Выступление

Тема: «Схематическое моделирование при обучении решению задач на движение младших школьников»

Тема данной работы актуальна и вот почему. Математика является не только базой естественных наук и экономики, но и важнейшей составляющей интеллектуального развития школьников.

Математическое образование играет исключительную роль во всей образовательной структуре.

Значительное место занимают в этой системе задачи на движение. Они необходимы для того, чтобы сформировать у учащихся важные для обыденной жизни знания, а на их базе - умения и навыки, связанные с решением постоянно возникающих проблемных ситуаций.

Вариативность методов обучения математике помогает учащимся глубже окунуться в тему, более осознанно усвоить учебный материал, научиться общаться с коллективом, развивать самостоятельность.

Тема исследования: моделирование содержания текстовых задач на движение при изучении курса математики начальной школы.

Целью работы является изучение системы приемов моделирования в процессе обучения решению задач на движение в начальной школе.

Объектом исследования является процесс обучения школьников моделированию содержания текстовых задач на движение.

Предметом исследования выступает моделирование содержания текстовых задач на движение при изучении курса математики начальной школы.

Я предположила, что когда учащиеся

• приобретут навыки по переводу конкретного содержания задач на движение на абстрактной основе и при моделировании будут использовать движущиеся игрушки, предметы вместо реальных объектов;
• при составлении схем будут строить модели на проектной основе и тем самым осуществиться постепенный переход от предметных моделей к идеальным моделям, тогда обучение младших школьников будет результативным.

Задачи исследования:

1. Провести анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования.
2. Изучить роль моделирования при решении задач на движение.
3. Проанализировать виды моделирования содержания текстовых задач на движение.
4. Изучить программу по моделированию содержания текстовых задач на движение в начальной школе.

Работа состоит из: введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, глоссария и приложения.

Во введении раскрываются актуальность, цели и задачи работы, ее объект и предмет.

        Первая глава посвящена анализу теоретического материала по ознакомлению младших школьников с задачами на движение.

В данном разделе рассказывается о видах задач на движение, о трудностях, которые возникают в ходе решения задач на движение и этапах разбора.

Раскрываются общие вопросы методики обучения решению задач на движение.

_____________________________________________________________________

Рассмотрим несколько видов задач на движение и основные пути усвоения зависимости между величинами, характеризующими равномерное движение.

И так: задачи на движение делят на:

• простые задач на движение в одном направлении,
• составных задач на встречное и противоположное движение,
• составные задачи, в том числе задачи на движение в одном направлении с отставанием и вдогонку,
• на нахождение неизвестного по двум разностям с величинами S, t, V.

_____________________________________________________________________

Анализ работы психологов позволил выделить уровни умения решать задачи младшими школьниками.

Низкий уровень. Восприятие задачи осуществляется учеником поверхностно, неполно. При этом ученик вычленяет разрозненные данные, зачастую несущественные элементы задачи. Ученик не может и не пытается предвидеть ход ее решения.

Средний уровень. Восприятие задачи сопровождается ее анализом. Ученик стремится понять задачу, выделить данные и искомое, но способен установить между ними лишь отдельные связи.

Высокий уровень. Ученик выделяет целостную систему взаимосвязей между данными и искомым. Ученик способен самостоятельно увидеть разные способы решения и выделить наиболее рациональный из возможных.

____________________________________________________________________

Для того чтобы организовать разно уровневую работу над задачей в одно и то же время, рекомендуется использовать индивидуальные карточки-задания, которые готовятся заранее в трех вариантах

Предлагая ученику вариант оптимального для ученика уровня сложности, мы осуществляем дифференциацию поисковой деятельности при решении задач.

_____________________________________________________________________

По мнению Бантовой Марии Александровны, [1] работа над задачами не должна сводиться к натаскиванию учащихся на решение задач сначала одного вида, затем другого и т. д. Главная цель – научить детей осознанно устанавливать определенные связи между данными и искомым в разных жизненных ситуациях, предусматривая постепенное их усложнение.

__________________________________________________________________

Во второй главе рассматриваются теоретические и практические аспекты моделирования, его место в образовании, а также уровни моделирования содержания текстовых задач на движение в начальной школе.

Говориться о видах и роли моделирования при работе над задачами на движение.

Известный отечественный психолог АЛЕКСЕЙ НИКОЛАЕВИЧ Леонтьев [14] писал: «Актуально сознается только то содержание, которое является предметом целенаправленной активности субъекта».

Поэтому, чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это можно путем особых знаково-символических средств — моделей, однозначно отображающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия младшими школьниками.

____________________________________________________________________

Структуру задачи можно представить с помощью различных моделей. Но прежде, чем сделать это, уточним некоторые вопросы, связанные с классификацией моделей и терминологией.

Слово «модель» произошло от латинского слова «modelium», обозначает: мера, способ и т.д.[2]

Моделирование — метод изучения объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей действительно существующих предметов и явлений.

Все модели принято делить на схематизированные и знаковые.

В свою очередь, схематизированные модели бывают вещественными (они обеспечивают физическое действие с предметами) и графическими (они обеспечивают графическое действие).

К графическим моделям относят рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж (или схему).

Знаковая модель задачи может выполняться как на естественном языке (т.е. имеет словесную форму), так и на математическом (т. е. используются символы). [15]

Можно ли научить самостоятельно решать задачи каждого ученика?

Изучив теоретические подходы к обучению решать задачи, а также различные практические приёмы, можно сделать вывод, что можно.

Лавриненко Татьяна Алексеевна предлагает вводить приемы предметного моделирования простых задач на сложение и вычитание начиная с до числового периода.

Система работы по усвоению детьми моделирования задачи разбита на три момента:

 1. Обучение детей преобразованию предметных действий в действующую модель.

 2. Обучение детей составлению противоположных задач к данной задаче на основе работы с моделью.

 3. Творческая работа детей над задачей на основе применения модели.

Такая задача становится особым видом упражнения, т.е. некоторым сочинением на математическую тему «Задачи на движение».

Процесс моделирования содержания текстовых задач разбит на следующие этапы

Чтоб свободно решать задачи, ученик должен освоить разные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую поставленной цели, и переходить от одной формы к другой.

2.3. Роль моделирования при работе над задачами на движение.

Составление моделей к задаче — необходимый этап в поиске различных путей ее решения. Когда есть выбор при решении задачи, встает вопрос о нахождении подходящего способа ее решения.

Решение проблем разными путями — чрезвычайно интересное занятие для учащихся младших классов.

Заключение содержит выводы по теме исследования.

•         На основании проведенного исследования были сделаны следующие выводы:

применение моделирования имеет:

— образовательное значение: моделирование помогает усвоить многие вопросы теории;

— педагогическое значение: способствует воспитанию памяти, внимания, наблюдательности;

— практическое значение: быстрота и точность вычислений.

После систематической деятельности учащиеся добиваются следующих результатов:

• учатся различать виды моделей;
• пользоваться в одной и той же задаче несколькими видами моделей (с целью выбора каждым учеником наиболее понятной ему модели);
• сравнивать несколько моделей между собою (с целью отбора наиболее рациональной);
• выбирать самую приемлемую модель к предложенной задаче.

В ходе этой деятельности школьники не боятся самостоятельно начать анализ задачи; в случае неудачи они, применяя иную модель, анализируют задачу вновь.

Значит, моделирование помогает вооружить ребёнка такими приёмами, которые разрешают ему при самостоятельной работе над задачей быть активным, успешным, не бояться трудностей.

Каждый, не сравнивая себя с другими, выбирает собственный способ рассуждения, моделирования и, значит, решения задач.

Применение моделирования при решении текстовых задач обеспечит лучший анализ задачи, осознанный поиск ее решения, аргументированный выбор арифметических действий и предупредит многие неточности в решении задач.

Тема: «Схематическое моделирование при обучении решению задач на движение младших школьников»

Санкт-Петербург

2016

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование играет исключительную роль во всей образовательной структуре. Математика является не только базой естественных наук и экономики, но и важнейшей составляющей интеллектуального развития школьников.

Начальный курс математики раскрывается на системе целесообразно подобранных задач. Значительное место занимают в этой системе задачи на движение. Они необходимы для того, чтобы сформировать у учащихся важные для обыденной жизни знания, а на их базе - умения и навыки, связанные с решением постоянно возникающих проблемных ситуаций.

Каждая конкретная учебно-математическая задача предназначена для достижения чаще всего не одной, а нескольких целей: педагогической, учебной, дидактической, а формулировки этих целей подсказывает содержание самой задачи. Справедливо считать, что любая задача, включенная в урок, должна быть обязательно решена на этом уроке, решение доведено до конца и записано соответствующим образом. В результате деятельность учащихся на уроке зачастую однообразна, так как наполнена большим объемом механической и непродуктивной работы. Чтобы этого избежать, и чтобы дети не уставали на уроке, с энтузиазмом принимались за работу, необходимо использование разнообразных форм и методов проведения урока в целом и решения задач на движение в частности. Вариативность методов обучения математике помогает учащимся глубже окунуться в тему, более осознанно усвоить учебный материал, научиться общаться с коллективом, развивать самостоятельность. К сожалению, большинство статей в периодической печати и специальной литературе дают нам лишь общие знания о формах работы на уроках математики.

Проблема обучения младшего школьника решению текстовых задач на разных этапах развития математического образования была и есть одной из наиболее актуальных проблем. Её решению посвящены разнообразные исследования, в роли предмета в которых выступали разные стороны обучения решению текстовых задач. Это выборка их содержания и система, это и функции этих задач в самом процессе обучения математике, и роль их в формировании у школьников учебной деятельности и математических понятий, а также в развитии логического мышления школьников. Особое значение при обучении и, прежде всего, при решении задач, в условиях образования, которое ориентировано на развитие у младших школьников мышления, приобретает моделирование, т.к. исследования показали, что оно благоприятствует формированию обобщённых знаний. Этот момент определяет и пути организации деятельности школьников, которые направленны на развитие мышления в ходе анализа задачи и поиска плана решения с помощью моделирования, формирование умений и способов действий, необходимых для осуществления этого. В данной работе моделирование рассматривается как способ формирования общего умения решать задачи.

Рассматривая моделирование как частный, специфический вид общего способа деятельности с математическими понятиями и отношениями, предполагается выстроить формирование конструктивных умений у школьника в процессе моделирования изучаемых математических понятий и отношений. Также возможность представления изучаемого понятия или отношения в наглядной модели (макете или конструкции) даёт возможность сформировать у детей адекватное представление о чём-то абстрактном на наглядном уровне, что наиболее соответствует его возможностям и потребностям.

Тема исследования: моделирование содержания текстовых задач на движение при изучении курса математики начальной школы.

Цель работы является изучение системы приемов моделирования в процессе обучения решению задач на движение в начальной школе.

Объектом исследования является процесс обучения школьников моделированию содержания текстовых задач на движение.

Предметом исследования выступает моделирование содержания текстовых задач на движение при изучении курса математики начальной школы.

Гипотеза: Обучение младших школьников решению текстовых задач на движение будет результативным, если:

• учащиеся приобретут навыки по переводу конкретного содержания задач на движение на абстрактной основе;
• при моделировании будут использоваться движущиеся игрушки, предметы вместо реальных объектов;
• при составлении схем учащимся будет дана возможность строить модели на проектной основе;
• осуществлён постепенный переход от предметных моделей к идеальным моделям.

Задачи исследования:

1. Провести анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования.
2. Изучить роль моделирования при решении задач на движение.
3. Проанализировать виды моделирования содержания текстовых задач на движение.
4. Изучить программу по моделированию содержания текстовых задач на движение в начальной школе.

Теоретической базой исследования послужили труды отечественных ученых, инструктивные и справочные материалы, нормативные документы, статьи педагогических журналов и газет.

ГЛАВА 1.  АНАЛИЗ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО ОЗНАКОМЛЕНИЮ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ С ЗАДАЧАМИ НА

ДВИЖЕНИЕ

1.1. Роль решения задач.

С термином «задача» люди постоянно сталкиваются в повседневной жизни, как на бытовом, так и на профессиональном уровне. Каждому из нас приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем задачами. Это могут быть общегосударственные задачи (освоение космоса, воспитание подрастающего поколения, оборона страны и т.п.), задачи определенных коллективов и групп (сооружение объектов, выпуск литературы, установление связей и зависимостей и др.), а также задачи, которые стоят перед отдельными личностями.

К решению разноплановых жизненных задач школьников начинают готовить уже в младшем школьном возрасте в процессе обучения математике.

Решая задачи, учащиеся приобретают новые или закрепляют, углубляют и систематизируют уже имеющиеся математические знания. Обучающая функция задач может быть продемонстрирована задачами, в которых

· раскрывается конкретный смысл арифметических действий,

· вводятся рациональные приемы вычислений и соответствующие им правила,

· выполняются табличные или внетабличные вычисления,

· используются соотношения между различными единицами измерения величин и т.д.

Упражнения – это важнейший компонент учебного материала. В упражнении необходимо четко выделять содержательную характеристику, т.е. их соответствие с научным знанием. Главная дидактическая функция упражнений – закрепление знаний.

Несмотря на устойчивое мнение, что для прочности усвоения учащийся должен выполнить, возможно, большее число однотипных упражнений, в последнее время появилась тенденция к уменьшению времени на операции, прочно усвоенные в начальной школе и к уделению большего внимания графическому моделированию. По всей вероятности, графическое моделирование следует применять уже с первых дней обучения детей в школе как средство формирования умения решать задачи.

Одним из мало используемых средств освоения знаний в школе служит способ матричного (табличного) представления знаний. Таблица упражнений «незаметным образом» (в пределах самого упражнения!) увеличивает время для освоения дополнительной структурной (не числовой) информации.

Матрица представляет собой особый учебный прием, позволяющий обучающемуся проникнуть во внутреннюю взаимосвязь числовых и иных результатов. Простейшими матрицами являются четверки примеров на сложение и умножение, например:

3+2=5                 5-2=3         2*3=…                             :2=3

2+3=5                 5-3=2         3*2=…                             : 3=2          

Уже в первом классе поучительно познакомиться с графической моделью матрицы на нахождение суммы четырех слагаемых двумя способами (рис.1)

Рис. 1.

На основе данной матрицы проводится содержательная беседа с большой логической нагрузкой. Так, изображенные фигуры можно классифицировать двояко: в плане пропедевтики системы координат (слева - справа; вверху – внизу) и в плане сравнения по величине (большие – малые), по цвету (черные – белые). Концовкой такой беседы может быть, например, следующий диалог: «Сколько фигур слева? (5). Справа? (5). Сколько всего? (5+5=10). Сколько фигур в верхнем ряду? (3). В нижнем ряду? (7). Сколько всего? (7+3=10). Опять 10!». Для малыша такое явление сохранения суммы представляется удивительным.

Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно «рисует» условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знание связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида.

1.2.  Виды задач на движение. Этапы разбора.

Рассмотрим несколько видов задач на движение: решение простых задач на движение в одном направлении, решение составных задач на встречное и противоположное движение, составные задачи, в том числе задачи на движение в одном направлении с отставанием и вдогонку, на нахождение неизвестного по двум разностям с величинами S, t, V.

Важным результатом ознакомления учащихся 4 класса является усвоение простейших формул, связывающих такие величины, как скорость, время и расстояние (V, t, S).

Рассмотрим основные пути усвоения зависимости между этими величинами, характеризующими равномерное движение.

На рассмотрение связи между скоростью, временем и расстоянием выделяется 4-5 уроков в начале изучения умножения и деления многозначных чисел. Полученные сведения систематически используются в дальнейшем при решении задач "на движение" в течение всего учебного года.

В результате рассмотрения этих вопросов ученик должен получить представление о новой величине – скорости, которая характеризуется расстоянием, проходимым в единицу времени (c понятием – скорость, учащиеся познакомились в 3 классе). Подчеркивается, что речь идет о таком движении, при котором скорость не изменяется. Раскрывается связь между скоростью, расстоянием и временем (при равномерном движении) в виде формулы V= S: t, где S – пройденное расстояние, V – скорость движения, t – затраченное время. Дети учатся решать задачи, в которых по времени и скорости находится путь; по времени и пути находится скорость; по скорости и пути находится время.

В ходе решения этих задач у учащихся формируются представления о некоторых средних скоростях (пешехода, велосипедиста, автомобиля, теплохода, самолета), представления о встречном движении и о движении в одном и том же направлении. На этой основе дети должны уметь решать простые и несложные составные задачи.

На первом из уроков необходимо, опираясь на жизненный опыт и наблюдения, учащихся обратить внимание детей на то, что некоторые предметы могут двигаться быстрее и медленнее. Например, велосипедист может обогнать пешехода, автомобиль – велосипедиста, самолет – автомобиль и т.д. Предметы могут двигаться равномерно. Так, например, пешеход может проходить за каждый час по 3 км; автомобиль может проезжать за каждый час по 100 км; бегун может пробегать за каждую секунду по 8 м и т.д. В этом случае говорят, что скорость (соответственно) пешехода – 3 км в час (записывают 3км/ч), автомобиля 100 км/ч, бегуна – 8 м/с.

Таким образом, скорость движения – это расстояние, которое проходит движущийся предмет за единицу времени. Затем рассматриваются простые задачи, на основании которых делается вывод, что для того, чтобы найти скорость движения предмета, нужно расстояние, которое прошел предмет, разделить на затраченное для этого время. Коротко этот вывод можно сформулировать так: скорость равна расстоянию, деленному на время. Если скорость обозначить буквой V, путь S, а время буквой t, то можно записать этот вывод в виде формулы: V= S: t.

На последующих уроках с помощью соответствующих простых задач устанавливается, что расстояние равно скорости, умноженной на время: S =V*t.

Можно обратить внимание учащихся на связь между этими тремя формулами (например, последняя формула может быть выведена из первой: t= S: V) на основе правила нахождения неизвестного делителя V, когда известно частное t и делимое S.

В этом случае мы имеем дело с тремя множествами: 1) множество значений такой величины, как время движения; 2) множеством значений длины (пути, пройденного за различные промежутки времени) и 3) множеством пар, в которых на первом месте стоит значение времени, а на втором соответствующее одно значение пути. В таком случае, действительно, формируются определенные функциональные представления. Причем эта функция может быть задана, например, таблицей:

Из этой таблицы можно сделать вывод, что тело двигалось неравномерно, что, в частности, в течение одной секунды (пятой) оно было неподвижно, что формулой эту зависимость выразить нельзя. Иногда в более простых случаях зависимость между временем движения и пройденным за это время можно выразить и с помощью формулы.

Например, наблюдая изменения расстояния S в зависимости от времени t по таблице:

нетрудно заметить, что V= S: t.

На основании полученной закономерности можно, например, выяснить, какое расстояние S пройдет тело за 10ч (50 км), за какое время t тело пройдет расстояние в 100 км (20ч) и т.д.

Для ознакомления детей с примерами зависимости между величинами следует брать такие примеры, которые достаточно часто встречаются детьми в жизни, понятны им.

Рассмотрим решение задач на встречное и противоположное движение.  

Методика обучения решения задач "на встречное движение" основывается на четких представлениях учащихся о скорости равномерного движения, которые уточняются и обобщаются на специально отведенных этому вопросу уроках. На основе жизненных наблюдений выясняется и иллюстрируется смысл слов "двигаться навстречу друг другу", "в противоположных направлениях", "выехали одновременно из двух пунктов и встретились через…" и т.п.

После наглядной инсценировки каждого из случаев с помощью учащихся целесообразно с постепенным усложнением научить детей изображать схему таких задач "в отрезках". Причем стараться соблюдать отношения их длины в зависимости от скоростей и пройденных (в частности "до встречи") расстояний. Если, например, скорость одного поезда была 60 км в час, а другого – 45 км/ч, то первая стрелка должна быть длиннее второй и т.п. Если в распоряжении учителя имеется диафильм "Задачи на движение", то его можно использовать на этом уроке. Только после такой подготовительной работы последовательно, под руководством учителя рассматривается задача ей подобная. Прежде чем разбирать эту задачу на уроке, следует повторить и восстановить в памяти следующие сведения: связь между скоростью, расстоянием и временем (как одна из трех величин выражается через две другие?), ситуацию, при которой "два пешехода одновременно вышли навстречу…" Затем учащийся под руководством учителя и при его участии вчитывается в задачу:

Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сел и встретились через 3 часа. Первый пешеход шел со скоростью 4 км/ч, второй – 5км/ч. Найди расстояние между селами.

По схеме, дублированной на доске, вызываемые учащиеся рассказывают содержание задачи. При этом выясняется: откуда начал движение каждый пешеход? С какой скоростью двигался каждый? Почему их место встречи на схеме обозначено ближе к месту выхода одного из пешеходов? Кого из них? Можно спросить при этом: "В каком случае флажок окажется точно на полпути? Что означает деление слева от флажка, справа от флажка? Почему они различны по длине? Что означают числа под стрелками?

Такое подробное рассмотрение учит детей "читать" схему. Затем учитель может спросить у класса: "Как решить задачу?"

Возможно, один из учеников приведет примерно такое рассуждение: "Один пешеход до встречи прошел 4*3=12 (км), а другой – 5*3=15 (км). Расстояние между селами будет 12+15=27 (км).

Если такого ученика не нашлось и предложения детей неполны или неверны, то учитель проводит, пользуясь наводящими вопросами, эту работу с классом, постепенно подводя его к составлению по задаче выражения:

4*3 + 5*3 (км)

Найдя значение этого выражения, получим ответ: расстояние между селами равно 27 км.

В связи с нашей задачей учитель должен провести специальную работу, на основе которой будет выявлен смысл понятия "скорость сближения".

Для этого по схеме выясняется, что за каждый час пешеходы сближаются на (4+5) км в час. "На сколько километров сблизятся пешеходы за 3ч?" Это дает нам второй путь решения задачи: (4+5)*3.

Затем, пользуясь схемами, подробно рассматривают задачу. Из двух сел, находящихся на расстоянии 27 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились через 3ч. Первый пешеход шел со скоростью 4 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход?

Задачу, как более сложную и опирающуюся на понятие "скорость сближения", можно рассмотреть в заключение урока, когда дети уже приобретут некоторый опыт решения подобных задач.

4*3= 12 (км) прошел до встречи первый пешеход;

27-12=15 (км) прошел до встречи второй пешеход;

15:3=5 (км/ч) скорость, с которой шел второй пешеход, и только теперь целесообразно составить выражение к этой задаче:

(27- 4*3): 3

На следующих уроках продолжается работа по формированию и совершенствованию навыков решения задач "на встречное движение".

Эти задачи получают некоторое развитие для случая, когда предметы начинают движение из одной точки и в противоположных направлениях. Перед решением таких задач следует проиллюстрировать на схеме и в инсценировке, что "встречное движение" – тоже движение в "противоположных направлениях", что после встречи, если скорости тел не изменились, они будут "удаляться" друг от друга с той же скоростью, с какой "сближались". Поэтому скорость удаления тоже равна сумме скоростей, движущихся тел.

В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи: 1.  если известны расстояния и время движения, то можно найти скорость действием деления; 2. если известна скорость и время движения, можно узнать расстояние действием умножения; 3. если известны расстояние и скорость, можно найти время движения действием деления.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе задачи на нахождение неизвестного по двум разностям с величинами S, t, V.

При работе с этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертеж помогает правильно использовать, определять и представлять жизненную ситуацию, отраженную в задаче.

Прежде чем ввести задачи на встречное движение очень важно сформировать правильные понятия об одновременном движении двух тел. Важно, чтобы дети уяснили, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут в пути одинаковое время и пройдут все расстояние.

Чтобы дети осознали это, следует включать задачи-вопросы, аналогичные следующим.

Из двух городов одновременно отплыли навстречу друг другу два теплохода и встретились через 3 часа. Сколько времени был в пути каждый теплоход?

Из деревни в город вышел пешеход и в это же время из города навстречу ему выехал велосипедист, который встретил пешехода через 40 минут. Сколько времени был в пути до встречи пешеход?

Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение. Целесообразно на одном уроке ввести все 3 вида, получая новые задачи путем преобразования данных в обратные. Такой прием позволяет детям самостоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решенной детьми.

Итак, учитель читает задачу.

Из двух поселков одновременно навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста и встретились через 2 часа. Один ехал со скоростью 15 км/ч, а второй – 18 км/ч. Найти расстояние между поселками.

Что известно о движении велосипедистов? Что надо узнать?

Пусть это будет поселок, из которого вышел 1 велосипедист (Учитель выставляет в наборное полотно карточку с римской цифрой "I"). А это поселок из которого выехал 2 велосипедист (Выставляет карточку "II"). Двое из вас будут велосипедистами. (Выходят два ученика). С какой скоростью ехал 1 велосипедист? (15 км/ч). Это твоя скорость. (Учитель дает карточку, на которой написано число 15). Это твоя скорость. (Дает второму ученику карточку с числом 18). Сколько времени они будут двигаться до встречи? (" часа). Начинайте двигаться. Прошел час (Дети вставляют одновременно свои карточки в наборное полотно). Прошел второй час. (Дети вставляют карточки). Встретились ли велосипедисты? (Встретились). Почему? (Шли до встречи 2 часа. Обозначим место встречи. (Вставляет). Что надо узнать? (Все расстояние). Обозначу вопросительным знаком.

После такого разбора учащиеся сами находят два способа решения. Решение надо записать с пояснением сначала определенными действиями, а позднее можно записать выражением.

1 способ

15*2=30 (км) проехал первый велосипедист

18*2=36 (км) проехал второй велосипедист

30 + 36=66 (км) расстояние между поселками

2 способ

15 + 18=33 (км) сблизились велосипедисты в 1 час

33*2 = 66 (км) расстояние между поселками

Если дети затрудняются в решении II способом, надо вновь проиллюстрировать движение: прошел час – сблизились на 33 км, то есть велосипедисты 2 раза проехали по 33 км. То есть по 33 взять сколько раз? (" раза).

Учитель на доске, а дети в тетрадях выполняют чертеж к решенной задаче.

15км/ч                        2 ч                              18 км/ч

I . ______________________________________. II

                                   ?

Выясняется, какой из велосипедистов прошел до встречи большее расстояние и почему.

Учитель изменяет условие задачи, используя тот же чертеж.

15км/ч                           ?                                18 км/ч

I . ______________________________________. II

                                                66 км

Дети составляют задачу по этому чертежу, затем коллективно разбирается, после чего записывается решение с пояснением. Условие задачи еще раз меняется.

 ?                                               2 ч                     18 км/ч

I . ______________________________________. II

                                    66 км

Ученики составляют задачу, после чего коллективно разбирают 2 способа решения.

1 способ.

18*2=36 (км) проехал до встречи II велосипедист

66-36=30 (км) проехал до встречи I велосипедист

30:2=15 (км/ч) скорость I велосипедиста

2 способ

66:2=33 (км) сближались велосипедисты в час

33-18=15 (км/ч) скорость I велосипедиста

На последующих уроках проводится работа по закреплению умения решать задачи рассмотренных видов.

Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставится вопрос вида: "Могли ли велосипедисты (теплоходы, пешеходы и т.п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи будут продолжать движение, то какой их них придет раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью и др.?

Зайцев В.В. [9] отмечает, что ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проведя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин, катеров и т.д.) при одновременном выходе их одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже может на одном уроке решать три взаимообратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решений.

На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач.

Эффективны на этом этапе упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражениям.

Например, дается таблица:

Предлагается, используя данные таблицы, составить задачи, которые решаются так:

60*4

75*4

(60+75):4

(75-60)*4

По двум последним выражениям ученики могут составить задачи на встречное движение и на движение в противоположных направлениях. Естественно, в таблице могут быть даны и другие величины.

1.3. Трудности при решении задач на движение.

Анализ работы психологов позволил выделить уровни умения решать задачи младшими школьниками. Охарактеризуем их.

Низкий уровень. Восприятие задачи осуществляется учеником поверхностно, неполно. При этом ученик вычленяет разрозненные данные, зачастую несущественные элементы задачи. Ученик не может и не пытается предвидеть ход ее решения.

Средний уровень. Восприятие задачи сопровождается ее анализом. Ученик стремится понять задачу, выделить данные и искомое, но способен установить между ними лишь отдельные связи.

Высокий уровень. Ученик выделяет целостную систему взаимосвязей между данными и искомым. Ученик способен самостоятельно увидеть разные способы решения и выделить наиболее рациональный из возможных.

Для того чтобы организовать разно уровневую работу над задачей в одно и то же время, рекомендуется использовать индивидуальные карточки-задания, которые готовятся заранее в трех вариантах. Карточки содержат системы заданий, связанные с анализом и решением одной и той же задачи, но на разных уровнях. В размноженном виде они предлагаются учащимся в виде печатной основы. Ученики выполняют задание письменно в специально отведенном для этого месте. Предлагая ученику вариант оптимального для ученика уровня сложности, мы осуществляем дифференциацию поисковой деятельности при решении задач.

Приведем примеры таких карточек.

Решать такие задачи можно с 3 класс.  От двух пристаней, расстояние между которыми 117км, отправились одновременно навстречу друг другу по реке два катера. Один шел со скоростью 17 км/ч, другой – 24 км/ч.

Какое расстояние будет между катерами через 2 ч после начала движения?

1-й уровень

Рассмотри чертеж к задаче и выполни задания:

_____________________________

_____________________________

а) обведи синим карандашом отрезок, обозначающий расстояние, пройденное первым катером за 2 часа. Вычисли это расстояние;

б) обведи красным карандашом отрезок, обозначающий расстояние, пройденное вторым катером за 2 часа. Вычисли это расстояние.

в) рассмотри отрезки, обозначающие расстояние, пройденное двумя катерами за это время. Вычисли это расстояние.

г) прочитай вопрос задачи и обозначь дугой на чертеже отрезок, соответствующий искомому. Вычисли это расстояние.

Если задача решена, то запиши ответ.

Ответ:

Рассмотри еще раз задание (1) и запиши план решения этой задачи (без вычислений).

Проверь себя! Ответ: 35 км.

У данной задачи есть более рациональный способ решения. Но он, как правило, более труден для слабых учащихся, так как предусматривает оперирование менее конкретным понятием "скорость сближения". Поэтому предлагаем рассмотреть этот способ решения и объяснить его. Это задание обозначим в карточке как дополнительное.

Дополнительное задание.

Рассмотри другой способ решения данной задачи. Запиши пояснения к каждому действию и вычисли ответ:

17+24=

…*2=…

117-…=…

Ответ:

2 уровень

Закончи чертеж к задаче. Обозначь на нем данные и искомое:

_____________________________

_____________________________

Рассмотри "дерево рассуждений" от данных к вопросу. Укажи на нем последовательность действий и арифметические знаки каждого действия.

17 км/ч           24 км/ч

?

скорость сближения 2ч

?

расстояние, пройденное 117км двумя катерами

?

расстояние между двумя катерами

Пользуясь "деревом рассуждений", запиши план решения задачи.

Запиши решение задачи:

по действиям;

выражением.

Ответ:

Дополнительное задание:

Пользуясь чертежом, найди другой способ решения задачи и запиши его:

по действиям с пояснением; выражением.

Ответ:

Проверь себя! Сопоставь ответы, полученные разными способами.

3 уровень

Выполни чертеж.

Пользуясь чертежом, найди более рациональный способ решения. Составь к этому способу "дерево рассуждений".

Запиши план решения задачи в соответствии с "деревом рассуждений".

Пользуясь планом, запиши решение задачи:

по действиям;

выражением.

Ответ.

Проверь себя! Ответ задачи 35 км.

Дополнительное задание.

Узнай, какое расстояние будет между катерами при той же скорости и направлении движения через 3ч? 4ч?

В задачах мы намеренно как бы изолируем план решения от вычислительных действий. Это сделано с целью формирования умения осуществлять целостное планирование решения задачи. Преимущество его перед "пошаговым" видим в том, что при этом внимание учащихся концентрируется на поиске обобщенного способа решения задачи вне зависимости от конкретных числовых данных, отвлекаясь от них.

Важным является вопрос об организации такой работы на уроке. Благодаря тому, что варианты заданий приспособлены к возможностям учащихся, а печатная форма предъявления задания снимает сложности, связанные с оформлением, на уроке может быть организована самостоятельная работа учащихся. Во время этой работы учитель имеет возможность оказать индивидуальную помощь отдельным учащимся.

Но возможны и другие варианты.

Например, по мере надобности учитель может руководить работой учащихся одного из уровней, в то время как другие работают самостоятельно.

Может быть организована и групповая работа учащихся на уроке. При этом дети каждой группы обсуждают и выполняют задания совместно. Состав таких групп может быть, как одноуровневым, так и разноуровневым, в зависимости от целей, которые ставит учитель в этой работе. В конце урока работы учащихся собираются учителем для проверки.

Работа над задачей на уроке с помощью описанных нами карточек-заданий органично вписывается в ход урока, удобна в организации, повышает самостоятельность учащихся, позволяет формировать у них умения решать текстовые математические задачи на доступном уровне сложности, - это совершенствует обучение решению задач учащихся начальных классов.

1.4. Общие вопросы методики обучения решению задач на движение

Научить детей решать задачи – значит научить их устанавливать связи между данными и искомым и в соответствии с этим выбирать, а затем и выполнять арифметические действия.

От того, насколько хорошо усвоены учащимися эти связи, зависит их умение решать задачи. Учитывая это, в начальных классах ведется работа над группами задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомым, а отличаются они конкретным содержанием и числовыми данными. Группы таких задач называются задачами одного вида.

По мнению Бантовой М.А.[1] работа над задачами не должна сводиться к натаскиванию учащихся на решение задач сначала одного вида, затем другого и т. д. Главная цель – научить детей осознанно устанавливать определенные связи между данными и искомым в разных жизненных ситуациях, предусматривая постепенное их усложнение. Чтобы добиться этого, учитель должен предусмотреть в методике обучения решению задач каждого вида такие ступени:

1) подготовительную работу к решению задач;

2) ознакомление с решением задач;

3) закрепление умения решать задачи.

Рассмотрим подробнее методику работы на каждой из названных ступеней.

1.4.1. Подготовительная работа к решению задач

На этой первой ступени обучения решению задач того или другого вида должна быть создана у учащихся готовность к выбору арифметических действий при решении соответствующих задач: они должны усвоить знание тех связей, на основе которых выбираются арифметические действия, знание объектов и жизненных ситуаций, о которых говорится в задачах.

Задача на движение включает три величины: скорость, время, расстояние, которые связаны пропорциональной зависимостью.

Рассматривая классификацию задач на движение, необходимо отметить следующее. Различают простые и составные задачи на движение. Составные задачи на движение подразделяют на задачи на движение в одном направлении, задачи на сближение объектов, задачи на удаление объектов, задачи на движение по реке. Кроме того, некоторые задачи на движение могут рассматриваться как задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

В виду специфичности задач на движение для их решения удобно записывать данные условия в виде таблицы (скорость – время – расстояние) и использовать схемы, которые отражают процесс движения, а не отношения между величинами.

Подготовкой к решению задач на движение является обобщение представлений учащихся о движении как некотором процессе (анализ наблюдений за движением различных видов транспорта и пешеходов на экскурсии), введение понятия «скорость движения» и характеристики скорости движения как расстояния, пройденного за единицу времени, повторение единиц измерения длины и времени, знакомство с различными единицами измерения скорости, формирование четкого представления школьников о существующей зависимости между скоростью, временем и пройденным расстоянием.

В процессе решения задач на движение формируется представление учащихся о некоторых средних скоростях движения пешехода, велосипедиста, теплохода, автомобиля и др., и представление о равномерном и неравномерном движении. Сначала рассматривают простые задачи на равномерное движение.

Следует помнить, что при ознакомлении с задачами на движение недопустимо заучивание приемов решения задач с прямо и обратно пропорциональной зависимостью. Затем вводятся составные задачи на встречное движение объектов, на удаление объектов, на движение в одном направлении, на движение по реке. Кроме того, учащиеся работают над задачами на движение, которые по способу решения можно отнести к задачам на нахождение неизвестного по двум разностям.

Закрепление осуществляется посредством включения в содержание уроков задач на различные виды движения и решения их различными способами с последующим отбором наиболее рационального из них.

Отдельное внимание уделим решению составных задач на встречное движение и на противоположное движение.

Методика обучения решения задач «на встречное движение» основывается на четких представлениях учащихся о скорости равномерного движения, которые уточняются и обобщаются на специально отведенных этому вопросу уроках. На основе жизненных наблюдений выясняется и иллюстрируется смысл слов «двигаться навстречу друг другу», «в противоположных направлениях», «выехали одновременно из двух пунктов и встретились через…» и т.п.

После наглядной инсценировки каждого из случаев с помощью учащихся целесообразно с постепенным усложнением научить детей изображать схему таких задач «в отрезках». Причем стараться соблюдать отношения их длины в зависимости от скоростей и пройденных (в частности «до встречи») расстояний.

Перед решением таких задач следует проиллюстрировать на схеме и в инсценировке, что «встречное движение» – тоже движение в «противоположных направлениях», что после встречи, если скорости тел не изменились, они будут «удаляться» друг от друга с той же скоростью, с какой «сближались». Поэтому скорость удаления тоже равна сумме скоростей, движущихся тел.

В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи: если известны расстояния и время движения, то можно найти скорость действием деления; если известна скорость и время движения, можно узнать расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, можно найти время движения действием деления.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе задачи на нахождение неизвестного по двум разностям с величинами S, t, V.

При работе с этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертеж помогает правильно использовать, определять и представлять жизненную ситуацию, отраженную в задаче.

Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения творческого характера.

Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим их решением, а также упражнения по преобразованию задач. Это прежде всего составление задач аналогичных решению. Или составление и решение задач по их краткой схематической записи.

Прежде чем ввести задачи на встречное движение очень важно сформировать правильные понятия об одновременном движении двух тел. Важно, чтобы дети уяснили, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут в пути одинаковое время и пройдут все расстояние.

Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение. Целесообразно на одном уроке ввести все 3 вида, получая новые задачи путем преобразования данных в обратные. Такой прием позволяет детям самостоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решенной детьми.

На последующих уроках проводится работа по закреплению умения решать задачи рассмотренных видов.

Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставится вопрос вида: «Могли ли велосипедисты (теплоходы, пешеходы и т.п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи будут продолжать движение, то какой их них придет раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью и др.?

Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проведя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин, катеров и т.д.) при одновременном выходе их одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже может на одном уроке решать три взаимообратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решений.

На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач.

Таким образом, рассмотрев основные положения методики работы над составными задачами в школе, приходим к следующим выводам.

При ознакомлении с составными задачами ученики должны уяснить основное отличие составной задачи от простой - ее нельзя решить сразу, т.е. одним действием, а для ее решения надо выделить простые задачи, установив соответствующую систему связей между данными и искомым. Причем при работе над изучением составных задач нового вида необходимо использовать схемы, чертежи, занимательные задачи и задачи развивающего характера, которые повышают интерес у учащихся, способствуют осознанному приобретению знаний, умений и навыков, развивают память, речь и мышление.

В заключение необходимо отметить, что методика обучения решению составных задач будет эффективна только тогда, если в результате ее применения происходит повышение уровня умения решать задачи. Выработке умения решать составные задачи помогают так называемые упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, а также упражнения в составлении и преобразовании задач.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ

2.1. Виды моделирования.

Графическое моделирование как основное средство.

Глубина и значимость открытий, которые делает младший школьник, решая задачи, определяется характером осуществляемой им деятельности и мерой ее освоения, тем, какими средствами этой деятельности он владеет. Для того чтобы ученик уже в начальных классах мог выделить и освоить способ решения широкого класса задач, а не ограничивался нахождением ответа в данной, конкретной задаче, он должен овладеть некоторыми теоретическими знаниями о задаче и, прежде всего, о ее структуре.

Известный отечественный психолог А.Н. Леонтьев [14] писал: «Актуально сознается только то содержание, которое является предметом целенаправленной активности субъекта». Поэтому, чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это можно путем особых знаково-символических средств — моделей, однозначно отображающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия младшими школьниками.

В структуре любой задачи выделяют:

1. Предметную область, т. е. объекты, о которых идет речь в задаче.

2. Отношения, которые связывают объекты предметной области.

3. Требование задачи.

Объекты задачи и отношения между ними составляют условие задачи. Например, в задаче: «Лида нарисовала 5 домиков, а Вова - на 4 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?» — объектами являются:

1) количество домиков, нарисованных Лидой (это известный объект в задаче);

2) количество домиков, нарисованных Вовой (это неизвестный объект в задаче и согласно требованию, искомый).

Связывает объекты отношение «больше на».

Структуру задачи можно представить с помощью различных моделей. Но прежде, чем сделать это, уточним некоторые вопросы, связанные с классификацией моделей и терминологией.

Слово «модель» произошло от латинского слова «modelium», обозначает: мера, способ и т.д.[2]

Моделирование — метод изучения объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей действительно существующих предметов и явлений (органических и неорганических систем, технических устройств, разных процессов — физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов для определения либо улучшения их характеристик, рационализации способов их построения, управления и т.п.

Все модели принято делить на схематизированные и знаковые.

В свою очередь, схематизированные модели бывают вещественными (они обеспечивают физическое действие с предметами) и графическими (они обеспечивают графическое действие).

К графическим моделям относят рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж (или схему).

Знаковая модель задачи может выполняться как на естественном языке (т.е. имеет словесную форму), так и на математическом (т. е. используются символы). [15]

Например, знаковая модель рассматриваемой задачи, выполненная на естественном языке, — это общеизвестная краткая запись:

К. – 6 м.

В. - ?, на 3 м. больше

Знаковая модель данной задачи, выполненная на математическом языке, имеет вид выражения 6+3.

Уровень овладения моделированием определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и главное место в формировании умения решать задачи.

Лавриненко Т.А. [13] предлагает следующие приемы предметного моделирования простых задач на сложение и вычитание: с до числового периода начинать выполнять практические упражнения по всем видам задач, объясняя полученный результат и выборочно зарисовывать в тетради.

Положите три красных кружка, а ниже положите 5 синих кружков. Сколько всего кружков вы положили?

Положите 6 квадратов, а теперь 2 уберите. Сколько осталось квадратов? 

6

2

Положите три круга, а внизу положите на 2 квадрата больше. Сколько вы положили квадратов? Как вы выкладывали квадраты?

3

2

Положите 7 желтых треугольников, а внизу красных треугольников положите на 3 меньше, чем желтых. Сколько красных треугольников вы положили? Как догадались?

        3

Положите 5 квадратов. Ниже положите 3 круга. Чего больше? На сколько больше? Как вы догадались?

5

3

После знакомства со знаками «+» и «- » необходимо продолжить выполнение практических упражнений, применяя графическое моделирование, вводя тексты задач и выбирая нужное действие.

На ветке сидело 8 птичек (положите 8 палочек), 3 птички улетели (отодвинули 3 палочки). Сколько птичек осталось? Какое действие выберем? (Отодвинули, значит, «вычитание»).

8-3=5 (пт.)

У Коли 5 машинок (положите 5 квадратиков), а у Сережи на две машинки меньше (выложите машинки Сережи кружочками.) Сколько машинок у Сережи? Какое действие выберем? Почему? (Мы закрыли два квадрата, а сколько осталось – столько выложили кружков. Убрали 2 квадрата, значит, выполнили действие «вычитание»).

5-2=3 (м.)

Учим правило «На… меньше – делаем вычитание»

У Кати 6 красных шаров (выкладываем 6 красных кружков) и 4 синих (выкладываем внизу 4 синих кружка). На сколько у Кати красных шаров больше, чем синих?

Как найдем на сколько больше красных шаров? (Нужно из красных отодвинуть столько, сколько синих, узнаем на сколько больше красных шаров).

Какое действие выберем? (Мы отодвинули шары, значит, действие «вычитание»).

6-4=2 (ш).

?

Учим правило «Чтобы сравнить, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее».

Итак, целенаправленная работа по формированию приемов умственной деятельности начинается с первых уроков математики при изучении темы “Отношения равенства-неравенства величин”. Действуя с различными предметами, пытаясь заменить один предмет другим, подходящим по заданному признаку, дети выделяют параметры вещей, являющиеся величинами, т.е. свойства, для которых можно установить отношения равно, неравно, больше, меньше. В контексте задач дети знакомятся с длиной, массой, площадью, объемом. Полученные отношения моделируются сначала с помощью предметов, графически (отрезками), а затем - буквенными формулами.

На первых же уроках нужно познакомить детей с прямой и кривой линией, а затем с понятием отрезка и научить чертить отрезки по линейке. Для этого можно выполнить упражнение следующего вида:

После того как дети хорошо разберутся в понятии “задача”, можно учить их составлять задачи по картинкам, причем все виды задач. Здесь полезно применять чертежи и схематические рисунки, блок-схемы, моделирование с помощью отрезков, таблиц и матриц.

Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: левая – правая, верхняя – нижняя, увязывать пространственную информацию (правая – левая) с информацией меры (широкая - узкая, короткая - длинная) тем самым формируя умение решать задачи. Примером может служить таблица: 

В беседе со школьниками по этой матрице следует задавать противопо-ложные по содержанию вопросы.

Вопрос: какая лента нарисована в правой нижней клетке? Ответ: длинная и узкая. Вопрос: где нарисована короткая и широкая лента? Ответ: в левой верхней клетке.

Табличные примеры удобны для быстрого решения примеров, информационно связанных друг с другом (рис.2). Так, например, заполняя клетки таблицы, школьники должны обратить внимание на совпадение парных сумм, например: 35+47=45+37=82.

Рис.2

2.2. Обучение решению задач на движение с помощью схематического моделирования

Можно ли научить самостоятельно решать задачи каждого ученика?

Изучив теоретические подходы к обучению решать задачи, а также различные практические приёмы, можно сделать вывод, что можно. Главное для каждого школьника на данном этапе – понять задачу, т.е. уяснить, о чём эта задача, что в ней обязательно, что нужно разведать, как связаны между собою данные, каковы отношения между данными и искомыми параметрами и т.д. Для этого надо пользоваться моделированием задач и обучать этому школьников.

Система работы по усвоению детьми моделирования задачи разбита на три момента:

 1. Обучение детей преобразованию предметных действий в действующую модель.

 2. Обучение детей составлению противоположных задач к данной задаче на основе работы с моделью.

 3. Творческая работа детей над задачей на основе применения модели.

Процесс моделирования содержания текстовых задач разбит на следующие этапы (см. рис.3)

Рисунок 3.

Этапы процесса моделирования содержания текстовых задач

На подготовительном этапе на основе движущихся моделей дети должны уяснить, что значит двигаться навстречу друг другу и в противоположных направлениях. Необходимо познакомить детей с элементами чертежей к задачам на движение и научить их вычерчивать по условию задачи. [12]

24 м

?, на 8 м <

? м

После такого предварительного знакомства вводится понятие "скорость".

Беседа начинается с того, что есть предметы движущиеся и не движущиеся (дети приводят примеры). Опираясь на жизненный опыт детей, выясняем, что одни предметы движутся быстрее, другие медленнее.

Открываем таблицу на доске:

В этом случае говорят, что скорость пешехода 5 км в час (показываем запись 5 км/ч) и т. д.

Скорость движения — это расстояние, которое проходит движущийся предмет за единицу времени (за 1 час, за 1 минуту, за 1 секунду).

- Проверим, как вы меня поняли. Скорость поезда 70 км/ч. Что это означает? (Поезд проезжает 70 км за 1 час.)

- Скорость мухи — 5 м/с — ?

- Скорость африканского страуса — 120 км/ч — ?

Задача. Велосипедист был в пути 3 ч и проехал за это время 36 км. В течение каждого часа он проезжал одинаковое расстояние. Сколько километров проезжал велосипедист в каждый час?

36 ч

Пояснить, что чёрточки означают количество часов.

36 : 3 = 12 (?)

Мы нашли, сколько километров проезжал велосипедист за каждый час, т. е. за 1 час или за единицу времени. Что же это за величина? (Скорость.) Как обозначим единицу измерения скорости? (км/ч)

36 : 3 = 12 (км/ч)

Вывешивается формула и заучивается правило. На следующих уроках вводятся два других правила. После того, как дети выучат правила, задачи решаются в два и более действия; используется краткая запись в виде чертежа или таблицы.

Необходимо познакомить детей с понятием "общей скорости" (скорость сближения или удаления) и пояснить, что использование понятия "общая скорость" упрощает решение задач. (рис.4)

рис.4.

60 + 80 = 140 (км/ч) — общая скорость. На 140 км сблизятся машины за 1 час.

рис. 5.

На 140 км удалились машины друг от друга за 1 час. (рис.5)

Чтобы дети уяснили решение задач через "общую скорость", нужно первые задачи разобрать от данных к вопросу.

— Известно "общее" расстояние 390 км и известно время — 3 ч. Что можно найти, зная расстояние и время?

— Если дано "общее" расстояние, то какую скорость мы найдём? (Найдём общую скорость.)

— Теперь, зная "общую скорость" и скорость первого автомобиля, что можно найти? (Скорость второго автомобиля.)

— Ответили мы на вопрос задачи? (Да.)

Весьма поучительно решение следующей четверки задач, исчерпывающих все возможные комбинации направлений движения двух тел относительно друг друга (рис.6). Вопрос для всех задач общий: через сколько секунд А и В окажутся рядом? Итак, дана задача: «Между двумя точками А и В имеются две дороги, длинная — 160 м и короткая — 80 м. Из этих точек движутся два велосипедиста со скоростями 5 и 3 м в секунду. Через сколько секунд они окажутся рядом? (Рассмотреть все возможные случаи.)»

Рис.6

Решение задачи удобно изобразить в матрице с двумя входами.

Подобная четверка задач позволяет рассмотреть исчерпывающим образом математическую ситуацию, перебирая все возможные сочетания направлений движения двух тел. При таком оформлении четверки задач информация о направлении движения передается на нескольких кодах: по горизонтальному входу матрицы показаны скорости велосипедиста А, по вертикальному входу матрицы показаны скорости велосипедиста В. Эти же скорости изображены и на самих рисунках в матрице. По этой схеме удобно проводить обучающую беседу, позволяющую добыть дополнительную информацию об изучаемом.

Вопрос. В каких клетках изображено движение в противоположных направлениях (навстречу»)? Ответ. Движение «навстречу» изображено в клетках правой диагонали (I и IV). Вопрос. В каких клетках изображено движение в одном направлении («вдогонку»)? Ответ. Движение вдогонку изображено в клетках левой диагонали (II и III). Вопрос. Сравните задачи (II и III). В каком случае быстрее нагонит один велосипедист другого? Почему? Ответ. В первом случае, так как в этом случае первоначальное расстояние между велосипедистами – 80 м. во втором случае – больше (160 м).

Мы описали беседу, основанную на качественных сравнениях:

(1—11), (IV—III), (I—IV). Однако в таком анализе можно пойти значительно дальше, проникая в глубинные связи, которые при обычной практике обучения на основе одинарных задач являются для мышления школьника недоступными. В процессе дополнительного обсуждения можно извлечь новые сведения.

Вопрос. Какова скорость сближения велосипедистов в (II) и (III) случаях? Ответ. Скорости сближения равные, так как в обоих случаях движение совершается вдогонку. Скорость сближения здесь равна 5+3=8 (м) за каждую секунду.

Вопрос. Через сколько секунд произойдет первая встреча в первой и четвертой задачах? Ответ. 80:2=40 (с); 160:2=80 (с).

Вопрос. Через сколько секунд будут происходить последующие встречи? Через различное время или одно и то же время? Почему? Ответ. После первой встречи условия задач оказываются одинаковыми: в обоих случаях быстрейший должен нагнать медленного велосипедиста через (160+80):2=120 (с).

Вопрос. Почему же здесь расстояние выросло до 160+80=240 (м)? Ответ. Потому что между данными двумя велосипедистами в момент встречи расстояние равно нулю (0 метров). Однако при дальнейшем движении между быстрейшим и медленным оказывается весь круговой путь (160+80=240). Вопрос. Через сколько секунд будут происходить последующие встречи в 1 и IV задачах? Ответ. (160+80):(5+3)= =240:8=30 (с).

Мы видим, что решение с матрицированной задачи, состоящей из четырех попарно связанных случаев, становится особым видом укрупненного упражнения, т.е. некоторым сочинением на математическую тему «Задачи на движение».

2.3. Роль моделирования при работе над задачами на движение.

Изучив теоретические положения по применению моделирования при решении задач на движение в начальной школе можно сделать вывод о том, что при решении задач на движение следует использовать метод моделирования, который помогает сознательному и прочному усвоению и пониманию материала.

Благодаря моделированию математические связи и зависимости приобретают для учеников смысл, а в процессе его применения происходит усиление и развитие математического мышления учащихся. Поэтому моделирование – это один из главных приемов обучения решению задач и главное средство познания действительности.

Изучив более подробно и глубоко вопросы, связанные с использованием моделей, считаю целесообразно применение моделирования в ходе обучения математике, так как:

— моделирование помогает вырабатывать умение решать текстовые задачи;

— данный способ обучения повышает интерес учащихся к изучению математики.

Главным недостатком применения моделирования есть отсутствие надлежащего внимания на регулярное применение моделирования на уроках.

Целенаправленная работа по созданию приемов интеллектуальной деятельности должна приходить с первых уроков математики. Действуя с различными объектами, стараясь заменить один предмет другим, подходящим по указанному признаку, дети должны подготовиться выделять параметры вещей, являющиеся величинами. Т.е. свойства, для каких можно поставить отношения «равно», «неравно», «меньше», «больше». Полученные отношения моделируются сначала при помощи предметов, графически (отрезками), а потом – буквенными формулами.

Сначала необходимо знакомить учеников с различными типами моделей, применимых к задаче. Насколько быстро ответит на вопрос задачи ученик, найдёт возможные варианты решения, находится в зависимости от удачного выбора модели.

Рисунок представляет реальные объекты, о которых говорится в задаче, или условные предметы в виде геометрических фигур.

В целях установления осознанного подхода к составлению и применению моделей в виде рисунка в учебнике к задаче можно дать следующие задания:

-какой рисунок подходит к данной задаче?

-составь по другому рисунку задачу и реши её.

Эти задания способствуют развитию навыка составления и анализа моделей.

Схема является особо хорошей моделью при решении проблем по ряду причин:

- может быть использована при решении задач со сколь угодно большими числами;

— может применяться при решении задач с буквами

— позволяет подняться на довольно высокую степень абстрактности;

Графическая модель — схема сюжетной задачи помогает увидеть учащимся абстрактные отношения, заданные в условии задачи, в определенной пространственной форме. Схема является обобщением, позволяющим выйти за границы данной задачи и получить обобщающий способ для решения любых задач данной структуры. [7]

На подготовительном периоде учащиеся учатся иллюстрировать данные задачи при помощи картинок, при этом осуществляют операции объединения множеств и удаления подмножества из текущего множества.

-на какие части можно разделить фигуры?

-как части обозначены?

-вставь пропущенные буквы и цифры.

-объясните свой выбор.

Для формирования умения строить схемы к условиям задач использую следующие виды заданий:

-нужно перевести текст задачи в чертеж;

-нужно по схеме написать задачу;

-нужно из предложенных вариантов выбрать и соотнести текст задачи и подходящий к нему чертеж;

Задания на уроках математики сориентированы не на создание у учащихся умения решать задачи определенных типов, а на создание общего знания решения текстовых задач. Так, начиная со 2 класса, учащимся предлагаются такие задачи, где данные представлены буквами, поэтому решением задачи является создание буквенного выражения; где надо сопоставить буквенное выражение и схему условия задачи.

Чтоб свободно решать задачи, ученик должен освоить разные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую поставленной цели, и переходить от одной формы к другой.

Учитель должен помнить, что одного составления модели к задаче недостаточно. Следует вводить и обратные задания, а именно: составление текстов различных задач по модели, что будет содействовать развитию творческого мышления любого ребенка.

К несчастью, в целях экономии времени учителя недостаточно внимания уделяют решению задач различными способами. Это может быть объяснено тем, что такие задания в школьных учебниках попадаются от случая к случаю и в силу этого не воспринимаются многими учителями как важные. Однако опыт показывает, что постоянная нагрузка в этом направлении очень ценна как с позиции воспитания учеников, так и с позиции формирования умения решать задачи. [24] Наряду с этим нужно отметить, что решение проблем разными путями — чрезвычайно интересное занятие для учащихся младших классов. Составление моделей к задаче — необходимый этап в поиске различных путей ее решения. Когда есть выбор при решении задачи, встает вопрос о нахождении подходящего способа ее решения.

Модель способна помочь не только найти подходящий путь решения задачи, однако и проверить верность решения, поскольку решение задачи различными способами — это один из видов такой проверки.

Предлагаем учителям чаще и разнообразнее применять возможности моделирования при обучении учащихся математике.

Итак, в результате проведенного исследования, было выявлено следующее. Освоение детьми процесса моделирования есть одной из основных проблем обучения детей математике в курсе начальной школы. Моделирование — это один их главных приемов обучения решению задач и важное орудие познания действительности. [18] Процесс решения текстовых задач служит подходящей средой, где отрабатывается действие моделирования, причем умение решать задачи может выступать в качестве некоего из критериев сформированности этого действия.

Модели являются действенным средством поиска решения задачи. В процессе решения детям приходится обращаться от одной фигуры записи к другой и находить среди них лучшую. Тем не менее, не всякая запись будет являться моделью задачи. Ради создания модели и ее следующего изменения нужно научиться выделять в задаче цель, данные величины, все отношения между величинами, пренебрегать несущественными связями для того, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий установить пути решения.

Процесс моделирования текстовой задачи повышает мыслительную активность детей, способствует воспитанию вариативности мышления, а значит, делает решение задач более привлекательным и интересным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, применение моделирования имеет:

— образовательное значение: моделирование помогает усвоить многие вопросы теории;

— педагогическое значение: способствует воспитанию памяти, внимания, наблюдательности;

— практическое значение: быстрота и точность вычислений.

После систематической деятельности учащиеся добиваются следующих результатов: изучили различные виды моделей; научились пользоваться в одной и той же задаче несколькими видами моделей (с целью выбора каждым учеником наиболее понятной ему модели); сравнивать несколько моделей между собою (с целью отбора наиболее рациональной); выбирать самую приемлемую модель к предложенной задаче. На основе наблюдений за детьми в ходе этой деятельности школьники не боятся самостоятельно начать анализ задачи; в случае неудачи они, применяя иную модель, анализируют задачу вновь.

Значит, моделирование помогает вооружить ребёнка такими приёмами, которые разрешают ему при самостоятельной работе над задачей быть активным, успешным, не бояться трудностей. Каждый, не сравнивая себя с другими, выбирает собственный способ рассуждения, моделирования и, значит, решения задач.

Применение графического моделирования при решении текстовых задач обеспечит лучший анализ задачи, осознанный поиск ее решения, аргументированный выбор арифметических действий и предупредит многие неточности в решении задач.

Модель задачи может быть использована для составления и решения противоположных задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает определить условия, при которых задача имеет или не имеет решения, помогает понять, как меняется значение искомой величины в зависимости от преобразования данных величин, помогает осуществить обобщение теоретических представлений.

Включение в учебный процесс систематической работы ребенка с моделями изучаемых понятий, а также строительство системы моделирующих действий ребенка, связанных не только с изучением предлагаемой ему модели, но и позволяющих ребенку самому обосновать модель этого понятия. И сквозь процесс построения осознать основные качества и отношения изучаемых математических объектов, позволяет рассматривать не только специфику математики – науки, изучающей количественные и пространственные характеристики реальных объектов и процессов, однако и осуществлять обучение ребенка общим способам деятельности с математическими моделями фактической действительности и способам построения этих моделей. Система моделирующих действий ребенка в такой ситуации направлена как на развитие простых математических представлений, так и на создание общей способности к моделированию изучаемых объектов. Во всех этих случаях использование моделей и моделирования играет главную роль внешней материализованной опоры нового интеллектуального действия, по образу которой оно будет создаваться у ребенка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. - М.: "Просвещение", 2009, 2
2. Белошистая А.В. Прием графического моделирования при обучении решению задач // начальная школа, 2009, 8.
3. Бородулько М.А., Стойлова Л.Г. Обучение решению задач и моделирование // Начальная школа. – 2008. - № 8. – С. 26-32.
4. Буренкова, Н.В. Общий подход в обучении решению текстовых задач/Н.В. Буренкова//Начальная школа плюс До и После. – 2010. - №10. – С.72-75.
5. Готовимся к математике. 360 заданий для подготовки к успешному изучению математики в школе. Тетрадь с заданиями. Мурманск: МО ИПКРО. – 2011. – 136 с.
6. Демидова А.Е. Обучение решению некоторых видов составных задач // Начальная школа: плюс до и после, 2008, 4.  
7. Задачи на построение в школьном курсе математики // Математика в школе.  –  2012.  – №9. – с. 47 – 51.
8. Знакомство с простой задачей // Начальная школа: плюс до и после, 2009. – №4.– с. 13 – 23.
9. Зайцев В.В. Математика для младших школьников. Методическое пособие для учителей и родителей. –М.: «Владос», 1999, с.11
10. Индивидуальный подход в формировании и развитии математических способностей младшего школьника // Начальная школа: плюс – минус.– 2011.– №7. – с. 3 – 15.
11. К вопросу о развитии пространственных представлений и пространственного мышления младших школьников // Начальная школа: плюс – минус. –  2010. –№ 4. – с. 55 – 64.
12. К вопросу о формировании и развитии математических способностей дошкольников / В сб. «Развитие детей дошкольного возраста как субъектов различных видов деятельности». Мурманск: МГПИ. –  2009. – с.10-15
13. Лавриненко Т.А. Как научить детей решать задачи. – Саратов: «Лицей», 2000
14. Леонтьев А.И. К вопросу о развитии арифметического мышления ребенка. В сб. «Школа 2100» вып.4 Приоритетные направлнеия развития образовательной программы – М.: «Баласс», 2000, с.109
15. Математика и конструирование в 1 классе. Книга для учителя. Мурманск. МО ИПКРО. – 2011. – 150 с.
16. Математика и конструирование. Тетрадь с заданиями для детей 5-6 лет. Мурманск: МО ИПКРО. – 2011. – 95 с.
17. Менцис Я.Я. Содержательный смысл математических моделей // Начальная школа. – 2011. - № 10-11. – С. 67-69.
18. Моделирование в курсе «Математика и конструирование»// Начальная школа. –  2010. –  № 9. – с. 15-18.
19. Моделирование как основа формирования умения решать задачи. Методические рекомендации для учителей начальных классов. Мурманск: ИПК. – 2011. – 64 с.
20. Наглядная геометрия в 1 классе. Учебное пособие. Мурманск: МГПИ. –  2008. – 56с.
21. Наглядная геометрия как средство развития мышления младшего школьника // Начальная школа: плюс – минус. – 2012. – №1. – с. 34 – 48.
22. О возможности построения системы развития математического мышления дошкольников / В сб.«Актуальные проблемы обучения и развития детей дошкольного возраста». Мурманск: МГПИ. –  2009. – с.  7– 16.
23. Прием графического моделирования при обучении решению задач // Начальная школа. –  2011. – № 4. – с. 18 – 24.
24. Слепнева И.А. решение задач на равномерное движение // Начальная школа: приложение к газете "Первое сентября", 2010, 19.
25. Шикова Р.Н. Методика обучения решению задач, связанных с движением тел // Начальная школа, 2011,5.

ГЛОССАРИЙ ПО КАТЕГОРИАЛЬНОМУ АППАРАТУ

Математическая  модель  –  специфическое представление (часто приближенное) некой проблемы, ситуации, какое дает возможность в процессе ее анализа использовать формально – логический аппарат математики. При математическом моделировании имеем дело с теоретической копией, которая в математической модели выражает основные закономерности, свойства изучаемого предмета.

Моделирование –  исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя.

Модель – (фр. modèle, от лат. modulus –  «мера, аналог, образец») –  это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе, это упрощённое представление реального устройства и/или протекающих в нём процессов, явлений.

ГЛОССАРИЙ ПО ПЕРСОНАЛИЯМ

Бантова Мария Александровна - Ученый, методист, один из авторов учебников математики для начальной школы; «Отличник просвещения РСФСР», «Отличник просвещения СССР»; кандидат наук; разработана программа и написаны учебники математики для I–IV классов; преподаватель математики и методики обучения математике в начальных классах на педагогическом факультете ЛГПИ им. А.И. Герцена; написаны учебное пособие «Методика преподавания математики в начальных классах» для студентов педагогических вузов и училищ и учебники математики для начальной школы.

Белошистая Анна Витальевна - Доктор педагогических наук, профессор кафедры педагогики и технологии начального образования Мурманского педагогического университета. Автор книг и публикаций по развитию математических способностей у детей дошкольного и младшего школьного возраста.

Лавриненко Татьяна Алексеевна

Леонтьев Алексей Николаевич (5 февраля 1903 — 21 января 1979) — советский психолог. Окончил факультет общественных наук Московского университета (1924). Доктор психологических наук (1941), академик АПН СССР (1950), лауреат Ленинской премии (1963).

А.Н. Леонтьев разработал фундаментальные теоретические и методологические проблемы психологии, основные принципы и категории теории деятельности, особенности происхождения и строения психического отражения, сознания и личности.

 ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 (учебник «Математика» автор Н. Я. Виленкин)

Задача 1: (№ 1142)

«Из двух пунктов, расстояние между которыми 7 км 500 м, одновременно в одном направлении вышел пешеход со скоростью 6 км/ч и выехал автобус. Определите скорость автобуса, если он догнал пешехода через 15 мин?»

    ? км/ч                     6 км/ч        

           А        7км 500 м     В                                       tвстр=15 мин

15 мин = 0,25 ч

1) 6 * 0,25 = 1,5 (км) – прошел поезд за 15 мин.

2) 7,5 + 1,5 = 9 (км) – прошел автобус до того, как догнал пешехода.

3) 9: 0,25 = 36 (км/ч) – скорость автобуса.

Ответ: 36 км/ч.

Задача 2: (№ 1169)

«а) Теплоход идет вниз по реке. Какова скорость движения теплохода, если скорость течения реки 4 км/ч, а собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде) равна 21 км/ч?

б) Моторная лодка идет вверх по реке. Какова скорость движения лодки, если скорость течения 3 км/ч, а собственная скорость лодки 14 км/ч?»

а) 21 + 4 = 25 (км/ч) – скорость теплохода.

б) 14 – 3 = 11 (км/ч) – скорость движения лодки.

Ответ: а) 25 км/ч; б) 11 км/ч.

Задача 3: (№ 1172)

«Со станции вышел товарный поезд со скоростью 50 км/ч. Через 3 ч. с той же станции вслед за ним вышел электропоезд со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов после своего выхода электропоезд догонит товарный поезд?

          80 км/ч                  50 км/ч        

               3 ч.                                                       tвстр  - ?

1) 50 ∙ 3 = 150 (км) – прошел товарный поезд.

2) 80 – 50 = 30 (км/ч) – скорость сближения.

3) 150 : 30 = 5 (ч) – через это время электропоезд догонит товарный поезд.

Ответ: через 5 часов.

Задача 4: (№ 1179)

«Два поезда вышли в разное время навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 782 км. Скорость первого поезда 52 км/ч, а второго 61 км/ч. Пройдя 416 км, первый поезд встретился со вторым. На сколько один из поездов вышел раньше другого?»

     52 км/ч                                               61 км/ч

                                    416 км              782 км

1. 416: 52 = 8 (ч) – шел первый поезд.
2. 782 – 416 = 366 (км) – прошел второй поезд.
3. 366: 6 = 6 (ч) – шел второй поезд.
4. 8 – 6 = 2 (ч) – на это время первый поезд вышел раньше второго.

Ответ: на 2 часа.

Задача 5: (№ 1193)

«Собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна 21,6 км/ч, а скорость течения реки 4,7 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения реки.»

1. 21,6 + 4,7 = 26,3 (км/ч) – скорость катера по течению.
2. 21,6 – 4,7 = 16,9 (км/ч) – скорость катера против течения.

Ответ: 26,3 км/ч; 16,9 км/ч.

Задача 6: (№ 1194)

«Скорость теплохода по течению реки равна 37,6 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода и его скорость против течения, если скорость течения реки 3,9 км/ч.»

1. 37,6 – 3,9 = 33,7 (км/ч) – собственная скорость теплохода.
2. 33,7 – 3,9 = 29,8 (км/ч) – скорость против течения.

Ответ: 33, 7 км/ч; 29,8 км/ч.

Задача 7: (№ 1196)

«Расстояние между городами 156 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Один проезжает в час 13,6 км, а другой 10,4 км. Через сколько часов они встретятся?»

                      13,6  км/ч           10,4 км/ч

       1 ч.                                  tвстр -?.        1 ч.

                                    156 км

1. 13,6 + 10,4 = 24 (км/ч) – скорость сближения.
2. 156: 24 = 6,5 (ч) – через это время они встретятся.

Ответ: через 6,5 часа.

Задача 8: (№ 1233)

«Автомашина в первый час прошла 48,3 км, во второй час она прошла на 15,8 км меньше, чем в первый, а в третий час – на 24,3 км меньше, чем за первые два часа вместе. Какой путь прошла автомашина за эти три часа?»

1 ч.                                        

                          48,3 км

2 ч.                    ?

        ?               15,8 км

3 ч.                 

                                       ?                                   24,3 км

1. 48,3 – 15,8 = 32,5 (км) – прошла машина за 2-ой час.
2. 48,3 + 32,5 = 80,8 (км) – прошла машина за 1 и 2 час.
3. 80,8 – 24,3 = 56,5 (км) – прошла машина за 3-ий час.
4. 56,5 + 80,8 = 137,3 (км) – прошла машина за 3 часа.

Ответ: 137,3 км.

Задача 9: (№ 1268)

«Собственная скорость лодки 4,5 км/ч, скорость течения 2,5 км/ч. Найдите скорость лодки при движении по течению и против течения. Какой путь пройдет лодка по течению за 4 часа, и какой путь она пройдет против течения за 3 часа?»

1. 4,5 + 2,5 = 7 (км/ч) – скорость по течению.
2. 4,5 – 2,5 = 2 (км/ч) – скорость против течения.
3. 7 ∙ 4 = 28 (км) – путь по течению реки.
4. 2 ∙ 3 = 6 (км) – путь против течения реки.

Ответ: 28 км; 6км.

Задача 10: (№ 1285)

«Автомашина прошла 3 ч со скоростью 48,4 км/ч и 5 ч со скоростью 56,6 км/ч. Какой путь прошла автомашина за все это время?»

        48,4  км/ч                                         56,6 км/ч                                          

                     3 ч.                               5 ч.

                                       S - ?

1. 48,4 ∙ 3 = 145,2 (км) – автомашина прошла за 3 часа.
2. 56,6 ∙ 5 = 283 (км) – автомашина прошла за 5 часов.
3. 145,2 + 283 = 428,2 (км) прошла машина за все это время.

Ответ: 428,2 км.

Задача 11: (№ 1300)

«С одной станции в противоположных направлениях вышли два поезда в одно и то же время. Скорость одного поезда 65 км/ч, а скорость другого на а км/ч больше. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа? Составьте выражение для решения и найдите его значение при а = 10;25.»

  3 ч                                                                                      3 ч

                                                        S - ?

При а = 10:

1. 65 + 10 = 75 (км/ч) - скорость второго поезда.
2. 65 + 75 = 140 (км/ч) – скорость удаления поездов.
3. 140 ∙ 3 = 420 (км) – расстояние между поездами через 3 часа.

Ответ: 420 км.

При а = 25:

1. 65 + 25 = 90 (км/ч) – скорость второго поезда.
2. 90 + 65 = 155 (км/ч) – скорость удаления поездов.
3. 155 ∙ 3 = 465 (км) – расстояние между поездами через 3 часа.

Ответ: 465 км.

Задача 12: (№ 1301)

«Скорость дельфина в 2 раза больше скорости акулы. Скорость акулы на 25 км/ч меньше скорости дельфина. Какова скорость каждого животного?»

Акула         

                                                              25 км/ч

Дельфин        

х км/ч – скорость акулы

2х (км/ч) – скорость дельфина

Уравнение: 2х = х + 25

                     2х – х = 25

                          х =25

25 км/ч – скорость акулы.

25 ∙ 2 = 50 (км/ч) – скорость дельфина.

Ответ: 25 км/ч; 50 км/ч.

Задача 13: (№ 1316)

«Турист должен был пройти за два дня 25,2 км. В первый день он прошел 3/7 пути. Сколько км турист прошел во второй день?»

                   3/7                                      ?                  

                                            25,2 км

I способ:

1) 25,2 ∙ 3/7 = 10,8 (км) – турист прошел за 1 день.

2) 25,2 – 10,8 = 14,4 (км) – турист прошел во 2 день.

Ответ: 14,4 км.

II способ:

1. 1 – 3/7 = 4/7 (части) – всего пути прошел турист в 1 день.
2. 25,2 ∙ 4/7 = 14,4 (км) – прошел турист во 2 день.

Ответ: 14,4 км.

Задача 14: (№ 1349)

«Автомашина шла по шоссе 3 ч со скоростью 65,8 км/ч, а затем 5 ч она шла по грунтовой дороге. С какой скоростью она шла по грунтовой дороге, если весь ее путь равен 324,9 км?»

                      65,8  км/ч                            ?  км/ч                                          

                     3 ч.                               5 ч.

                                    324,9 км

1) 65,8 ∙ 3 = 197,4 (км) – прошла машина по шоссе.

2) 324,9 – 197,4 = 127,5 (км) – прошла машина по грунтовой дороге.

3) 127,5 : 5 = 25,5 (км/ч) – скорость машины по грунтовой дороге.

Ответ: 25,5 км/ч.

Задача 15: (№ 1383)

«Скорость движения Земли вокруг Солнца 29,8 км/с, а скорость Марса на 5,7 км/с меньше. Какой путь пройдет каждая из планет за 3 секунды?»

V Земли  

                                       29,8 км/с

V Марса    

                                 ?                   5,7 км/с

1. 29,8 – 5,7 = 24,1 (км/с) – скорость Марса.
2. 29,8 ∙ 3 = 89,4 (км) – путь, который пройдет Земля за 3 секунды.
3. 24,1 ∙ 3 = 72,3 (км) – путь, который пройдет Марс за 3 секунды.

Ответ: 89,4 км; 72,3 км.

Задача 16: (№ 1385)

«Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2,5 часа. Скорость первого пешехода равна 4,2 км/ч, а скорость второго 5,2 км/ч. Какое расстояние было между ними в начале движения?»

1. 4,2 + 5,2 = 9,4 (км/ч) – скорость сближения.

2) 9,4 ∙ 2,5 = 23,5 (км) – расстояние между пешеходами в начале движения.

Ответ: 23,5 км.

Задача 17: (№ 1396)

«Катер, собственная скорость которого 14,8 км/ч, шел 3 ч по течению реки и 4 ч против течения. Какой путь проделал катер за все это время, если скорость течения 2,3 км/ч?»

1. (14,8 + 2,3) ∙ 3 = 51,3 (км) – путь по течению реки.
2. (14,8 – 2,3) ∙ 4 = 50 (км) – путь против течения реки.

Ответ: 51,3 км; 50 км.

Задача 18: (№ 1436)

«Два пешехода находились на расстоянии 4,6 км друг от друга. Они пошли навстречу друг другу и встретились через 0,8 ч. Найти скорость каждого пешехода, если скорость одного из них в 1,3 раза больше скорости другого.»

                      ?  км/ч                                                                        ?, в 1,3 больше

                                  0,8 ч.                                    0,8 ч.

                                   4,6 км

I способ:

1) 4,6: 0,8 = 5,75 (км/ч) – скорость сближения.

х км/ч – скорость первого пешехода.

1,3 х (км/ч) – скорость второго пешехода.

2) Уравнение: х + 1,3 х = 5,75

                          2,3 х = 5,75

                               х = 2,5

2,5 км/ч – скорость первого пешехода.

3) 2,5 ∙ 1,3 = 3,25 (км/ч) – скорость второго пешехода.

Ответ: 2,5 км/ч; 3,25 км/ч.

II способ:

1. 4,6: 0,8 = 5,75 (км/ч) – скорость сближения.

Введем дополнительную схему:

I          

                                     0,3 км/ч                   

II

2) 1 + 1,3 = 2,3 (части) – составляет 5,75 км/ч.

3) 5,75: 2,3 = 2,5 (км/ч) – скорость первого пешехода.

4) 2,5 ∙ 1,3 = 3,25 (км/ч) – скорость второго пешехода.

Ответ: 2,5 км/ч; 3,25 км/ч.

Задача 19: (№ 1476)

«Автомобиль двигался 3,2 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем 1,5 ч по грунтовой дороге со скоростью 45 км/ч, наконец, 0,3 ч по проселочной дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути.»

          3,2 ч                 1,5 ч            0,3 ч

(90 +45 + 30) : 3 = 55 (км/ч) – средняя скорость автомобиля.

Ответ: 55 км/ч.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Урок

Тема: Решение задач на движение.

Цель урока: закрепление умений и навыков решать текстовые задачи на движение, используя метод моделирования.

Задачи урока:

- научить составлять схемы и таблицы при решении текстовых задач;

- развивать способность учащихся находить рациональные способы решения текстовых задач с помощью моделирования, вычислительные навыки, память;

- воспитывать аккуратность при построении чертежей, интерес к математике, внимание.

Оборудование: портрет С. Стевина; карточки с буквами и ответами; жетоны разных цветов; таблица, схематический чертеж.

Ход урока:

1. Сообщение темы и цели урока:

Тема урока: Решение задач на движение. Сегодня на уроке мы с вами будем решать задачи на движение методом моделирования. Достигать поставленной цели будем под девизом «Спорьте, ошибайтесь, заблуждайтесь, но размышляйте, и хотя криво, да сами…» Лесает.

2. Устные упражнения:

1. Беседа (ответьте на вопросы).

А) Может ли произведение десятичной дроби на  натуральное число быть натуральным числом?

Б) Может ли произведение десятичных дробей быть натуральным числом?

В) Может ли при умножении натуральных чисел получиться десятичная дробь?

Г) Что нужно сделать, чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число?

Д) Как умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д.?

Е) Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000?

Ж) Что нужно сделать, чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01?

З) Что называют средним арифметическим?

3.2. Решение зашифрованных примеров:

1) 0,29 + 0, 35

2) 0,57 + 0,3

3) 20,7 : 9

4) 1, 016 : 8

5) 48,5 ∙ 0,1

6) 82 ∙ 0,01

Историческая справка

Знаете ли вы, что именно Симоном Стевином в 80-х годах XVI века были заново «открыты» в Европе десятичные дроби.

Стевин Симон родился в 1548 году в г. Брюгге. Он был нидерландским ученым и инженером. В 1600 г. организовал инженерскую школу, где читал лекции по математике.

Работа Стевина, которая называется «Десятина», посвящена десятичной системе мер и десятичным дробям, которые Симон ввел в употребление в Европе. Умер Стевин в 1620 году, в Гааге.

 Решение задач с использованием моделирования

Переходим к главному этапу урока – решению задач на движение методом моделирования.

4.1. Работа над задачей 1:

«Путь от дома до школы равен 1,1 км. Девочка проходит этот путь за 0,25 ч. С какой скоростью идет девочка?»

- Внимательно читаем условия задачи.

- Что нам уже известно в задаче?

(Путь и время)

- Что нам надо найти в задаче?

(Скорость с которой шла девочка)

- Можем мы сразу ответить на вопрос задачи?

 (Да)

- Как мы найдем скорость?

(V = S/t)

- Записываем  в тетради решение: (при этом: сильные помогают слабым оформить решение задачи) 1,1 : 0,25 = 4,4 (км/ч) – скорость, с которой шла девочка.

- Записываем ответ.

Работа над задачей 2:

«Два пешехода вышли одновременно из одного места в противоположных направлениях. Через 0,8 часа расстояние между ними стало равным 6,8 км. Скорость одного пешехода была в 1,5 раза больше скорости другого. Найдите скорость  каждого пешехода».

- Внимательно читаем задачу.

1. Чтение задачи и запись условия.

- Давайте мы к этой задаче составим чертеж.

- Что нам уже известно в задаче?

(Два пешехода вышли одновременно из одного места, в противоположных направлениях)

- Что еще нам известно?

(Через 0,8 ч расстояние между ними равно 6,8 км.)

- Что известно про скорость пешеходов?

(Скорость одного в 1,5 раза больше другого)

2. Анализ задачи и составление плана решения.

- Посмотрите внимательно на чертеж.

- Какой главный вопрос задачи?

(Найти V каждого пешехода)

- Можно сразу ответить на вопрос задачи?

(Нет)

- Почему?

(Так как неизвестно какое расстояние прошел каждый пешеход за один час, т.е. скорость удаления)

- А можно это узнать?

(Да)

- Как мы это сделаем?

(6,8: 0,8 = 8,5 (км/ч))

Что мы знаем  про скорость каждого пешехода?

(Скорость одного в 1,5 раза больше другого)

- Каким способом будем решать дальше задачу?

1 способ: (можно с помощью уравнения)

- Какое уравнение составим, зная, что скорость удаления равна 8,5 км/ч?

- Можно составить уравнение: х + 1,5х = 8,5

Что мы найдем из этого уравнения?

(Скорость первого пешехода)

- Если мы найдем скорость первого пешехода, сможем ли найти скорость второго пешехода?

(Да)

3. План решения.

- Еще раз посмотрим, как мы решили задачу. Что мы делали?

3.1. Нашли скорость удаления.

3.2. Составили уравнение.

3.3. Нашли скорость первого пешехода.

3.4. Нашли скорость второго пешехода.

4. Осуществление плана решения.

1) 6,8: 0,8 = 8,5 (км/ч) – скорость удаления.

2) х – скорость первого пешехода

1,5х – скорость второго пешехода

х + 1,5х = 8,5        

2,5х = 8,5

х = 3,4

3,4 (км/ч) – скорость первого пешехода.

3) 3,4 * 1,5 = 5,1 (км/ч) – скорость второго пешехода.

Ответ: 3,4 км/ч; 5,1 км/ч.

2 способ:

- Давайте посмотрим, как еще можно решить эту задачу, не составляя уравнения.

- Введем дополнительную схему:

I

II

1. 6,8: 0,8 = 8,5 (км/ч) – скорость удаления.
2. 1 + 1,5 =  2,5 (части) – составляет 8,5 км/ч
3. 8,5: 2,5 = 3,4 (км/ч) – скорость первого пешехода.
4. 3,4 * 1,5 = 5,1 (км/ч) – скорость второго пешехода.

Ответ: 3,4 км/ч; 5,1 км/ч.

Итог:

- Итак, эту задачу решили двумя разными способами. Ответ получили один и тот же. Это доказывает,  что задачу решили правильно. Что помогло нам решить эту задачу?

(Схематический чертеж)

Работа над задачей 3:

«Собственная скорость лодки 8,5 км/ч, а скорость течения 1,3 км/ч. Какое расстояние пройдет лодка по течению за 3,5 часа? Какое расстояние пройдет лодка против течения за 5,6 часа?»

- Читаем задачу.

- О каких величинах идет речь в задаче?

- Для решения этой задачи составим таблицу.

- Что известно? Запишем.

- Как найдем скорость лодки по течению реки? (8,5 + 1,3)

- Как найти скорость против течения? (8,5 - 1,3)

- Что нам известно про время?

(3,5 ч – по течению; 5,6 – против течения)

- Что нам нужно найти? (Расстояние)

- Как его найдем?

(8,5 + 1,3) * 3,5 = 34,3 (км) – путь по течению.

(8,5 – 1,3) * 5,6 = 40,32 (км) – путь против течения.

- Запишите самостоятельно решение задачи.

- Итак, что помогло нам решить эту задачу? (Таблица)

5. Итог урока:

- Чему сегодня учились на уроке?

(Решать задачи на движение)

- Кому было легко решать задачи?

- Кто испытывал трудности? Что было трудно?

6. Рефлексия.

В конце урока была проведена рефлексия, которая показала предпочтения детей при выборе методов обучения.

Всем учащимся предлагалось по три жетона разного цвета. Кто считал, что при решении задач на движение не надо никакой таблицы и чертежа, сдавал белые жетоны.

Если считали, что нужна таблица, то сдавали красные жетоны.

34,5 % всех учеников  класса считают, что для решения задач на движение не требуется наглядность. Вероятно, это связано с тем, что задачи иногда предлагаются не сложные и решаются очень быстро;

82,8 % учеников считают, что необходимо строить чертеж, так как именно чертеж помогает найти правильный путь решения задачи, а также позволяет сделать проверку данной задачи.

69 % учащихся считают, что при решении задач на движение помогает таблица. Процент ниже, т.к. таблица не всегда показывает все взаимосвязи между  величинами.