проект" Бином Ньютона и треугольник Паскаля "
рабочая программа по математике

Ленинградская область, Всеволожский район,

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа «Агалатовский центр образования»

                      Бином Ньютона и треугольник Паскаля

                                                             Автор проекта: Кулешов Илья Вадимович                                  

                                              Руководитель проекта: Науменко Раиса Андреевна  

                                                   2019

Содержание

1 Введение …………………………………………………………………3 стр.

2 Теоретическая часть……………………………………………………  5 стр.

   2.1 История возникновения бинома Ньютона……………………….. 5 стр.

   2.2 Определение бинома Ньютона …………………………………… 5 стр.

   2.3 История создания треугольника Паскаля ………………………… 5 стр.

   2.4 Определение треугольника Паскаля ………………………………. 6 стр.

    2.5 Биноминальные коэффициенты и сочетания……………………… 7 стр.

 3 Практическая часть ……………………………………………………... 8 стр.

 4 Заключение ………………………………………………………………. 9 стр.

5 Список литературы ……………………………………………………... 10 стр.

Введение

В создании проекта я использовал информацию, для того чтобы помочь ученикам 10 класса решать задачи с Биномом Ньютона и треугольником Паскаля. О биноме Ньютона речь идет в романе «Последнее дело Холмса» Конан Дойля. Это же выражение упомянуто в фильме «Сталкер» А.А.Тарковского. Бином Ньютона упоминается в фильме «Расписание на послезавтра», в повести Льва Толстого «Юность» в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым и в романе Замятина «Мы».

Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: «Тоже мне бином Ньютона!» Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! О биноме Ньютона слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой.

Слово «бином» означает двучлен, т.е. сумму двух слагаемых. Из школьного курса известны так называемые формулы сокращенного умножения:

(а + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3.

Обобщением этих формул является формула, называемая формулой бинома Ньютона. Используются в школе и формулы разложения на множители разности квадратов, суммы и разности кубов. Имеют ли они обобщение для других степеней? Да, есть такие формулы, они часто используются в решении различных задач: на доказательство делимости, сокращение дробей, приближенные вычисления.

Изучение обобщающих формул развивает дедуктивно-математическое мышление и общие мыслительные способности.

Цели: изучить и применить бином Ньютона в решении некоторых комбинаторных задач; привить интерес к математике; способствовать развитию наблюдательности,   развить способность к анализу (умение правильно анализировать, сравнивать);  

Задачи:

1. ознакомиться с формулой бинома Ньютона и ее свойствами;
2. рассмотреть треугольник Паскаля и метод его построения;
3. рассмотреть некоторые комбинаторные задачи, решаемые с помощью бинома.

Слово «бином» означает двучлен, т.е. сумму двух слагаемых. Из школьного курса известны так называемые формулы сокращенного умножения:

(а + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 +  b3

Обобщением этих формул является формула, называемая формулой бинома Ньютона. Используются в школе и формулы разложения на множители разности квадратов, суммы и разности кубов. Имеют ли они обобщение для других степеней? Да, есть такие формулы, они часто используются в  решении различных задач: на доказательство делимости, сокращение дробей, приближенные вычисления.

Изучение обобщающих формул развивает дедуктивно-математическое мышление и общие мыслительные способности.

Теоретическая часть

2.1 История возникновения бинома Ньютона

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд. Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18. Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения   Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов 

2.2 Бино́м Нью́то́на

Бином Ньютона— формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных

2.3 История создания треугольника Паскаля 

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом,астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году или в 1665 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

2.4 Треугольник Паскаля 

Треугольник Паскаля— бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

2.5 Биноминальные коэффициенты и сочетания 

Биноминальные коэффиценты часто читаются как «число сочетаний из n элементов по k».

• Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
• В строке с номером n:

• первое и последнее числа равны 1.
• второе и предпоследнее числа равны n.
• третье число равно треугольному числу , что также равно сумме номеров предшествующих строк.
• четвёртое число является тетраэдрическим.
• m-е число (при нумерации с 0) равно биноминальному коэффициенту  .

• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана .

• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна .
• Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, тогда и только тогда, когда n является простым числом (следствие теоремы Люка).
• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Практическкая часть

Пример. 
Раскрыть скобки: 
(y+1)7(y+1)7; б) (z2−3t)5(z2−3t)5.
Решение. 
Применим нашу формулу:
а(y+1)7=C07y7+C17∗y6∗1+C27∗y5∗12+C37∗y4∗13+C47∗y3∗14+а(y+1)7=C70y

7+C71∗y6∗1+C72∗y5∗12+C73∗y4∗13+C74∗y3∗14+
+C57∗y2∗15+C67∗y∗16+C77∗17+C75∗y2∗15+C76∗y∗16+C77∗17.

Вычислим все коэффициенты:
C07=1C70=1; C17=7C71=7; C27=7!2!5!=21C72=7!2!5!=21; C37=35C73=35; C47=35C74=35; C57=21C75=21; C67=7C76=7; C77=1C77=1.

В итоге получаем: (y+1)7=y7+7∗y6+21∗y5+35∗y4+35∗y3+21∗y2+7∗y+1(y+1)7=y7+7∗y6+21∗y5+35∗y4+35∗y3+21∗y2+7∗y+1.

Пример.

Напишите разложение выражения (a+b)5 по формуле бинома Ньютона.

Решение.

Смотрим на строку треугольника Паскаля, соответствующую пятой степени. Биномиальными коэффициентами будут числа 1, 5, 10, 10, 5, 1. Таким образом, имеем .

                                                         Заключение

Итак, мы научились считать биноминальные коэффициенты.Также биномиальные коэффициенты можно получить, используя треугольник Паскаля:

1   2   1

1   3   3   1

1   4   6   4   1

1   5   10   10   5   1

1   6   15   20   15   6   1

…………………………

Бином Ньютона  при любых a, b и  n>0 выглядит следующим образом:

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. – Москва:             Мнемозина, 2007. – 425 с.
2. Энциклопедия Википедия. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Бином_Ньютона, свободный – (04.02.2019)
3. Энциклопедия Википедия. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник_Паскаля, свободный – (04.02.2019)
4. 4.Бином Ньютона, треугольник Паскаля|Решение.-Режим доступа: http://www.cleverstudents.ru/expressions/binomial_theorem.html , свободный-(04.02.2019)
5. 5.Бином Ньютона, формула и пример решения по алгебре 11 класс.- Режимдоступа:https://mathematics-tests.com/11-klass-uroki-presentatsii/11-klass-binom-nytona, свободный-(04.02.2019)