Метод моделирования при решении текстовых задач
учебно-методический материал по математике (2 класс)

Педагогический опыт

«Метод моделирования

при решении текстовых задач»

Москвичева

Наталья Станиславовна

Учитель начальных классов

«Математике должно учить в школе

 еще с той целью, чтобы познания,

здесь приобретаемые, были достаточными

 для обыкновенных потребностей в жизни»

И.Л. Лобачевский

ИНФОРМАЦИЯ ОБ ОПЫТЕ

1.Актуальность педагогического опыта

С самого начала своей педагогической деятельности я задавалась вопросом "Почему многие дети не умеют решать текстовые задачи, более того панически боятся их?". Первые шаги при решении простых задач, казалось бы, не вызывают у учащихся затруднений. Однако в дальнейшем самостоятельное решение составных задач оказывается не по силам многим ученикам, и от класса к классу эти учащиеся испытывают все большие трудности.

Причина же возникающих затруднений состоит, прежде всего, в том, что у учащихся не сформировано в достаточной мере умение анализировать текст задачи, правильно выделять известное и неизвестное, устанавливать их взаимосвязь, которая является основой выбора действия для решения задачи. Все перечисленное и составляет общее умение работы над задачей.

Современная школа должна формировать целостную систему универсальных учебных действий, то есть ключевые компетенции. Обучение сегодня рассматривается не как простая трансляция знаний от учителя к ученику, а как сотрудничество. И в образовательном процессе начинают преобладать методы работы, обеспечивающие становление самостоятельной творческой личности, готовой к восприятию и решению инновационных задач.

Но для того, чтобы ребёнок умел учиться, умел добывать необходимую информацию, анализировать её, уместно и умело применять её, нужно совершенствовать его мыслительные способности, которые позволили бы ему мыслить более продуктивно. Ведь именно благодаря способности человека мыслить решаются трудные задачи, делаются открытия, появляются изобретения.

Таким образом, обнаруживаются противоречия между возрастающим объемом информации, который предлагается обучающимся, и недостаточным включением самих обучающихся в познавательный процесс; между современными требованиями к подготовке выпускников начальной школы и сложившейся системой обучения младших школьников.

Разрешение этих противоречий и обусловило выбор темы: «Метод моделирования при решении текстовых задач».

Я считаю, что богатые возможности для развития интереса к математике, логического мышления младших школьников открывает система работы над текстовыми задачами методом моделирования.

2.Методологическая база педагогического опыта

Вопросы использования моделирования как метода научного познания довольно широко освещены в философской литературе (К.Б. Батораев, Б.А. Глинский, Б.С. Грязнов, Б.С. Дынин, К.Е Морозов, А.И. Уемов, В.А. Штофф и др.). Анализ работ перечисленных авторов позволяет сделать вывод, что моделирование как метод научного познания в науке используется с давних времен. Однако проблема использования моделирования в обучении разрабатывается в психолого-дидактических исследованиях лишь в последние десятилетия. В работах Л.И. Айдаровой, В.В. Давыдова, А.К. Марковой, Н.Г. Салминой, Л.М. Фридмана, А.А. Шибанова, Е.В. Чудиновой, Д.Б. Эльконина и других авторов рассматриваются различные аспекты проблемы использования моделей и моделирования в учебном процессе.

Условно можно выделить два основных направления в исследованиях по использованию моделирования в обучении:

• Первое направление посвящено вопросам влияния моделирования на умственное развитие ученика (А.А. Венгер, П.Я Гальперин, В.В. Давыдов, Н.Г. Салмина, Д.Б. Эльконин).
• Второе направление исследований затрагивает в основном методические аспекты применения моделирования в учебном процессе (Л.И. Айдарова, А.В. Белошистая, А.У Варданян, ГА. Варданян, СИ. Волкова, Я. Дадоджанов, А.К. Маркова, Г.И. Минская).

Анализ проведенных исследований позволяет констатировать высокую оценку со стороны исследователей продуктивности моделирования как для усвоения учебного материала по конкретной дисциплине, так и для умственного развития школьников. Учеными признается, что использование моделирования в обучении усиливает его развивающий эффект.

Опыт направлен на то, чтобы обеспечить положительную динамику в развитии умения решать текстовые задачи посредством метода моделирования.

Для реализации цели необходимо решение следующих задач:

1. Систематически применять существующий методический подход к обучению решению задач.
2. Формировать у обучающихся через уроки математики умение моделировать.
3. Разработать и ввести в педагогическую практику уроки с использованием метода моделирования.

На современном этапе образования под развивающим обучением понимается обучение младших школьников общим приемам умственной деятельности, а на уроках математики – общим приемам по усвоению математических понятий. Метод моделирования дополняет учебную работу школьников поисковой деятельностью, помогает формированию таких приемов умственной деятельности как абстрагирование, анализ, синтез, развивает математическое мышление.

Моделирование задач позволяет младшим школьникам подняться на достаточно высокую ступеньку абстрактности: все второстепенные детали опущены, выбор действия производится только из логики происходящих изменений.

Благодаря моделированию, математические связи и зависимости приобретают для учеников смысл, а в процессе его использования происходит углубление и развитие математического мышления учащихся. Поэтому моделирование – это один из ведущих методов обучения решению задач и важное средство познания действительности.

3. Ожидаемые результаты

Реализация данной работы, направлена на формирование способности моделирования, даст возможность учащимся получить высокие предметные результаты и освоить универсальные учебные действия.

Кроме этого предполагается повышение уровня сформированности умения решать текстовые задачи при помощи моделирования на уроках математики по возрастам:

1 класс

Учащиеся должны уметь:

• сравнивать величины, записывать результаты сравнения с помощью отрезков, с помощью буквенных формул;
• использовать знаково-символические средства (чертежи, формулы, схемы) представления информации при решении задачи;
• работать с модельными средствами (знаковыми, графическими, словесными) в рамках изученного материала;
• строить графические модели арифметических действий (сложения и вычитания) и осуществлять переход от этих моделей к буквенным формулам и обратно;
• моделировать разностное отношение и отношение «частей и целого» с помощью чертежа и формул;
• находить целое или части по чертежу, формуле;
• переходить от одного вида модели (графической, знаковой) к другой;
• подбирать величины к заданной формуле;
• правильно выполнять построение (отмеривание) величины по схеме;
• строить числовую прямую, выбирая подходящие направление, начало и шаг;
• моделировать отношения величин с помощью чертежей и стрелочных схем;
• составлять по моделям текстовые задачи и математические выражения.

Программа для 1 класса (по Л.М. Фридман)

2 класс

Учащиеся должны уметь:

• моделировать разностное отношение и отношение «частей и целого» с помощью чертежа и формул;
• использовать знаково-символические средства (чертежи, формулы, схемы) представления информации при решении задачи;
• работать с модельными средствами (знаковыми, графическими, словесными) в рамках изученного материала;
• строить графические модели арифметических действий (сложения и вычитания) и осуществлять переход от этих моделей к буквенным формулам и обратно;
• переводить информацию из графического или формализованного (символьного) представления в текстовое, и наоборот;
• находить целое или части по чертежу, формуле;
• переходить от одного вида модели (графической, знаковой) к другой;
• подбирать величины к заданной формуле;
• по схеме отмерить величину, используя промежуточную мерку, измерить данную величину с помощью промежуточной мерки и представить результат измерения в виде схемы;
• записывать результат измерения системой мерок;
• моделировать отношения величин с помощью чертежей и стрелочных схем;
• описывать процессы с помощью специальных таблиц;
• составлять по моделям текстовые задачи и математические выражения;
• описывать действия умножения и деления с помощью треугольной схемы.

3 класс

Учащиеся должны уметь:

• использовать знаково-символические средства (чертежи, формулы, схемы) представления информации при решении задачи;
• работать с модельными средствами (знаковыми, графическими, словесными) в рамках изученного материала;
• строить графические модели всех арифметических действий и осуществлять переход от этих моделей к буквенным формулам и обратно;
• переводить информацию из графического или формализованного (символьного) представления в текстовое, и наоборот;
• переходить от одного вида модели (графической, знаковой) к другой;
• подбирать величины к заданной формуле;
• анализировать задачи с однородными величинами и моделировать результаты анализа на моделях (чертежах и схемах);
• составлять по моделям текстовые задачи и математические выражения;
• читать чертежи и схемы, выполнять по ним вычисления;
• составлять выражения по чертежам и схемах, вычислять значения буквенных выражений при заданных значениях букв.

4 класс

Учащиеся должны уметь:

• использовать знаково-символические средства (чертежи, формулы, схемы) представления информации при решении задачи
• работать с модельными средствами (знаковыми, графическими, словесными) в рамках изученного материала;
• строить графические модели всех арифметических действий и осуществлять переход от этих моделей к буквенным формулам и обратно;
• переводить информацию из графического или формализованного (символьного) представления в текстовое, и наоборот;
• переходить от одного вида модели (графической, знаковой) к другой;
• подбирать величины к заданной формуле;
• моделировать отношения величин с помощью чертежей и стрелочных схем;
• описывать процессы с помощью специальных таблиц;
• подбирать, составлять задания на работу с моделями, их конструирование, а также осуществление различных переходов между ними;
• составлять по моделям текстовые задачи и математические выражения;
• представлять результаты анализа на моделях (чертежах, схемах, таблицах);
• читать чертежи, схемы, таблицы, диаграммы, выполнять по ним вычисления;
• моделировать и разрешать реальные ситуации, требующие умения находить геометрические величины;
• составлять выражения по чертежам и схемам, вычислять значения буквенных выражений при заданных значениях букв.

Учитель должен:

- владеть методом формирования у обучающихся умения моделирования при решении текстовых задач.

        4. Описание деятельностного аспекта

В соответствии с поставленными целями и задачами использую на уроках математики при решении задач особые знаково-символические средства – модели, однозначно отображающие структуру задачи и достаточно простые для усвоения младшими школьниками.

«Моделирование – процесс построения моделей для каких-либо познавательных целей. Модель – это объект или система, исследование которой служит средством для получения знаний о другом объекте – оригинале или прототипе модели». (Л. М. Фридман, К. Н. Волков).

Другими словами, изображение условия задачи при помощи символов и знаков, позволяет выделить логические связи и установить закономерности.

Классификация моделей

Исходя из общей классификации моделей, я использую в своей работе таблицу «Моделирование текстовых задач»:

Согласна с коллегами, которые утверждают, что освоение моделей – это трудная для обучающихся работа. Причем трудности связаны не с абстрактным характером модели, а с тем, что, моделируя, обучающиеся отображают сущность рассматриваемых в задаче объектов и отношений между ними.

Поэтому обучение моделированию веду целенаправленно, соблюдая ряд условий:

• начинаю работу с подготовительных упражнений по моделированию: на первых этапах знакомлю учащихся с «ключевыми» словами в тексте задачи (Приложение 3);
• применяю метод моделирования при изучении математических понятий;
• веду работу по усвоению знаково-символического языка, на котором строится модель;
• систематически провожу работу по освоению моделей тех отношений, которые рассматриваются в задачах (Приложение 4).

Каждая модель выступает как одна из форм отображения сущности задачи, помогающая детям выстроить логическую цепочку умозаключений, приводящих к конечному результату. При анализе данной задачи детям предлагается сразу несколько моделей, для того, чтобы познакомить с разными видами моделирования, во-первых. И, во-вторых, дети почти сразу определяют какая модель им «ближе». Причем делают это индивидуально, выбирая самый оптимальный вариант для себя, что дает положительный результат. При таком подходе развивается творческое мышление, активизируется мыслительная деятельность, нет закомплексованности, если вдруг предложенная модель не будет «принята» ребенком. И, что самое главное, такая работа при решении сложных задач приводит к многообразию способов решения, причем дети делают это самостоятельно.

Виды моделей:

1. Использование чертежа при решении простых задач

Для развития математических представлений, умения анализировать, обобщать предлагаю следующие задачи.

а) Задача (1 кл.). В вазе лежит всего 10 яблок, из них одно зеленое, а остальные красные. Сколько красных яблок в вазе?

     10

  1

Моделируя задачу таким способом, детям предоставляется возможность работать в дальнейшем с большими числовыми данными, в условии задачи могут быть использованы буквенные выражения.

Опыт показывает, что, используя графическое моделирование простых задач, дети без особых трудностей, естественно переходят к решению задач в два действия.

Действенным средством для поиска решения задачи служит и схематический чертеж. Кроме того, обоснование учеником своих действий при построении чертежа способствует развитию умения рассуждать, учит последовательно и аргументировано излагать свои мысли.

б) Моделирование текстовой задачи в виде отрезка продолжаю и в следующих классах.

Пример моделирования нестандартной текстовой задачи в виде отрезка.

Задача. На чемпионате в школе по игре в шахматы Сережа сыграл 12 партий. Когда у него спросили, сколько же партий он выиграл, Сережа ответил: “Две партии я проиграл, а из остальных на каждые две партии вничью у меня 3 выигранных”. Сколько шахматных побед у Сережи?

Модель данной задачи.

В данном случае графическая иллюстрация заставляет детей мыслить логически и последовательно.

2. Предметное моделирование

Изобрази с помощью кружков красного и белого цвета то, о чем говорится в задаче: “У дома 3 клумбы и у школы столько же клумб. Сколько всего клумб у дома и школы?” Что обозначают кружки красного цвета? Кружки желтого цвета?

Данный процесс моделирования предлагаю детям для закрепления умения строить предметные модели.

3. Схематический рисунок

Задача (1 кл.). У хозяйки 9 кур, а уток на 4 больше.

Обозначь каждую птицу кругом и покажи на рисунке сколько уток у хозяйки.

Маша сделала такой рисунок:

А Миша такой:

Кто прав: Маша или Миша?

При помощи задач такого вида активизирую мыслительную деятельность обучающихся и создаю условия для осознания той ситуации, которая представлена в виде текста.

4. Математическое моделирование (формулы)

Задача. У мальчика 50 копеек. Яблоко стоит а копеек, а груша к копеек. О чем мальчик думает при выполнении каждого из следующих действий.

(К каждому выражению нужно поставить вопрос).

Мой опыт работы подтверждает целенаправленность такого приема решения задач. Детей увлекает такая творческая работа. Они с интересом включаются в поисковую деятельность.

5. Информационная модель (таблица, график, диаграмма)

Задача. Отец старше сына в 4 раза, через 20 лет он будет старше сына в 2 раза. Сколько лет отцу?

Данная модель позволяет решать задачи способом перебора. Детям особенно нравится работа с такими моделями. Так как привлекает собой большим количеством чисел и при видимой сложности решается без особых затруднений.

5. Выводы и результаты работы

по моделированию задач на уроках математики:

Целенаправленная работа по развитию математического мышления при помощи метода моделирования на уроках в начальной школе позволяет школьникам достичь значительных успехов.

При поступлении в 1 класс школьники не проходят никакого отбора, обучаются все с учётом индивидуальных особенностей и склонностей.  В сентябре 2015 я начала работать в 1 «В» классе. В октябре была проведена диагностика по методике Л.Ф.Тихомировой и А.В.Басова на выявления уровня интеллектуального развития младших школьников. Результаты диагностики показали, что сформировалось несколько различных групп. Из 28 учащихся класса имеют:

 высокий уровень – 8%  обучающихся;

 нормальный уровень – 24% обучающихся;

 ниже среднего – 32% обучающихся;

 низкий – 36% обучающихся.

Исходя из данных диагностики, можно сделать вывод, что 68% детей с низким уровнем развития.

В результате внедрения в процесс обучения математического моделирования мы достигли следующих результатов:

- у большинства обучающихся сформировалась положительная мотивация к изучению математики;

- более эффективно формируется навык творческого подхода к решению практических задач;

- создаются предпосылки для более осознанного изучения математики;

- более эффективно развиваются ключевые компетентности;

- учащиеся стали ощущать себя успешными и уверенными, возросла степень их психологического комфорта на уроках.

Накопленный опыт показывает, что развивающие функции моделирования текстовых задач способствуют активизации мыслительной деятельности обучающихся на уроках математики, так как работа с моделями помогает включить их в активную умственную деятельность. Кроме того, изучение темы идет более быстрым темпом и обеспечивает осознанное усвоение материала, т.к. работа с моделями доступна обучающимся младшего школьного возраста, опора на модель обеспечивает самостоятельное выполнение заданий, заданий творческого характера.

Решение текстовых задач – не самоцель, а средство для того чтобы учащиеся овладели разумным общим подходом к решению любых задач, которые им могут встретиться в жизни.

Приложение 1

Подготовительные упражнения для моделирования задач.

1. Обозначить на чертеже числа из рассказов.

а) в одном ведре было а кг яблок, а в другом е кг.

б) в одном ведре было р кг яблок, а в другом на в кг меньше.

2. Построить модель отношения «больше на» и определить способ нахождения большей величины.

а) в парке росло 150 берез и несколько лип. Лип было на 30 больше, чем берез. Сколько было лип?

3. Составь по чертежу задачу о покупке красных и синих шаров. Одну задачу составь со словом «больше», другую со словом «меньше». Реши задачи.

                   9                

а)        

                                               ?

                               23

                                 23

б)

                                               9

                          ?

4.Какой чертеж будешь использовать, решая задачу: «В книге 36 страниц. Это на 17 страниц больше, чем во второй книге. Сколько страниц во второй книге?»

            36            17                             36            ?                                             17

а)         б)        в)

                      ?                                      17                                           36                  

                     36

г)

                               17                      

               ?

5. Какой могла быть модель, если решение задачи было таким: 18+13,
17 – 10 ?

7. Как нужно изменить чертеж, если вопрос задачи будет таким: «На сколько больше ящиков с помидорами, чем с огурцами, привезли в магазин?»

               18 ящ.             12 ящ.

                          ?

8. Построй модель к задаче: «В двух коробках 36 карандашей. Сколько карандашей во второй коробке, если в первой их 17?»

9. Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 57, 75, 44, 74, 55, 77, 47. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?

10. Дан чертеж:

                            М

           К                              ?

Как найти величину, обозначенную знаком «?» ? Запишите формулу.

11. Сколько разностей можно составить из чисел 30, 25, 17, 9, если для их составления брать по два числа? Будут ли среди них разности, значение которых равны?

Приложение 2.

Графические модели решения задач по математике.

Задача (1 кл.).

Таня нарисовала 5 домиков, а Сережа на 4 больше. Сколько домиков нарисовал Сережа?

Так для данной задачи, графическая модель может быть выполнена:

1. а) в виде рисунка

Т.

С. 

?

б) в виде условного рисунка

Т.

С. 

?

в) в виде чертежа

           5 д.

Т.

        ?

С.

4 д.

г) в виде схематизированного чертежа

           5 д.

Т.

        ?

С.

4 д.

«КЛЮЧЕВЫЕ» СЛОВА В ТЕКСТЕ ЗАДАЧИ

Разностное отношение

•  на (больше, меньше)        

Кратное отношение

• В … раз (больше, меньше)

Целое из равных частей

• по … в каждом …,

• поровну в каждом ряду …,

• В  одинаковых …,

• … доля …

Приложение 3.

Целое из разных частей

• Было

• Привезли (купили, подарили, приехали, …)

• Стало

• Было

• Уехали (продали, съели, …)

• Осталось

• Было … в одном …,

• Было … во втором …,

• Всего (вместе) …

Приложение 4.

«Таблица отношений величин»

Приложение 5.

Задача. У девочки несколько зеленых шаров и 3 красных. Всего 8 шаров. Сколько зеленых шаров у девочки?

Использование моделей при составлении и решении уравнений позволяет не заучивать правила нахождения неизвестных величин, а самостоятельно открывать, формулировать их через осознание действия в процессе решения задач.

Я убеждена, что, если у младших школьников будет сформирована самостоятельная учебная деятельность, им легче будет обучаться на следующих уровнях системы образования.

В связи с этим использую различные задания для развития самостоятельности обучающихся, активизации их мыслительной деятельности используя метод моделирования задач.

1. Опишите ситуацию с помощью схемы.

а) Было 4 треугольника синего и один красный. Всего 5 треугольников.

б) Было 5 треугольников. Из них 4 синих, а 1 красный.

в) Синих квадратов 2, а красных на 4 больше.

2. Составьте рассказ  по схемам (неизвестна часть и целое)
   
3. Прочитайте и расшифруйте схему (предлагаются модели различного вида).

2. Решение задачи разными способами создает предпосылки для формирования у обучающихся умения находить свой оригинальный способ решения задачи, воспитывает стремление вести самостоятельно поиск решения новой задачи. Широкие возможности в этом плане дают приемы моделирования.

Задача. На швейной фабрике мастер шил одинаковые пальто, израсходовав на них 24 м ткани. Его ученица сшила на 6 пальто меньше, израсходовав на них в 4 раза меньше ткани. Сколько всего пальто сшили мастер и ученица?

Задачу можно решить традиционно - по вопросам (6 действий), находя расход ткани на одно изделие. Но можно решить и другим способом - гораздо быстрее. Из чертежа модели текста задачи следует, что на 3 части приходится 6 пальто, тогда на 1 часть – 2 пальто. Всего – 5 частей (1+4) или 10 пальто (по 2 – 5 раз, 2х5=10).

3. При решении задач осуществляю дифференцированный подход:

Задача. В двух корзинах 75 яблок. Когда из первой взяли 6, а из второй 9, то в корзине осталось яблок поровну. Сколько яблок было в каждой корзине?

Для самостоятельного решения данной задачи в соответствии с уровнем подготовленности детям предлагаю следующие чертежи.

По этим чертежам предлагаю следующие задания:

1. Рассмотри чертеж и реши задачу.
2. Закончи чертеж к задаче. Обозначь на нем данные и искомое и реши задачу.

Я активно использую метод моделирования как основной прием анализа задачи, который помогает обучающимся увидеть задачу в целом и не только понять ее, но и самому найти правильное решение.

При решении текстовых задач действия должны пройти через 3 этапа:

1. Целенаправленно отрабатывается в операциях с объемным предметам или их заменителями;

2. Проговаривается, сначала громко, затем про себя;

3. Переход в умственные действия.

Использую следующие графические схемы.

Задача №1

Дети посадили у школы 6 лип и 4 березы. Сколько всего деревьев посадили дети у школы?

Задача №2

В нашем доме 9 этажей, Это на 4 этажа больше, чем в соседнем. Сколько этажей в соседнем доме?

Задания на выбор модели данной задаче (или наоборот) помогают ученику понять структуру задачи. Как правило, если обучающиеся справляются с данным заданием, то у них не возникает проблем в решении текстовых задач.

Например, я предлагаю выбрать модель к задаче №3 «На ветке сидело несколько птиц. После того как 5 птиц улетели, их осталось 9. Сколько птиц сидело на ветке?»