Дипломная работа на тему : " Формирование приёма аналогия при обучении математики в начальных классах"
материал на тему

ФГБОУ ВПО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет педагогического и художественного образования

Кафедра методики начального образования

УТВЕРЖДАЮ

И. о. зав. кафедрой

канд. пед. наук, доцент

__________Н. В. Кузнецова

«____»___________2013 г.

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

ФОРМИРОВАНИЕ ПРИЁМА АНАЛОГИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

Автор дипломной работы _________________________ Т. А. Шныгина

Обозначение дипломной работы  ДР-02080256-050708.65-09-13

Специальность 050708.65 «Педагогика и методика начального образования» с дополнительной специальностью 050303.65 «Иностранный язык»

Руководитель работы

канд. пед. наук, доцент _____________________ Л. А. Янкина

Нормоконтролер

канд. пед. наук, доцент _____________________ Н. В. Вершинина

Рецензент

канд. филол. наук, доцент ___________________ Е. Н. Морозова

Саранск 2013

ФГБОУВПО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет педагогического и художественного образования

Кафедра методики начального образования

УТВЕРЖДАЮ

И. о. зав. кафедрой

канд. пед. наук, доцент

__________Н. В. Кузнецова

«____»___________2012 г.

ЗАДАНИЕ НА ДИПЛОМНУЮ РАБОТУ

Студент                                 Шныгина Т. А.                         группа ПДН-208

1 Тема: Формирование приёма аналогия при обучении математики в начальных классах

Утверждена  по МордГПИ № 1229 от 08.11.2012 г.

2 Срок представления к защите: 13.05.2013 г.

3 Исходные данные для дипломной работы: психолого-педагогическая, методическая, учебная литература, учебники математики для начальной школы, контрольная работа учащихся начальных классов.

4 Содержание дипломной работы:

4.1 Введение

4.2 Теоретические основы формирования приёма аналогии при обучении математике в начальных классах

4.2.1 Формирование логических универсальных учебных действий младших школьников

4.2.2  Особенности мышления младших школьников

4.3 Методические аспекты использования приема аналогии при изучении начального курса математики

4.3.1 Использование приёма аналогия в современных программах начального обучения математике

4.3.2 Выявление уровня сформированности у младших школьников приема аналогии при изучении арифметического материала

4.3.3 Методические рекомендации по использованию приема аналогии

 4.3.3.1 Аналогия при изучении законов арифметических действии

 4.3.3.2 Аналогия при формировании понятия «задача»

 4.3.3.3 Аналогия при изучении математических понятий

4.4 Заключение

4.5 Список использованных источников

Руководитель работы

канд. пед. наук, доцент ____________________________ Л. А. Янкина

Задание принял к исполнению ______________________ Т. А. Шныгина

Реферат

Дипломная работа содержит 54 страницы, 50 использованных источников.

АНАЛОГИЯ, УЧЕБНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕЙСТВИЯ, МЫШЛЕНИЕ, АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ, ЗАДАЧА.

Объект исследования – процесс обучения математике в начальных классах.

Цель исследования − проанализировать теоретические основы и разработать методические рекомендации по использованию аналогии в начальном курсе математики.

В процессе работы использовались следующие методы исследования: изучение и анализ математической, методической, педагогической литературы, учебных программ, учебников, учебных пособий; констатирующий эксперимент по проверке задач исследования; организация наблюдения за математической деятельностью учащихся; анализ письменных работ младших школьников; анализ и обработка результатов констатирующего эксперимента.

Разработаны методические рекомендации по формированию приема аналогия у младших школьников.

Степень внедрения – частичная.

Область применения – использование методических рекомендаций в школьной практике при формировании приема аналогия  у младших школьников на уроках математики.

Эффективность – совершенствование методики преподавания математики в процессе занятий в начальной школе.

Содержание

Введение

Методы и приемы обучения младших школьников в процессе усвоения новых знаний неразрывно связаны с построением различных рассуждений. Любое рассуждение состоит из цепочки умозаключений. В математической логике выделяются основные виды умозаключений: дедуктивные, индуктивные и по аналогии. Умение строить умозаключения необходимо в ходе изучения любого предмета, однако на уроках математики формирование таких умений наиболее перспективно, что обусловлено абстрактным содержанием этого предмета. Необходимость строить умозаключения возникает на каждом этапе формирования математических понятий и представлений о них, в ходе анализа текстовых задач, при решении уравнений и т. д.

В условиях вариативности начального образования для формирования умений строить умозаключения важно учитывать основные концептуальные положения той или иной программы, содержание курса математики, методы обучения.

Актуальностью исследуемой проблемы является то, что знание логики повышает культуру мышления, вырабатывает навык мыслить более «грамотно», развивает критическое отношение к своим и чужим мыслям. А также чтобы научить человека сознательно применять законы и формы мышления и на основе этого логичнее мыслить и, следовательно, правильнее познавать мир.

        Проблема эффективного формирования универсальных учебных действий учащихся – одна из сложных и противоречивых проблем современной педагогической науки. С одной стороны, она отражает потребность общества, выраженную в образовательном заказе на учащихся, способных к полноценной самореализации, самостоятельному добыванию знаний и эффективному осуществлению различного рода деятельности; отражает заинтересованность ученых в нахождении путей формирования надпредметных действий школьников. С другой стороны, показывает, что современная система школьного образования с традиционной организацией учебного процесса и соответствующим методическим обеспечением не готова справиться с объективными факторами, определяющими формирование общепознавательных действий учащихся, и грамотно, на научной основе, обеспечить формирование надпредметных действий младших школьников в оценочной деятельности.

Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования выделяет такие виды универсальных учебных действий как личностные, регулятивные, познавательные и коммуникативные.

Универсальные учебные действия определяются как совокупность способов действия учащегося, обеспечивающий его способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса.

Учебный предмет «Математика» занимает ведущее место в начальном обучении. Успехи в изучении математики во многом определяют качество подготовки ребенка по другим школьным предметам. В частности на уроках математики есть возможность наиболее эффективно организовать работу по формированию и развитию познавательных, регулятивных и коммуникативных универсальных действий.

Итак, именно математика, позволяет целенаправленно формировать логические универсальные действия и открывает возможности их систематического использования в различных предметных дисциплинах.

Мышление является высшей формой человеческого познания. Мышление − это опосредованное и обобщённое отражение действительности вид умственной деятельности, заключающейся в познании сущности вещей и явлений, закономерных связей и отношений между ними. Чувственной основой мышления является восприятие, ощущения и представления. Мышление не только теснейшим образом связано с ощущением и восприятиями, но оно формируется на основе их. Мышление совершается по законам, общим для всех людей, вместе с тем в мышлении проявляются возрастные и индивидуальные особенности человека.

Объект исследования – процесс обучения математике в начальных классах.

Предмет исследования – аналогии, используемые при обучении математике в начальных классах

Цель исследования – проанализировать теоретические основы и разработать методические рекомендации по использованию аналогии в начальном курсе математики.

Задачи исследования:

1. Проанализировать психолого-педагогические основы формирования логических универсальных учебных действий младших школьников.
2. Рассмотреть особенности мышления младших школьников.
3. Проанализировать современное состояние использования приема аналогии в начальном обучении математике.
4. Выявить уровень сформированности у младших школьников приема аналогии при изучении арифметического материала.
5. Разработать методические рекомендации по использованию приема аналогии при обучении математике в начальных классах.

Гипотеза исследования: если выявить теоретические предпосылки формирования логических универсальных учебных действий (в частности приема аналогии) и на их основе разработать соответствующие рекомендации, то их внедрение будет способствовать повышению качества математических знаний младших школьников.

Методы исследования: изучение и анализ математической, методической, педагогической литературы, учебных программ, учебников, учебных пособий; констатирующий эксперимент по проверке задач исследования; организация наблюдения за математической деятельностью учащихся; анализ письменных работ младших школьников; анализ и обработка результатов констатирующего эксперимента.

        Структура исследования: работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.

1 Теоретические основы формирования приёма аналогии

при обучении математике в начальных классах

1. 1.1 Формирование логических универсальных учебных действий младших школьников

Информация обладает исключительной важностью для всего мира. Современные люди желают управлять своей жизнью с помощью знаний, властвовать разумом.

Наши дети – это люди нового поколения, нового информационного общества. В современном мире актуально получение информации разными способами, из разных источников, умение осмыслить, переработать, освоить её. Поэтому возникает необходимость научить детей компетентностному подходу к решению данной проблемы.

Обучение по своей природе и по особенностям его организации процесс достаточно сложный. С одной стороны, он предполагает вооружение учащихся суммой действенных знаний, то есть знаний, легко и сознательно применяемых в любой ситуации. Параллельно с этим и во взаимосвязи с ним идет другой, не менее важный, процесс формирования приемов учебного труда, определенных умений, дающих возможность учащимся усваивать знания легко и, более того, приобретать их самостоятельно. Фонд действенных знаний – это материал для формирования учебных умений; вместе с тем сформированные умения дают возможность пополнять этот фонд новыми знаниями.

Существует две категории учебных умений: общие и специальные. Речь пойдет об общеучебных умениях и навыках, которыми должен овладеть в ходе обучения любой учащийся.

Универсальные учебные действия – это универсальные для многих школьных предметов способы получения и применения знаний, в отличие от предметных умений, которые являются специфическими для той или иной учебной дисциплины.

Общеучебные умения и навыки− это такие умения и навыки, которым соответствуют действия, формируемые в процессе обучения многим предметам, и которые становятся операциями для выполнения действий, используемых во многих предметах и в повседневной жизни [13, с. 23].

Процесс обучения не может быть успешным без вооружения учащихся системой умений и навыков учебного труда – от умений читать и писать до самостоятельного планирования работы; осуществлять самоконтроль за её выполнением и вносить последующие коррективы. Уровень обучаемости детей, темпы переработки и усвоения ими научной и технической информации и в конечном итоге качества знаний учащихся находятся в зависимости от уровня сформированности этих умений.

В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, то есть способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта. В более узком (собственно психологическом) значении этот термин можно определить как совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих самостоятельное усвоение новых знаний, формирование умений, включая организацию этого процесса [7, с. 27].

Способность учащегося самостоятельно успешно усваивать новые знания, формировать умения и компетентности, включая самостоятельную организацию этого процесса, то есть умение учиться, обеспечивается тем, что универсальные учебные действия как обобщенные действия открывают учащимся возможность широкой ориентации как в различных предметных областях, так и в строении самой учебной деятельности, включающей осознание ее целевой направленности, ценностно-смысловых и операциональных характеристик. Таким образом, достижение умения учиться предполагает полноценное освоение школьниками всех компонентов учебной деятельности, включая:

1) познавательные и учебные мотивы;

2) учебную цель;

3) учебную задачу;

4) учебные действия и операции (ориентировка, преобразование материала, контроль и оценка) [32, с. 99].

Умение учиться − существенный фактор повышения эффективности освоения учащимися предметных знаний, формирования умений и компетенций, образа мира и ценностно-смысловых оснований личностного морального выбора.

Функции универсальных учебных действий:

        − обеспечение возможностей учащегося самостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности;

        − создание условий для гармоничного развития личности и ее самореализации на основе готовности к непрерывному образованию; обеспечение успешного усвоения знаний, формирования умений, навыков и компетентностей в любой предметной области [17, с. 35].

Универсальный характер учебных действий проявляется в том, что они носят надпредметный, метапредметный характер; обеспечивают целостность общекультурного, личностного и познавательного развития и саморазвития личности; обеспечивают преемственность всех ступеней образовательного процесса; лежат в основе организации и регуляции любой деятельности учащегося независимо от ее специально-предметного содержания. Универсальные учебные действия обеспечивают этапы усвоения учебного содержания и формирования психологических способностей учащегося.

Реализация деятельностного подхода в образовании осуществляется в ходе решения следующих задач:

        − определение основных результатов обучения и воспитания в зависимости от сформированности личностных качеств и универсальных учебных действий;

        − построение содержания учебных предметов и образования в целом с ориентацией на сущностные знания в соответствующих предметных областях;

        − определение функций, содержания и структуры универсальных учебных действий для каждого возраста, ступени образования;

        − выделение возрастно-специфической формы и качественных показателей сформированности универсальных учебных действий в отношении познавательного и личностного развития учащихся;

        − определение круга учебных предметов, в рамках которых оптимально могут быть сформированы конкретные виды универсальных учебных действий;

        − разработка системы типовых задач для диагностики сформированности универсальных учебных действий на каждом этапе образовательного процесса;

        − разработка системы задач и организация ориентировки учащихся в их решении, обеспечивающем формирование универсальных учебных действий.

В составе основных видов универсальных учебных действий, соответствующих ключевым целям общего образования, можно выделить четыре блока:

1. 1) личностный;
2. 2) регулятивный (включающий также действия саморегуляции);
3. 3) познавательный;
4. 4) коммуникативный.

В начальной школе предмет «Математика» является основой развития у учащихся логических универсальных учебных действий. Для успешного обучения в начальной школе должны быть сформированы следующие познавательные универсальные учебные действия: общеучебные, логические, действия постановки и решения проблем.

        К общеучебным универсальным действиям относятся:

        − самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

        − поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

        − структурирование знаний;

        − осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;        

        − выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

        − рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

        − определение основной и второстепенной информации; свободная ориентация и восприятие текстов художественного, научного, публицистического и официально-делового стилей;

        − понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;

        − постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.

        Важно отметить такое общеучебное универсальное учебное действие как рефлексия. Рефлексия учащимися своих действий предполагает осознание ими всех компонентов учебной деятельности. Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:

        − моделирование

        – преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графическая или знаково-символическая);

        − преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Логическими универсальными действиями являются:

        − анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

        − синтез – составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;

        − выбор оснований и критериев для сравнения, классификации объектов;

        − подведение под понятие, выведение следствий;

        − установление причинно-следственных связей, представление цепочек объектов и явлений;

        − построение логической цепочки рассуждений, анализ истинности утверждений;

        − доказательство;

        − выдвижение гипотез и их обоснование [7].

        Анализ − это процесс разложения на составные части одного целого объекта или явления с целью его более подробного и тщательного изучения, а также выявления его природы и закономерностей; данный процесс является одним из самых эффективных среди других инструментов изучения определённого объекта или явления.

        Синтез – соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое систему, которое осуществляется как в практической деятельности, так и в процессе познания. В этом значении термин синтез  противопоставляется анализу, с которым он неразрывно связан. Синтез и анализ дополняют друг друга, каждый из них осуществляется с помощью и посредством другого. Анализ и синтез лежат не только в основе всех видов человеческой деятельности, но в своих элементарных формах – в основе поведения высших животных. Синтез, как мыслительная операция, производен от предметного соединения частей объектов в целое и исторически формируется в процессе общественно-производственной деятельности людей.

        Обобщение – логическая операция конструирования нового понятия с большим объёмом, чем данное (то есть переход от видового к родовому понятию). Обобщение происходит путём отбрасывания из содержания понятия основных признаков понятия до тех пор, пока не получится предельно широкое понятие , называемое категорией (время, пространство, форма, количество, отношение), или к неопределённому понятию, описываемому через категории.

        Сравнение − операция сопоставления предметов с целью выявления их возможных отношений, способ выявления единства и разнообразия вещей.

        Сериация − упорядочение предметов по некоему признаку - размеру, цвету и прочее.  

        Классификация – процесс группировки объектов исследования или наблюдения в соответствии с их общими признаками. В результате разработанной классификации создаётся классифицированная система (часто называемая так же, как и процесс – классификацией).

        Аналогия − сходство предметов (явлений, процессов и т. д.) в каких-либо свойствах. При умозаключении по аналогия (сходство) знание, полученное из рассмотрения какого-либо объекта («модели»), переносится на другой, менее изученный (менее доступный для исследования, менее наглядный и т. п.) в каком-либо смысле, объект. По отношению к конкретным объектам заключения, получаемые по аналогия (сходство), носят, вообще говоря, лишь вероятный характер; они являются одним из источников научных гипотез, индуктивных рассуждений и играют важную роль в научных открытиях. Если же выводы по аналогия (сходство) относятся к абстрактным объектам, то они при определённых условиях (в частности, при установлении между ними отношений изоморфизма или гомоморфизма) могут давать и достоверные заключения [35].

        Учебный предмет «Математика» имеет большие потенциальные возможности для формирования всех видов учебных универсальных действий: личностных, познавательных, коммуникативных и регулятивных. Реализация этих возможностей на этапе начального математического образования зависит от способов организации учебной деятельности младших школьников, которые учитывают потребности детей в познании окружающего мира и научные данные о центральных психологических новообразованиях младшего школьного возраста, формируемых на данной ступени (6,5-11 лет): словесно-логическое мышление, произвольная смысловая память, произвольное внимание, планирование и умение действовать во внутреннем плане, знаково-символическое мышление, с опорой на наглядно - образное и предметно - действенное мышление.

        В курсе «Математика» реализация этих возможностей обеспечивается системно-деятельностным подходом и методической концепцией курса, которая выражает необходимость систематической работы над развитием мышления всех учащихся в процессе усвоения предметного содержания.

        Основным средством формирования универсальных учебных действий в курсе математики являются вариативные по формулировке учебные задания (объясни, проверь, оцени, выбери, сравни, найди закономерность, верно ли утверждение, догадайся, наблюдай, сделай вывод и т. д.), которые нацеливают обучающихся на выполнение различных видов деятельности, формируя тем самым умение действовать в соответствии с поставленной целью.

        Вариативность учебных заданий, опора на опыт ребёнка, включение в процесс обучения математике содержательных игровых ситуаций для овладения учащимися универсальными и предметными способами действий, коллективное обсуждение результатов самостоятельно выполненных учениками заданий оказывает положительное влияние на развитие познавательных интересов учащихся и способствует формированию у учащихся положительного отношения к школе (к процессу познания).

        Вариативные учебные задания, представленные в каждой теме учебников целенаправленно формируют у детей весь комплекс универсальных учебных действий, который следует рассматривать как целостную систему, так как происхождение и развитие каждого действия определяется его отношением с другими видами учебных действий, что и составляет сущность понятия «умение учиться».

        Постановка и решение проблемы:

        − формулирование проблемы;

        − самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

        Следует помнить, что при формировании логических универсальных учебных действий необходимо обращать внимание на установление связей между вводимыми учителем понятиями и прошлым опытом детей, в этом случае ученику легче увидеть, воспринять и осмыслить учебный материал. Предполагается, что результатом формирования логических универсальных учебных действий будут являться умения:

        − произвольно и осознанно владеть общим приемом решения задач;

        − осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий;

        − использовать знаково-символические средства, в том числе модели и схемы для решения учебных задач;

        − ориентироваться на разнообразие способов решения задач;

        − учиться основам смыслового чтения художественных и логических текстов; уметь выделять существенную информацию из текстов разных видов;

        − уметь осуществлять анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков

        − уметь осуществлять синтез как составление целого из частей;

        − уметь осуществлять сравнение и классификацию по заданным критериям;

        − уметь устанавливать причинно-следственные связи;

        − уметь строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его строении, свойствах и связях;

        − уметь устанавливать аналогии;

        − владеть общим приемом решения учебных задач;

        − осуществлять расширенный поиск информации с использованием ресурсов библиотеки, образовательного пространства родного края (малой родины);

        − создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач;

        − уметь осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения образовательных задач в зависимости от конкретных условий;

        Конкретизируем содержание логических универсальных учебных действий, которые формируются на уроках математики:

        − осознание, что такое свойства предмета – общие, различные, существенные, несущественные, необходимые, достаточные;

        − моделирование;

        − использование знаково-символической записи математического понятия;

        − овладение приёмами анализа и синтеза объекта и его свойств;        

        − использование индуктивного умозаключения;

        − выведение следствий из определения понятия;

        − умение приводить контрпримеры.

        Одно из важнейших логических универсальных действий:

        − умение решать проблемы или задачи [34].

        Усвоение общего приёма решения задач в начальной школе базируется на сформированности логических операций – умении анализировать объект, осуществлять сравнение, выделять общее и различное, осуществлять классификацию, логическую мультипликацию (логическое умножение), устанавливать аналогии. В силу сложного системного характера общего приема решения задач данное универсальное учебное действие может рассматриваться как модельное для системы логических действий. Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями.

1.2 Особенности мышления младших школьников

        Современный уровень развития общества и соответственно сведения, почерпнутые из различных источников информации, вызывают потребность уже у младших школьников вскрыть причины и сущность явлений, объяснить их, то есть отвлеченно мыслить.

Мышление – это опосредованное и обобщённое отражение действительности, вид умственной деятельности, заключающейся в познании сущности вещей и явлений, закономерных связей и отношений между ними [12 , с. 23].

 Вопрос об умственных возможностях младшего школьника в разное время решался по-разному. В результате ряда исследований выяснилось, что умственные возможности ребенка шире, чем предполагалось ранее, и при создании условий, то есть при специальной методической организации обучения, младший школьник может усваивать абстрактный теоретический материал.

Дети обычно лучше оперируют понятиями, нежели дают их определение, потому что первично ребенок овладевает понятиями не терминологически, а в конкретных мыслительных операциях, применяя их в различных контекстах. Тем не менее, даже метод определений обнаруживает большой качественный сдвиг в мышлении школьника по сравнению с дошкольником. Основная линия развития мышления проявляется в том, что определения, то есть раскрытие содержания понятия, все более высвобождаются от обусловленности субъектом и от связанности непосредственной ситуацией; определения понятий становятся все более объективными и опосредованными.

Первая особенность мышления – его опосредованный характер. То, что человек не может познать прямо, непосредственно, он познаёт косвенно, опосредованно: одни свойства через другие, неизвестное – через известное. Мышление всегда опирается на данные чувственного опыта – ощущения, восприятия, представления – и на ранее приобретённые теоретические знания. Косвенное познание и есть познание опосредованное.

Вторая особенность мышления – его обобщённость. Обобщение как познание общего и существенного в объектах действительности возможно потому, что все свойства этих объектов связаны друг с другом. Общее существует и проявляется лишь в отдельном, в конкретном.

Мыслительные операции разнообразны. Это – анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, конкретизация, обобщение, классификация, аналогия. Какие из логических операций применит человек, это будет зависеть от задачи и от характера информации, которую он подвергает мыслительной переработке.

В психологической науке различают такие формы мышления, как:

        – понятия;

        – суждения;

        – умозаключения [25, с. 211].

Понятие – это отражение в сознании человека общих и существенных свойств предмета или явления. Понятие – это форма мышления, в которой отражаются общие и притом существенные свойства предметов и явлений. Каждый предмет, каждое явление имеют много различных свойств, признаков. Эти свойства, признаки можно разделить на две категории – существенные и несущественные.

Содержание понятий раскрывается в суждениях, которые всегда выражаются в словесной форме – устной или письменной, вслух или про себя. Суждение – основная форма мышления, в процессе которой утверждаются или отрицаются связи между предметами и явлениями действительности. Суждение – это отражение связей между предметами и явлениями действительности или между их свойствами и признаками. Суждение – это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств.

Суждения образуются двумя основными способами [26]: 

        – непосредственно, когда в них выражают то, что воспринимается;

        – опосредствованно – путем умозаключений или рассуждений.

Суждения могут быть: истинными; ложными; общими; частными; единичными.

Истинные суждения – это объективно верные суждения. Ложные суждения – это суждения не соответствующие объективной реальности. Суждения бывают общими, частными и единичными. В общих суждениях что-либо утверждается (или отрицается) относительно всех предметов данной группы, данного класса. В частных суждениях утверждение или отрицание относится уже не ко всем, а лишь к некоторым предметам.

Умозаключение – это выведение из одного или нескольких суждений нового суждения. Умозаключение – такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение.

Исходные суждения, из которых выводится, извлекается другое суждение, называют посылками умозаключения. Простейшей и типичной формой вывода на основе частной и общей посылок является силлогизм.

Различают умозаключение: индуктивное; дедуктивное; по аналогии.
Под аналогией понимается особый вид умозаключения (рассуждения), когда от сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта [41].

Формируя у школьников умение выполнять умозаключения по аналогии, необходимо иметь в виду следующее:

а) аналогия основывается на сравнении;

б) для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен учащимся, а второй сравнивается с ним по каким-либо признакам;

в) для ориентации учащихся на использование аналогии необходимо в доступной для них форме разъяснить сущность последней, обратив внимание на то, что в математике нередко новый способ вычислений, преобразований можно открыть по догадке, внимательно изучив известный способ деятельности и данное новое задание;

г) для правильного вывода по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации, на что необходимо сориентировать учащихся.

        А то вывод может быть неверным.

        Задание: Как разделить 27: 4 = ? и 89 : 10 = ?

        (Нашли в делимом наибольшее число, которое делится на 10 без остатка).

        − Объясни, как разделить:

148:10=14 (ост.8)

356:10=35 (ост.6)

1425:10=142 (ост.5)

24876:10=2487 (ост.6)

        Сравните частное с остатком и делимое.

        Вывод делают учащиеся: при делении любого числа на 10 частное показывает, сколько всего десятков в этом числе, а цифра единиц данного числа обозначает остаток.

Вывод закрепляется:

 237 : …= 23 (ост.7)

4768 : …= 476 (ост.8)

        Решение новой проблемы: 4768 : …= 47 (ост.68) требует от учащихся умозаключения по аналогии.

Делитель – 100, потому что частное обозначает число сотен в числе 4768, а остаток записан всеми другими числами этого числа.

        Аналогия на этом уроке используется еще раз при отыскании приема деления на 1000.

        В течении всей работы учащиеся вовлекаются в творческую работу, в ходе решения у учащихся формировались мыслительные операции (анализ, сравнение, обобщение) и приемы умственной деятельности (наблюдение, аналогия).

        В обучении математике аналогия может быть использована при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними.

Аналогия свойств. В этом случае использование аналогии позволяет вскрывать некоторые новые свойства изучаемых объектов.

        Например, в классе единиц – 3 разряда, в классе тысяч – 3 разряда, а в классе миллионов − ?

        Это и будет выводом по аналогии, в котором фиксируется определенное свойство вновь изучаемого объекта.

        Аналогия отношений. Задание: сравнить 4*(3+7)  и  4*3+4*6.

Применяя знание смысла умножения, устанавливаем что

4*(3+7) > 4*3+4*6

Сравниваем левую и правую части. Подмечаем, что 4 умножаем не на 7, а на 6.

Теперь возьмем выражение 3*(8+9) и 3*8+3*7.

По аналогии высказываем догадку, что 3*(8+9) > 3*8+3*7

Проверка высказывания может быть проведена либо путем вычислений, либо путем рассуждений.

        Аналогия действий. Здесь аналогия выражена в выводе о способе действия на основании изучения сравниваемого объекта.

        Чтобы сделать вывод о способе умножения многозначного числа на однозначное, надо вспомнить, как умножить двузначное на однозначное:

27*3                    712*2                    6288*3

        Аналогия в деятельности учащихся может стать приемом, который будет помогать им открывать новые знания, способы деятельности.

        Аналогия – средство активизации учебно-воспитательной деятельности.

Под аналогией так же понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии того же признака у другого объекта [28].

Приведем пример рассуждения по аналогии на материале начального курса математики.

При обучении делению на однозначное число используется такой прием. Сначала выясняется: чтобы найти значение выражения 12 : 4, следует узнать, на какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить делимое, тор есть 12. Известно, что 4 – 3 = 12. Значит, 12 : 4 = 3.

Затем учащимся предлагается, рассуждая так же найти, например, частное, 8 : 4. И они сначала находят число, на которое надо умножить 4, чтобы получить 8. Получают число 2 и делают вывод, что 8 : 4 = 2.

Далее, используя тот же способ рассуждений находят частные 9:3, 20 : 5 и др.

Аналогия помогает открывать новые знания, способы деятельности или использовать усвоенные способы действия в измененных условиях.

Вывод при аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Например, если при изучении классов установлено, что в классе единиц 3 разряда − единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч – тоже 3 разряда – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии. То есть аналогию можно использовать для открытия «новых» свойств изучаемых объектов.

Аналогия может быть использована для установления отношения между данными объектами,. Например, учащиеся установили, что

4·(3 + 7) > 4·3 + 4 · 6 так как 4 · (3 + 7) = 4 · 3 + 4 · 7.

Рассматривая затем выражения 3·(8 + 9) 3 · 8 + 3 · 7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3· (8 + 9) > 3 · 8 + 3 · 7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычисления.

Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа. Так после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 и 3 (27·3 = (20 + 7) · 3 = 20 · 3 + 7 · 3 = 81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии; они устанавливают, что 712 · 4=(700 + 10 + 2) ·4= 2800 + 40 + 8 = 2848. Далее по аналогии устанавливают способ умножения числа 6283 на 5. Следующим шагом может быть обобщение, то есть получение правила умножения многозначного числа на однозначное, то есть использование неполной индукции.

Таким образом, в процессе обучения младших школьников математике необходимо выполнять такие виды умозаключений, как дедуктивные, индуктивные и аналогию. При этом дедуктивные умозаключения являются достоверными, то есть в результате их выполнения получается утверждение, истинность которого не требуется доказывать или опровергать. Для выполнения дедуктивных умозаключений необходимо знать основные правила их построения, которых достаточно для эффективного изучения начального курса математики (правило заключения, правило отрицания, правило силлогизма).

Индуктивные умозаключения и аналогия не являются достоверными, то есть утверждения-обобщения, полученные в результате таких рассуждений, требуют доказательства или опровержения.

Аналогия различается на:

1. простую аналогию, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках;
2. распространенную аналогию, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.

В свою очередь, простая и распространенная аналогия может быть:

1)        строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости;

2)        нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости [45].

Аналогия является, пожалуй, одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые могут быть затем подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями.

        Таким образом, имеет смысл говорить о «полезной» и о «вредной»  аналогии. Примером «полезной аналогии» является, в частности, мысленный перенос многих понятий и суждений, относящихся к планиметрии, в геометрию трехмерного пространства. Например: «Прямоугольник аналогичен прямоугольному параллелепипеду. В самом деле, отношения между сторонами прямоугольника сходны с отношениями между гранями параллелепипеда:

Каждая сторона прямоугольника параллельна и равна одной другой стороне и перпендикулярна остальным.

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда параллельна и равна одной другой грани и перпендикулярна остальным»

Заметим, что не менее явная аналогия существует и между площадью прямоугольника и объемом прямоугольного параллелепипеда. Причем эта аналогия проявляется весьма широко, начиная от сходства формул  S = a ⋅ b и V =  a ⋅ b ⋅ c и кончая сходством в структуре вывода этих формул (распадающегося на случаи, когда измерения названных фигур выражаются натуральными, положительными рациональными и действительными числами).

В качестве примера «вредной аналогии» можно привести перенос известных законов сложения конечных сумм на бесконечные.

Вот к каким результатам можно придти, если, в частности, применить эту аналогию при нахождении суммы ряда

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … :

1. используя свойство прибавления разности, получим:

S  =  (1 –1) + (1 – 1)+(1 – 1)+ … = 0 + 0 + 0 … = 0

б) используя свойство вычитания разности, получим:

S = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) = 1 – 0 – 0 – 0 – … = 1

в) используя сочетательное свойство для алгебраической суммы, имеем:

S = 1 – (1 – 1 + 1 – … ), или S = 1 – S, откуда 2S = 1 и S = ½

Понятно, что примененная здесь аналогия является незаконной; слишком глубокое качественное различие между конечным и бесконечным в математике уменьшает число аналогичных свойств, присущих тому и другому.

По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изучаемом учебном материале.

По способам осуществления различают сравнения параллельные, последовательные отсроченные. Параллельные сравнения используются при изложении материала укрепленными блоками, когда одновременно изучаются взаимосвязанные понятия, теоремы, задачи. При последовательном сравнении новый объект сравнивается с ранее изученными. При отсроченном сравнении сравниваемые объекты значительно удалены друг от друга во времени. В установлении аналогий плоских и пространственных фактов имеют место все три типа сравнений.

Укажем схему, по которой следует проводить сравнение понятий.

1. Выделение признаков понятий.

2. Установление общих и существенных признаков.

3. Выбор одного из существенных признаков.

4. Сопоставление понятий по выбранному основанию.

        В данной главе мы рассмотрели формирование логических учебных универсальных действий младших школьников. Термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, то есть способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта. А так же в составе основных видов универсальных учебных действий, соответствующих ключевым целям общего образования, выделяют четыре блока:

        1) личностный;

        2) регулятиный (включающий также действия саморегуляции);

        3) познавательный;

        4) коммуникативный [23].

        Ещё мы рассмотрели особенности развития мышления младших школьников, в частности, такого мыслительного приема, как аналогия. При использовании аналогии совершается сложный мыслительный процесс, в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, то есть служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.

2. Методические аспекты использования приема аналогии

при изучении начального курса математики

2.1 Использование приема аналогия в современных программах

начального обучения математики

Проанализировав учебники математики И. И. Аргинской, мы выявили, что аналогия используется следующим образом.

Использование аналогии при изучении арифметического материала

1. Табличные случаи умножения и деления лежат в основе умножения и деления круглых чисел (с использованием знания разрядного состава чисел):

а) умножение и деление чисел, оканчивающихся нулями (на основе разрядного состава числа):

20 ∙ 3 = 2 д. ∙ 3 = 6д. = 60

80 : 4 = 8 д. : 4 = 2д. = 20

200 ∙ 3 = 2 с. ∙ 3 = 6 с. = 600

240 : 3 = 24 д. : 3 = 8д. = 80

б) умножение на круглое число (на основе разрядного состава числа и сочетательного свойства умножения):

15 ∙ 30 = 15 ∙ (3 ∙ 10) = (15 ∙ 3) ∙ 10 = 45 ∙ 10 = 450

в) деление на круглые числа:

240 : 30 = 240: (10 ∙ 3) = 240 : 10 : 3 = 8

2. Письменные приемы сложения, вычитания, умножения, деления начинают изучать с простых случаев:

а) сложение

 + 73              + 563             + 826             + 6123             + 4028

   65                  97               739                 879                 3796

б) вычитание

в) умножение

x 32           x 36          x  374             x 374              x5023           x 11099

    9             22                 2                 92                     4                      2

г) деление

3. Свойство прибавления числа к сумме, усвоенное для случаев:

34 + 20 = (30 + 4) + 20 = (30 + 20) + 4 = 50 + 4 = 54,

34 + 5 = (30 + 4) + 5 = 30 + (4 + 5) = 30 + 9 + 39,

может быть использовано при вычислениях вида:

37 + 25 = (30 + 7) + (20 + 5) + (30 + 20) + (7 +5) = 50 + 12 = 62

4. Умножение и деление многозначного числа на однозначное выполняется по аналогии с умножением (делением) двузначного числа на однозначное (на основе разрядного состава числа и распределительного закона умножения (деления) относительно сложения):

24 ∙ 3 = (20 + 4) ∙ 3 = 20 ∙ 3 + 4 ∙ 3 = 60 + 12 = 72

69 : 3 = (60 + 9) : 3 = 60 : 3 + 9 : 3 = 20 + 3 = 23

418 ∙ 3 = (400 + 10 + 8) ∙ 3 = 400 ∙ 3 + 10 ∙ 3 + 8 ∙ 3 = 1200 + 30 + 24 = 1254

8408 : 4 = (8 000 + 400 + 8) : 4 = 8000: 4 + 400 : 4 + 8 : 4 = 2000 + 100 + 2 = 2102

5. Умножение многозначных чисел опирается на умножение многозначного числа на однозначное (на основе разрядного состава числа и распределительного закона умножения относительно сложения):

16 ∙ 12 = 16 ∙ (10 + 2) = 16 ∙ 10 + 16 ∙ 2 = 160 + 32 = 192;

286 ∙ 374 = 286 ∙ 300 + 286 ∙ 70 + 286 ∙ 4

Здесь можно ограничиться планом решения, так как это подготовка к письменным приёмам умножения.

Использование аналогии при изучении геометрического материала

1. Сделай такой чертёж (рисунок 1).

Рисунок 1

Сколько на чертеже треугольников? Запиши.

Сколько четырёхугольников? Запиши.

Сколько всего фигур? Запиши.

2. Сравни чертежи (рисунок 2). Чем они похожи? Чем отличаются?

Рисунок 2

Сравни, какие фигуры есть на первом чертеже. А на втором?

Сколько фигур ты нашёл на каждом из них?

В чём сходство и в чём различие? От чего оно зависит?

3. Начерти треугольник и проведи в нём 2 отрезка так, чтобы на чертеже стало 5 треугольников и 1 четырёхугольник.

4. Сравни треугольники (рисунок 3). Чем они похожи?

Рисунок 3

– Каждый из этих треугольников называют прямоугольными.  Подумай, почему им дали такое название.

– Попробуй дать определение прямоугольного треугольника.

– Сравни своё определение с таким:

Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным.

Определения похожи? Если не похожи, то чем?

– Начерти разные прямоугольные треугольники.

5. В данных прямоугольных треугольниках найди прямой угол и покажи его цветом (рисунок 4).

Рисунок 4

6. Сравни треугольники (рисунок 5).

Рисунок 5

Выпиши номера треугольников, название которых ты узнал в задании 3.

– Придумай названия остальным треугольникам.

– Подумай, им подойдёт название тупоугольные? Предложи своё определение тупоугольного треугольника.

– Если ты затрудняешься, вернись к определению прямоугольного треугольника в задании 3. Чем будет отличаться новое определение?

– Начерти разные тупоугольные треугольники.

2.2 Выявление уровня сформированности у младших школьников

приема аналогии при изучении арифметического материала

В процессе обучения математике действия по аналогии осуществляются при закреплении нового материала, когда учащиеся выполняют действия, аналогичные данному образцу. Кроме того, аналогия позволяет использовать усвоенные способы деятельности в изменённых условиях, а также помогать открывать новые знания, способы деятельности.

Для использования приема аналогии необходимо:

− иметь два объекта рассмотрения, один из которых известен, другой сравнивается с ним по каким-либо признакам;

− в доступной форме разъяснить суть приема аналогии, приведя конкретный пример;

− для правильных действий по аналогии необходимо в конкретной ситуации сравнивать существенные признаки объектов.

Изучение и усвоение учащимися законов арифметических действий является неотъемлемой частью обучения математике в начальных классах. Знание конкретного смысла арифметических действий, взаимосвязи их компонентов и результатов, а также законов арифметических действий является одним из основных требований программы математики начальной школы.

Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которые требуют его применения. Смысл действий и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов и на системе соответствующих текстовых задач. На их основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, свойства действий и изучаемые математические отношения.

В курсе математики начальной школы изучаются коммутативное (переместительное) и ассоциативное (сочетательное) свойства сложения и умножения, а также дистрибутивное (распределительное) свойство умножения относительно сложения и вычитания.

Переместительное свойство умножения широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительным законом при умножении числа на произведение. Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.

При формированием у младших школьников знания свойств арифметических действий также может быть использован прием аналогии. Как сформирован этот прием, мы проверяли в ходе нашего дипломного исследования. Была проведена контрольная работа с целью выявить умение учащихся использовать прием аналогии при выполнении заданий с применением свойств арифметических действий.

Контрольная работа состояла из четырёх заданий.

1.Выполните деление, работая по образцу:  

65 · 4 = (60 +5) · 4 = 60 · 4 + 5 · 4 = 240 + 20 = 260

81· 4                    98 · 3                    72 · 6                    56 · 7

2. Вспомните, как умножить двузначное число на однозначное:

27 · 3 = (20 +7)· 3 = 20· 3 + 7· 3 = 60 + 21 = 81

По данному образцу выполните умножение трехзначного числа на однозначное:

327 · 3 =                432 · 4 =                151 · 7 =

3. Вспомните правило умножения суммы на число, правило умножения разности на число:

 при умножении суммы (а + b) на число c, нужно каждое слагаемое  умножить на это число и сложить полученные произведения: 

(а + b) · с = a · c +  b · c;

при умножении разности (а − b) на число с, нужно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого произведения вычесть второе:

(а – b) · с = a · c –  b · c

Сравните не вычисляя:

(72 + 12) · 5  *  72 · 5 + 12 · 5                          (41 – 17) · 9  *  76 · 9 – 17 · 9

(68 – 45) · 4  *  68 · 4 – 21 · 4                          (35 + 23) · 8  *  35 · 7 + 23 · 7

(29 + 83) · 3  *  29 · 3 + 83 · 2                          (94 – 36) · 7  *  94 · 7 – 36 · 7

4. Решите задачу разными способами и укажите, какое правило является обобщением этих способов решения:

На автопарковке имеется 10 рядов по 30 машин, и 10 рядов по 40 машин. Сколько всего машин может вместить автопарковка?

Образец.

Студенты посадили 5 рядов по 10 яблонь, и 5 рядов по 15 груш.  Сколько всего деревьев посадили студенты?

Решение:

1способ

10 ∙  5 +  15 ∙ 5 = 125 (д) – всего посадили студенты

2 способ

(10 + 15)  ∙ 5 = 125 (д) – всего посадили студенты

Равенство (10 + 15)  ∙ 5 = 10 ∙  5 +  15 ∙ 5 выражает распределительное свойство умножения относительно сложения.

В первом задании давался образец и требовалось выполнить задание в точности по образцу. Проанализировав результаты можно сказать, что у детей не возникло трудностей при выполнении данного задания. Ребята хорошо работают с образцом.

Во втором задании детям даётся образец, в котором нужно умножить двузначное число на однозначное. И предлагается выполнить задание аналогичное образцу, но только умножение идёт трёхзначного числа на однозначное. Из результатов можно увидеть, что большинство детей справились с этим заданием и лишь несколько ребят затруднились, это говорит о том, что ученики легко могут пользоваться методом аналогии.

В третьем задании детям предлагается вспомнить правило умножения суммы на число и правило умножения разности на число. А затем сравнить выражения не вычисляя. С этим заданием трудностей не возникло, так как дети хорошо знают правила и легко могут применить их на практике.

Четвёртое задание предполагало решить задачу разными способами и указать, какое правило является обобщением этих способов решения. Также была дана подобная задача и способ её решения. Большинство детей задание выполнили верно, но у некоторых из них  возникли затруднения. Поэтому для того чтобы школьники могли лучше усвоить свойства арифметических действий при решении задач, целесообразно проводить дополнительную работу над подобным видом заданий.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что у большинства детей класса сформировано умение выполнять задания на законы арифметических действий с использованием аналогии.        

С целью формирования у младших школьников приема аналогии можно предложить следующие задания:

– предлагать образец и требовать выполнения задания в точности по образцу;

– предлагать задания, в котором даётся образец и требуется выполнить задание по аналогии с образцом, но в измененных условиях;

– предлагать задания, не требующие вычислений;

– составлять задачу, аналогичную данной;

– проводить рассуждение при решении задачи по аналогии с решением сходной задачи.

2.3 Методические рекомендации по использованию приема аналогии

2.3.1 Аналогия при изучении законов арифметических действий

Изучение и усвоение учащимися законов арифметических действий является неотъемлемой частью обучения математике в начальных классах. Знание конкретного смысла арифметических действий, взаимосвязи их компонентов и результатов, а также законов арифметических действий является одним из основных требований программы математики начальной школы.

Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которые требуют его применения. Смысл действий и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов и на системе соответствующих текстовых задач. На их основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, свойства действий и изучаемые математические отношения.

В курсе математики начальной школы изучаются коммутативное (переместительное) и ассоциативное (сочетательное) свойства сложения и умножения, а также дистрибутивное (распределительное) свойство умножения относительно сложения и вычитания.

Переместительное свойство умножения широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительным законом при умножении числа на произведение. Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.

При формированием у младших школьников знания свойств арифметических действий также может быть использован прием аналогии. Как сформирован этот прием, мы проверяли в ходе нашего дипломного исследования. Была проведена контрольная работа с целью выявить умение учащихся использовать прием аналогии при выполнении заданий с применением свойств арифметических действий.

Контрольная работа состояла из четырёх заданий.

1.Выполните деление, работая по образцу:  

65 · 4 = (60 +5) · 4 = 60 · 4 + 5 · 4 = 240 + 20 = 260

81· 4                    98 · 3                    72 · 6                    56 · 7

2. Вспомните, как умножить двузначное число на однозначное:

27 · 3 = (20 +7)· 3 = 20· 3 + 7· 3 = 60 + 21 = 81

По данному образцу выполните умножение трехзначного числа на однозначное:

327 · 3 =                432 · 4 =                151 · 7 =

3. Вспомните правило умножения суммы на число, правило умножения разности на число:

 при умножении суммы (а + b) на число c, нужно каждое слагаемое  умножить на это число и сложить полученные произведения: 

(а + b) · с = a · c +  b · c

При умножении разности (а − b) на число с, нужно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого произведения вычесть второе:

(а – b) · с = a · c –  b · c

Сравните не вычисляя:

(72 + 12) · 5  *  72 · 5 + 12 · 5                          (41 – 17) · 9  *  76 · 9 – 17 · 9

(68 – 45) · 4  *  68 · 4 – 21 · 4                          (35 + 23) · 8  *  35 · 7 + 23 · 7

(29 + 83) · 3  *  29 · 3 + 83 · 2                          (94 – 36) · 7  *  94 · 7 – 36 · 7

4. Решите задачу разными способами и укажите, какое правило является обобщением этих способов решения:

На автопарковке имеется 10 рядов по 30 машин, и 10 рядов по 40 машин. Сколько всего машин может вместить автопарковка?

Образец.

Студенты посадили 5 рядов по 10 яблонь, и 5 рядов по 15 груш.  Сколько всего деревьев посадили студенты?

Решение:

1способ

10 ∙  5 +  15 ∙ 5 = 125 (д) – всего посадили студенты

2 способ

(10 + 15)  ∙ 5 = 125 (д) – всего посадили студенты

Равенство (10 + 15)  ∙ 5 = 10 ∙  5 +  15 ∙ 5 выражает распределительное свойство умножения относительно сложения.

В первом задании давался образец и требовалось выполнить задание в точности по образцу. Проанализировав результаты можно сказать, что у детей не возникло трудностей при выполнении данного задания. Ребята хорошо работают с образцом.

Во втором задании детям даётся образец, в котором нужно умножить двузначное число на однозначное. И предлагается выполнить задание аналогичное образцу, но только умножение идёт трёхзначного числа на однозначное. Из результатов можно увидеть, что большинство детей справились с этим заданием и лишь несколько ребят затруднились, это говорит о том, что ученики легко могут пользоваться методом аналогии.

В третьем задании детям предлагается вспомнить правило умножения суммы на число и правило умножения разности на число. А затем сравнить выражения не вычисляя. С этим заданием трудностей не возникло, так как дети хорошо знают правила и легко могут применить их на практике.

Четвёртое задание предполагало решить задачу разными способами и указать, какое правило является обобщением этих способов решения. Также была дана подобная задача и способ её решения. Большинство детей задание выполнили верно, но у некоторых из них  возникли затруднения. Поэтому для того чтобы школьники могли лучше усвоить свойства арифметических действий при решении задач, целесообразно проводить дополнительную работу над подобным видом заданий.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что у большинства детей класса сформировано умение выполнять задания на законы арифметических действий с использованием аналогии.        

С целью формирования у младших школьников приема аналогии можно предложить следующие задания:

– предлагать образец и требовать выполнения задания в точности по образцу;

– предлагать задания, в котором даётся образец и требуется выполнить задание по аналогии с образцом, но в измененных условиях;

– предлагать задания, не требующие вычислений;

– составлять задачу, аналогичную данной;

– проводить рассуждение при решении задачи по аналогии с решением сходной задачи.

2.3.2 Аналогия при формировании понятия «задача»

Задача – это проблемная ситуация с явно заданной целью, которую необходимо достичь [37, с. 115]. Задачи, рассматриваемые в начальной школе, называют арифметическими, сюжетными, текстовыми. Текстовая задача – описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения [40, с. 58]. В структуру «задача» входят три основных элемента: условие, вопрос, теория.

Условие формулируется в виде утверждения и представляет собой количественную и качественную характеристику объектов задачи и отношений между ними. В задаче обычно не одно, а несколько условий. Кроме того, условия содержат слова разной значимости: ключевые слова, а также предназначенные для «украшения» текста (создают его занимательность, оригинальность), для связки других слов. Нужно научить различать эти виды слов в условии, понимать их назначение. Главным же является процесс нахождения и использования ключевых слов, так как именно они позволяют ограничивать теорию и выделять только необходимую её часть. С этими словами нужно быть особенно «аккуратными», понимать их смысловое значение, ни в коем случае не терять, иначе задача делается нерешаемой. Например: У Миши на носу 4 веснушки, а у Маши – 3. Сколько веснушек у детей?

Слова «Миша», «Маша» не являются ключевыми (неважно, кто, их можно заменить любыми другими, они никакого влияния не оказывают).

Слова «веснушки» – очень важные, так как они содержат информацию. Упустив эти слова, мы не сможем решить задачу. Это объекты задачи.

«У Миши на носу 4 веснушки» – ключевые слова, указывающие на количество веснушек у мальчика.

«а у Маши – 3» – ключевые слова, указывающие на количество веснушек у девочки. Теперь надо сопоставить вопрос задачи с условием и найти ответ.

Вопрос (требование) задачи состоит из вопросительного слова и объекта поиска (иногда в вопросе можно обнаружить часть условия). Каждое вопросительное слово имеет своё значение и задаёт направление поиска. Например, «куда?» – указывает на время, «где?» – на место, «сколько?» – на количество, «почему?» – на причину.

Если ученики отвечают на вопросы «невпопад» – это значит, что они не понимают значения вопросительных слов, и необходимо спланировать работу по освоению их значения. Объект в вопросе указывает на теоретическое основание или вывод на теорию.

Вопрос нашей задачи «Сколько веснушек у детей?» выводит на теоретическое понятие «количество».

Теория состоит из понятий, между которыми построены причинно-следственные связи. Конкретные объекты отсутствуют. Каждому учителю надо помнить о значении теории, так как без неё невозможно решить ни одной задачи. Выбор правильной теории – огромное дело при разборе (анализе) задачи, но этого недостаточно, потому что теория может быть очень объёмной, содержать множество блоков, но не все они нужны для решения задачи.

В учебниках математики для начальной школы формирование понятия «задача» происходит так.  Детям предлагается прочитать два текста и затем ответить на вопросы.

- Сравни тексты. Чем эти тексты похожи? Чем отличаются?

- Какой текст вы считаете задачей? Почему?

- Какое действие поможет ответить на вопрос задания?

- Что тебе подсказало действие для решения задачи?

- Ты знаешь, каким действием нужно решить эту задачу?

- Раздели задачу на 2 части.

- Сделай к задаче рисунок и реши её.

- Придумай и запиши другую задачу к тому же рисунку.

- Найди и прочитай ту часть задачи, которая рассказывает, что в ней известно.

- Прочти вторую часть задачи, о чём она тебе сообщила?

- Прочитай текст и докажи что это задача.

- Назови данные числа. В какой части задачи ты их отыскал?

Очень полезно показывать учащимся, как создаются задачи, так как этот процесс способствует осознанному представлению о структуре задачи, а также развитию математических способностей и мышления младших школьников.

При работе над составлением задач можно использовать следующие задания:

1. Задачи с отсутствующим  вопросом. В этих задачах не формулируется вопрос, но этот вопрос логически вытекает из данных в задаче математических отношений. Задача решается после того, как сформулирруется вопрос (иногда в задаче можно поставить несколько вопросов).

Например, «На протяжении 155 м уложено 25 труб длиной 5 м и 8 м». (Сколько уложено тех и других труб?)

2)        Задачи с недостающими данными. В задачах этого типа отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. Школьник должен проанализировать задачу и доказать, почему нельзя дать точного ответа на вопрос задачи, чего не хватает, что нужно добавить.

Например, «Банка с мёдом весит 500 г. Такая же банка с керосином – 350 г. Сколько весит пустая банка?» (нужно знать отношение веса мёда и керосина).

3)        Задачи с излишними данными. В эти задачи введены ненужные данные. Ученики должны выделить те данные, которые необходимы, для решения, и указать на лишние, ненужные.

Например, «Четыре гири разного веса весят вместе 40 кг. Определите вес самой тяжёлой гири, если известно, что каждая из них втрое тяжелее другой, более лёгкой, и что самая лёгкая весит в 12 раз меньше, чем весят вместе две средних». (Лишним является последнее условие).

4)        Составление новых задач с теми же числовыми данными или с тем же сюжетом, но другими числовыми данными. Ставится задание поменять сюжет задачи, оставляя при этом те же числа. Либо заменить числа в данной задаче, не меняя сюжета. Здесь может существенным оказаться возможность выполнения того или иного арифметического действия. Кроме того, от сюжета (от объектов, присутствующих в задаче) зависит выбор чисел. Например, самолет не может лететь со скоростью 60 км/ч.

5)        Составление задач, обратных данной.

6)        Составление задач с тем же условием, но другим вопросом.

Освоение понятия задачи требует целенаправленной работы учителя. Задачи в любом предмете, изучаемом в школе, имеют аналогичную структуру, поэтому работа по формированию понятия «задача» продолжается и при изучении других предметов. Процесс формирования понятия «задача» очень важен, так как освоение отдельных этапов его понимания помогает в дальнейшем успешно решать любые задачи, способствует формированию у школьника умения учиться.

2.3.3 Аналогия при изучении математических понятий

Одной из характерных черт математики является ее связь с другими изучаемыми предметами, с жизнью. Задачи с межпредметным содержанием или прикладного характера помогают лучше раскрыть каждую тему, способствуют непроизвольному запоминанию, развивают интерес учащихся не только к предметам, но и самому процессу познания, повышают качество их знаний и умение их добывать. Связь математики с русским языком и литературой, с иностранным языком, историей и географией естественна. Математические термины точны и выразительны, наиболее близко передают смысл сказанного. Значение этих терминов чаще всего связано с их возникновением. Поэтому при изучении математических терминов целесообразно рассматривать их происхождение, а также значение в других областях человеческой деятельности. Это позволит повысить интерес к происхождению математических понятий, следовательно, и к математике, и к другим предметам, показать связь их с жизнью, с другими предметами.

Ниже представлены примеры некоторых понятий, изучаемых в начальном курсе математики, дополнительные сведения о которых можно использовать на уроках в начальной школе (таблица 1).

Таблица 1

Аналогия при изучении математических понятий

Продолжение таблицы 1

Продолжение таблицы 1

Продолжение таблицы 1

Кроме того, для того, чтобы детям было интереснее изучать предмет, им можно предложить изучение материала в виде игры. Вот один из вариантов.

Подготавливаются карточки двух видов. На одних карточках написаны математические термины. Например: овал, круг, цилиндр, угол, шар, куб, площадь.

 На других – перевод этих слов с латинского или греческого языков с изображением соответствующего объекта. Например:

На обратной стороне этих карточек можно написать историю происхождения и развития этих терминов, интересные сведения из опыта их использования. Это позволит повысить интерес, расширить кругозор детей, повысить мотивацию учения.

Таким образом, прием аналогии можно использовать при изучении различных математических понятий, законов, формировании общеучебных умений.

Заключение

В процессе исследования в соответствии с поставленной целью и задачами получены следующие основные выводы и результаты:

        1. На основе проведённого анализа математической и логической литературы обоснована необходимость применения основных видов умозаключений – дедуктивные, индуктивные и по аналогии. При этом отмечено, что индуктивные умозаключения и умозаключения по аналогии носят недостоверный, а гипотетический характер, потому требуют доказательства.

        2. Аналогия в начальном курсе математики занимает большое место. Обнаружение сходства или различия между предметами поднимает наше мышление на более высокую степень. Учащийся учится умению делать предположения, умению познавать неизвестное, овладевает навыками логического исследования предметов и явлений окружающей действительности.

        3. Проведён анализ учебников математики по системе Л. В. Занкова и образовательной системе Д. Б. Эльконина - В. В. Давыдова. Анализ учебников позволяет сделать вывод, что прием рассуждений по аналогии достаточно широко используется в той и другой образовательной системе.

        4. Проведена контрольная работа в 3 классе. Анализ результатов  контрольной работы позволяет сделать вывод, что большая часть класса хорошо владеют приёмом аналогия, а у некоторых детей использование данного приёма вызывает затруднение.

        5. Разработаны методические рекомендации по использованию приема аналогии при обучении математике в начальных классах. Они представляют собой набор дидактических материалов для использования аналогии при изучении законов арифметических действий, при формировании понятия «задача», при изучении различных математических понятий.

Список использованных источников

1. Александрова, Э. И. Математика. 2 кл. : учеб. : В 2 ч. Ч. 1 : учебник / Э. И. Александрова. – М. : Дрофа, 2005. – 164 с.
2. Александрова, Э. И. Математика. 2 кл. : учеб. : В 2 ч. Ч. 2 : учебник / Э. И. Александрова. – М. : Дрофа, 2006. – 67 с.
3. Александрова, Э. И. Математика. 3 кл. : учеб. : В 2 ч. Ч. 2 : учебник / Э. И. Александрова. – М. : Дрофа, 2005. – 123 с.
4. Александрова, Э. И. Математика. 4 кл. : учеб. : В 2 ч. Ч. 1 : учебник / Э. И. Александрова. – М. : Дрофа, 2006. – 160 с.
5. Александрова, Э. И. Математика. 4 кл. : учеб. : В 2 ч. Ч. 2 : учебник / Э. И. Александрова. – М. : Дрофа, 2006. – 175 с.
6. Александрова, Э. И. Особенности формирования навыков при обучении математике по системе Д. Б. Эльконина / Э. И. Александрова // Начальная школа. – 2005. – № 3. – С. 38-42.
7. Алексеева, Л. Л. Планируемые результаты начального общего образования / Л. Л. Алексеева, С. В. Анащенкова, М. З. Биболетова. – М. : Просвещение, 2009. – 120 с.
8. Аргинская, И. И. Учебник для 1-го класса четырехлетней (трехлет.) нач. шк. – Самара : Корпорация «Федоров», 2000. – 160 с.  
9. Аргинская, И. И. Математика : учебник для 2-го класса четырёхлетней начальной школы / И. И. Аргинская, Е. И. Ивановская. – Самара : Корпорация «Фёдоров» ; Издательство «Учебная литература», 2002. – 176 с.
10. Аргинская, И. И. Математика : учебник для 2-го класса четырёхлетней начальной школы / И. И. Аргинская, Е. И. Ивановская. – Самара : Корпорация «Фёдоров» ; Издательство «Учебная литература», 2002. – 192 с.
11. Аргинская, И. И. Математика. 3 кл. : учебник / И. И. Аргинская, Е. И. Ивановская. – Самара : Издательский дом «Фёдоров», 2002. – 192 с.
12. Аргинская, И. И. Структура и особенности урока математики в системе Л. В. Занкова / И. И. Аргинская // Начальная школа. – 2004. – № 3. – С. 21-24.
13. Асмолов, А. Г. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе / А. Г. Асмолов, Г. В. Бурменская, И. А. Володарская. – М. : Просвещение, 2008. – 151 с.
14. Белошистая, А. В. Обучение решению задач в начальной школе : книга для учителя / А. В. Белошистая. – М. : Русское слово – РС, 2003. – 288 с.
15. Бочаров, В. А. Основы логики / В. А. Бочаров, В. И. Маркин. – М. : Космополис, 2004. – 164 с. 
16. Вохмянина, А. Е. Изучение мышления и интеллекта. Таблица Равена / А. Е. Вохмянина. – Магнитогорск, 2005. – 23 с.
17. Вахновецкий, Б. А. Логическая математика для младших школьников / Б. А. Вахновецкий. – М. : 2004. – 64 с.
18. Гетманова, А. Д. Логика : учебник для студ. пед. вузов / А. Д. Гетманова – М. : Высш.шк., 2006. – 468 с.
19. Давыдов, В. В. Теория развивающего обучения : учеб.пособие / В. В. Давыдов. – М. : Издательство ИНТОР, 1996. – 544 с.
20. Демидова, Т. Е. Текстовые задачи и методы их решения : пособие для учителя / Т. Е. Демидова, А. П. Тонких.– М. : Издательство МГУ, 1999. – 262 с.
21. Иванова, Е. В. Развитие логического мышления младших школьников на уроках математики / Е. В. Иванова // Начальная школа плюс до и после. – 2006. – №6. – С. 59-60.
22. Ивлев, Ю. В. Логика : учеб. − 3-е изд., перераб. и доп. / Ю. В. Ивлев – М. : ТК Велби, изд. Проспект, 2006 – 348 с.
23. Истомина, Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах: пособие для учителя / Н. Б. Истомина. – М. : Просвещение, 2005. – 63 с.
24. Истомина, Н. Б. Методика обучения математики в начальных классах / Н. Б. Истомина. – М. : Ц. «Академия», 2001. – 234 с.
25. Копкин, П. В. О некоторых вопросах теории умозаключений // Вопросы логики. – М. : Изд-во Академия Наук СССР, 1999. – 328 с.
26. Кутасов, А. Д. Элементы математической логики / А. Д. Кутасов – М. : Просвещение, 2000. – 63 с.
27. Моро, М. И. Математика. 3 кл. : учебник. В 2 ч. Ч. 1. / М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2004. – 96 с.
28. Новиков, П. С. Элементы математической логики / П. С. Новиков – Издательство : Наука, 2000 – 380 с.
29. Ожегов, С. И. Толковый словарь русского языка / С. И. Ожегов ; под ред. Проф. Л. И. Скворцова. – 26-е изд., испр. и доп. – М. : Мир и Образование, 2009. – 1360 с.
30. Пышкало, А. М. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах : методическое пособие / А. М. Пышкало / под редакцией М. И. Моро. – М. : Мысль, 1977. – 447 с.
31. Саранцев, Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе / Г. И. Саранцев. – М. : Просвещение, 2000. – 175 с.
32. Сергеев, И. С. Как организовать проектную деятельность учащихся / И. С. Сергеев. – М. : 2005. – 195 с.
33. Слупецкий, Е. Элементы математической логики и теория множеств : Учебное пособие / Е. Слупецкий, Л. Борковский. – М. : 2001. – 367 с.
34. Столяр, А. А. Логические проблемы преподавания математики / А. А. Столяр. – Минск : «Высш. школа», 2001. – 254 с.
35. Стойлова, Л. П. Математика : учеб-к для студ. высш. пед. учеб. заведений / Л. П. Стойлова. − М. : Академия, 2007. − 432 с.
36. Стойлова, Л. П. Математика / Л. П. Стойлова. – М. : Издательский центр «Академия», 2000. – 318 с.
37. Тихомиров, О. К. Психология мышления / О. К. Тихомиров. – М. : Академия, 2008. – 288 с.
38. Фридман, Л. М. Задачи на развитие мышления / Л. М. Фридман. − М. : Просвещение. − 2004. – 111 с.
39. Фридман, Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе : пособие для учителя / Л. М. Фридман. – М. : Просвещение, 1983. – 160 с.
40. Хинчин, А. Я. Педагогические статьи. Вопросы преподавания математики. Борьба с методическими штампами / А. Я. Хинчин. – М. : КомКнига, 2006. – 208 с.
41. Хомякова, Л. В. Индуктивные рассуждения в курсе математики в начальных классов / Л. В. Хомякова // Начальная школа. – 2003. – №5. – С. 31-36.
42. Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии. – Ч. 1 – М. : Просвещение, 2004. – 211 с.
43. Чекин, А. Л. Математика : Методическое пособие / А. Л. Чекин. – М. : Академкнига, 2006. – 84 с.
44. Шардаков, В. С. Мышление школьников / В. С. Шардаков. − М. : Просвещение. − 2003. – 204 с.
45. Шикалиев, Х. Ш. О некоторых приёмах развития доказательных рассуждений учащихся начальных классов / Х. Ш. Шикалиев, Б. О. Омаров // Начальная школа. – 2007. – № 6. – С. 98-101.
46. Шмырева, Г. Г. Из опыта работы по учебникам математики Н. Б. Истоминой / Г. Г. Шмырева, С. М. Нестерович // Начальная школа. – 2007. – № 8. – С. 46-49.
47. Эльконин, Д. Б. Детская психология / Д. Б. Эльконин. – М. : Педагогика, 2005. – 168 с.
48. Эрдниев, П. М. Обучение математике в школе / П. М. Эрдниев, – М. : АО «Столетие», 2003. – 320 с.
49. Якиманская, И. С. Знание и мышление школьника / И. С. Якиманская. – М. : Знание. – 2005. – 80 с.
50. Якиманская, И. С. Развивающее обучение : учеб.пособие для вузов / И. С. Якиманская. – М. : Педагогика, 1979. – 144 с.