Математическое образование младших школьников в условиях реализацииФГОС НОО.
презентация к уроку по математике (1, 2, 3, 4 класс) на тему

 Математическое образование младших школьников в условиях реализации ФГОС начального общего образования.

Методика обучения младших школьников решению текстовых задач.

Обучение решению задач – специально организованное взаимодействие учащихся и учителя, целью которого является формирование у учащихся умения решать задачи.

Обучение же решению задач различными способами имеет особое значение, так как, решая задачу различными способами, «…мы раскрываем возможность различных способов рассуждений,  которые приводят к одному и тому же результату, возможность сравнения этих способов, и развивающий эффект задач зависит как от числа решенных задач, так и от того, какие задачи мы решаем и как мы их решаем» (А.А. Столяр).

Термин «задача» используется в жизни и в науке очень широко. Этим термином обозначаются очень многие и различные понятия. Анализ информационных источников  показал, что до настоящего времени нет общего определения понятия «задача». Для текстовой задачи различные авторы предлагают следующие определения:

• Задача - это то, что требует разрешения, исполнения (Ожегов С.И.).

[14,  с. 203]

• Задача –  сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (Моро М.И.,           Пышкало А.М.) [12, с. 111]
• Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней (Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.) [19].
• Арифметическая задача - требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, связывающая эти величины, как между собой, так и с искомой (Богданович М.В.) [13].

В окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, – это задачи (Бантова М.А.) [2; с. 178].

• Текстовые арифметические задачи - это задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий (Дрозд В.Л.) [4; с. 59]
• Текстовая задача – математическая задача, в которой есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом. Она представляет собой словесную модель явления, процесса, ситуации, события и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не всё явление или событие, а лишь его количественные и функциональные характеристики (Т.Е. Демидова,              А.П.  Тонких) [3, с. 20]
• Текстовая задача – это описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П., Пышкало А.М.). [16; c.43]

В методической литературе представлены различные классификации текстовых задач. Рассмотрим некоторые из них.

• По характеру требований:

1)        на нахождение искомого;

2)        на доказательство или объяснение;

3)        на преобразование и построение.

• По характеру условия задачи:

1. определенная;
2. неопределенная;
3. переопределенная. [Приложение 1]

• По числу действий, выполняемых для их решения:

1. простая;
2. составная.

В школьном курсе математики Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий выделяют следующие виды задач [19]:

Каждая задача – это единство условия и цели (задания и вопроса задачи). Если отсутствует один из этих компонентов, то отсутствует и сама задача. Это важно иметь в виду для  проведения анализа текста задачи с соблюдением такого единства. Анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, потому что они составляют единое целое [1; с. 48].  Система взаимосвязанных условий и требований -  это «взыскательная модель задачи».

        Текстовые задачи имеют следующую структуру:

1. Условие – то, что известно. В условии сообщается информация об объектах и величинах, которые характеризуют данные объекты, об неизвестных и известных значениях данных величин и отношения между ними. Может содержать несколько элементарных условий.
2. Требование (или вопрос) - то, что нужно найти. В учебниках математики начальной школы требования могут быть представлены в виде вопросительного (Чему равна площадь участка?) или повествовательного (Найти площадь участка) предложения.

При решении задачи  выделяются следующие этапы работы:

1. Анализ задачи
2. Поиск плана решения
3. Решение задачи

4.            Проверка.

Решить задачу в широком смысле - значит раскрыть связи между данными и искомым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи  (М.А. Бантова) [2, с. 179].

        В методической литературе можно встретить различные классификации способов решения задач. Остановимся на классификации, которую предлагает нам Л.П. Стойлова.  Она выделяет следующие способы решения задач [16; с. 46-49]:

• Арифметический. Результат решения задачи находится путем выполнения арифметических действий.
• Алгебраический. Ответ находится путем составления и решения уравнения.
• Графический. Позволяет найти ответ без выполнения арифметических действий, опираясь только на чертеж.
• Практический (предметный). Ответ находится с помощью непосредственных действий с предметами.

Рассмотрим различные способы решения текстовых задач на конкретной задаче:

«Девять апельсинов разложили по 3 на несколько тарелок. Сколько понадобилось тарелок?»

Арифметический способ. Задачу можно решить, записав равенство: 8:2=4.

Алгебраический способ. Рассуждаем: «Число тарелок неизвестно, обозначим их буквой x. На каждой тарелке 3 апельсина, значит, число всех апельсинов – 3·x. Так как в условии известно, что число всех апельсинов 9, можно записать уравнение: 3·x=9, x=9:3, x=3.

Графический способ. Эту задачу можно решить, не имея никакого представления об арифметических действиях.

Изобразим каждый апельсин отрезком:

Практический способ. Решить задачу этим способом, также как и графическим, можно, не выполняя никаких арифметических действий, а только опираясь на жизненный опыт и владея счетом до 9. Для этого можно взять 9 апельсинов, положить 3 на одну тарелку, затем 3 на другую и т.д. Затем, посчитав количество тарелок, можно ответить на поставленный вопрос.

Н.Б. Истомина же в своей работе, помимо перечисленных способов решения, задачи выделяет следующие [16; с. 202-203]:

• схематическое моделирование;
• комбинированный способ.

Схематическое моделирование, в отличие от графического способа решения, означает лишь моделирование только связи и отношения между данными и искомыми. Эти отношения не всегда целесообразно представлять в виде символической модели (равенство, выражение). Моделирование  текста задачи в виде схемы также иногда помогает найти ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим это на конкретном примере: «В двух автобусах ехали пассажиры, по 20 человек в каждом. На одной остановке из первого автобуса вышло несколько человек, а из второго автобуса вышло столько, сколько осталось в первом. Сколько всего пассажиров осталось в двух автобусах?

В этом случае схема является и способом и формой записи решения задачи.

вышло                    осталось

        вышло                     осталось

Ответ: 20 человек осталось в двух автобусах.

Комбинированный способ решения задачи – это способ, при котором ответ на вопрос задачи находится путем как бы сочетания нескольких способов решения. Например, при решении задачи «Сколько машин было на стоянке, если после того как из нее выехало 18 машин, осталось в три раза меньше, чем было?» мы одновременно используем схему и арифметические равенства, так как решение этой задачи только арифметическим способом очень сложно для ребенка. В этом случае запись решения будет иметь такой вид:

Осталось

Было

                                                18 м.

1. 18:2=9 (м.)
2. 9·3=27 (м.)

Ответ: 27 машин было в гараже.

В начальных классах часто используется разные формы записи решения задач: по действиям, по действия с пояснением, с вопросами, выражением.

Но также не следует путать такие понятия как:

• решение задачи различными способами;
• различные формы записи арифметического способа решения
• решение задачи различными арифметическими способами.

В третьем случае речь идет о возможности установления различных связей между искомыми и данными, о выборе других действий, последовательности действий для нахождения ответа на поставленный вопрос [6; с.201].

Особое место в начальном курсе математики занимают составные задачи. Составная задача включает в себя несколько простых задач, связанных так, что искомое одной простой задачи служит данным для другой. Решение составной задачи сводится к расчленению ее на ряд простых и последовательному их решению. Следовательно, для того, что бы решить составную задачу, надо установить ряд связей между данными и искомым, в соответствии с которым выбрать и выполнить арифметические действия. [2;      с. 223]

Например, задача «В классе было 12 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько детей было в классе?» содержит две простые: «В классе было 12 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько мальчиков было в классе?» и ««В классе было 12 девочек, а 14 мальчиков. Сколько детей было в классе?» Число, которое являлось искомым в первой задаче (число мальчиков), стало данным для второй (14мальчиков). Последовательное решение этих задач – решение составной задачи.

В отличие от решения простой задачи, в решении составной мы устанавливаем не одну связь, а несколько, в соответствии с которыми выбираются арифметические действия. Это вызывает у ряда детей затруднения. Поэтому необходимо проводить специальную работу по ознакомлению  с составной задачей, формировать умения решать составные задачи.

Подготовительная работа помогает уяснить учащимся основное отличие составной задачи от простой – ее нельзя решить сразу, то есть одним действием, нужно вычленить простые задачи, установить связи между данными и искомым. Изучение опыта учителей-практиков базовой школы, а также опыта, представленного в различных информационных источниках, позволяет выделить следующие виды упражнений:

1. Решение простых задач с недостающими данными.

Например, «В музей поехали мальчики и девочки. Сколько детей поехало в музей?»

После прочтение таких задач учитель спрашивает, можно ли узнать, сколько детей поехало в музей, и почему нельзя. Затем дети подбирают числа и решают задачу. Выполняя такие упражнения, учащиеся понимают, что не всегда можно сразу ответить на вопрос задачи, так как может не хватать числовых данных, их надо получить. [2; с. 223-224]

2. Решение пар простых задач, в которых числа, полученные в ответе на вопрос первой задачи, является данным во второй задаче, например:

1. «У Маши было 3 кролика, а у Даши на 2 кролика больше. Сколько кроликов у Даши?»
2. У Маши было 3 кролика, а у Даши 5. Сколько кроликов было у девочек?»

Учитель, говорит, что данные задачи можно заменить одной: «У Маши было 3 кролика, а у Даши на 2 кролика больше. Сколько кроликов было у девочек?». В дальнейшем дети самостоятельно будут заменять пары подобных задач. [2;        с. 224]

3. Постановка вопроса к данному условию. Учитель говорит условия, а дети говорят, какой вопрос можно поставить к данному условию. [2; с. 224]
4. Выработка умений решать простые задачи, входящие в составную. Необходимым для решения составной задачи является умение решать простые задачи, входящие в составную. Поэтому, до введения составных задач надо формировать умение решать соответствующие простые задачи. [2, с. 224]

Для знакомства с составной задачей специально отводится в I классе 2-3 урока, на которых большое внимание уделяется установлению связей между данными и искомым, составлению плана решения, записи решения.

Первыми нужно включать задачи, при решении которых надо выполнить два различных арифметических действия: сложение и вычитание, а содержание должно позволять иллюстрировать их.

Существует два мнения по поводу того, задачи какой структуры ввести первыми [2, с. 225]:

1. Задачи в два действия, включающих простые задачи на нахождение суммы и остатка. Например: «Маша купила 5 тетрадей в линейку и 3 тетради в клетку; 4 тетради она отдала сестре. Сколько тетрадей осталось у Маши?»;
2. Задачи в два действия, включающие простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и на нахождение суммы. Например: «У Пети 7 яблок, а у Васи на 4 яблока меньше. Сколько яблок у мальчиков?».

Первая задача, в отличие от второй, явно отличается от простой задачи, так как содержит три числа, то есть обе простые задачи как бы лежат на поверхности. Это приводит учащихся к существенному признаку составной задачи – ее нельзя решить сразу, выполнив одного действие, содержание задачи помогает правильному установлению связей, детям легче составить выражение. Поэтому лучше начинать с решения составных задач именно такой структуры, а через 2-3 урока можно будет вводить задачи, в условии которой даны два числа, включающие такие простые: на уменьшение числа на несколько единиц, на нахождение суммы.

В период ознакомления с составными задачами важно добиться различения детьми простых и составных задач. Для этого нужно включать составные задачи в противопоставлении с простыми, выясняя, почему одна задача решается в два действия, а другая в одно. Полезно включать творческие задания, например, преобразовать простые задачи в составные и наоборот. Также вместе с решением готовых задач надо включать упражнения на составление задач, аналогичных решенной, на составление задач по данному решению, по краткой записи и др. [2; с. 226]

На протяжении начальной школы решаются составные задачи, которые связываются с изучаемым материалом, например, в I классе изучаются действия сложения и вычитания и соответственно включаются составные задачи, решаемые этими действиями. По мере продвижения учащихся задачи усложняются либо по линии включения новых связей, либо по увеличению числа выполняемых действий.

Организация деятельности детей по  обучению решению каждого нового типа составных задач ведется в соответствии с основными ступенями [2; с. 228]:

1. Подготовка к решению задач рассматриваемого вида.
2. Знакомство с решением задач рассматриваемого вида.
3. Формирование умения решать задачи рассматриваемого вида.

В связи с работой над задачами важно научить учащихся общим приемам работы над задачей: научить самостоятельно анализировать задачу, устанавливать связи, использовать при этом иллюстрации, составлять план решения, выполнять решение, проверять правильность решения.

Использование памяток формирует более полноценное и быстрое умение решать задачи не только у сильных, но и у слабых учеников.

Наглядное оформление задачи и его анализ позволяют раскрыть разные логические основы условия, что порождает разные способы решения одной и той же задачи. [1; с. 51]

Задача: «Красная Шапочка пригласила в гости 7 гномов и Белоснежку. Для угощения она приготовила 5 апельсинов и 6 яблок. Два фрукта она отложила. Хватит ли гостям оставшихся фруктов?»

Обычное решение: 1) 6 + 5 = 11 (фр.); 2) 11 – 2 = 9 (фр.); 9 > 8, значит, фруктов хватит для всех гостей.

А теперь используем наглядное оформление задачи. На наборном полотне выставим рисунки фруктов, получим [1; с. 51]:

По условию два фрукта следует убрать. Какие?

Убираем 2 яблока:

1) 6 – 2 = 4 (яб.);

2) 5 + 4 = 9 (фр.);

Убираем 2 апельсина:

1) 5 – 2 = 3 (ап.);

2) 6 + 3 = 9 (фр.)

Убираем 1 яблоко и 1 апельсин:

1) 6 – 1 = 5 (яб.);

2) 5 – 1 = 4 (ап.);

3) 5 + 4 = 9 (фр.)

Наглядное сопровождение задачи и постановка вопросов к нему помогают определять разные направления мыслительного процесса и порождают несколько дополнительных способов решения задачи.

Важно не упустить время, начать работу по обучению детей решению задач различными способами с I класса. Выработка привычки к поиску другого варианта решения играет большую роль в будущей работе, научной и творческой деятельности.

Требования к решению задач различными способами имеются в некоторых номерах задач учебников математики. Но такая работа должна вестись более глубоко и систематически. Учителю важно допускать многообразие путей, способов и форм решения, всегда замечать неординарный поворот мысли ребенка, поддерживать его. Дети при этом  не боятся высказывать свое мнение, вносить свои предложения по ходу решения.

Если на уроках математики в начальной школе вести работу по обучению решению задач различными способами, то это будет эффективным средством повышения общего уровня умения решать текстовые задачи.