Магические квадраты в курсе математике в начальной школе
методическая разработка по математике

Магические квадраты в курсе математики начальной школы

Введение

С незапамятных времён, научившись считать, наши далёкие предки заметили, что числа имеют различные загадочные свойства, которые они не могли объяснить. Одним из проявлений таких свойств являются, так называемые, магические квадраты. Эти особенные квадраты всегда привлекали внимание не столько своими математическими, сколько скрытыми в них, по мнению многих, мистическими свойствами. В современном мире от мистики уже давно отказались, но так и не отказались от теории магических квадратов, которая теперь нашла своё новое применение в науке и обучении.

Интерес сегодня вызывают не только сами магические квадраты, но и такой актуальный вопрос: «Почему данные математические объекты изучаются не только учеными, но и встречаются даже в курсе математики начальной школы?». Я решила выяснить, что же это за квадраты такие и почему их изучают и младшие школьники, и великие ученые.

Исходя из этого, цель работы заключается в том, чтобы изучить магические квадраты и дать теоретическое обоснование включения магических квадратов в курс математики начальной школы.

Для реализации поставленной цели нами были сформулированы следующие задачи:

Ø  дать определение понятию «магический квадрат»;

Ø  изучить историю развития магических квадратов;

Ø  рассмотреть различные виды магических квадратов

Ø  изучить примеры использования магических квадратов в различных областях деятельности человека;

Ø  проанализировать учебники математики и методические материалы для начальной школы;

Ø  найти и проанализировать задания по данной теме для начальной школы;

Ø  определить цели использования магических квадратов в курсе математики начальной школы;

Ø  наметить перспективы дальнейшего изучения данной темы.

Магические квадраты

Магический квадрат — это квадратная таблица n x n, заполненная n2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой.

Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.

Самый известный магический квадрат:

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли. - ”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн... Магические квадраты - удивительные представители воображаемого мира чисел.

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий.

Из истории возникновения и развития магических квадратов.

Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В XIII в. китайский математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37):

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514).

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Квадраты Дьюдени и Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:

Виды магических квадратов

Существует классификация магических квадратов, причем классификаций несколько по различным признакам.

Классификация по номеру порядка магического квадрата, то есть по числу клеток в строке и столбце в магическом квадрате:

Ø  нечетные магические квадраты, то есть их порядок – нечетное число;

Ø  четно-четные магические квадраты, то есть порядок делится и на 2 и на 4;

Ø  четно-нечетные магические квадраты, то есть порядок делится на 2, но не делится на 4.

Классификация магических квадратов по различным свойствам:

Ø  Нормальный магический квадрат - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2;

Ø  Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до n2., называется полумагическим, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется;

Ø  Aссоциативный, или симметричный магический квадрат, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2;

Ø  Пандиагональный (дьявольский) магический квадрат - такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата;

Ø  Идеальный магический квадрат - магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный;

Ø  Совершенный магический квадрат - магический пандиагональный квадрат порядка 4k;

Ø  Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов 3,4,5 порядка не существует;

Ø  Мультимагический квадарат - обобщение бимагических квадратов на произвольную степень n.

Применение магических квадратов

Сегодня очень актуальным становится вопрос о защите информации. С помощью магических квадратов можно закодировать информацию. Например, зашифровать текст. Расположив буквы согласно числам магического квадрата, получаем фразу «БУДУ В СЕМЬ». Такие задания часто встречаются в учебниках по математике начальных классов.

Так же очень популярна японская головоломка судоку, прародителем которой можно считать Магический квадрат. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Не меньшую популярность завоевали судоку и в сети Интернет.

Англичане используют площадку для игры в шаффлборд, размеченную в виде магического квадрата.

Магические квадраты используются в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат.

Магические квадраты – это элементы нанотехнологии: фирма «Toshiba», разрабатывая качественные телевизионные экраны, пришла к выводу, что цветовые ячейки выгодно располагать по принципу магических квадратов. В этом случае резко повышаются качество и четкость изображений, цветовые переходы.

Магические квадраты в курсе математики начальной школы

Задания с использованием магических квадратов есть в действующих учебниках математики для начальных классов, в частности, в учебниках авторского коллектива под руководством М.И. Моро и учебниках Л.Г. Петерсон.

Пример 1

Учебник М.И.Моро

Пример 2.

Учебник Л.Г.Петерсон

Пример 3

Учебник Дорофеева и Козловой

Выполнив и проанализировав, все эти задания мы пришли к выводу, что решение магических квадратов способствует:

Ø  формированию и закреплению вычислительных навыков;

Ø  развитию логического мышления;

Ø  развитию умения планировать и контролировать свою деятельность;

Ø  развитию любознательности;

Ø  развитие познавательного интереса к предмету математики и истории её развития.

Заключение

Трудно понять классическую музыку без подготовки. Нелегко воспринимать абстрактную живопись, не имея представления о её законах. То же можно сказать о числовых узорах.

Удивительная, поистине, магическая красота, содержащаяся в магических квадратах, влечёт к себе лучшие умы человечества в течение тысячелетий. Понять её не всякому дано, но один раз осознав стройность и безжалостную строгость чисел, связанных узами магии, можно получить огромное удовольствие. Умение видеть красоту и в математике необходимо прививать детям с раннего возраста, поэтому магические квадраты достаточно часто встречаются в курсе математики начальной школы.

В ходе работы было определено понятие «магический квадрат», рассмотрена история развития магических квадратов и различные виды магических квадратов. Мы выяснили, что магические квадраты применяются в различных областях деятельности человека. Проанализировали учебники математики и пришли к выводу, о том, что использование магических квадратов в курсе математики начальной школы неслучайно.

Таким образом, цели и задачи работы достигнуты.

Составление магических квадратов представляет собой отличную гимнастику для ума. Еще выдающийся математик Леонард Эйлер говорил: «Составление магических квадратов представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания и симметрии».

На этом этапе изучение данной темы не заканчивается, магические квадраты таят в себе еще много интересного, в дальнейших моих планах подробно изучить другие виды магических квадратов, разобрать способы их построения, и использовать эту тему на уроках в начальной школе.