Методика преподавания математики в начальных классах
статья по математике (1 класс)

Современные подходы в обучении 

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Возникновение интереса к математике зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, насколько умело будет построена учебная работа. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных технологий и методов обучения, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний. Педагогу надо задуматься о том, чтобы каждый ученик работал активно, увлеченно, а это использовать как отправную точку для возникновения и развития любознательности, познавательного интереса. В начальном школьном возрасте формируются постоянные интересы и склонности к тому или иному предмету, именно в этот период нужно стремиться раскрыть притягательные стороны математики.

Современный учитель всё чаще задаёт себе вопрос: «Как применять в учебно - воспитательном процессе инновационные технологии?»

Цель учителя - применяя новые педагогические технологии, научить школьников учиться. А как показывает практика, новые образовательные технологии могут быть освоены только в действии.

«Инноватика – это не просто новшества или некоторая новизна, а достижение принципиально новых качеств с введением системообразующих элементов, обеспечивающих новизну системе» (П.С. Лернер)

К инновационным технологиям необходимо отнести технологию развивающего обучения, проектную технологию, научно-исследовательскую деятельность, личностно-ориентированный подход, ИКТ – технологии, мониторинг.

Технологии развивающего обучения: проблемное изложение учебного материала; частично поисковая деятельность; самостоятельная проектная исследовательская деятельность.

Личностно - ориентированный подход предполагает: обязательную опору на знание того, как обучающиеся выполняют творческие работы; умеют ли они проверять правильность собственной работы, корректировать её; какие умственные операции они должны выполнить для этого и т.д.

Однако не стоит забывать, что традиционное обучение – фундамент инноваций. Термин «традиционное обучение» подразумевает классно-урочную организацию обучения, сложившуюся в XVII веке на принципах дидактики, сформулированных Я.А.Коменским, и до сих пор являющуюся преобладающей в школах мира. Отмечу положительные стороны «традиционной формы»: упорядоченная, логически правильная подача учебного материала; организационная четкость; оптимальные затраты ресурсов при массовом обучении.

А теперь приведу следующую сравнительную таблицу.

Традиционное обучение

Личностно – ориентированный подход

Учитель планирует индивидуальную или групповую работу учеников

Учитель предоставляет возможность выбора групповой или только собственной работы

Педагог задает для изучения общие для всех темы

Темы согласуются с познавательными особенностями обучающихся

Сообщение новых знаний только преподавателем

Получение новых знаний при совместной деятельности учителя и ученика

ИКТ-технологии: использование интерактивной доски; работа с интернет-ресурсами; создание собственного цифрового образовательного пространства; создание собственной мультимедийной библиотеки; проведение, организация конференций; создание интерактивных залов для проведения дистанционных диспутов, конференций и т.д.

Каждому ребёнку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков. Ведь одного желания, как правило, недостаточно для успешного решения исследовательских задач. Прививая ученикам, вкус к исследованию, тем самым вооружаем их методами научно-исследовательской и проектной деятельности. Главное для педагога – «Увидеть и услышать» ученика: его проблемы, наклонности, способности. Но такая деятельность не может опираться только на педагогическое мастерство и интуицию педагога. Ученик, в свою очередь, должен обладать не только определенным минимумом предметных знаний, но и сформированными общенаучными умениями и навыками. Учитель должен дать обучающемуся необходимый инструментарий, который позволит проникнуть ему в сущность предмета, поможет включиться в активную практическую и мыслительную деятельность.

Главный труд наших детей – это учение, и поэтому очень важно научить их учиться.

Основа деятельности учителя математики – это не простое накопление учащимися математических знаний и отработка умения решать задачи повышенного уровня, а сотрудничество учителя с учениками по исследованию каждой математической задачи. При обучении учитель должен вооружить учащихся научными методами познания: анализ, синтез, индукцию, дедукцию, аналогию, сравнение, обобщение, специализацию и т.д. и развить творческие, исследовательские способности ученика. Важно всемерно развивать самостоятельную мыслительную деятельность учащихся: это обеспечивает более высокий уровень знаний и развитие творческого мышления учащихся.

Проектно-исследовательское обучение является одной из наиболее активных форм обучения. Значительно оживляя процесс восприятия нового, через сознательную деятельность учащихся, через обучение в действии. А полученные в деятельности знания остаются прочными и долговременными. Универсальность проектного метода позволяет применять его, работая с разными возрастными категориями учащихся, на любых этапах обучения и при изучении материала различной степени сложности. Этот метод применим к системам знаний всех без исключения учебных дисциплин.

Основные формы и методы обучения, способствующие повышению качества обучения – это: ролевые игры, деловые игры, семинары повторительно – обобщающие уроки, конференции, диспуты, диалоги, проблемное обучение, самостоятельная работа, защита рефератов, индивидуальная работа, творческие сочинения, доклады, сообщения; тестирование, программированный контроль, исследовательская работа и др.. Все перечисленные технологии обучения способствуют решению проблемы качества обучения.

Универсально эффективных или неэффективных методов не существует.

Все методы обучения имеют свои сильные и слабые стороны, и поэтому в зависимости от целей, условий, имеющегося времени необходимо их оптимально сочетать. Вот почему, точнее корректнее, говорить: «Процесс обучения может быть активным (где обучаемый участвует как субъект собственного обучения) или пассивным (где обучаемый играет только роль объекта чего – то воздействия). Качество образования складывается из качества обучения и качества воспитания. Качество обучения может быть достигнуто только в результате обеспечения эффективности на каждой ступени обучения. То есть, весь процесс обучения строится по схеме: воспринять – осмыслить – запомнить применить – проверить. Чтобы добиться качества обучения, необходимо последовательно пройти через все эти ступени познавательной деятельности. Использование разнообразных форм и методов в процессе обучения способствует повышению качества обучения.

Психологическая обстановка доверия и равноправия, учет индивидуальных особенностей восприятия учебного материала на уроках способствует эффективной учебно – познавательной деятельности. Заслуга математики состоит в том, что она является весьма действенным инструментом к самопознанию человеческого разума. И хотя человек не всегда имеет возможности для создания чего-то нового в той или иной сфере деятельности, но будучи личностью, он, тем не менее, не может не быть готовым к творческому самовыражению. Математика помогает ему, пробуждая творческие потенции. В этом и есть одно из главных предназначений учебного предмета математики.

Общие подходы к построению курса математики

Общие подходы к построению курса математики в начальных классах, можно рассматривать в двух направлениях.

Горизонтальное, как выделение общего исторически сложившегося ядра в построении курса математики в начальных классах и вертикальное, как выделение общих подходов в построении курса математики в начальных классах в современных вариативных образовательных системах.

Раскрывая первое направление, можно выделить следующие общие тенденции в построении курса математики в начальных классах, охватывая исторический период, начиная с 20 века.

Основу содержания курса математики в начальных классах всегда составляла арифметика целых неотрицательных чисел и основных величин.

Структура расположения учебного материала со времен П.С. Гурьева, основоположника методики арифметики в России и талантливого русского методиста В.А. Евтушевского, традиционно соответствует линейно-концентрическому принципу его организации, что в настоящее время, обосновано, как с точки зрения особенностей психологии младшего школьника, так и с точки зрения методики преподавания. Концентрическое построение материала заключается в выделении числовых отрезков (концентров), внутри которых линейно с постепенным расширением и усложнением от концентра к концентру, изучаются вопросы арифметики целых неотрицательных чисел: образование числа, письменная и устная нумерация чисел, отношения между числами, операции над числами и их свойства.

Методика изучения математического содержания базировалась на системе целесообразно подобранных заданий (задач), характерной особенностью которых можно считать их направленность на отражение сущности вводимого понятия или действия, постепенное усложнение и включение нового материала в контекст ранее изученного.

Традиции в построении курса математики в начальных классах сохраняются и в настоящее время, что подчеркивается авторами вариативных программ по математике в начальных классах ( Л.Г. Петерсон, С.А. Козлова, Н.Б. Истомина и др.) Так, авторы вариативного курса «Математика для каждого» Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Л.Г. Петерсон выделяют в качестве основополагающего принципа определения содержания данного курса математики принцип устойчивости или принцип разумного консерватизма. Как подчеркивают авторы, этот принцип обусловлен тем объективным фактом, что традиционное содержание обучения математике, сложившееся в течение многих десятилетий и даже столетий, отражает тот объем математических знаний, который, с одной стороны, является фундаментом математической науки, а с другой – доступен большинству учащихся.

Таким образом, инвариантность в построении курса математики в начальных классах сводятся к реализации, кроме названных выше, следующих принципов:

• учет возрастных особенностей учащихся;

• органическое сочетание обучения и воспитания;

• усвоение знаний и развитие познавательных способностей детей.

.В современных условиях построение курса математики в начальной школе опирается на развивающую парадигму. Она отражена в методологических принципах российского образования, вошедших в текст Закона РФ «Об образовании», актуализируется в государственных образовательных стандартах первого и второго поколения, находит воплощение в примерных программах начального общего образования первого и второго поколения и все полнее реализуется в построении курса математики для начальных классов в различных образовательных системах.

Данная парадигма основывается на достижениях зуновского, компетентностного подходов, проблемно-ориентированного (Л.В. Занков), личностно-ориентированного (В.Д. Шадриков, И.С. Якиманская) развивающего образования, смысловой педагогики вариатиного развивающего образования (А.Г. Асмолов, В.В. Рубцов и др), контекстного и системно-деятельностного подходов (Л.С.Выготский, А.Н. Леонтьев, Д.Б. Эльконин, П.Я. Гальперин).

Современные тенденции построения курса математики в начальных классах в различных образовательных системах характеризуются следующими положениями.

1. Следование современным представлениям о целях школьного образования, которое выражается в гуманизации математического образования

2. Приоритет развивающей функции в обучении математике, что позволяет рассматривать конкретные математические знания не столько как цель обучения, сколько как база для организации полноценной интеллектуальной деятельности учащихся. направленной на формирование универсальных учебных действий. Именно такая направленность обучения оказывается более значимой для формирования личности учащегося и его развития, чем те конкретные знания, которые послужили ее базой.

Справедливости ради нужно подчеркнуть, что выше сказанное нельзя понимать как отрицание значимости математических знаний. Особенность математических знаний в том, что они требуют последовательного и твердого усвоения азов науки. В противном случае, дальнейшее усвоение предмета невозможно. При слабых знаниях учащиеся не могут включаться ни в исследовательскую, ни в исполнительскую деятельность с математическим материалом. Это ведет к потере интереса к предмету и отсутствию его формирующего и развивающего потенциала. В этой связи предметные и метапредметные знания и умения выступают как равноправные компоненты содержания обучения. Подходы к реализации этой функции варьируются в различных образовательных системах.

3. Наличие единого ядра в отборе математического содержания материала. Выделенное ядро школьного курса математики обозначено в государственном образовательном стандарте и находит воплощение в примерной программе начального общего образования, которая, в свою очередь, является исходным документом для разработки альтернативных программ в различных образовательных системах. В стандарте первого поколения выделены следующие содержательные линии курса математики в начальных классах: числа и вычисления, геометрические фигуры, измерение геометрических величин.

4. Расширение содержания обучения, включение в него элементов таких разделов математики как логика, комбинаторика, статистика, а также расширение и более углубленное изучение элементов геометрии и алгебры является тенденцией, обеспечивающей вариации учебных программ по математике. Включение «дополнительных» вопросов в номенклатуру содержания находит различные обоснования в образовательных системах:

• показать учащимся богатство математического содержания математики,

• побудить и у многих закрепит интерес к этой вечно живой и развивающейся науке,

• реализовать дифференцированный поход в обучении математике,

• приблизить содержание математического образования к решению жизненно важных задач,

• обеспечить реализацию принципа целостности содержания образования и др.

• применять знания на практике, выработка необходимых для этого навыков.

5. Реализация системно деятельностного подхода к отбору методов и средств обучения.

6. Практическая направленность курса математики в начальной школе. Ее сущность заключается в ориентации обучения на формирование умения математически исследовать явления реального мира, на практическую направленность учебного материала. В связи с этим, в стандарте образования введены новые понятия – «универсальные учебные действия», «компетентность », «компетенции». На наш взгляд, они призваны, в рамках личностно-ориентированного подхода к обучению, придать значимость формированию у школьников способности решать практические, жизненно важные задачи средствами математики.

Важнейшими средствами решения этой проблемы считаются: обучение детей методу моделирования и формированию обобщенных умений решать задачи, в том числе и жизненного содержания

7. Ориентация на технологию проблемно- диалогического обучения, которая позволяет учащимся самостоятельно «открывать» знания. Особенно четко данная ориентация просматривается в построении учебников нового поколения, где выстраивается последовательность вопросов, подводящих к постановке проблемы, задаются образцы диалога, направленные на проверку возможных гипотез.

В недалеком прошлом (70-80-ые годы 20 столетия) были представлены три принципиально отличных системы начального образования: первую, базирующуюся на знаниевой парадигме, называли и называют в настоящее время - традиционной, вторая – разработанная авторским коллективом под руководством Л.В. Занкова, третья - разработана отечественными учеными Д.Б. Элькониным и В.В.Давыдовым.

Своеобразие системы Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова состоит в том, что ее применение специально направлено на формирование и развитие у младших школьников теоретического сознания и мышления на основе усвоения ими теоретических знаний в форме учебной деятельности.

Главной задачей системы Л.В. Занкова является общее развитие учащихся, которое понимается как развитие интеллекта, воли, чувств школьника и является надежной основой усвоения ими знаний, умений и навыков.

В основу развивающей системы обучения Л.В. Занкова, направленной на общее развитие ребенка, положены следующие дидактические принципы:

1. Принцип обучения на высоком уровне трудности.

В соответствии с ним процесс обучения нацелен на познание сущности изучаемых явлений, связей и зависимостей между ними. Реализация этого принципа в процессе обучения математике тесно связана с целенаправленной работой по формированию у детей приемов умственных действий, т.е. с подбором специальных математических заданий, которые требуют выполнения таких мыслительных операций, как анализ через синтез, сравнение, аналогия, обобщение, классификация. При реализации данного принципа можно предлагать школьникам только такой математический материал, который может быть осмыслен ими, т.е. он должен быть связан с ранее усвоенными знаниями, умениями и навыками. В противном случае трудность окажется непреодолимой и её высокий уровень будет выступать как отрицательный фактор.

2. С принципом обучения на высоком уровне трудности связан другой принцип - обучение быстрым темпом. Он исключает однообразное повторение и «топтание на месте». Усвоенные понятия включаются в новые связи и обусловливают быстрое продвижение вперед, обеспечивая постоянную новизну в изучении материала. При обучении математике это находит отражение в варьировании заданий, в отказе от однотипных тренировочных упражнений и однообразного повторения пройденного.

3. Принципы обучения на высоком уровне трудности и быстрым темпом обусловливают еще один принцип: ведущую роль теоретических знаний в обучении. Это вовсе не исключает наглядную роль обучения, однако, большое внимание должно уделяться обобщениям, так как именно они характеризуют те изменения, которые происходят в мышлении младшего школьника. В соответствии с этим принципом формирование вычислительных умений и навыков происходит на основе осмысления понятий, отношений и зависимостей.

4. Учебный процесс строится в соответствии с принципом осознания процесса учения, т.е. таким образом, чтобы ученик уяснил основания определенного расположения материала, необходимость заучивания некоторых его элементов, источники ошибок при его усвоении. Другими словами, объектом осознания для него являются не только знания, умения и навыки, но и сам процесс их усвоения. В соответствии с этим принципом учащиеся осознают последовательность и взаимосвязь выполняемых операций и необходимость контролировать себя в процессе работы.

5. Особое место занимает принцип целенаправленной и систематической работы над развитием всех детей, в том числе и слабых. Он обеспечивается применением дифференцированных методик, в соответствии с которыми одни и те же вопросы содержания изучаются различными учениками с неодинаковой глубиной. Например, для сравнения выражений 3+2 ... 3+4 одни из них используют вычисления 5<7, другие делают заключение на основе сравнения слагаемых в сравниваемых суммах (первые слагаемые одинаковые; сумма, в которой второе слагаемое меньше, будет меньше).

В 90-ые годы прошлого столетия появилось множество новых обучающих программ, которые являлись различной интерпретацией выше названных систем обучения. Однако, в начале 21 века авторы программ по различным содержательным областям, которые характерны для начальной школы, стали организовываться в ассоциации и разрабатывать свои концепции образовательных моделей.

Рассмотрим концепции и принципы некоторых образовательных систем, реализующихся в программах по математике для начальной школы и соответственно в методическом обеспечении этих программ.

Образовательная модель «Школа 2000…» ориентирована на обеспечение самоопределения личности, создание условий для ее самореализации и базируется на следующей совокупности дидактических принципов:

А. Личностно ориентированные принципы.

1. Принцип адаптивности.

2. Принцип развития.

3. Принцип психологической комфортности.

Б. Культурно ориентированные принципы.

1. Принцип образа мира.

2. Принцип целостности содержания образования.

3. Принцип систематичности.

4. Принцип смыслового отношения к миру.

5. Принцип ориентировочной функции знаний.

6. Принцип овладения культурой

В. Деятельностно ориентированные принципы.

1. 1. Принцип обучения деятельности.

   2. Принцип управляемого перехода от деятельности в учебной ситуации к деятельности в жизненной ситуации.

   3. Принцип управляемого перехода от совместной учебно-познавательной деятельности к самостоятельной деятельности ученика (зона ближайшего развития).

   4. Принцип опоры на предшествующее (спонтанное) развитие.

   5. Креативный принцип, или принцип формирования

Раскроем подробнее сущность некоторых принципов.

1. Принцип психологической комфортности. Снятие всех стрессообразующих факторов учебного процесса, создание на уроках спокойной, доброжелательной атмосферы, в которой ребенок чувствует себя психологически комфортно.

2. Принцип деятельности. Ребенок получает знание не в готовом виде, а добывает его сам в процессе своей собственной деятельности.

3. Принцип целостного представления о мире. Учебное содержание должно отражать научное знание и раскрывать взаимосвязь явлений окружающего мира.

4. Принцип вариативности. Развитие у детей вариативного мышления.

5. Принцип творчества. Максимальная ориентация на творческое начало в познавательной деятельности детей.

6. Принцип минимакса. Школа должна предложить содержание уроков на уровне максимума (т.е. в зоне ближайшего развития детей данного возраста) и обеспечить каждому ученику подготовку не ниже заданного программой минимума.

7. Принцип непрерывности. Отсутствие «разрывов» в процессе обучения, когда результат деятельности на предыдущем этапе обеспечивает начало следующего.

Основной целью образовательной модели «Гармония» является формирование приемов умственной деятельности в процессе усвоения математического содержания.

В основе этой образовательной модели положена концепция, выражающая необходимость целенаправленной и систематической работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности: анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения в процессе усвоения содержания.

Реализация данной концепции обеспечивается:

- логикой построения содержания курса начальной математики, которая, учитывая опыт ребенка и его психическое развитие, позволяет ему сопоставлять и соотносить изучаемые понятия, обобщать и дифференцировать их, включать в различные цепочки причинно- следственных связей, устанавливать связи между новыми и изученными понятиями, способствуя тем самым формированию организованных и упорядоченных внутренних психологических структур;

- новыми методическими подходами к изучению младшими школьниками математических понятий, свойств и способов действий, в основе которых лежат идеи изменения признаков предметных, образных, графических и математических моделей, установления соответствия между ними; выявление закономерностей и различных зависимостей, способствующих формированию таких качеств мышления, как глубина, критичность, самостоятельность;

• системой учебных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся решают различные учебные задачи, овладевают общими способами действий и учатся осознанно контролировать их;

• методической линией, которая связана с использованием калькулятора. В соответствии с ней калькулятор рассматривается как средство обучения, которое можно использовать для постановки учебных задач, открытия и усвоения способов действий, проверки предположений, усвоения математической терминологии и символики, для эффективного формирования вычислительных навыков.

Существенные изменения внесены в последовательность изучения вопросов, входящих в программу традиционного курса, обусловлено новыми методическими подходами к формированию у младших школьников математических знаний, умений, навыков.

Основные положения концепции в системе Н.Ф. Виноградовой (21 век) следующие:

- приоритетной целью начального образования является развитие личности школьника, становление его как субъекта той деятельности, которой он занимается в школе;

• ученик - равноправный участник обучения, он в равной с учителем мере отвечает за свои успехи, промахи и недостатки;

• ученику предоставляется право выбора способа и пути деятельности. Его участие в процессе обучения заключается не в принятии готового образца, а в высказывании предположений, выборе альтернативы, обсуждение наиболее целесообразных способов ответа на вопрос «как решить эту учебную задачу».

В данной системе большое внимание уделяется процессу воспитания культуры мышления.

Роль математики в развитии учащихся

В проекте Концепции математического образования (в 12-летней школе) выделяются две генеральные функции школьного математического образования: общеобразовательная (образование с помощью математики) и специализирующая (собственно математическое образование). Социальной значимостью образования с помощью математики является повышение средствами математики уровня интеллектуального развития человека, обеспечение функциональной грамотности каждого члена общества. Социальная значимость собственно математического образования заключается в необходимости поддержания традиционно высокого уровня изучения математики, сложившегося в отечественной школе, формировании будущего кадрового потенциала российского общества.

Математика, в отличие от других естественнонаучных дисциплин, изучает не предметы реального мира, а количественные отношения и пространственные формы, им свойственные. В связи с этим выделяется абстрактность объектов, изучаемых математикой. Эта абстрактность порождает два свойства математических знаний: универсальность и формально-логическую выводимость.

Универсальность математических знаний обнаруживается в проникновении ее методов, прежде всего метода математического моделирования, в другие области научного знания, как естественнонаучного (физика, биология, химия и др.), так и гуманитарного (экономика, психология, лингвистика и др.). Математические модели, описывающие взаимосвязь количественных характеристик различных процессов и явлений, являются неотъемлемым элементом при проведении исследования в любой области знаний. Их роль возрастает в связи с расширяющимися возможностями компьютерной обработки данных. В связи с этим математическое образование занимает одно из ведущих мест в системе общего образования. Проникновение математики в разные сферы деятельности повлияло на то, что и в повседневной практике довольно часто используются математические знания. Это и применение простых математических расчетов, и использование элементов высшей математики, анализа и теории вероятностей (например, вычисление забытой комбинации цифр на коде замка чемодана, биржевые и фондовые игры с акциями и т. д.). Данные примеры доказывают, что все более широкий спектр математических знаний становится сегодня обязательным элементом общей культуры современного человека.

Процесс усвоения математических знаний, которые представлены как хорошо организованная система взаимосвязанных между собой элементов, формирует системность и структурность мышления. Постоянного проведения анализа, сравнения и синтеза информации требует процесс решения математических задач. Работа с математическими понятиями раскрывает процессы обобщения и классификации. Развивать пространственные представления и воображение позволяет изучение геометрических объектов. Доказательство теорем раскрывает процесс построения аргументации для проведения доказательных рассуждений.

Велика значимость математического образования для формирования духовной сферы человека, интеллектуальных и морально-этических компонентов человеческой личности, что обусловлено тем огромным запасом общечеловеческих и общекультурных ценностей, которые накопила математическая наука в ходе своего развития.

Формированию научного мировоззрения способствует осознание взаимосвязи реального и идеального, происхождения математических абстракций из практики, характера отражения математической наукой окружающего мира, роли математического моделирования в научном познании и в практике. Изучение математики вносит определяющий вклад в умственное развитие человека. В процессе обучения в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются анализ и синтез, индукция и дедукция, конкретизация и обобщение, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умение формулировать, обосновывать и доказывать суждения и тем самым развивают логическое мышление.

Ведущая роль принадлежит математике и в формировании алгоритмического мышления, а также в формировании логико-алгоритмического подхода в обучении, в котором выделяются два аспекта: обучение алгоритмам и построение алгоритмов самого обучения, то есть воспитание умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе изучении математики систематично и последовательно формируются умения и навыки умственного труда: умение планировать свою работу, поиск рациональных путей ее выполнения, критическая оценка результатов. В ходе основной учебной деятельности, в ходе решения задач на уроках математики развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Описанные выше операции и свойства мышления обусловливают обязательность включения математики в содержание общего образования как инструмента развития интеллектуальной сферы обучающегося. Этим определяется и сохранение ведущей роли математического образования в общей системе образования.

О значении, которое придается изучению математики, говорит и тот факт, что систематический школьный курс математики по отводимому на его изучение времени занимает второе место, незначительно уступая лишь курсу русского языка. В настоящее время трудно найти такую область человеческой деятельности, активное участие в которой не требовало бы определенной математической подготовки.

В дидактике в зависимости от того, какая учебная задача должна быть решена в процессе обучения и какие учебные действия выполняют учащиеся, выделяют различные виды учебной деятельности: внешние или внутренние, практические или интеллектуальные. Такое деление условно, так как в процессе обучения эти виды деятельности тесно взаимосвязаны.

Деятельность называют репродуктивной, если учащиеся выполняют воспроизводящие действия. Если учебные действия выполняются в варьирующихся, т.е. видоизмененных, условиях, то такую деятельность можно назвать вариативно-воспроизводящей. Такая деятельность наиболее характерна для обучения младших школьников математике, так как усвоение математики связано с применением правил, способов действия, алгоритмов для решения различных задач.

Деятельность называется продуктивной (творческой или эвристической), если она направлена на поиск новых знаний, на нахождение новых способов действий. Творческая деятельность выполняется в нестандартных условиях, когда требуется поиск, в результате которого появляется нечто новое (знание, способ действия). Если ученики находят новый способ действия самостоятельно, опираясь на имеющиеся у них знания, то такую деятельность можно назвать исследовательской. Если же учащимся помогает учитель, то творческая деятельность носит частично-поисковый характер. Следовательно, творческая деятельность может осуществляться на разных уровнях (частично-поисковом и исследовательском) и каждый уровень характеризуется самостоятельностью выполнения различных действий (операций).

На становление творческой деятельности школьников существенное влияние оказывает построение обучения, которое во многом определяется постановкой учебных задач, способствующих мотивации учения, и характером предлагаемых заданий, выполнение которых требует разнообразных практических и интеллектуальных действий.

Приемы учебной деятельности и их формирование у младших школьников

Важнейшими мыслительными операциями являются анализ и синтез.

Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств. Синтез - это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое.

В мыслительной деятельности человека анализ и синтез дополняют друг друга, так как анализ осуществляется через синтез, синтез - через анализ.

Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в новые связи, увидеть их новые функции.

Сравнение – такой прием интеллектуальной деятельности, который используют для выявления сходства и различия в данных объектах. Сравнение может ограничиться только фиксацией сходства (различия), т.е. осуществляться на уровне непосредственного восприятия данных объектов. Такое сравнение называется неполным. Если сравнение заканчивается определенными выводами, то его можно назвать полным. Сравнение по сходству называют сопоставлением, а по различию — противопоставлением.

Данный прием имеет сложный операционный состав, поэтому для успешного самостоятельного использования его учащимися недостаточно простого показа применения этого приема на каком-либо образце. Необходимо научиться выполнять каждую из операций, входящих в прием, и только после этого применять его для решения различных задач.

В состав приема сравнения входят следующие основные операции:

а) выделение сходных и различных признаков предметов;

б) расчленение признаков на существенные и несущественные;

в) выделение признаков, являющихся основанием сравнения;

г) формулировка вывода из проведенного сравнения.

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие является основой приема классификации.

Из курса математики известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнять следующие условия: 1) ни одно из подмножеств не пусто; 2) подмножества попарно не пересекаются; 3) объединение всех подмножеств составляет данное множество. Предлагая детям задания на классификацию, необходимо учитывать эти условия.

Прием аналогии. Понятие «аналогичный» в переводе с греческого языка означает «сходный», «соответственный». Аналогия - сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий. Данные прием помогает учащимся открывать новые знания, способы деятельности или использовать их в измененных условиях. Под аналогией в математике понимается особый вид умозаключения (рассуждения), который схематически можно представить в следующем виде:

объект А обладает признаками а, b, с, х;

объект В обладает признаками а, b, с;

вывод: объект В обладает признаком х.

Но необходимо иметь в виду, что вывод по аналогии в общем случае является лишь предположительным и может оказаться неверным. Однако в условиях обучения это не препятствие для использования данного приема, так как учитель всегда может поправить школьника, что также играет положительную роль и имеет обучающее значение, приучает детей проверять сделанные ими по аналогии выводы.

Используя прием аналогии, необходимо иметь в виду следующее:

1. Аналогия основывается на сравнении. Поэтому успех ее применения существенно зависит от того, насколько учащиеся овладели этим приемом.

2. Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен учащимся, а второй сравнивается с ним по каким-либо признакам.

Прием аналогии способствует повторению изученного в связи с рассмотрением нового учебного материала, что систематизирует знания и умения школьников.

3. Для ориентации учащихся на использование аналогии необходимо в доступной для них форме разъяснить ее сущность, обратив при этом внимание на то, что в математике нередко новый способ вычислений, преобразований и т.д. можно открыть по догадке, внимательно изучая известный способ действий и данное новое задание (термин «аналогия» можно не вводить).

4. Для правильных действий по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации. В противном случае вывод может быть неверным.

С приемом сравнения тесно связан прием обобщения.

Обобщить - значит зафиксировать то общее, существенное, что имеется в. каждом объекте рассматриваемой совокупности.

В математике обобщение — это мысленное выделение общих и существенных признаков математических объектов или способов действий с ними.

Необходимо различать результат обобщения и процесс, ведущий к нему. Результат обобщения фиксируется в понятиях, предложениях (суждениях), разных правилах. Процесс обобщения, может быть организован по-разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения - теоретическом и эмпирическом.

В курсе начальной математики наиболее часто применяется эмпирический тип, при котором обобщение знания является результатом индуктивных рассуждений (умозаключений).

В переводе на русский язык «индукция» означает «наведение», поэтому, используя индуктивные умозаключения, учащиеся могут самостоятельно «открывать» математические свойства и способы действий (правила), которые в математике строго доказываются.

Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо:

1) продумать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения;

2) рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых теряется та закономерность, которую ученики должны подметить;

3) варьировать виды частных объектов, т. е. использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, выражения, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность;

4) помогать детям словесно формулировать свои наблюдения, задавая наводящие вопросы, уточняя и корректируя те формулировки, которые они предлагают.

Непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения.

Суждения бывают единичными: в них что-то утверждается или отрицается относительно одного предмета, а также частными и общими. В частных что-то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности предметов из данного класса или относительно некоторого подмножества данного множества предметов.

В общих суждениях что-то утверждается или отрицается относительно всех предметов данной совокупности.

Предложения, выражающие суждения, могут быть различными по форме: утвердительными, отрицательными, условными.

Как известно, в математике все предложения, за исключением исходных, как правило, доказываются дедуктивно. Суть дедуктивных рассуждений сводится к тому, что на основе некоторого общего суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения о данном объекте высказывается новое единичное суждение о том же объекте. Общее суждение принято называть общей посылкой, первое единичное суждение - частной посылкой, единичное суждение - заключением.

Для сознательного выполнения дедуктивных умозаключений необходима большая подготовительная работа, направленная на усвоение вывода, закономерности, свойства в общем виде, связанная с развитием математической речи учащихся (Н.Б. Истомина).

Таким образом, дедуктивные рассуждения могут являться одним из способов обоснования истинности суждений в начальном курсе математики. Учитывая, что они доступны не всем ученикам начальных классов, используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся эксперимент, вычисления и измерения.

Эксперимент обычно связан с применением наглядности и предметными действиями. Измерение как способ обоснования истинности суждений обычно применяется при изучении величин и геометрического материала.

Общеучебные умения и навыки

Определение понятия "общеучебные умения и навыки"

Общеучебные умения и навыки - это такие умения и навыки, которым соответствуют действия, формируемые в процессе обучения многим предметам, и которые становятся операциями для выполнения действий, используемых во многих предметах и в повседневной жизни (рис. 14). Для усвоения отдельных предметов необходимы так называемые узкопредметные умения и навыки. Им соответствуют такие действия, формируемые в каком-либо учебном предмете, которые могут становиться операциями для выполнения лишь других специфических действий этого предмета или смежных предметов. Например, навыки чтения и записи натуральных чисел и действий над ними при первоначальном формировании - сугубо математические умения (действия), однако затем, когда они уже сформированы, они превращаются в операции, широко используемые не только для осуществления различных математических действий, но и для действий во многих других предметах (даже таких, как история или литература) и в повседневной жизненной практике. Поэтому эти навыки являются общеучебными. А вот умению находить производную некоторой функции соответствует такое действие, которое используется в курсе математики и в некоторых случаях в курсах физики и химии. Поэтому это умение является узкопредметным. Как видим, четкую границу между узкопредметными и общеучебными умениями и навыками провести довольно трудно. Вместе с тем, все учебные умения и навыки, формируемые в каком-то учебном предмете, можно разделить на две категории:

1) Общие, которые формируются у учащихся не только при изучении данного предмета, но и в процессе обучения многим другим предметам, и имеющие применение во многих учебных предметах и в повседневной жизненной практике, например, навыки письма и чтения, работы с книгой и т.д.;

2) Специфические (узкопредметные), которые формируются у учащихся только лишь в процессе обучения данному учебному предмету и имеют применение главным образом в этом предмете и отчасти в смежных предметах, например, определение общего сопротивления цепи проводников в физике, или вычисление валентности сложного химического вещества и т.д.

Формирование общеучебных умений и навыков

Формирование общеучебных умений и навыков - специальная педагогическая задача. Однако не все учителя рассматривают эту проблему с данной точки зрения. Часто считается, что специальная, целенаправленная отработка этих умений и навыков не нужна, поскольку ученики сами в процессе обучения приобретают необходимые умения, - это положение неверно.

Школьник в своей учебной деятельности действительно перерабатывает и трансформирует те способы учебной работы, которые ему задает учитель. Такая внутренняя переработка приводит к тому, что усвоенный ребенком способ работы с учебным материалом иногда довольно резко может отличаться от учительского эталона. В то же время преподаватель, как правило, не контролирует этот процесс, фиксируя только качество полученного учеником результата (решенная или нерешенная задача; содержательный или неглубокий, отрывочный, малоинформативный ответ и т.д.) и не представляет себе, какие индивидуальные умения, приемы учебной работы у ребенка стихийно сложились. А эти приемы могут оказаться нерациональными или просто неверными, что существенно мешает ученику продвигаться в учебном материале, развивать учебную деятельность. Громоздкие системы нерациональных приемов тормозят учебный процесс, затрудняют формирование умений и их автоматизацию.

Итак, у учащихся на всем протяжении школьного обучения нужно формировать общеучебные умения, причем умения сознательно контролируемые, часть из которых затем автоматизируется и становится навыками. Что же при этом должен делать учитель? Отметим два главных момента, или этапа: постановку цели и организацию деятельности

Прежде всего, перед детьми ставится особая цель - овладеть определенным умением. Когда учитель сталкивается с отсутствием у учеников конкретного умения, ему нужно вначале задать себе вопрос, а была ли перед ним поставлена такая цель? Осознают ли ученики ее? Ведь только наиболее интеллектуально развитые учащиеся самостоятельно выделяют для себя и осознают операциональную сторону учебной деятельности, остальные же остаются на уровне интуитивно-практического владения умениями

Очень распространенный недостаток организации учебной работы учащихся состоит в том, что они не видят за выполняемой ими работой учебной задачи, учебной цели. Конечно, на первых порах, да и периодически в более сложных случаях в дальнейшем, учитель, давая то или иное задание, сам указывает ту учебную задачу, которую должен решить ученик, выполняя это задание. Но постепенно ученики приобретают умение, способность и привычку видеть за любой выполняемой ими работой те знания, умения и навыки, которые они должны приобрести в результате данной работы.

Помимо осознания цели, ученику нужно осознание ее отношения к мотиву своей деятельности. Учебная мотивация всегда индивидуальна: каждый ребенок имеет свою систему мотивов, побуждающих его учиться и придающих смысл учению. Известно, что неформальное освоение высших интеллектуальных умений возможно только при познавательной мотивации. Тем не менее, даже при преобладании познавательней мотивации у ребенка все равно будут присутствовать и другие мотивы - широкие социальные, достижения успеха, избегать наказания и др. Учителю приходится ориентироваться на весь этот широкий спектр мотивов. Ставя цель обучить данному умению, он должен дать возможность каждому ученику понять, какой личностный смысл будет заключен в этой работе, зачем ему нужно это умение. Овладев им, ученик сможет выполнять сложные задания, которые гораздо интереснее тех, что он выполняет сейчас; сможет быстро и правильно решать задачи определенного типа; получать при этом высокие оценки и т.д..

Чтобы поставить перед учениками четкую цель, ему нужно сначала самому иметь соответствующую программу формирования умений. При планово-тематической системе организации учебного процесса эта программа предоставлена в каждом учебном минимуме - перечне основных знаний, умений и навыков, которые должны быть обязательно усвоены всеми учащимися при изучении учебной темы. В учебный минимум включаются лишь наиболее важные, существенные вопросы, без знания которых невозможно последующее изучение учебной программы. В него включается также освоение учебных умений, как предусмотренных учебной программой, так и не предусмотренных ею, без овладения которыми деятельность учеников не будет достаточно рациональной и эффективной (эту систему мы рассмотрим ниже). После мотивационного формирования умения следует этап организации совместной с учителем деятельности. В этой совместной деятельности ученик должен, прежде всего, получить образец или правило, алгоритм работы. Желательно, чтобы, получая готовый образец, дети сами (но под руководством учителя) разрабатывали систему правил, по которой они будут действовать. Этого можно добиться, сравнивая выполняемое задание с данным образцом.

Например, при обучении умению составлять план-схему учитель может показать в виде образца план к определенной, уже знакомой детям теме. Ориентируясь на него, ученики выполняют задание по другой, близкой теме - составляют план по этому учебному материалу. Далее они совместно с учителем тщательно анализируют несколько работ из класса, сопоставляя их друг с другом и образцом. Определяется, какие элементы в плане-схеме выделены, какие связи показаны, какие отсутствуют, а какие являются лишними, ненужными. Как уже видно из приведенного примера, совместная с учителем деятельность по выработке осознанного умения всегда внешне развернута. У учащихся обычно недостаточно развита способность внутренне, теоретически действовать, имея познавательную задачу. Во всяком случае, действуя по плану, они сталкиваются со значительными трудностями. Поэтому им нужны более легкие, доступные действия, внешние по форме. Таким образом, основной путь здесь - совместная деятельность, а метод - выполнение внешних действий. Причем внешние действия должны быть вначале максимально развернутыми и лишь потом, по мере отработки умения, они могут сокращаться.

После осознания школьниками правил, по которым нужно действовать, необходимы упражнения в использовании полученного умения. Ученику недостаточно знать рациональные правила учебной работы, он должен еще научиться применять их в собственной практике. Упражнения, в ходе выполнения которых отрабатывается умение, должны быть разнообразны. Например, при обучении умению различать главное и второстепенное используются, в частности, такие упражнения-задания: выделить в тексте те его части, которые наиболее существенны для раскрытия его содержания; опустить при пересказе текста второстепенные моменты; расположить учебный материал в определенном порядке, соответствующем степени его важности; сравнить какие-либо явления, сходные в главном и различные в частностях, при этом четко объясняя, что здесь существенно, а что нет.

Тренировка, нужная для отработки умения, не должна быть односторонней и чрезмерной. Умение, которым ребенок достаточно овладел на простом материале, затем часто бывает трудно включать в сложную деятельность, предполагающую использование разных умений. Выполняя специальное упражнение, ученик сосредоточивается на правильном применении одного нового умения. Когда же более трудное задание требует от него распределения внимания, включения этого умения в систему ранее сложившихся, оно начинает "выпадать". Так, на уроках русского языка и литературы ученик, хорошо выполнявший упражнения, может ошибаться, не используя те же правила в диктанте, а тот, кто грамотно писал диктанты, может ошибаться при работе над сочинением. Избежать этого можно, приучая ребенка совмещать формируемое умение или навык с другими, чтобы он мог использовать их совместно, одновременно, овладевая все более сложными способами деятельности.

Таким образом, вся эта сложная работа направлена на то, чтобы внешняя практическая деятельность учащегося стала его внутренним достоянием и могла выполняться в умственном плане.