.ru/models/conic-sections-cavalieri-parabolograf/ (дата обращения: 23.12.2021).

Лист самооценки проекта. Бланки для оценки проектной деятельности других групп

Лист самооценки и взаимооценки в работе над проектом

ФИ, группа __________________________________________________________________________________________

Тема проекта_________________________________________________________________________________________

Оценочный лист проектной деятельности других групп

Участники группы____________________________________________________________________________________

Тема проекта_________________________________________________________________________________________